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18/02/2018
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Professor: Fernando Braga
AULA 1
� Proporcionar ao aluno as ferramentas necessárias
para a determinação de tensões criticas em
elementos estruturais, e fornecer os
fundamentos teóricos necessários para o
dimensionamento de estruturas de aço, madeira
e concreto.
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� Revisão do Conceito de Tensão
Normal/Cisalhamento e Carregamento Axial
� Propriedades Geométricas de Superfícies Planas
� Torção
� Flexão Pura e Composta
� Cisalhamento na Flexão
� Colunas
� Hibbeler, R. C. – Resistência dos Materiais, 7
edição. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
� Riley, W.F.; Sturges, L.D.; Morris, D. H. Mecânica
dos Materiais 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003.
� Beer, F.P.; Johnston Jr.,R. Resistência dos
Materiais, 3 ed. São Paulo: Pearson Makron
Books, 1995.
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� Nota: Média 6,0
� Provas AV1, AV2 e AV3
� Faltas: 7 faltas (5 Limite Estácio + 2 critério do
professor). Acima desse valor será avaliado caso
a caso.
Em resistência dos materiais I, aprendemos:
� Conceito de tensão como um meio para medir a
distribuição de força no interior de um corpo;
� Conceito de deformação como um meio para medir
a deformação geométrica de um corpo;
� E que a relação matemática entre tensão e
deformação depende do tipo de material do qual o
corpo é feito.
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Primeiramente vamos rever o conceito de esforços
internos.
Para o cálculo das tensões e dimensionamento de um
corpo, é necessário que sejam determinadas as forças
internas que atuam no interior de um corpo, para um
dado carregamento externo.
Estas forças estão relacionadas a integridade do
corpo quando submetido a esforços externos.
Dado um corpo genérico em equilíbrio:
As forças F1 a F4
representam cargas
aplicadas e reações de
apoio.
Passando uma seção AA
pelo corpo temos a
seguinte configuração.
F4
F1
F3
F2
A A
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Examinando o diagrama de corpo livre de uma das partes:
As forças ao longo da
seção são distribuídas de
maneira desconhecida.
Podemos substituir este
sistema de forças por
uma força resultante Fr e
um momento resultante
Mr. Isto é feito utilizando
as equações de equilíbrio.
F3
F2
Força resultante Fr e Momento resultante Mr:
Sempre aplicar Fr e Mr no
centroide da seção. (ponto
O).
A força Fr e o momento Mr
podem ser decompostos da
seguinte maneira. F3
F2
Mr
Fr
O
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Decomposição de Fr e Mr:
F3
F2
Mr Fr
O V
N
T
M
Força de Cisalhamento
Força 
Normal
Momento de Torção
Momento Fletor
Definições:
� Força Normal: Essa força age perpendicularmente a
área e se desenvolve sempre que as cargas externas
tendem a puxar ou empurrar dois segmentos de
corpos.
� Força de Cisalhamento: Encontra-se no plano da
área e é desenvolvida quando as cargas externas
tendem a provocar o deslizamento de um dos
segmentos sobre o outro.
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Definições:
� Momento de Torção ou Torque: Este efeito é
desenvolvido quando um carga externa tende a torcer
um segmento do corpo em relação ao outro.
� Momento Fletor: É causado pelas cargas externas
que tendem a flexionar o corpo em torno de um eixo
que se encontra no plano da área.
Na revisão do conceito de iremos adotar duas
hipóteses sobre o comportamento do material:
1)Material é contínuo: Possui distribuição uniforme
de matéria, sem vazio.
2)Material é coeso:Todas as suas partes estão bem
interligadas sem trincas ou separações.
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� Considere que a seção está subdividida em
pequena áreas , com uma força pequena :
x
z
y
� A medida que tende a zero o mesmo a
acontece com a força , porém a razão
(quociente) entre força e a área tende a um
limite finito.
� A esta razão denominamos de tensão (ou tensão
atuante), que descreve a intensidade a
intensidade da força interna passando por um
plano específico que passa por um ponto.
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� É a força por unidade de área que age
perpendicularmente à , é definido pelo
símbolo (sigma).
� Se a força normal tracionar o componente, será
chamada de tensão de tração, se comprimir de
tensão se compressão.
� É a força por unidade de área que age tangente à
, é definido pelo símbolo (tau).
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� As tensões se apresentam da seguinte forma:
x
y
z
� O índice z mostrado em é usado para indicar 
a direção da reta normal dirigida para fora que 
especifica a orientação da área.
� Para a tensão de cisalhamento são usados dois
índices para suas componentes, o eixo z
representa a orientação da área, e os eixos x e y
referem-se as retas que indicam as direções das
tensões.
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� Se no corpo mostrado for retirado um elemento 
cúbico teremos a seguinte situação:
yx
z
� A tensão atuante em um elemento depende dos
esforços aplicados com também da geometria do
componente (área de seção transversal a ser
analisada).
� Na fase de projeto de um componente muitas
das vezes o carregamento imposto não pode ser
alterado sendo necessária a determinação de
uma geometria que minimize as tensões atuantes
de modo que as mesmas fiquem abaixo da
tensão admissível do material.
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� Unidades:
- MegaPascal (mais utilizada)
- Pascal
� Dada a barra prismática carregada axialmente
por uma força P:
P
P
P
P
Seção AA
yx
z
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� Antes de determinarmos a distribuição de
tensões vamos estabelecer as seguintes
hipóteses:
1)A barra deve se deformar de maneira
uniforme e constante.
2)A carga deve ser aplicada ao longo do eixo
centroide da seção transversal, para que a
deformação seja uniforme.
3) O material deve ser isotrópico e homogêneo.
� Contanto que a barra tenha deformação
uniforme e constante, estará sujeita a uma
tensão constante, e a soma de todas as
forças atuantes na seção deve ser igual a
força interna P, logo temos:
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� Vamos considerar uma
barra retangular se
deforma elasticamente
quando submetida a
uma força P aplicada ao
longo do eixo de seu
centroide.
� A barra está mostrada
na figura ao lado.
Devido ao carregamento na extremidade da barra temos:
� Pontos A e B: Carregamento distorce as linhas localizadas
perto da carga.
� Ponto C :Linhas localizadas longe da carga e do apoio
permanecem retas (efeito tende a diminuir conforme as
medições são feitas cada vez mais distante das
extremidades).
� Região Próximo do Apoio: Carregamento distorce as linhas 
localizadas perto do apoio.
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� Podemos perceber que a tensão será distribuída mais
uniformemente por toda a área da seção transversal
se um corte for feito em um ponto distante de onde a
carga externa é aplicada.
� Neste ponto a tensão quase alcança um valor
uniforme na seção, que está suficientemente afastada
da extremidade. Em outras palavras, a seção está
longe o suficiente do ponto de aplicação de P, de tal
modo que a deformação localizada provocada por P
seja desprezível.
� A distância mínima em relação à extremidade da
barra onde isso ocorre pode ser determinada por
meio de uma análise matemática baseada na teoria
da elasticidade.
� Como regra geral que se aplica a muitos outros casos
de carregamento e geometria de elementos
estruturais, podemos considerar que essa distância é,
no mínimo, igual à maior dimensão da seção
transversal carregada.
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� Podemos notar também, como o apoio impede a
redução da largura da barra, o que deveria ocorrer
devido ao alongamento lateral da barra.
� Contudo, por esse mesmo argumento, poderíamos
demonstrar que a distribuição de tensão no apoio
também se nivelará e se tornará uniforme em toda a
seção transversal a uma curta distância do apoio, e a
amplitude da força resultante criada por essa
distribuição de tensão deve ser tambémigual a P.
� Afirma que a tensão e a deformação produzidas em
pontos de um corpo suficientemente distantes da
região da aplicação da carga serão iguais à tensão e à
deformação produzidas por quaisquer carregamentos
aplicados que tenham a mesma resultante
estaticamente equivalente e sejam aplicados ao corpo
dentro da mesma região.
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� Ao aplicarmos uma força, o corpo se deforma e a
reta AB passa a ter comprimento final de L. A
mudança de comprimento da reta é dada por L-Lo.
Corpo não deformado
A B
Lo
A B
L
Corpo deformado
� A deformação normal média é uma quantidade
adimensional, pois é a razão entre dois
comprimentos. Apesar disso é comum ser
expressada em termos de uma razão de
unidades de comprimento.
� No sistema internacional (SI) é o m/m, porém na
disciplina usaremos mm/mm.
� Para a maioria das aplicações de engenharia
as deformações são consideradas pequenas .
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� É a mudança que
ocorre no ângulo
entre dois segmentos
de reta que eram
perpendiculares um
ao outro. (distorção)
� Para demonstrar isso
vamos analisar o
quadrado ABCD onde
atua uma força de
cisalhamento P, que
será mostrado no
próximo slide.
x
y
L
P
� A deformação por cisalhamento é dada por:
� Na maioria das aplicações de engenharia a razão mostra
da acima é muito pequena:
� Para estes casos e a deformação por
cisalhamento é dada por:
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� A deformação por cisalhamento pode então ser
rescrita como :
� Onde é medido em radianos. Uma outra
maneira de escrever a deformação é mostrada
abaixo:
� De uma maneira geral o diagrama é disposto da
seguinte forma.
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� Este fato foi descoberto por Robert Hooke, e
pode ser expresso matematicamente da seguinte
forma:
� Onde E, é o módulo de elasticidade ou módulo
de Young. Esta fórmula mostrada é para o caso
unidimensional.
� Na realidade a lei de Hooke, representa a
equação da porção inicial em linha reta do
diagrama tensão-deformação. O módulo de
elasticidade E representa a inclinação desta reta.
� As unidades do módulo de elasticidade são o
Pascal, MPa e GPa.
� O módulo de elasticidade é uma propriedade
mecânica que indica a rigidez de um material.
Materiais muito rígidos tem alto valor de E (200
GPa – aço), a borracha tem E (0,70MPa) muito
baixo.
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� Vamos considerar uma barra de área de seção
transversal que varia gradativamente ao longo de seu
comprimento L.
� A barra está sujeita a cargas concentradas em suas
extremidades e a uma carga externa variável
distribuída ao longo de seu comprimento (por
exemplo forças de atrito que agem na superfície da
barra.)
� Usando o método da seções:
� As tensões e deformações no elemento são:
� � �������� 												 �
�
�
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� Utilizando a lei de Hooke e integrando para o
comprimento total da barra L, temos:
	� � � � � 
�� � 
�
�
� Para uma barra de seção transversal constante:
� � ���
� Se a barra for submetida a várias forças axiais diferentes,
ou se a área da seção transversal ou o módulo de
elasticidade mudar repentinamente de uma região da
barra para outra, para seção constante poderá ser aplicada
a cada segmento da barra onde todas essas quantidades
são constantes.
� Então, o deslocamento de uma extremidade da barra em 
relação à outra é determinado pela adição algébrica dos 
deslocamentos das extremidades de cada segmento e é 
dado por:
� �����
�
�
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� Exercício 1:
� Dada a estrutura mostrada
abaixo, determine:
� O diâmetro da barra BC, sabendo
que o material é aço, com limite
de escoamento de 320MPa e que
a deformação máxima da barra BC
deve ser de 0,1%. Eaço = 200 GPa.
Use um F.S =2
� Os diâmetros os pinos A e C,
sabendo que a tensão admissível
dos mesmos é de 80MPa.