Capitulo2 TensaoeDeformacao CarregamentoAxial

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CAPÍTULO 2:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO: 
Carregamento Axial
Prof. Romel Dias Vanderlei
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
Curso de Engenharia Civil
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.1 Deformação Específica
� O diagrama carga x deformação é referente a 
barra analisada, não podendo ser usado para 
prever deformações de outras barras com 
outras dimensões. 
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.1 Deformação Específica
� Deformação Total: δδδδ ou ∆∆∆∆L = Lf – L
� Deformação Específica Normal (εεεε) [epsilon]: é a 
deformação por unidade de comprimento.
L
L∆
=ε
� Unidade: Adimensional (L/L)
� Valores muito pequenos:
� Ordem de grandeza de 10-6
� Representada por µ (micro)
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
� Caracteriza as propriedades do material e não 
depende das dimensões da amostra.
� A relação (σ x ε) depende:
� Tipo do material;
� Intensidade do esforço aplicado.
� É também denominada relação constitutva do 
material.
� A relação é medida através de ensaios de tração 
ou compressão.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
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n
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rle
i
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
Pr
o
f. 
R
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m
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ia
s 
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rle
i
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
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n
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rle
i
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
� De maneira geral, existem os materiais Dúcteis e 
Frágeis:
� Materiais Dúcteis:
� Sofrem grandes deformações antes de atingir a 
ruptura (com ou sem limite de escoamento). Ex.: 
aço, alumínio.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
� Materiais Dúcteis com patamar de escoamento:
1- OA: a deformação é
proporcional a tensão até
atingir o limite de 
proporcionalidade (σp) no 
ponto A.
2- BC: patamar de 
escoamento, o ponto B 
representa o limite de 
escoamento (σe).
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
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n
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rle
i
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
� Materiais Dúcteis com patamar de escoamento:
3- O ponto D caracteriza o nível 
máximo de tensão, Tensão 
de Ruptura (σu).
4- O ponto E é o ponto de 
ruptura.
5- Descarregando-se em um 
ponto C’ do diagrama, fora 
do limite elástico, as 
deformações ocorrem 
segundo uma linha paralela a 
AO,porém conservando uma 
deformação residual.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
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rle
i
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
� Materiais Dúcteis sem patamar de escoamento:
� O limite de escoamento (σe) no ponto B, corresponde a 
uma deformação residual de 0,2% se a barra for 
descarregada. 
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
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n
de
rle
i
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
� Materiais Frágeis:
� São aqueles que sofrem ruptura de forma brusca 
(não apresentam deformações consideradas). Ex.: 
concreto, vidro, cerâmica.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.3 Lei de Hooke
� É a relação de proporcionalidade entre a 
tensão e a deformação.
� O coeficiente de proporcionalidade (E) entre a 
tensão (σ) e a deformação (ε) é chamado de 
MÓDULO DE ELASTICIDADE (ou MÓDULO 
DE YOUNG).
Etg
i
i
==
ε
σ
α
σ
ε
α
σi
εi
Hooke de Lei →⋅= εσ E
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.3 Lei de Hooke
� Material elástico linear: obedece a Lei de Hooke;
� Material não elástico: não obedece a Lei de 
Hooke;
� Material Plástico: material não elástico com 
deformação residual;
� Material Elastoplástico: material com 
comportamento elástico, e após certo valor de 
tensão, apresenta deformações residuais.
Esta disciplina estuda apenas materiais com 
comportamento Elástico. (Teoria da Elasticidade)
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
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n
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rle
i
2.4 Deformação de Barras Carregadas Axialmente
� Sendo válida a lei de Hook, pode-se determinar a 
deformação de uma barra carregada axialmente.
εσεσ ⋅=
∆
== E ;L ;
LA
P
� Combinando-se estas equações, a deformação é
dada por:
barra da axial 
L
rigidezEA
AE
LP
→
⋅
⋅
==∆ δ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.4 Deformação de Barras Carregadas Axialmente
� Estas equações são válidas para materiais 
homogêneos (E=const.) e barras de seção 
constante (A=const.)
� Em casos em que as seções transversais sejam 
variáveis ou o material varie também em 
determinados trechos, a expressão de “δ” pode 
ser usada dividindo o problema em partes onde 
a equação seja individualmente satisfeita.
� O deslocamento total pode ser determinada por:
∫∑
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
L
x
x
i ii
ii
AE
dxP
AE
LP
0
ou δδ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.4.1 Barras com Cargas Axiais Intermediárias
EA – Rigidez Axial
P
2P
2P
L/3
L/3
L/3
P
P
P
+
+
-
Diagrama de Esforço Normal
1
2
3
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.4.1 Barras com Cargas Axiais Intermediárias
� Trecho 1: (alongamento)
� Trecho 2: (encurtamento)
� Trecho 3: (alongamento)
AE
LP
⋅
⋅
=
3
1δ
AE
LP
⋅
⋅
=
3
2δ
AE
LP
⋅
⋅
=
3
3δ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
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n
de
rle
i
2.4.1 Barras com Cargas Axiais Intermediárias
to)(alongamen barra na totalDeformação 
3
333
 321
→
⋅⋅
⋅
=
⋅⋅
⋅
+
⋅⋅
⋅
−
⋅⋅
⋅
=
++=
⋅
⋅
=∑
AE
LP
AE
LP
AE
LP
AE
LP
AE
LP
i ii
ii
δ
δ
δδδδ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.4.2 Barras com Trechos de Seções Transversais 
Diferentes ou Materiais Diferentes
E1A1 – Rigidez Axial do trecho 1
E2A2 – Rigidez Axial do trecho 2
nto)(encurtame 
11
1
1 AE
aP
⋅
⋅
=δ
P1
a
b
P2
1
2
P1
P1+P2
-
-
Diagrama de Esforço Normal
( )
nto)(encurtame 
22
21
2 AE
bPP
⋅
⋅+
=δ
( )
22
21
11
1
21 AE
bPP
AE
aP ⋅+
−
⋅
−=+= δδδ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.4.3 Barra com Seção Transversal e/ou Força 
Axial Variando Continuamente ao longo da Barra
E – Módulo de Elasticidade
∫∫
⋅
⋅
==
⋅
⋅
=
L
x
x
L
x
x
AE
dxP
AE
dxPd
00
dδδ
δ
L
dx
x dx
Px Px
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
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n
de
rle
i
2.4 Deformação de Barras Carregadas Axialmente
� Exemplo 1: Calcular a deformação de uma barra 
prismática submetida a uma força axial de 
tração, considerando a ação do peso próprio.
γ - massa específica do material
EA – rigidez axial da barra.
Esboço no quadro
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.4 Deformação de Barras Carregadas Axialmente
� Exemplo 2: Uma barra tronco-cônica, de 
diâmetro variando de 20cm a 40cm e 3m de 
comprimento, está sob a ação de 500kN de 
tração. Determine o alongamento da barra sendo 
E = 200GPa.
Esboço no quadro
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Estática) da equação (única PR 0 B =+∴=∑ Ay RF
B
P a
b
A
C
RB
RA
P
adoIndetermin nteEstaticame Sistema 
Incógnitas 2
Equação 1
⇒



Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
sVa
n
de
rle
i
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
� As equações de equilíbrio da estática são 
insuficientes para determinar as ações e reações da 
estrutura. ESTRUTURA ESTATICAMENTE 
INDETERMINADA.
� Adiciona-se às equações da Estática, equações 
suplementares que levam em conta as deformações
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
� Solução pelo Método das Forças:
� Considera-se uma das reações como redundante, ou 
seja, é desnecessária para o equilíbrio da estrutura.
� Adota-se dois sistemas:
� 1) Estrutura com carregamento e sem a reação 
redundante;
� 2) Estrutura apenas com a ação da reação 
redundante como um carregamento.
� A superposição dos dois sistemas deverá ser igual a 
estrutura analisada.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
B
P a
b
A
C
� Solução pelo Método das Forças:
� Exemplo: Escolhendo-se RA como redundante
B
P
A
C
B
A
RA
Sistema 1 Sistema 2
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
AE
LR
AE
bP A
⋅
⋅
=
⋅
⋅
−= 21 e δδ
B
P a
b
A
C
� Solução pelo Método das Forças:
� Nestas condições é possível calcular as deformações de cada 
sistema:
B
P
A
C
B
A
RA
Sistema 1 Sistema 2
δδδδ1
δδδδ2
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
� Solução pelo Método das Forças:
sistemas dois os entre idadecompatibil de Equação 
estrutura da final Deformação 0
21 ⇒+=
⇒=
δδδ
δ
� Compatibilizando as deformações de cada sistema com 
a estrutura real, chega-se a equação de compatibilidade 
dos deslocamentos;
� Como a estrutura real é engastada nas duas 
extremidades, a deformação final da estrutura é nula:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
� Solução pelo Método das Forças:
� Desenvolvendo a equação de compatibilidade dos 
deslocamentos:
L
bPR
AE
LR
AE
bP
A
A
⋅
=
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=+=
0-
021 δδδ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
� Solução pelo Método das Forças:
� Agora temos duas equações e duas incógnitas, tornando 
o sistema determinado:
L
aP
L
bLP
L
bPP
L
bP
L
bPRII
RI
A
A
⋅
=
−
⋅=
⋅
−=
=+
⋅
→




⋅
=
=+
B
B
B
B
R
)(R
PR
oDeterminad Sistema 
 )(
PR )(
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
� Exemplo 3: Para a estrutura abaixo, determine as 
reações nos apoios quando se aplica o carregamento 
indicado.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
� Exemplo 4: Para a estrutura abaixo, qual é a 
deformação total do conjunto.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
� Exemplo 5: Um pilar de concreto armado, seção 
quadrada de 25cm de lado e 2,80m de comprimento, não 
sujeito à flambagem, é armado com 4 barras 
longitudinais de ½” simetricamente colocadas. Determine 
as tensões no concreto e no aço para uma compressão 
axial de 400kN, adotando: Ea = 210GPa e Ec = 20GPa.
Esboço no quadro
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.6 Tensões Térmicas
� Em sistemas estruturais isostáticos não se considera as 
deformações provocadas pela temperatura, porque 
nestes casos, os elementos estruturais são livres para 
expandir-se ou contrair-se, não provocando tensões.
� Em sistemas estruturais estaticamente indeterminados, a 
expansão ou contração de um corpo pode ser restringida 
ou totalmente impedida, gerando tensões internas.
Isostática
∆∆∆∆T
δδδδT
Hiperestática
∆∆∆∆T
R
R
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.6 Tensões Térmicas
� Deformação devido a variação da temperatura:





=
=∆
=
→⋅∆⋅=∆=
barra da inicial ocompriment L
ra temperatude variação
 térmicadilatação de ecoeficient 
TLTLTT
α
αδ
� Deformação térmica específica:
T
L
TL
L
L
T
T
∆⋅=
∆⋅⋅
=
∆
=
αε
α
ε
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.6 Tensões Térmicas
� Tensão na barra devido ao acréscimo de temperatura ∆T.
EA – rigidez da barraL
� Estrutura estaticamente indeterminada: Método das forças
� 1- Inicialmente, suponha-se que a barra tenha uma das 
extremidades livres.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.6 Tensões Térmicas
� 2- Calcule as deformações devido: a) somente a atuação 
da temperatura; b) somente a reação redundante.
AE
LRLT RT
⋅
⋅
=⋅∆⋅= δαδ 
L
R
∆∆∆∆T
δδδδT
R
δδδδR
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.6 Tensões Térmicas
AET
AE
LRLT
RT
⋅⋅∆⋅=∴
⋅
⋅
=⋅∆⋅
=
αα
δδ
R 
� 3- Compatibilidade de deslocamentos:
� 4- Tensão na Barra:
EET
A
AET
A
R
T ⋅=⋅∆⋅=
⋅⋅∆⋅
==
εασ
α
σ
� Este resultado se aplica no caso de barra de seção 
transversal uniforme e material homogêneo.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.6 Tensões Térmicas
� Exemplo 6: Um tubo de cobre de 50cm de comprimento, 
área da seção transversal 20cm2, esta colocado entre 
dois cabeçotes de metal, os quais são ajustados por dois 
parafusos de aço com diâmetro de 20mm. Se o conjunto 
sofrer um aumento de temperatura de 40ºC, ache as 
tensões nos elementos.
Ec = 120GPa αc = 16,7x10-6/ºC
Ea = 210GPa. αc = 11,7x10-6/ºC
Tubo de 
Cobre
Parafusos de aço
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.7 Coeficiente de Poisson
� O alongamento produzido por uma força “P” na direção 
dessa força é acompanhado por uma contração em 
qualquer direção transversal.
� Por considerar o material homogêneo e isotrópico:
εy = εz � Deformação Específica Transversal
� O valor absoluto da relação entre a deformação 
específica transversal e a deformação específica 
longitudinal é o COEFICIENTE DE POISSON (ν) [nii]:
EE
Logo xzyxx
x
z
x
y
σ
νεε
σ
ε
ε
ε
ε
ε
ν
−==∴=
−=−=
 :
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.7 Coeficiente de Poisson
Exemplo 7: Para o material ensaiado a tração conforme 
ensaio descrito abaixo, determine o coeficiente de 
Poisson e o Móduo de Elasticidade Longitudianl.
d = 16mm
500mm
12kN
x
y
δx = 300µm
δy = -2,4µm
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.8 Generalização da Lei de Hooke
� Até o momento 
estudou-se 
cargas axiais 
atuando ao 
longo de um 
único eixo.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.8 Generalização da Lei de Hooke
� Analisando as tensões em um ponto da seção, vemos 
que σx= P/A, σy, = 0 e σz=0 :
σσσσy = 0
σσσσz = 0
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.8 Generalização da Lei de Hooke
� Se considerarmos carregamentos atuando nas três 
direções, carregamento multiaxial, (σx, σy, e σz ≠≠≠≠ 0);
� Um cubo de dimensões unitárias, após o carregamento 
se tornará um paralelepípedo de lados:
( )
( )
( )z
y
x
ε
ε
ε
+
+
+1
1
1(1+ε(1+ε(1+ε(1+εx )
σσσσx
(1+(1+(1+(1+εεεεy )
(1+(1+(1+(1+εεεεz )
σσσσx
σσσσz
σσσσy
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.8 Generalização da Lei de Hooke
� Pode-se escrever as deformações em função das 
tensões;
� Para isso, considera-se separadamente o efeito de cada 
componente de tensão, após superpõe-se os resultados 
(Princípio da Superposição);
� Hipóteses:
1) Cada efeito é diretamente proporcional a carga que o 
produz;
2) A deformação causada por qualquer dos carregamentos 
é pequena e não afeta as condições de aplicação dos 
outros carregamentos. 
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.8 Generalização da Lei de Hooke
εεεεx εεεεy εεεεz
σσσσx
σσσσy
σσσσz
E
xσ+
E
xσν−
E
xσν−
E
yσν−
E
yσ+
E
yσν−
E
zσν−
E
zσν−
E
zσ+
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.8 Generalização da Lei de Hooke
� Superpondo os resultados:
Hooke de Lei da çãoGeneraliza 









+−−=
−+−=
−−=
EEE
EEE
EEE
zyx
z
zyx
y
zyx
x
σσ
ν
σ
νε
σ
ν
σσ
νε
σ
ν
σ
ν
σ
ε
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.8 Generalização da Lei de Hooke
� Exemplo 8: O bloco de aço com dimensões de 80mm x 
60mm x 40mm, está submetido à ação de pressão 
uniforme em todas as faces. A variação de comprimento 
AB foi de -24µm. Determine:
a) Variação do comprimento das outras duas faces;
b) A pressão “p” aplicada nas faces do bloco.
Adotar E = 200GPa e ν = 0,29.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.9 Tensão e Deformação no Cisalhamento
ττττxy
ττττyx
2.9.1- Tensão de cisalhamento sobre planos ortogonais
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.9 Tensão e Deformação no Cisalhamento
� Para o equilíbrio do elemento, as tensões nos planos 
paralelos são numericamente iguais mas de sentidos 
opostos.
( ) ( )
( ) ( )
yxxy
xyzxyyzxyx
yzxyyzxyy
ddddddM
ddddF
ττ
ττ
ττ
=
=⋅−⋅=
=⋅−⋅=
∑
∑
0
0
0
� O equilíbrio do elemento só está garantido se as tensões 
de cisalhamento ocorrerem simultaneamente nas quatro 
faces do elemento.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.9.2 Deformação no Cisalhamento
� Sob a tensão das tensões de cisalhamento, o elemento 
se deforma do seguinte modo:
γγγγxy – Distorção ou Deformação de Cisalhamento(em radianos)
� A distorção é positiva quando reduz o ângulo entre x e y.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
2.9.2 Deformação no Cisalhamento
� Como não existem tensões normais, não há alteração 
de comprimento nos lados do elemento.
� Hipóteses:
� Pequenas deformações;
� Material elástico linear.
(Pascal) lTransversa deElasticida de Módulo G 
toCisalhamen o para Hooke de Lei 
→
→⋅= xyxy G γτ
Pr
o
f. 
R
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l D
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s 
Va
n
de
rle
i
2.9.2 Deformação no Cisalhamento
� O Módulo de elasticidade transversal é medido em 
laboratório pelo ensaio de torção de um tubo de seção 
circular.
� Experimentalmente, verificou-se que para os materiais 
dúcteis, a tensão de escoamento em cisalhamento é 0,5 
a 0,6 da tensão normal de escoamento.
( )ν
ν
+
=
12
EG
 e E G, entre laçãoRe
Pr
o
f. 
R
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l D
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i
2.9 Tensão e Deformação no Cisalhamento
� Exemplo 9: Um bloco com dimensões a=160mm, 
b=50mm e h=40mm, feito de material com G = 600MPa, 
é colocado entre duas placas horizontais rígidas. A placa 
inferior é fixada e a superior é submetida a força V. 
Sabendo-se que a placa superior se move d=0,8mm, 
determine: a) a deformação de cisalhamento no material; 
b) a força V.
Pr
o
f. 
R
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Va
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de
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2.10 Princípio de Saint-Venant
Pr
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Va
n
de
rle
i
2.10 Princípio de Saint-Venant
� Adotamos que as tensões normais são uniformemente 
distribuídas em qualquer seção transversal;
� Essa suposição não se verifica na vizinhança do ponto 
de aplicação da força.
� Princípio de Saint-Venant:
� Para as seções transversais a 
uma distância igual ou maior que 
“b” da extremidade da barra, a 
distribuição de tensões na seção 
é considerada uniforme e igual a 
σméd = P/A
b
b
b