2010 1S MF Gabarito Listas

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Exercícios da lista do Módulo 01
[05] Na figura ao lado, se o 
fluido é a glicerina a 20 C e a⁰ 
largura entre as placas é 6 mm, 
qual a tensão de cisalhamento 
necessária (em Pa) para mover 
a placa superior a 5,5 m/s? 
Qual é o número de Reynolds se a dimensão 
representativa é distância entre placas?
Dados: T = 20 C, ⁰ l=6mm , v=5,5m/ s , =? e 
Re=? ; glicerina=1,5N⋅s /m
2 ; 
glicerina=1264 kg /m
3
Calculando a tensão de cisalhamento:
= v
h
⇒=1,5⋅ 5,5
6⋅10−3
⇒ =1375 Pa
Lembre-se que a unidade pascal (Pa) equivale a 
Newton (N) dividido por metro ao quadrado (m²) → Pa 
= N/m².
Vamos calcular o número de Reynolds:
Re=⋅v⋅L ⇒Re=
1264⋅5,5⋅6⋅10−3
1,5
⇒ Re=28
Lembre-se que o número de Reynolds é adimensional 
(não apresenta dimensão). Tente provar isto 
trabalhando só com as unidades na equação anterior.
[06] Um bloco de peso P desliza 
para baixo em um plano inclinado 
enquanto é lubrificado por um filme 
fino de óleo, como mostra a figura 
ao lado. A área de contato do filme 
é A e sua espessura é h. 
Considerando uma distribuição linear de velocidade no 
filme, deduza uma expressão para a velocidade 
“terminal” (com aceleração igual a zero) v do bloco.
Partindo das Leis de Newton (somatório forças): 
F=P−FAplicada
A velocidade terminal ocorrerá quando o bloco assumir 
a queda livre, ou seja, quando o plano caminhar para o 
eixo y:
m⋅a=W⋅sen−⋅A⇒ 0=W⋅sen−⋅A⇒W⋅sen=⋅A
A força aplicada está concentrada na película de óleo 
(fluido) e assim, considerando o perfil linear de 
velocidade, a tensão de cisalhamento será:
=⋅
v
h
Retornando à primeira equação e aplicando a equação 
anterior:
W⋅sen =⋅
v
h
⋅A⇒ v=W⋅sen⋅h
⋅A
Uma placa fina é separada de duas placas fixas por 
líquidos muito viscosos (µ1) e (µ2), respectivamente, 
conforme a figura abaixo. 
Os espaços entre as 
placas (h1) e (h2) não são 
iguais, conforme a figura. A 
área de contato é A entre a 
placa central e cada fluido. Considerando uma 
distribuição linear de velocidade em cada fluido, 
deduza a força necessária para puxar a placa com 
velocidade v.
Considerando o somatório das forças: 
F=F 1F2⇒
F=1⋅A2⋅A⇒F=12⋅A⇒
F=1⋅vh1 2⋅vh2 ⋅A⇒
A correia da figura ao lado, move-se a uma velocidade 
constante v e desliza no topo de um tanque de óleo de 
viscosidade (µ), como 
mostramos. Considerando 
uma distribuição linear do 
perfil de velocidade no 
óleo, desenvolva uma fórmula simples para a potência 
(P) para acionar a correia como uma função de (h, L, v, 
b, µ). Qual a potência necessária P, em watts, se a 
correia move-se a 2,5 m/s em óleo SAE 30W a 20 C,⁰ 
com L = 2 m, b = 60 cm e h = 3 cm?
Partindo do conceito de potência:
P=

 t
=
F⋅d
 t
=F⋅
d
 t
=F⋅v⇒P=F⋅v
Calculando a potência, teremos:
P=F⋅v⇒P=⋅A⋅v⇒
Exercícios apresentados ao longo do semestre e que devem ser revistos para o EXAME. [AMB] 1
Lembre-se que a força deste sistema leva em conta a 
película de óleo e que a área está relacionada a correia 
(L xb). Assim:
⇒P=oleo⋅L⋅B⋅v⇒P=
⋅v
h
⋅L⋅B⋅v⇒
⇒P=⋅
v2
h
⋅L⋅B
Substituindo os dados apresentados na equação 
anterior, teremos a Potência:
Dados: v=2,5m /s ; L=2m ; b=60 cm ;
h=3 cm ; óleo SAE 30W– 200C=0,29 N⋅s/m
2
.
P=⋅

v2
h
⋅L⋅B⇒P=0,29⋅ 2,5
2
3⋅10−2
⋅2⋅60⋅10−2 ⇒
P=72,5W
Um disco de hóquei de mesa tem massa de 50 g e 9 
cm de diâmetro. Quando colocado sobre a mesa de ar, 
um filme de ar a 20 C de 0,12 mm de espessura se⁰ 
forma sob o disco. O disco é lançado a uma velocidade 
inicial de 10 m/s. Considerando uma distribuição linear 
de velocidade no filme de ar, quanto tempo decorrerá 
até o disco (a) atingir a velocidade de 1 m/s e (b) parar 
completamente? Além disso, (c) que distância, ao 
longo dessa mesa extremamente longa, o disco terá 
percorrido para a condição (a)?
Dados: v=10m/ s ; m=50 g ; =9cm ; T=20 C⁰
; h=0,12 mm .
(a) Encontrando o tempo t. Partindo do somatório das 
forças: 
∑ F x=−⋅A⇒m⋅a=−
v
h
⋅A⇒m⋅
d v
dt
=− 
v
h
⋅A⇒
Vamos isolar as variáveis similares e os dados que são 
constantes, chamaremos de k. Após, vamos integrar a 
função:
⇒ d v
v
=−⋅A
m⋅h
⋅dt⇒∫
0
v
d v
v
=−k∫
0
t
dt⇒ ln vv0
v =−k⋅t0
t ⇒
⇒e
ln
v
v0=e−k⋅t⇒ v
v0
=e−k⋅t⇒ v=v0⋅e
−k⋅t
Procurando o tempo, vamos considerar o espaço:
v=
dx
dt
⇒ dx=v⋅dt⇒ x=∫
0
t
v dt⇒ x=∫
0
t
v0⋅e
−k⋅t dt⇒
⇒ x=v0⋅
e−k⋅t
−k
⇒ x=
v0
k
⋅[1−e−k⋅t ]
Vamos calcular a constante k, para finalmente 
encontrar o tempo:
k=−⋅A
m⋅h
⇒k= 1,85⋅10
−5⋅⋅4,5⋅10−2 2
50⋅10−3⋅0,12⋅10−3
⇒k=0,0196s−1
v=v0⋅e
−k⋅t⇒ 1=10⋅e−0,0196⋅t⇒0,1=e−0,0196⋅t⇒
−0,0196⋅t=ln 0,1⇒ t=117,5 s
(b) Ao parar completamente:
v=v0⋅e
−k⋅t⇒ 0=10⋅e−0,0196⋅t⇒e−0,0196⋅t=0⇒
⇒t=∞
(c) Encontrando o espaço:
x=
v0
k
⋅[1−e−k⋅t]⇒ x= 10
0,0196
⋅[1−e−0,0196⋅117,5 t]⇒
x=459,2m
Exercícios apresentados ao longo do semestre e que devem ser revistos para o EXAME. [AMB] 2
Exercícios sobre Quantidade de Movimento Linear
1) Em uma tubulação há um cotovelo de reversão para 
que o fluido faça a volta de 180° antes de ser 
descarregado, como mostrado na figura. Ali ocorre um 
escoamento de água a uma taxa de 14 kg/s em um 
tubo horizontal ao mesmo tempo em que o acelera. O 
cotovelo descarrega água na atmosfera. A área da 
seção transversal do cotovelo é de 113 cm2 na entrada 
e de 7 cm2 na saída. A pressão manométrica de 
entrada é de 202,2 kPa. A diferença de elevação entre 
os centros das seções de entrada e saída é de 30 cm. 
Determinar a força de ancoragem necessária para 
manter o cotovelo no lugar
Considere: ρ = 1000kg/cm3
Aplicando a conservação da quantidade de movimento, 
considerando o escoamento permanente e 
incompressível:
∑ FBcampo∑
F Ssuperficie
= ∂
∂ t ∫VC
v⋅d∀∫
SC
v⋅⋅v⋅d A
F Sx=∫
SC
u⋅⋅v⋅d A⇒F Sx=−u1⋅⋅v⋅Au2⋅⋅v⋅A⇒
⇒Rxp⋅A1=−1,24⋅14−20,04⋅14⇒
⇒Rx=−297,92−p⋅A1⇒
Rx=−2582,8N
As velocidades utilizadas foram encontradas a partir da 
vazão:
Q=⋅v⋅A
u1=
Q
⋅A1
⇒ u1=
14
998⋅113⋅10−4
⇒u1=1,24m /s
u2=
Q
⋅A2
⇒u2=
14
998⋅7⋅10−4
⇒u2=−20,04m / s
A velocidade 2 apresenta sinal negativo pois a mesma 
está em sentido contrário.
2) A água é acelerada por um bocal a uma velocidade 
média de 20 m/s e atinge uma placa vertical fixa à taxa 
de 10 Kg/s. Após o choque, a corrente de água se 
espalha em todas as direções do plano da placa. 
Determine a força necessária para evitar que a placa 
se movimente horizontalmente devido à corrente de 
água.
Aplicando a conservação da quantidade de movimento, 
considerando o escoamento permanente e 
incompressível:
∑ FBcampo∑
F Ssuperficie
= ∂
∂ t ∫VC
v⋅d∀∫
SC
v⋅⋅v⋅d A
A força resultante será na horizontal e na superfície; 
assim:
F Sx=∫
SC
u⋅⋅v⋅d A⇒F Sx=u⋅⋅v⋅A
Aplicando-se todas as forças horizontais:
pATM⋅A−p ATM⋅ARx=u⋅⋅v⋅A⇒Rx=u⋅⋅v⋅A⇒
⇒Rx=10⋅20⇒ Rx=10⋅20
Note que as forças devido as pressões na equação 
anterior, são destinadas a pressão exercida na placa e 
sua força de reação. 
Exercícios apresentados ao longo do semestre e que devem ser revistos para o EXAME. [AMB] 3
4) Um jato d’água horizontal com 5 cm de diâmetro e 
velocidade de 18 m/s é aplicado horizontalmente a uma 
placa vertical de massa 1000 kg. A placa é mantida em 
um trilho quase se atrito e inicialmente está parada. 
Quando o jato atinge a placa, esta começa a se 
movimentar na direção do jato. A água sempre se 
espalha no plano da placaque se afasta. Determine:
(a) A aceleração da placa quando o jato a atinge 
(tempo = 0);
(b) O tempo necessário para que a placa atinja uma 
velocidade de 9 m/s;
Considere: ρ = 1000kg/m³
(a) Para encontrar a aceleração, devemos saber qual 
será a força aplicada pelo sistema, para após 
aplicarmos a 2a Lei de Newton. Assim, com o intuito de 
encontrar a força, vamos aplicar a conservação da 
quantidade de movimento, considerando o escoamento 
permanente e incompressível:
∑ FBcampo∑
F Ssuperficie
= ∂
∂ t ∫VC
v⋅d∀∫
SC
v⋅⋅v⋅d A
F S=∫
SC
u⋅⋅v⋅d A⇒
FRx=−u⋅⋅v⋅A (1)
A equação anterior apresenta sinal negativo pois, é a 
força de reação necessária para manter a placa no 
lugar. Entretanto, se esta é uma força de reação, a 
força presente na placa será positiva.
F Rx=−u⋅⋅v⋅A⇒F placa=u⋅⋅v⋅A⇒
F placa=18⋅[ 1000⋅18⋅⋅5⋅10−224 ]⇒F placa=636,2N
Com o valor da força, podemos encontrar a aceleração:
F=m⋅a⇒a= F
m
⇒ a=636,2
1000
⇒ a=0,636m / s2
(b) Vamos encontrar o tempo para a velocidade dada. 
Lembre-se:
a= dv
dt , ou simplesmente, a=
 v
t
 t= v
a
⇒ t= 9
0,636
⇒  t=14,2 s
5) Os bombeiro seguram um bocal na ponta de uma 
mangueira enquanto tentam apagar um incêndio. Se o 
diâmetro de saída do bocal é de 6 cm e a taxa de 
escoamento da água é de 5 m3/min, determine:
(a) A velocidade média de saída da água;
(b) A força de resistência horizontal necessária para 
que os bombeiros segurem o bocal.
Considere: ρ = 1000kg/m³
a) A velocidade de saída será dada pela equação da 
vazão:
Q=v⋅A⇒v=QA
⇒v=
5
60
⋅6⋅10−22
4
⇒ v=29,47m/ s
(b) A força realizada é na horizontal. Assim, vamos 
aplicar a conservação da quantidade de movimento, 
considerando o escoamento permanente e 
incompressível:
∑ FBcampo∑
F Ssuperficie
= ∂
∂ t ∫VC
v⋅d∀∫
SC
v⋅⋅v⋅d A
F S=∫
SC
v⋅⋅v⋅d A⇒
FRx=v⋅⋅v⋅A
F Rx=2455N
Exercícios apresentados ao longo do semestre e que devem ser revistos para o EXAME. [AMB] 4
9) Um tanque pressurizado de água tem um orifício de 
10 cm de diâmetro na parte inferior, onde a água é 
descarregada para a atmosfera. O nível de água está 3 
m acima da saída. A pressão do ar do tanque acima do 
nível de água é de 300 kPa (absoluta) enquanto a 
pressão atmosférica é de 100 kPa. Desprezando os 
efeitos do atrito, determine a vazão de descarga inicial 
da água do tanque.
Considere: ρ = 1000kg/cm3; g = 9,81 m/s2
 Aplicando a Equação de Bernoulli:
p1
 
v1
2
2
g⋅z1=
p2
 
v2
2
2
g⋅z2⇒
p1− p2
 g⋅z1−z2=
v2
2
2
⇒v2=2⋅[ p1−p2 g⋅ z1−z2 ]
⇒v2=2⋅[ 300⋅103−100⋅1031000 9,81⋅3 ]⇒
v2=21,42m /s
Lembre-se que quando trabalhamos com diâmetros 
muito diferentes, consideramos o discutido em 
reservatórios, onde assumimos a velocidade de 
superfície (1) igual a zero.
Agora vamos utilizar a equação da vazão:
Q=v⋅A⇒Q=21,42⋅⋅10⋅10
−22
4
⇒ Q=0,168m3/ s
15) Um cotovelo redutor é usado para defletir de 30° o 
escoamento de água a uma taxa de 14 kg/s em um 
tubo horizontal ao mesmo tempo em que o acelera. O 
cotovelo descarrega água na atmosfera. A área da 
seção transversal do cotovelo é de 113 cm2 na entrada 
e de 7 cm2 na saída. A diferença de elevação entre os 
centros da saída e da entrada é de 30 cm. O peso do 
cotovelo e da água que há neles são considerados 
desprezíveis. Determine:
(a) A pressão manométrica no centro da entrada do 
cotovelo;
(b) A força de ancoragem necessária para manter o 
cotovelo no lugar.
Considere: ρ = 1000kg/m3; g = 9,81 m/s2
(a) Aplicando a Equação de Bernoulli:
p1
 
v1
2
2
g⋅z1=
p2
 
v2
2
2
g⋅z2⇒
p1− p2=⋅[ v22−v122 g⋅z1−z2 ]⇒
p=1000⋅[ 202−1,2422 9,81⋅30⋅10−2 ]⇒
p=202,2 kPa
As velocidades utilizadas na equação acima foi 
encontrada da seguinte forma:
m˙=Qm=⋅v⋅A
v1=
Q
⋅A1
⇒v1=
14
998⋅113⋅10−4
⇒ v1=1,24m / s
v2=
Q
⋅A2
⇒v2=
14
998⋅7⋅10−4
⇒v2=−20,04m/ s
(b) Vamos calcular a força de ancoragem:
Observando a figura, podemos notar que o ponto 1 é 
um ponto de entrada (e assim assumirá o valor 
Exercícios apresentados ao longo do semestre e que devem ser revistos para o EXAME. [AMB] 5
negativo na equação posterior), enquanto o ponto 2 é 
um ponto de saída (assumindo valor positivo na 
equação posterior). Note ainda que o ponto 2 está 30⁰ 
inclinado em relação a horizontal. Quando estudarmos 
as forças horizontais e verticais, não podemos nos 
esquecer de decompor tais forças para o ponto 2. 
Assim, considerando o escoamento permanente e 
incompressível:
∑ FBcampo∑
F Ssuperficie
= ∂
∂ t ∫VC
v⋅d∀∫
SC
v⋅⋅v⋅d A
F S=∫
SC
v⋅⋅v⋅d A
Considerando a componente x (horizontal), teremos:
FRx p⋅A1=−v1⋅m˙ v2⋅m˙⇒
F Rx=−v1⋅m˙v2⋅cos⋅m˙− p⋅A1⇒
FRx=m˙⋅ v2⋅cos−v1− p⋅A1⇒
F Rx=14⋅20⋅cos30⁰−1,24 −202,2⋅10³⋅113⋅10
−4⇒
F Rx=−2060N
Considerando a componente z (vertical), teremos:
FRz−W=v2⋅m˙⇒FRz−W=v2⋅sen⋅m˙⇒
FRz−0=20 sen30⁰⋅14⇒ FRz=140N
Lembre-se que segundo o enunciado, o peso (W) será 
desconsiderado.
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