Gabarito da primeira prova de Fís 2016 06 08

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Gabarito da primeira prova de Fís. III 2016-1 
 
Q1 (30 pontos) Há duas cargas pontuais do mesmo valor q nas posições 1P e 2P 
com coordenadas cartesianas 
1 1 1 1P : 0x y z= = = e 
2P : 2
1(1 ) cm
2
x = − , 2
1
cm
2
y = , 2 0z = . 
(a) Desenhe as posições dos pontos 1P , 2P assim como a posição de um ponto P com 
coordenadas P P P1cm, 0x y z= = = no plano xy. (Desconsidere o eixo z!) 
 
Solução e pontuação: 
 (a) (5 Pontos) (Figura ao lado) 
 
(b) (20 Pontos) 
( ) 2 PP 3
1 P
i
i
i i
r rE r k q
r r=
−
=
−
∑
� �� �
� � 
temos 
1 0r =
�
, 2
1 1
ˆ ˆ1 cm cm
2 2
r i j = − + 
 
�
 
P
ˆ1cmr i=� 
Então obtemos com 1 2q q q= = : 
 
( )P 2
ˆ1cm
ˆ
cm
i
iE r kq= +
� �
1−
( )
{ }
3/ 2
3
2
9 2 2 1 9
2
4 4
1 1
ˆ ˆcm cm
2 2
1 1 cm2 2
1 1
ˆ ˆ1
cm 2 2
9 10 N m C 9 10 C 1 1
ˆ ˆ1
cm 2 2
N 1 1 N
ˆ ˆ ˆ ˆ10 1 10 1,707 0,707
C C2 2
i j
kq i j
i j
i j i j
× ×
− − −
  
− −    
= 
 +
  
  
= + − =  
  
  
= + − =  
  
  
= + − ≈ −  
  
 
(c) (5 Pontos) 
 ( )
2
4 4
P
N 1 N110 1+ 1,8478 10
2C 2 C
E r × = + ≈ 
 
� �
 
Erros de unidades custam 40% do item onde ocorre o erro. 
 
 
 
y
xP1
P2
P
Q2 (30 pontos) Uma casca hemisférica de raio r está 
carregada com carga positiva de densidade superficial dada 
por: ( ) 0 cosσ θ = σ θ , onde 0σ é uma constante positiva, e 
θ é a coordenada polar de um sistema de coordenadas 
esféricas com origem no centro do hemisfério, como 
mostrado na figura. (A beirada da casca fica no plano xy.) 
(a) Encontre o potencial elétrico na origem de coordenadas, 
tomando o potencial em pontos infinitamente distantes como zero; ( ) 0V ∞ = . (b) Uma 
partícula de massa m e carga q positiva é colocada na origem do sistema de 
coordenadas e largada a partir do repouso. A que velocidade a partícula tenderá quando 
se afasta muito da casca hemisférica? 
Solução e pontuação: 
(a) Supondo ( ) 0V ∞ = sabemos que a contribuição para o potencial fornecido por um 
elemento infinitesimal de carga qδ na distância r da origem é 
 ( )
0
10
4
qV
r
δδ =
piε
 
Então temos 
 ( )
0
10 (5 Pontos)
4
dqV
r
=
piε ∫
 
 ( ) ( )( )
2/ 2 2
0
0 0 0
cos sen10 (5 Pontos)
4
r d d
V
r
pi pi
θ= ϕ=
σ θ θ θ ϕ
=
piε ∫ ∫
 
 
( )
/ 2 2
0
0 0 0
1/ 2 2
0
0
0 cos sen
4
(5 Pontos)
4
rV d d
r
pi pi
θ= ϕ=
= = pi
σ
= θ θ θ ϕ
piε
σ
=
ε
∫ ∫
����������
 
Alternativa: como todos os elementos de carga têm a mesma distância do ponto onde 
queremos o valor do potencial, pode-se também calcular a carga total Q e usar 
( ) ( )00 / 4V Q r= piε . A carga total é 
 
/ 2 2
2 2
0 0
0 0
cos senQ r d d r
pi pi
= σ θ θ θ ϕ = σ pi∫ ∫ 
(b) A partícula de massa m e carga q colocada na origem possui a energia potencial 
( )0 0/ 4U Vq q r= = σ ε ( 5 pontos). A força repulsiva que atua na partícula tem direção e 
sentido do vetor ( )ˆk− . A partícula adquire uma velocidade com este mesmo sentido e 
esta direção. 
Quando a partícula se afasta muito da casca carregada, por conservação de energia, toda 
energia potencial é convertida em energia cinética: ( ) 20 0/ 4 / 2U q r mv= σ ε = � . (5 
pontos). Então segue 0
0
2
2
rqU
v
m m
σ
= =
ε
�
 (5 pontos) 
 
 
ϕ
θ
(r,θ,ϕ)
x
y
z
r
 
Q 3 (40 pontos) Considere um capacitor formado por um condutor maciço esférico de 
raio a e uma casca esférica concêntrica ao primeiro condutor, com raio interno b. 
Supondo uma carga Q+ no condutor interno e Q− no externo, calcule: 
(a) O campo elétrico para pontos com distância r do centro entre a e b; a r b< < . Use 
a simetria e a lei de Gauss! 
(b) A diferença de potencial entre os condutores. 
(c) A capacitância do conjunto. 
(d) Obtenha a capacitância do conjunto quando b → ∞ . Este limite mostra que uma 
esfera condutora pode ser vista como um capacitor. Sabendo que o nosso planeta tem o 
formato aproximado de uma esfera, com raio de aproximadamente 6380 km, calcule a 
capacitância da Terra. 
 
Solução e pontuação: 
Foram dados 3 pontos para os argumentos de simetria e 7 para a aplicação correta da lei 
de Gauss na letra (a). Os itens de (b) a (d) receberam 10 pontos cada. 
(a) Para uma distribuição de cargas com simetria esférica, o campo tem a forma 
 ( ) ( ) ( )ˆ, , ,rE r E r rθ ϕ = θ ϕ� (1) 
onde , ,r θ ϕ são coordenadas esféricas com a origem no centro das esferas de cargas. 
Com efeito, podemos fazer reflexões da distribuição de cargas por planos especulares 
que passam pela origem do sistema de coordenadas, sem alterar esta distribuição. Logo, 
o campo acompanha tal simetria de reflexão. Assim, escrevendo um campo elétrico 
arbitrário 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ, , , , , , , , , , ,rE r E r r E r E rθ ϕθ ϕ = θ ϕ θ ϕ + θ ϕ θ θ ϕ + θ ϕ ϕ θ ϕ� 
o refletimos por um plano que passa pela origem, que contém rˆ e ˆθ , e que fica 
perpendicular a ϕˆ . Nessa reflexão ( ) ( )ˆ, , ,E rϕ θ ϕ ϕ θ ϕ muda para ( ) ( )ˆ, , ,E rϕ− θ ϕ ϕ θ ϕ . 
Como o campo gerado pela distribuição com simetria esférica não muda nesta operação 
segue para este campo que ( ), , 0E rϕ θ ϕ = . Analogamente com um plano especular que 
contém a origem e os vetores rˆ e ϕˆ segue que ( ), , 0E rθ θ ϕ = . Além disso, a simetria 
de rotação implica que ( ), ,rE r θ ϕ não depende de θ e nem de ϕ . Então vale a 
fórmula (1). 
Para descobrir o valor de ( )rE r usamos agora a lei de Gauss. Usaremos como 
superfície Gaussiana uma superfície esférica de raio r centrada na origem. Denotamos 
esta superfície por 
r
V∂ . Escrevendo o elemento de superfície dS
�
 como ˆdS r dA=
�
 
sendo dA o elemento de área, temos 
 ( )
�
( ) ( )
ndepende de e 
2
i
ˆ 4
r r
r r
V V V
E dS E r dA E r dA E r r
θ ϕ
∂ ∂ ∂
⋅ = ⋅ = = pi∫∫ ∫∫ ∫∫
�� �
� � � 
Com a lei de Gauss esta expressão deve ser igual à carga contida na esfera 
r
V , dividida 
pela constante 0ε . Para a r b< < esta carga é a carga Q situada na superfície da 
esfera condutora de raio a. Então segue 
 ( ) 2
0
para
4r
QE r a r b
r
= < <
piε
 
e 
 ( ) ( )2
0
ˆ, , , para
4
QE r r a r b
r
θ ϕ = θ ϕ < <
piε
�
 
(b) 
 ( )� �2
0 0
0 0
ˆ ˆ
4 4
1 1
4 4
a b
a b
b a
bb b
r
dr dra a a
V V E d E d
Q QE r r d r d
r r
Q Q b a
b a ab
= =
− = − ⋅ = + ⋅ =
= ⋅ = ⋅ = − =
piε piε
− 
= − − = piε piε 
∫ ∫
∫ ∫
� �� �
� �
� �
� � 
(c) Capacitância: 
 0
.
0
4
4
def
a b
Q Q abC Q b aV V b a
ab
= = = piε
−
− −
piε
 
(d) 
 0 0lim 4 4esfera b
abC a
b a→∞
= piε = piε
−
 
No caso da Terra 
 
12 4C4 8,85 10 6380 km 7,10 10 F
VmTerra
C − −× × × ×= pi =