Números reais, Operações e Valor Absoluto

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Notas de aula 1 - Cálculo Diferencial e Integral 2014 
 
Parte 1 
 
1- Números Reais 
 
Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos números 
reais, os quais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta 
(orientada), a “reta real”: 
 
Vejamos agora alguns conjuntos de números reais nessa identificação: 
 
IN = {0, 1, 2, 3, . . . } (números naturais) está contido nos IR 
 
 
Z = { . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . } (números inteiros) está contido nos IR 
 
*/
a
Q a Z e b Z
b
 
   
 
(números racionais) está contido nos IR 
 
Temos ainda números reais que não são racionais. São os chamados números 
irracionais. 
Alguns exemplos: 
 Consideremos um triângulo retângulo cujos catetos medem 1: 
Do Teorema de Pitágoras, temos: 
a2 = b2 + c2 a2 = 1 + 1 a2= 2 a = √ 
 A razão entre o comprimento e o diâmetro de qualquer circunferência é 
constante. Essa razão é um número chamado . Considerando o 
comprimento da circunferência e r o seu raio, temos: 
 
 
 , ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2- Operações básicas em IR 
 
Existem em IR duas operações básicas: 
 
 
 
Essas operações possuem as seguintes propriedades: 
 
 
 
Consequências das propriedades: 
 
 Duas novas operações 
 
 para todo 
 Se , então ou 
 Cada possui um único inverso aditivo . 
Cada em possui um único inverso multiplicativo . 
 - = (-1). para todo 
 
 
 
 para todo em 
 Para todos , temos ( ( ( ( ( 
 Se então 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
Escreva as dízimas periódicas na forma de fração ordinárias: 
a) 0,7777.... 
b) 1,272727.... 
c) 0,232323..... 
 
3- Intervalos: 
São conjuntos infinitos de números reais. Dados dois números reais , 
definimos: 
 
( 
 Atenção: não são números reais. São apenas símbolos! 
Exemplos: 
Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo 
e a sua representação gráfica: 
a) 
b) 
c) 
 
 
 
d) ( ( 
e) ( ( 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4- Valor absoluto 
Dado qualquer número real x, definimos o valor absoluto de x (ou módulo de x), 
da seguinte forma: 
 
Geometricamente (na reta), o valor absoluto de um número real x é a distância de x 
até o 0 (zero). 
 
 
Propriedades: 
 
Exemplos 
1) Resolva as equações abaixo: 
a) |5x – 3| = 7 b) |7x -1| = |2x +5| 
d) |9x +7| = -7 d) |x – 5| = 1 – 2x 
2- Encontre os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades: 
a) |7x- 2| |
 
 
| 
b) |
 
 
| d) |x+3| 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
1- Resolva as equações abaixo em R: 
a) |5x-3| = 12 b) |-4+12x| = 7 
c) |2x – 3| = | 7x -5| d) |
 
 
| 
e) |
 
 
| f) |3x+2|= 5-x 
g) |9x|-11 = x h) 2x – 7 = |x| + 1 
 
2- Determine todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades 
abaixo e fazer a representação gráfica: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
 
3- Resolver as inequações abaixo: 
a) |x + 12| < 7 b) |3x - 4| 
c) |5 - 6x| d) |2x – 5| > 3 
 e) |6 + 2x| < |4 - x| f) |x + 4| |2x – 6| 
 g) |3x| > |5 – 2x| h) |
 
 
| 
 
 
 
 i) |
 
 
| j) 1< |x+2| < 4