1 fundamentos da matemática

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Leide Albergoni
Soraia Carise Prates 
Fundamentos da
matemática
Superintendente
Reitor
Pró-Reitor Acadêmico
Coordenadora Editorial
Coordenadora Pedagógica
Autoria
Supervisão Editorial
Análise de Conteúdo
Análise de Qualidade
Edição de Texto
Design Instrucional
Design de Atividades
Layout de Capa
Imagem de Capa
Edição de Arte
Diagramação
Design Gráfico
Estágio de Design Gráfico
Revisão
Prof. Paulo Arns da Cunha
Prof. José Pio Martins
Prof. Carlos Longo
Profa. Manoela Pierina Tagliaferro
Profa. Adriana Pelizzari
Profa. Leide Albergoni e Profa. Soraia Carise Prates
Josiane Cristina Rabac Stahl
Gilmar Tsalikis
Betina Dias Ferreira
Caroline Chaves de França e Igor Debiasi 
Luana Przybylovicz, Lucelí de Souza Fabro 
e Wagner Gonçalves da Silva
Ana Carolina Ciampi
Valdir de Oliveira
Ana Luiza Fernandes Marques 
Denis Kaio Tanaami
Regiane Rosa
Ana Luiza Fernandes Marques e Juliano Henrique
Guilherme Rufatto e Larissa Pires
Ana Raquel Cruz, Elizabeth Pinheiro, Fabiani Matos, 
Joanice de Moura Andrade, Júlia Laufer Barcellos 
e Marcos Ganzert
* Todos os gráficos, tabelas e esquemas são creditados às autoras, salvo quando indicada a referência.
Informamos que é de inteira responsabilidade das autoras a emissão de conceitos. Nenhuma parte desta publicação poderá 
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Ícones
Afirmação
Contexto
Biografia
Conceito
Esclarecimento
Dicas
Assista
Curiosidade
Exemplo
Sumário
Apresentação ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������8
As autoras ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������9
Capítulo 1
Conjuntos ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������11
1�1 Conjunto de números ������������������������������������������������������������������������������������������������11
1�2 Representações dos conjuntos ����������������������������������������������������������������������������������15
1�3 Subconjuntos �������������������������������������������������������������������������������������������������������������18
1�4 Igualdade �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������19
1�5 Operações com conjuntos �����������������������������������������������������������������������������������������20
1�5�1 União de conjuntos ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 20
1�5�2 Diferença entre conjuntos ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 21
1�6 Resolução de situações-problema�����������������������������������������������������������������������������23
1�7 Organização de elementos de um conjunto em representações estatísticas ������������26
1�7�1 Média aritmética, moda e mediana ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 26
1�7�2 Frequência e intervalos de classes ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 30
Referências ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������34
Símbolos e fórmulas ��������������������������������������������������������������������������������������������������������35
Capítulo 2
Operações matemáticas ��������������������������������������������������������������������������������������������������37
2�1 Operações básicas ������������������������������������������������������������������������������������������������������37
2�1�1 Adição e subtração ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 38
2�1�2 Multiplicação e divisão ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 40
2�2 Operações com frações ���������������������������������������������������������������������������������������������42
2�2�1 Adição e subtração de frações ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 43
2�2�2 Multiplicação de frações ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 49
2�2�3 Divisão de frações ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������51
2�3 Porcentagem e aplicações �����������������������������������������������������������������������������������������52
2�3�1 Descontos �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 56
2�3�2 Fator de aumento X Fator de diminuição �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 57
2�3�3 Acréscimos ou reduções sucessivos ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 63
2�4 Expressões numéricas �����������������������������������������������������������������������������������������������67
2�5 Potenciação e radiciação �������������������������������������������������������������������������������������������69
2�5�1 Potenciação ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 71
2�5�2 Radiciação ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������74
Referências ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������83
Símbolos e fórmulas ��������������������������������������������������������������������������������������������������������84
Capítulo 3
Conceitos fundamentais e expressões algébricas �����������������������������������������������������������85
3�1 Operações com expressões algébricas ���������������������������������������������������������������������88
3�1�1 Adição e subtração ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 88
3�1�2 Multiplicação e divisão ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 91
3�2 Produtos notáveis ������������������������������������������������������������������������������������������������������95
3�3 Fatoração �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������103
3�4 Simplificação �����������������������������������������������������������������������������������������������������������106
Referências ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������110
Símbolos e fórmulas ������������������������������������������������������������������������������������������������������111
Capítulo 4
Equações e inequações, frações e funções ��������������������������������������������������������������������113
4�1 Equações de 1�º grau �����������������������������������������������������������������������������������������������115
4�1�1 Equações literais ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 120
4�2 Inequações de 1�º grau ��������������������������������������������������������������������������������������������125
4�3 Equações de 2�º grau �����������������������������������������������������������������������������������������������129
4�4 Inequações de 2�º grau ��������������������������������������������������������������������������������������������141
4�5 Funções �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������150
45�1 Funções de 1�º grau (ou função afim) ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������153
45�2 Funções quadráticas (ou função polinomial do 2�º grau) ����������������������������������������������������������������������������������160
Referências ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������171
Símbolos e fórmulas ������������������������������������������������������������������������������������������������������172
A Matemática é uma invenção humana para compreender e expressar o mundo 
que nos cerca. Ela estuda quantidades, medidas, espaços, estruturas, entre outros, 
por meio do estabelecimento de padrões e deduções para precisar o mundo e aparece 
desde os primeiros registros da escrita no apontamento de quantidades, proporção de 
figuras, entre outros.
Em nosso cotidiano, ela está presente em cada ação, como na medição do tempo, 
na definição de nossas horas de sono, na medida de nossas roupas, na quantidade de 
alimentação, no preço de produtos, nos nossos movimentos físicos.
Nós somos objetos matemáticos, pois temos tamanho, forma, peso, massa, faze-
mos movimentos geométricos, somamos, subtraímos, dividimos, multiplicamos...
O objetivo deste livro é abordar as operações básicas da Matemática no cotidia-
no, com o intuito de desenvolver o raciocínio matemático nos leitores.
Apresentação
As autoras
A professora Leide Albergoni é Mestre em Política Científica e Tecnlógica pela 
Universidade Estadual de Campinas (2006), Especialista em Educação à Distância pela 
Universidade de Brasília (2008) e Bacharel em Ciências Econômicas pela Universidade 
Federal do Paraná (2004). 
Currículo Lattes:
<http://lattes.cnpq.br/2120747348796109>
Aos nossos pais e familiares pelo 
apoio e dedicação, que sempre nos 
impulsionam em direção à superação 
dos nossos desafios.
Aos nossos alunos, com os quais 
aprendemos e atualizamos 
constantemente a arte de ensinar.
As autoras 
A professora Soraia Carise Prates é Mestre em Educação nas Ciências pela 
Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (2005), Especialista 
em Tecnologia do Ensino de Matemática (2010) e Graduada em Licenciatura de 
Matemática (2001) e em Ciências Naturais (1994).
Currículo Lattes: 
<http://lattes.cnpq.br/1054513142043555>
Cada uma dessas seções pode ser chamada de conjunto, expressão utilizada para 
designar uma coleção de elementos, que podem ser números, objetos, nomes, adjeti-
vos etc. Os conjuntos têm como objetivo organizar elementos com características em 
comum e está presente em várias situações de nosso cotidiano.
Neste capítulo, vamos compreender os conceitos e as propriedades dos conjuntos.
1�1 O conjunto de números
Ao longo da história das civilizações, 
os seres humanos buscaram símbolos para 
representar certas situações, como os nú-
meros e as letras.
Inicialmente, os números surgiram 
com o estabelecimento de tribos em locais 
fixos, isto é, o fim dos grupos nômades, que 
passaram a criar animais e cultivar plantas. 
Um exemplo bastante abordado é a conta-
gem de animais em pastagem: o pastor colocava uma pedrinha em sua bolsa para cada 
ovelha do rebanho. Ao voltar do campo, para conferir se o rebanho estava completo, 
bastava tirar uma pedra da bolsa para cada ovelha identificada. Se sobrasse alguma pe-
dra, havia-se perdido uma ovelha. Se acabassem as pedras, o rebanho estava completo.
1 Conjuntos
Você já percebeu como os supermercados organizam os produtos nos corredo-
res ou nas seções? Podemos listar as seções de limpeza, produtos de higiene pessoal, 
grãos, temperos, hortifruti, carnes, utilidades domésticas, entre outros.
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Fundamentos da matemática 12
Com o início das civilizações e a com-
plexidade da contagem, os símbolos nu-
méricos foram inseridos nas mais diversas 
culturas, como chinesa, maia e árabe. Os 
números naturais foram os primeiros a ser 
criados e tinham como objetivo represen-
tar quantidades e substituir a operação das 
pedrinhas.
Conforme as sociedades realizavam 
transações comerciais, a necessidade de 
cálculos se intensificou e novos símbolos 
surgiram para atender às necessidades de 
operações de compra e venda. Assim, os 
números foram agrupados em um conjunto numérico, dos números inteiros, que tinha 
como objetivo indicar situações de ganho e perda. Os números positivos, acompanha-
dos do sinal de + (mais), representavam ganhos, e os números negativos, acompanha-
dos do sinal de – (menos), indicavam perdas.
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Um pastor levou 50 ovelhas para o campo pela manhã, mas voltou com apenas 30. Logo, per-
deu 20 ovelhas, isto é, das 50 ovelhas originais, 30 foram resgatadas e 20 perdidas.
José recebeu o salário de R$ 1.000,00, pagou contas no valor de R$ 750,00 e comprou um 
tênis novo no valor de R$ 300,00. Qual o saldo da conta de José? 1.000 – 750 – 300 = –50, ou 
seja, está devendo R$ 50,00 ao banco (–50).
Porém, as operações nem sempre re-
sultavam em números inteiros, e então foi 
criado o conjunto dos números racionais, 
que representavam tanto números inteiros 
quanto números decimais, isto é, partes de 
um inteiro com resultados decimais.
Uma caixa com 12 barras de chocolate deverá ser dividida entre 8 pessoas. Quantas barras se-
rão distribuídas para cada pessoa? A conta seria 12/8 = 1,5 barras. Ou seja, cada pessoa pega 
uma barra inteira e as 4 restantes são divididas ao meio.
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Fundamentos da matemática 13
Porém, algumas divisões não inteiras resultam em casas decimais com série in-
finita de algarismos que se repetem ou seguem uma sequência, finalizada com reti-
cências para indicar que há mais algarismos. A esses números com casas decimais se 
repetindo indefinidamente damos o nome de dízima periódica.
Uma laranja dividida entre 3 pessoas resultará em uma dízima de 0,33333333333... Doze barras 
de chocolate divididas em 11 partes resultam em 1,09090909...
Com o desenvolvimento científico, matemáticos como Pitágoras, começaram a 
explorar as propriedades numéricas e identificaram outra categoria de números, deno-
minada de números irracionais, aqueles com dízimas não periódicas, ou seja, números 
infinitos que não formam períodos de números ou sequências iguais.
Pitágoras (570-500 a.C.) foi um matemático grego que nasceu em Samos, uma ilha na costa 
que hoje é a Turquia. Pitágoras aprendeu Matemática com Tales (624-546 a.C.), considerado o 
fundador da Matemática grega. Embora tenha dado muitas contribuições, a mais famosa é o 
Teorema de Pitágoras, utilizado para calcular os lados de um triângulo.
O exemplo mais conhecido é o π (pi), 
que representa adivisão entre uma circun-
ferência e seu diâmetro, com o valor apro-
ximado de 3,1415926. Com a ajuda dos 
computadores, conhecemos 10 milhões de 
casas, mas há muito mais. A relação cir-
cunferência/diâmetro é igual para todas as 
circunferências, já que há uma proporcio-
nalidade entre essas medidas.
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 S
ha
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Circunferência
Circunferência
Diâmetro
Diâmetro
π =
Representação do π�
D
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 P
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Fundamentos da matemática 14
Para representar e organizar todos os números em um único conjunto, foi criado 
o conjunto dos números reais, que engloba todos os tipos de números. 
O conjunto dos números reais contém o dos números irracionais e o dos números 
racionais, que por sua vez contém o conjunto dos números fracionários e o dos núme-
ros inteiros, o qual contém o conjunto dos inteiros negativos, o conjunto formado pelo 
zero e o dos números naturais (positivos).
Para maior entendimento, observe a imagem a seguir, que representa a dimensão 
de cada classificação de número.
Representação dos conjuntos numéricos�
William Shanks, matemático amador inglês, calculou 707 casas decimais do pi à mão, em 1873, 
porém cometeu um erro na 527.ª casa, que só foi descoberto em 1944 (MEC, 2004).
D
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G
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R (reais) 
inteiros – Z
naturais – N 
3 110
–2 –35
racionais – Q
1,7324... é 
um número 
irracional e real.
34
10
I – irracionais 
1,7324...
√2
√6
π
– 0,333...
0,5
– 0,333... é 
um número 
racional e real.
– 35 é um 
número inteiro, 
racional e real.
110 é um 
número 
natural, inteiro, 
racional e real.
Fundamentos da matemática 15
a Loja de peças de automóveis
e Loja de eletrodomésticos
i Loja de informática
o Loja de objetos de decoração
u Loja de utilidades domésticas
Em nosso cotidiano, podemos observar as classificações em:
• um quilo de carne é um número natural, inteiro, racional e real;
• 1,67 m de altura é um número racional e real;
• o saldo negativo de uma conta-corrente em reais é um número inteiro, racional 
e real e pode ser representado, por exemplo, por –R$ 150,00 (menos cento e 
cinquenta reais).
Na prática, fazemos pouco uso das classificações dos números, porém as usamos 
constantemente.
1�2 Representações dos conjuntos
Para expressar um grupo de elementos 
em forma de conjuntos, utilizamos símbolos 
e taxonomias padronizadas.
Esses símbolos passaram a ser cada vez 
mais utilizados a partir da segunda metade 
do século XX, com a chamada Matemática 
Moderna, que se apoiava na linguagem dos 
conjuntos, criada por Georg Cantor. 
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 m
ad
pi
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Georg Cantor (1845-1918), criador da linguagem dos conjuntos, nasceu na Rússia, embora seus 
pais fossem dinamarqueses. Passou a maior parte de sua vida na Alemanha, onde estudou 
Filosofia, Física e Matemática.
Vamos começar com um exemplo: na Rua X, há o seguinte grupo de lojas:
Para representar o conjunto de lojas da rua, usamos uma letra maiúscula para 
identificá-lo, neste caso X, que é o nome da rua, e os elementos em letras minúsculas, 
neste caso a inicial do tipo de loja, conforme modelo:
Lojas da Rua X = (automóveis, eletrodomésticos, informática, objetos, utilidades)
X = {a,e,i,o,u}
Fundamentos da matemática 16
Certos conjuntos cujos elementos são números que guardam entre si algumas 
características comuns são denominados conjuntos numéricos.
Os elementos que fazem parte de um conjunto pertencem a esse conjunto.
Agora, vamos considerar alguns conjuntos formados por números. Chamamos de 
A o conjunto dos divisores de 24, de B o conjunto dos divisores de 40 e de C o conjunto 
dos divisores de 12.
A = {1,2,3,4,6,8,12,24} 
B = {1,2,4,5,8,10,20,40} 
C = {1,2,3,4,6,12}
Quando um número é elemento de um conjunto, dizemos que esse número per-
tence ao conjunto:
• 3 é divisor de 24  3 pertence ao conjunto A ou 3  A.
• 8 é divisor de 40  8 pertence ao conjunto B ou 8  B.
Do mesmo modo, dizemos que um número não pertence ao conjunto quando 
esse número não faz parte de um conjunto:
• 3 não é divisor de 40  3 não pertence ao conjunto B ou 3  B.
• 8 não é divisor de 12  8 não pertence ao conjunto C ou 8  C.
Veja como podemos representar os conjuntos A, B e C por meio de diagramas, 
chamados de Diagramas de Venn.
Fundamentos da matemática 17
Note que todos os elementos do conjunto C são também elementos do A. Nesse 
caso, dizemos que o conjunto C está contido no A ou C  A.
Podemos notar também que, embora o conjunto C possua elementos comuns 
com o B, nem todos os elementos de C são elementos de B. Nesse caso, dizemos que C 
não está contido em B ou C  B.
Representação de conjuntos no Diagrama de Venn�
O conjunto C está contido no conjunto A se todos os elementos de C fazem parte de A.
O conjunto formado pelos elementos comuns a dois ou mais conjuntos recebe o 
nome de conjunto intersecção. De acordo com o diagrama, podemos observar que os 
números 1, 2 e 4 estão tanto no conjunto B como no conjunto C, ou seja, 1, 2 e 4 per-
tencem à intersecção de B com C, que pode ser representada da seguinte forma:
B  C = {1,2,4}
Considerando todos os elementos do conjunto A e todos os elementos de B, po-
demos formar um conjunto chamado união de A com B, que pode ser representado da 
seguinte forma:
A intersecção entre dois conjuntos é formada pelos elementos que pertencem a ambos.
A  B = {1,2,3,4,5,6,8,10,12,20,24,40}
A união entre os conjuntos A e B é formada por todos os elementos de A e de B.
12
3
1
8
5
10
2024
B
A
C
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2
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Fundamentos da matemática 18
Observe a representação das relações entre os conjuntos.
Relações entre conjuntos�
12
3
1
8
5
10
B  C
A  B
24  B
C  A
2024
B
A
C
40
2
4
6
Embora pareça estranho, na Matemática há um conjunto especial que não possui 
nenhum elemento. Esse conjunto é chamado conjunto vazio e é representado por  
ou { }. Logo, uma cesta de pães vazia é .
1�3 Subconjuntos
Quando um grupo de elemen-
tos faz parte de um conjunto, que 
por sua vez, juntamente com ou-
tros elementos ou grupo de outros 
elementos, forma outro conjunto, 
chamamos os grupos menores de 
subconjuntos. 
Se todos os elementos de um 
conjunto A pertencem a um segun-
do conjunto B, então o primeiro conjun-
to está contido no segundo conjunto, isto 
é, A é um subconjunto de B. A relação só é 
verdadeira se todos os elementos de A fizerem 
parte de B.
Exemplo: todo paranaense é brasileiro�
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Fundamentos da matemática 19
Considere P conjunto dos paranaenses e B conjunto dos brasileiros.
B
P
Indicação: P está contido em B ou P é subconjunto de B  P  B. 
Por outro lado, se temos um grupo de elementos de um conjunto C que não faz 
parte do conjunto P, então temos uma negação.
Negação: cariocas não são paranaenses, ou seja, cariocas não estão contidos no 
conjunto de paranaenses  cariocas  paranaenses. 
A é subconjunto de B se todos os elementos de A fizerem parte de B.
1�4 Igualdade
Podemos fazer algumas relações entre dois conjuntos diferentes e entre um con-
junto e o elemento de outro conjunto. Essas relações apresentam características espe-
cíficas e representações próprias. Consideremos a seguinte situação:
Considere os conjuntos M = {1, 2} e N = {1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2}. 
Observe que os dois conjuntos têm apenas dois elementos cada 
um, e exatamente iguais(1 e 2). A quantidade de vezes que o ele-
mento aparece no conjunto não é levada em consideração. Então, 
temos que M = N.
Dois ou mais conjuntos são iguais quando apresentam os mesmos elementos, em qualquer 
ordem, independentemente da quantidade de vezes que se repetem em cada conjunto.
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G
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Fundamentos da matemática 20
Observe outro exemplo.
Cesta A = {maçã, banana, maçã, maçã, banana, banana, banana}
Cesta B = {maçã, banana}
Logo, o conjunto da cesta B é igual ao conjunto da cesta A, pois ambos têm banana 
e maçã: cesta A = cesta B. No caso, não importa quantas vezes o elemento se repete no 
conjunto, desde que sejam os mesmos.
1�5 Operações com conjuntos
Em determinadas situações, precisamos realizar operações de conjuntos de ele-
mentos diferentes. Veremos a seguir as operações de união e diferença de conjuntos.
1�5�1 União de conjuntos
Sejam os conjuntos A = {boneca, urso, carrinho, robô} e B = {bicicleta, skate, patins, 
prancha}.
Vamos determinar um conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A, 
ou a B ou a ambos:
O conjunto C, assim formado, é chamado união de A e B, que contém todos os 
elementos que pertencem a A e B.
Designamos a união de A e B por A  B (lê-se: A união B).
A  B = {x I x  A ou x  B}
O conjunto A  B é formado por elementos presentes no conjunto A e no conjunto B.
A união de B é igual a x, tal que x pertence a A ou x pertence a B.
A = {boneca, urso, 
carrinho, robô}
B = {bicicleta, skate, 
patins, prancha}
C = {boneca, urso, 
carrinho, robô, bicicleta, 
skate, patins, prancha}
D
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Fundamentos da matemática 21
1�5�2 Diferença entre conjuntos
A diferença entre dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que perten-
cem a A, mas não pertencem a B, isto é: A – B = {x I x  A e x  B} (lê-se: A menos B é 
igual a x, tal que x pertence a A e x não pertence a B).
Designamos a diferença entre A e B por A – B (lê-se: A menos B).
Consideremos os conjuntos A – vegetais com vitamina C = {pepino, aspargo, 
couve, cenoura, alho} e B – vegetais com os quais se pode fazer suco = {couve, cenoura, 
alface, tomate}.
Vamos formar um conjunto C com os elementos que pertencem a A, mas não 
pertencem a B, ou seja, vegetais com vitamina C com os quais não se pode fazer suco.
O conjunto C, assim formado, é chamado diferença entre A e B.
Em diagrama:
A – B é formado pelo conjunto de elementos presentes somente em A, e ausentes em B.
A = {pepino, aspargo, 
couve, cenoura, alho}
B = {couve, cenoura, 
alface, tomate}
C = {pepino, aspargo, 
alho}
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Pepino
Aspargo
Alho
Couve
Cenoura
Alface
Tomate
A – B
D
es
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co
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Fundamentos da matemática 22
Observação:
Se B  A (está contido em A), a diferença A – B determina-se complementar de 
B em relação a A, e se indica CAB (lê-se complemento de B em relação a A).
Exemplo:
CAB = A – B
Vamos considerar o conjunto de disciplinas da segunda-feira como A = 
{Matemática, Ciências, História, Português, Geografia} e B o conjunto de disciplinas da 
terça-feira B = {Português, Matemática}.
Nesse caso, o complemento de B em relação a A, isto é, as disciplinas que faltam 
na terça-feira para completar a grade são {Ciências, História, Geografia}. Nesse caso, 
CAB = A – B. 
O total de disciplinas CAB = A – B =
Por diagrama, temos:
Ciências
História
Geografia
Matemática
B
A
Português
CAB é a área sombreada
O complementar de B em relação a A é o que falta para o B ficar igual ao A.
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Fundamentos da matemática 23
1�6 Resolução de situações-problema
Certa universidade apresenta 560 alunos no curso de Processos Gerenciais. 
Sabendo-se que 230 deles estudam Matemática Financeira, 120 estudam Raciocínio 
Lógico e 40, as duas matérias, responda às questões.
Resolução
Observe que:
n (PG) = número total de alunos = 560.
n (MF) = número de alunos que estudam Matemática Financeira = 230.
n (RL) = número de alunos que estudam Raciocínio Lógico = 120.
n (MF  RL) = número de alunos que estudam Matemática Financeira e Raciocínio 
Lógico = 40.
Quantos alunos estudam apenas Matemática Financeira 
(estudam Matemática Financeira, mas não Raciocínio 
Lógico)?
A
 
Quantos alunos estudam apenas Raciocínio Lógico 
(estudam Raciocínio Lógico, mas não estudam Matemática 
Financeira)?
B
Quantos alunos estudam Matemática Financeira ou 
Raciocínio Lógico?
C
Quantos alunos não estudam as duas matérias?D
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: L
ar
is
sa
 P
ir
es
Fundamentos da matemática 24
Representação da situação-problema com diagrama:
Respostas
a. Se 230 alunos estudam Matemática Financeira e 40 deles estudam Matemática 
Financeira e Raciocínio Lógico, então o número de alunos que estudam apenas 
Matemática Financeira é 230 – 40 = 190.
b. Se 120 alunos estudam Raciocínio Lógico e 40 alunos estudam Matemática 
Financeira e Raciocínio Lógico, então o número de alunos que estudam 
Raciocínio Lógico é 120 – 40 = 80.
c. Se 190 alunos estudam apenas Matemática Financeira, 80 estudam apenas 
Raciocínio Lógico e 40 estudam Matemática Financeira e Raciocínio Lógico, 
então o número de alunos que estudam Matemática Financeira e Raciocínio 
Lógico é 190 + 80 + 40 = 310.
d. Se o curso de Processos Gerenciais tem 560 alunos e 310 deles estudam 
Matemática Financeira ou Raciocínio Lógico, então o número de alunos que 
não estudam as duas matérias é: 560 – 310 = 250.
Sejam os conjuntos 
A = {0,1,2, 3, 4, 5} e 
B = {1, 3, 5, 7, 9} 
Sendo n (A) = número de elementos de A; n (B) = número de elementos de B; 
n (A  B) = número de elementos de A  B e n (A  B) = número de elementos de A  B, 
mostre que: 
n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B)
Número de elementos de A união de B = número de elementos de A + número de 
elementos de B – número de elementos de A intersecção de B.
230 – 40 = 190 40 120 – 40 = 80
MF RL
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: L
ar
is
sa
 P
ir
es
Fundamentos da matemática 25
Resolução
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}  n (A) = 6, isto é, A tem 6 elementos.
B = {1, 3, 5, 7, 9}  n (B) = 5, isto é, B tem 5 elementos.
A  B = {1, 3, 5}  n (A  B) = 3. Em comum, ambos têm os elementos 1, 3 e 5.
A  B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}  n (A  B) = 8. Unindo os dois conjuntos sem repetir 
elementos, temos 8 elementos.
Então:
Número de elementos da união de A e B = número de elementos de A + número 
de elementos de B – número de elementos de A interseção de B.
Podemos generalizar essa relação por meio da observação do diagrama.
n (A  B) n (A)= + n (B) n (A  B)
A
A
B
B
(A  B)
A B
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: L
ar
is
sa
 P
ir
es
n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B)
8 = 6 + 5 – 3
8 = 11 – 3
 8 = 8
Fundamentos da matemática 26
Note que n (A  B) foi somado duas vezes: uma quando tomamos n (A) e outra 
quando tomamos n (B). Daí a necessidade de subtrair uma vez n (A  B).
1�7 Organização de elementos de um conjunto em 
representações estatísticas
Em muitos casos, além das operações que realizamos com os conjuntos, preci-
samos extrair dados do conjunto de elementos e representá-los de forma organizada. 
Para isso, fazemos uso de operações estatísticas simples, que são média, moda, me-
diana, gráficos e intervalo de classes e de frequência.
1�7�1 Média aritmética, moda e mediana
Nos textos a seguir, estão representadasalgumas informações coletadas de revis-
tas de circulação nacional.
À espera de justiça
No Brasil, um processo já demora em média doze anos para terminar.
LIMA, M. À Espera de Justiça. Veja, ed. 1836. São Paulo: Abril, 2004.
O preço da água
No semiárido brasileiro, chove 600 milímetros por ano, média idêntica à da cidade 
de Berlim, na Alemanha.
BAHÉ, M. O Preço da Água. Época, ed. 322. Rio de Janeiro: Globo, 2004.
Notas do Enem
O Programa Universidade para Todos (ProUni) e a maioria dos vestibulares e pro-
cessos seletivos do Brasil são feitos por meio do Sistema de Seleção Unificada 
(SiSU). No caso do ProUni, para concorrer às bolsas de estudo, é preciso que a 
média seja pelo menos de 400 pontos, sem que a redação seja zerada, além dos 
pré-requisitos de renda. A média simples é calculada somando as notas das cinco 
provas, incluindo a redação, e dividindo por cinco. A complexa é quando uma uni-
versidade estabelece peso para cada uma das provas, assim a média seria a soma 
das cinco notas dividida pela soma dos pesos.
LESME, A. Como Calcular a Média do Enem? Brasil Escola. Disponível em: <http://
vestibular.brasilescola.com/enem/como-calcular-media-enem.htm>. Acesso em: 
26/08/2014. (Adaptado).
Fundamentos da matemática 27
Muitas vezes, encontramos informações como as mostradas anteriormente, que 
apresentam média aritmética, com o objetivo de resumir informações e apresentar 
alguns valores que representam um conjunto de dados. 
Para entendermos melhor o conceito de média, vamos utilizar como exemplo o 
rol a seguir. Nele, está indicada a massa, em quilograma, dos alunos de uma turma de 
Educação Física.
42,8 43,8 45,0 45,8 49,3 59,8
42,9 44,3 45,1 46,1 49,4 60,3
43,1 44,3 45,3 48,3 49,8 61,4
43,2 44,3 45,3 48,3 49,8 63,0
43,5 44,3 45,5 48,3 52,0
43,6 44,3 45,6 48,5 53,3
43,8 45,0 45,7 49,0 55,0
A média aritmética (Me) é o quociente obtido ao se dividir a soma dos valores da 
variável pela quantidade de valores, ou seja:
A média aritmética (Me) das massas dos alunos de Educação Física pode ser 
calculada somando todas as massas indicadas no rol (sequência ordenada dos dados) e 
dividindo o resultado pela quantidade de alunos.
Assim, podemos concluir que a massa média dos alunos de Educação Física é 47,9 kg.
Observando o rol referente à massa dos alunos, podemos notar também que o va-
lor que ocorreu com maior frequência foi 44,3 kg, que aparece 5 vezes na lista. Esse valor 
é chamado moda (Mo).
Quando há duas modas na amostra, chamamos de bimodal. Se não há moda, a amostra é 
amodal. Ao se ter mais de duas modas em algumas amostras, chamamos de multimodal.
 soma dos valores da variável 
quantidade de valores
Me =
1868,1
39
ME = 
42,8 + 42,9 + 43,1 + 43,2 + 43,5 + 43,6 + 43,8 + 43,8 + 44,3 + 44,3 + 44,3 + 44,3 + 44,3 + 45 + 45 + 45,1 + 45,3 + 45,3 + 45,5 + 
45,6 + 45,7 + 45,8 + 46,1 + 48,3 + 48,3 + 48,3 + 48,5 + 49 + 49,3 + 49,4 + 49,8 + 49,8 + 52 + 53,3 + 55 + 59,8 + 61,4 + 63,0
= 
= 47,9
Fundamentos da matemática 28
Também podemos encontrar o valor que ocupa a posição central desse conjunto 
de dados, chamado de mediana. A mediana (Md) é o valor que ocupa a posição central 
em uma sequência de valores quando estes estão organizados em ordem crescente ou 
decrescente.
Para encontrar a posição da mediana em um conjunto com quantidade ímpar de 
elementos, pode ser efetuado o cálculo a seguir.
Usamos a letra n para indicar a quantidade de elementos de um conjunto de da-
dos. Logo, podemos expressar a posição da mediana como:
No conjunto de dados das massas, a mediana é dada por:
O valor que está na posição 20 é 45,6 kg, lendo a tabela coluna a coluna.
Se a quantidade de valores é par, podemos calcular a mediana por meio da média 
aritmética dos dois valores centrais. Se, por exemplo, no rol de massas da academia ti-
véssemos mais um valor ao final da lista, por exemplo, 64 kg, a mediana seria:
42,8 43,8 45,0 45,8 49,3 59,8
42,9 44,3 45,1 46,1 49,4 60,3
43,1 44,3 45,3 48,3 49,8 61,4
43,2 44,3 45,3 48,3 49,8 63,0
43,5 44,3 45,5 48,3 52,0 64,0
43,6 44,3 45,6 48,5 53,3
43,8 45,0 45,7 49,0 55,0
 quantidade de valores + 1 
2
Posição da mediana =
 n + 1 
2
Posição da mediana =
 39 + 1 
2
= 20
Md = = 45,65
 45,6 + 45,7 
2
Fundamentos da matemática 29
Outro conceito bastante utilizado é a amplitude, que representa a diferença en-
tre o primeiro e o último elemento da amostra e tem como objetivo mostrar quanto os 
elementos extremos da amostra se afastam da média. 
Vamos verificar o conjunto a seguir, que representa a idade dos alunos de um gru-
po de estudos.
A = {19, 20, 21, 22, 22, 23, 52}
Nesse caso, a média de idade é 179 ÷ 7 = 25,57.
Ocorre que essa idade não representa corretamente a idade do grupo, já que a 
maior parte dos alunos tem em torno de 21 anos. Assim, uma informação importante 
seria informar que a amplitude da idade do grupo é de 52 – 19 = 32 anos.
Nesse caso, temos então uma média inferior à amplitude, o que nos ajuda a com-
preender melhor as características do grupo.
Um uso bastante frequente do conceito de amplitude é na comparação de temperaturas míni-
mas e máximas de um mesmo dia, isto é, a amplitude térmica. Em Curitiba, por exemplo, é co-
mum a amplitude térmica ser o dobro da mínima, ou seja, mínima de 6ºC e máxima de 16ºC, 
com amplitude térmica de 10ºC.
A seguir, a representação dessas medidas de tendência central encontradas na ta-
bela original.
42,8 43,8 45,0 45,8 49,3 59,8
42,9 44,3 45,1 46,1 49,4 60,3
43,1 44,3 45,3 48,3 49,8 61,4
43,2 44,3 45,3 48,3 49,8 63,0
43,5 44,3 45,5 48,3 52,0
43,6 44,3 45,6 48,5 53,3
43,8 45,0 45,7 49,0 55,0
Sendo: 
Me
Mo
Md
Fundamentos da matemática 30
1�7�2 Frequência e intervalos de classes
Além de calcular as informações resumidas de um conjunto, organizamos os da-
dos em rol, em intervalo de classes e calculamos frequência de ocorrência de cada ele-
mento, para representar o conjunto de elementos de forma mais abrangente.
Uma empresa realizou uma pesquisa com o objetivo de verificar o nível de escola-
ridade de seus funcionários.
Na tabela, estão indicados os resultados.
Nível de escolaridade dos funcionários da empresa
Nível de escolaridade Quantidade de funcionários
Ensino Fundamental 9
Ensino Médio 24
Ensino Superior 21
Pós-Graduação 6
Total 60
A primeira coluna dessa tabela apresenta o nível de escolaridade dos funcionários 
da empresa. Nessa pesquisa, “nível de escolaridade” é chamado variável estatística.
A segunda coluna apresenta a quantidade de funcionários referentes aos níveis de 
escolaridade. Cada um desses números é chamado frequência absoluta ou simplesmen-
te frequência (f).
Quando os dados são apresentados dessa forma, recebem o nome de distribuição 
de frequência.
Podemos completar essa tabela, calculando a porcentagem da frequência absolu-
ta em relação ao total de funcionários dessa empresa. Cada um desses valores é cha-
mado frequência relativa (fr) e pode ser calculado da seguinte forma:
©
 s
cu
si
 / 
/ F
ot
ol
ia
• fr é a frequência relativa
• f é a frequência absoluta
• n é o número total de ocorrências
 f 
 n 
fr = . 100
Fundamentos da matemática 31
Nível de escolaridade dos funcionários da empresa
Nível de escolaridade Frequência (f) Frequência relativa (fr)
Ensino Fundamental 9 15%
Ensino Médio 24 40%
Ensino Superior 21 35%
Pós-Graduação 6 10%
Total 60 100%
Podemos também representar os dados graficamente, em gráfico de pizza, no 
qual a soma de cada parte totaliza 100%.
Para obter essa frequência, partimos de um conjunto de dados brutos, conforme 
o exemplo a seguir.
A professora de Educação Física de uma escola mediu a altura, em metros, de 41 
alunos. No quadro, estão indicados os dados obtidos.
1,45 1,48 1,47 1,53 1,56 1,671,50 1,47 1,56 1,59 1,50 1,62
1,62 1,60 1,67 1,65 1,63 1,57
1,70 1,51 1,68 1,54 1,58 1,71
1,58 1,64 1,62 1,62 1,69 1,59
1,59 1,59 1,59 1,56 1,58 1,62
1,60 1,53 1,69 1,50 1,60
Nível de escolaridade dos funcionários da empresa
Ensino Médio 
40%
Ensino Superior 
35%
Ensino 
Fundamental 
15%
Pós- 
-graduação 
10%
D
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ig
n 
G
rá
fi
co
: L
ar
is
sa
 P
ir
es
Fundamentos da matemática 32
Em seguida, esses dados foram organizados em ordem crescente, a fim de facili-
tar a comparação entre eles.
1,45 1,51 1,57 1,59 1,62 1,67
1,47 1,53 1,58 1,59 1,62 1,68
1,47 1,53 1,58 1,60 1,62 1,69
1,48 1,54 1,58 1,60 1,63 1,69
1,50 1,56 1,59 1,60 1,64 1,70
1,50 1,56 1,59 1,62 1,65 1,71
1,50 1,56 1,59 1,62 1,67
Os dados apresentados foram organizados em uma tabela na qual estão indica-
das as frequências absolutas e relativas. Para isso, eles foram agrupados em intervalos 
de 5 cm, caso contrário, a tabela ficaria muito grande, pois seria necessária uma linha 
para cada medida.
Altura dos alunos da escola
Altura (em metros) Frequência (f) Frequência relativa (fr)
1,45 1,50 4 9,76 %
1,50 1,55 7 17,07 %
1,55 1,60 12 29,27 %
1,60 1,65 10 24,39 %
1,65 1,70 6 14,63 %
1,70 1,75 2 4,88 %
Total 41 100 %
A notação 1,45 1,50 refere-se ao intervalo que inclui todas as alturas de 1,45 m a 1,50 m, 
exceto 1,50 m. Caso utilizássemos a notação 1,45 I I 1,50, estaríamos nos referindo às alturas 
de 1,45 m a 1,50 m, inclusive 1,50 m. No caso da notação 1,45 1,50, estaríamos excluindo 
medida 1,45 m.
Logo, no intervalo de altura 1,45 1,50 há 4 alunos, o que representa 9,76% do 
total de 41 alunos.
Podemos complementar a tabela com a frequência acumulada (fa) e a frequên-
cia acumulada relativa (far).
A frequência acumulada nos fornece dados referentes à soma das frequências 
absolutas até determinado dado. A frequência acumulada relativa é a porcentagem da 
frequência acumulada em relação ao total da frequência absoluta. Observe a tabela.
Fundamentos da matemática 33
Altura dos alunos da academia de ginástica
Altura 
(em metros)
Frequência (f)
Frequência 
relativa (fr)
Frequência 
acumulada (fa)
Frequência 
acumulada 
relativa (far)
1,45 1,50 4 9,76% 4 9,76%
1,50 1,55 7 17,07% 11 26,83%
1,55 1,60 12 29,27% 23 56,10%
1,60 1,65 10 24,39% 33 80,49%
1,65 1,70 6 14,63% 39 95,12%
1,70 1,75 2 4,88% 41 100%
Total 41 100%
A frequência acumulada do intervalo 1,55 1,60 é a quantidade de alunos que 
têm altura até 1,60, ou seja, desde 1,45 até 1,60, isto é, dos dois intervalos. Nesse caso 
é 23, pois é a soma de 4 + 7 + 12.
A frequência acumulada relativa desse mesmo intervalo é 56,10%, pois é a quan-
tidade de alunos com altura até 1,60 dividida pelo total de alunos, isto é, 23 ÷ 41.
Assim, podemos dizer que o principal intervalo de altura é de 1,55 1,60, já que 
29,27% da turma se encaixam nesse intervalo. Também podemos dizer que mais da 
metade da turma (56,10%) tem altura inferior a 1,60 m.
Para completar a análise dos dados, podemos extrair a média, a moda e a media-
na da altura dos alunos:
É um conjunto de 
dados que tem a maior 
frequência, mas nesse 
caso é um conjunto 
bimodal, pois tem duas 
modas, isto é, os valores 
1,59 e 1,62 (eles aparecem 
5 vezes cada rol).
1,59
Considerando que 
temos 41 elementos, 
a mediana é
 41 + 1 
2
= 21
Ou seja, o 
valor de 1,59.
Média Moda Mediana
Sendo 1,59, o valor das três medidas (média, moda e mediana) é mera casualida-
de, pois nem sempre os dados se comportam dessa maneira.
Fundamentos da matemática 34
Referências
BRASIL. Explorando o Ensino da Matemática. Brasília: MEC, 2004, v. 1. Disponível 
em: <portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf>. Acesso em: 
12/12/2014.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. Ensino médio e preparação para a 
educação superior. 2. ed. São Paulo: Ática, 2002.
IEZZI, G., et al. Matemática: ciência e aplicações. 6. ed. v. 1. São Paulo: Saraiva, 2010.
PAIVA, M. Matemática – Paiva. v. 1. São Paulo: Moderna, 2009.
Fundamentos da matemática 35
Símbolos e fórmulas
Representação de conjuntos: X = {a, e, i, o, u}
 pertence
 não pertence
 está contido
 não está contido
 intersecção
 união
 conjunto vazio
 igualdade
 diferença 
CAB complemento de B em relação a A.
fr = f n . 100
fr frequência relativa
f frequência absoluta
n número total de ocorrências
x I y contém os elementos de x a y
x y contém os elementos de x a y, exceto y
x y contém os elementos de x a y, exceto x
Média
 
 soma dos valores da variável 
quantidade de valores
Moda elemento que aparece mais vezes no conjunto
Posição da mediana para 
conjuntos de elementos 
ímpares
 número de elementos + 1 
2
Mediana para conjuntos de 
elementos pares
 elemento central 1 + elemento central 2 
2
R$ ???
O objetivo deste capítulo é revisar operações matemáticas básicas usadas em 
nosso cotidiano.
2�1 Operações básicas
As operações básicas da 
Matemática são adição (soma), 
subtração (diminuição), multi-
plicação e divisão.
Desde crianças, temos 
a percepção de quantidades, 
embora não as saibamos expres-
sar corretamente. Diariamente realizamos 
operações sem perceber:
• Acordei atrasado às 8h e levo 40 minutos para che-
gar ao trabalho. Que horas chegarei?
• Se o preço do lanche é R$ 8,00, quanto sobrará de R$ 10,00 
para comprar o refrigerante?
• Se cada meia custa R$ 12,00, quanto pagarei por 5 meias?
• Abasteci o carro com 40 litros de combustível e andei 420 km. 
Qual o rendimento do carro?
©
 k
im
 / 
/ F
ot
ol
ia
2 Operações matemáticas
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 R
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Fundamentos da matemática 38
São operações que realizamos automaticamente, sem pensar que é Matemática, 
e constituem em adição, subtração, multiplicação e divisão.
2�1�1 Adição e subtração
As operações de adição e subtração podem resultar em valores positivos (+) 
ou negativos (–) e, ainda, podem ser realizadas com números com sinais iguais 
(+ e +; ou – e –) ou sinais diferentes (+ e –).
Vamos ver alguns exemplos com essas características.
1. Tinha 23 páginas de texto para ler e o professor passou mais 16. Quantas terei 
que ler?
 23 páginas
+ 16 páginas
 39 páginas
 23 
 16
 39
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 Il
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 Z
ay
ts
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Trata-se de uma operação de adição (soma) com sinais iguais (+).
2. Do material de leitura passado pelo professor, já li 12 páginas. Quantas ainda 
tenho para ler?
 39 páginas
– 12 páginas
 27 páginas
 39 
 12
 27
©
 Il
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 Z
ay
ts
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Fundamentos da matemática 39
Trata-se de uma operação de subtração (diminuição), com sinais iguais (–).
3. Tenho R$ 100,00 na conta bancária e comprei um produto de R$ 110,00. Qual é 
meu saldo?
R$ 100
– R$ 110
– R$ 10
Trata-se de uma operação de subtração (diminuição), com sinais diferentes, mas 
cujo resultado é negativo, pois o maior valor modular (R$ 110,00) é negativo. Nesse 
caso, significaque estou devendo R$ 10,00 ao banco.
4. Estava devendo R$ 10,00 ao banco e comprei um lanche de R$ 20,00 no cartão 
de débito. Qual é meu saldo?
– R$ 10
– R$ 20
– R$ 30
+
Trata-se de uma operação de adição (soma), com sinais iguais, porém negativos 
(–), cujo resultado continua negativo.
5. Estava devendo R$ 30,00 ao banco e depositei R$ 120,00. Qual é meu saldo?
– R$ 30
+ R$ 120
R$ 90
Nesse caso, são operações de adição com sinais diferentes (– e +), sendo que o 
maior valor modular tem sinal positivo (120). Sendo assim, o resultado é positivo.
Fundamentos da matemática 40
Logo:
Adição com sinais iguais
+ e + somar e manter o sinal
– e – somar e manter o sinal
Adição com sinais diferentes
+ e – diminuir e manter o sinal do maior valor
– e + diminuir e manter o sinal do maior valor
Subtração com sinais iguais
+ e + diminuir e manter o sinal
– e – somar e manter o sinal
Subtração com sinais diferentes
+ e – subtrair e manter o sinal do maior valor
– e + subtrair e manter o sinal do maior valor
2�1�2 Multiplicação e divisão
No caso da multiplicação, trata-se de simplificar uma operação de adição que se-
ria repetido o mesmo elemento na mesma operação.
Em vez de 2 + 2 + 2, no qual o número 2 aparece 3 vezes, podemos fazer simples-
mente 2 . 3 e obtemos o mesmo resultado. Nas operações de multiplicação e divisão, 
também podemos ter números positivos (+) e negativos (–).
Operações com sinais iguais resultam na mesma operação iniciada, mantendo-se o sinal. 
Operações com sinais diferentes resultam em subtração, mantendo-se o sinal do maior valor.
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G
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 F
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es
 M
ar
qu
es
Fundamentos da matemática 41
Vamos ver alguns exemplos.
1. Comprei 5 camisetas por R$ 25,00. Quanto gastei?
Nesse caso, poderíamos somar 25 + 25 + 25 + 25 + 25 e 
obteríamos R$ 125. Fazendo a operação de multiplicação, sim-
plificamos a conta:
R$ 25,00
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20
09
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R$ 25
x 5
R$ 125
2
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No caso de números com dois ou mais algarismos, começamos a multiplicar o úl-
timo algarismo pelo multiplicador (5 . 5 = 25), registramos apenas o último algarismo 
da operação (5) e “guardamos” o primeiro (2) para somar com a multiplicação no pri-
meiro algarismo (5 . 2 = 10 + 2 = 12), o que resulta em 125.
Nesse caso, temos sinais iguais (+ e +).
A divisão é a operação inversa da multiplicação, isto é, encontramos um número 
que, multiplicado pelo divisor, resulte no dividendo.
Uma operação básica de divisão é composta de:
10 2
0 5
dividendo divisor
resto quociente
Basicamente, o que fizemos na operação foi encontrar um número que, multipli-
cado por 2, resultasse em 10.
Além dessa forma básica de expressão de divisão, usamos também as notações a 
seguir:
10 ÷ 2
10 : 2
10/2
 10 = 5
 2
Fundamentos da matemática 42
2. O garçom entregou a conta do restaurante para Carlos, Fernando e Manoel no 
valor de R$ 75,00. Os três amigos pretendem dividir a conta igualmente em 3. 
Quanto cada um vai pagar?
Temos a seguinte divisão:
1. Como 7 é maior que 3, podemos separar em duas partes, encontrando um valor 
que, multiplicado por 3, totalize 7 ou menos. O valor é 2, que resulta em 6.
2. Diminuindo 6 de 7, sobra 1. Ainda temos o 5, que baixamos junto ao 1, totali-
zando 15. 
3. Agora procuramos um número que multiplicado por 3 resulte em 15, que no 
caso é 5, e colocamos ao lado do 2. Logo, cada amigo pagará R$ 25,00.
2�2 Operações com frações
O que quer dizer fração? 
A palavra fração vem do la-
tim fractione e quer dizer “di-
vidir, quebrar, rasgar”. Fração, 
no Dicionário Aurélio (2009), 
também quer dizer “par-
te de um todo” e podemos 
nos referir também à porção. 
Observe alguns exemplos que 
usamos no cotidiano:
Meia pizza napolitana e meia 
de atum.
Tomei 1 copo de leite 
(lê-se meio).
2
Minha blusa tem manga 3 
(lê-se três quartos).
4
A receita pede 1 de xícara 
de óleo (lê-se um quarto). 
4
 1 dos jogadores da seleção brasileira 
atuam em times estrangeiros 
(lê-se um terço).
3
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 75 3
– 6 25
 15
Fundamentos da matemática 43
As frações pertencem ao conjunto dos números racionais e o uso delas está pre-
sente em diversas situações matemáticas. Uma fração é representada por um nume-
rador, que são as partes “tomadas” (ou coloridas) do inteiro e um denominador, que 
representa em quantas partes iguais o inteiro foi dividido.
Desafio
Quantos exemplos mais você pode dar em que se usem frações? Para você 
pensar, sem se cansar: em um inteiro há quantas metades?
Uma fração é, basicamente, uma operação de divisão do numerador pelo deno-
minador, isto é, 1 ÷ 4 = 0,25.
Assim como para números inteiros, também realizamos as operações básicas 
com frações. Vamos aprender as técnicas adequadas de resolução de operações de 
adição, subtração, multiplicação e divisão de frações.
2�2�1 Adição e subtração de frações
As operações de adição e subtração podem ser realizadas com denominador igual 
ou diferente. Vamos explorar primeiro a adição com as duas opções para, em seguida, 
explorar a subtração.
Adição
1. João, Marcelo e Fernanda compraram uma pizza 
de 8 fatias. Se Fernanda comeu 1 fatia, Marcelo 
comeu 2 fatias e João, 3 fatias, quanto da pizza 
foi consumido?
Numerador  
Denominador 
1 
4
Observe a imagem da fração.
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Fundamentos da matemática 44
Observe que temos as frações:
Fernanda: 1 
 8
 (um oitavo), isto é, consumiu 1 de 8 pedaços;
Marcelo: 2 
 8
 (dois oitavos), isto é, consumiu 2 de 8 pedaços;
João: 3 
 8
 (três oitavos), isto é, consumiu 3 de 8 pedaços.
Logo, nossa operação é: 1 
 8
 + 2 
 8
 + 3 
 8
 
Como se trata do mesmo denominador, basta so-
marmos os valores dos numeradores e manter o valor do
denominador, isto é: 1 + 2 + 3
 8
 = 6 
 8
 
Ou seja 6 
 8
 (seis oitavos) da pizza foram consumidos,
isto é, 6 de 8 pedaços. Veja a imagem ilustrativa.
Porém, podemos ter operações com denominado-
res diferentes, conforme exemplo a seguir.
2. Uma das funções do sangue é transportar oxigênio e substâncias nutritivas 
para as células do corpo. Além disso, ele é responsável pelo recolhimento do 
gás carbônico e dos resíduos produzidos por essas células.
Os tipos ou grupos sanguíneos podem ser classificados em A, B, AB ou O. Veja no 
gráfico a fração da população mundial de acordo com cada grupo sanguíneo. 
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Ocorrência de cada grupo sanguíneo23
50
2
5
1
10
1
25
Grupo A 
Grupo B 
Grupo AB 
Grupo O 
Fonte: HERLIHY; MAEBIUS, 2002. (Adaptado).
Que fração da população possui os grupos sanguíneos A ou B?
D
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Fundamentos da matemática 45
De acordo com o gráfico, 2 
 5
 (dois quintos) têm o sangue A e 1 
10
 (um décimo) tem
o sangue B. Portanto, precisamos efetuar o cálculo 2 
 5
 + 1 
10
 .
As frações 2 
 5
 e 1 
10
 possuem denominadores diferentes. Assim, é necessário obter
frações equivalentes com mesmo denominador. 
Frações equivalentes são frações que possuem a mesma medida, isto é, equivalem-se.
Observe as frações equivalentes 1 
 2
 = 2 
 4
 = 8
 16
.
Acompanhe:
1
2
2
4
 8 
16
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Também podemos encontrar frações equivalentes utilizando outros métodos. Há 
duas opções.
a. Encontrarmos um número cuja multiplicação do menor denominador resulte 
no maior denominador. No caso, o número que multiplicado por 5 resulta em 
10 é 2 (2 × 5 = 10). Logo, a fração equivalente a 2 
 5
 (dois quintos) é:
 2x2 
 5x2
 4 
 10
=
Assim, podemos somar as duas frações, que agora têm o mesmo denominador.
 4 
 10
+
 1 
 10
=
 5 
 10
Fundamentos da matemática 46
Em seguida, simplificamos o resultado dividindo por um número comum, o maior 
possível, obtendo uma fração irredutível.
Podemos definir como fração irredutível aquela fração em que não é mais possível simplificar o 
numerador e o denominador pelo mesmo número.
Neste caso, o maior divisor possível é 5:
 5÷5 
10÷5
 1 
 2
=
b. Também podemos realizar esse cálculo utilizando o mínimo múltiplo comum 
(mmc) para encontrar frações equivalentes com mesmo denominador; nesse 
caso, mmc (5,10).
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo 
múltiplo comum desses números. Podemos calcular o mmc de dois ou mais números utilizando 
a fatoração.
Agora dividimos o mmc pelo denominador da fração e multiplicamos o resultado 
pelo seu numerador, conforme a imagem:
5, 10 2  o número 2 é o menor divisor para o denominador 10, e fazemos a opera-
ção apenas para este denominador, já que 5 não é divisível por 2.
5, 5 5  o número 5 é o próximo menor divisor, que resulta em 1 e 1, chegando 
então ao final da operação.
1, 1 10  o mínimo múltiplo comum é a multiplicação dos dois divisores (2 x 5).
2 + 1 = 4 + 1 = 5
5 10 10 10 10
10÷5 × 2 = 4
10 ÷ 10 × 1 = 1
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Fundamentos da matemática 47
O próximo passo é obter a fração irredutível. Nesse caso, o divisor comum pode 
ser 5:
5 = 1
10 2
÷5
÷5
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O resultado obtido, 1 
 2
 (meio), representa a fração da população que possui os
grupos sanguíneos A ou B, isto é, o mesmo resultado do primeiro método.
Subtração
No caso da subtração de frações, o método é semelhante ao de adição, conforme 
exemplo a seguir.
Um trem faz um percurso todos os dias até determinada cidade do estado de São
Paulo. Desse trajeto diário, ele já percorreu 7 
10
 da distância. Que fração falta para que
ele tenha percorrido 3 
 4
 da distância?
Para resolver esse problema, devemos calcular 3 
 4
 – 7 
10
 .
3
4
7
10
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Fundamentos da matemática 48
Vamos usar o método de mínimo múltiplo comum, sendo:
7 
10
15 
20
14 
20
1 
20
 3 
 4 – = – =
4, 10 2  o número 2 é o menor divisor para o denominador 4 e 10.
2, 5 2  novamente o número 2 é o próximo menor divisor, que resulta em 1 e 5.
1, 5 5  Agora utilizamos o 5 para dividir por 5 e chegamos em 1 e 1.
1, 1 20  o mínimo múltiplo comum de 4 e 10 é 20.
Agora fazemos a conversão das frações de acordo com o resultado do mmc.
Observe que as novas frações são:
Sendo assim, consideramos que calcular 3 
 4
 – 7 
10
 é o mesmo que calcular 15 
20
 – 14 
20
 .
Então:
7 
10
15 
20
14 
20
1 
20
 3 
 4 – = – =
Assim, falta percorrer 
1 
20
 (um vinte avos) da distância.
Para adicionar ou subtrair números representados por frações que têm denominadores dife-
rentes, encontramos frações equivalentes às frações dadas e que tenham um denominador co-
mum. Em seguida, efetuamos a adição ou a subtração com essas frações.
15
 – 
14
 = 
1
20 20 20
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A
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Fundamentos da matemática 49
2�2�2 Multiplicação de frações
Na multiplicação de fração, podemos ter operação com uma fração e um número 
inteiro, ou duas frações. Observe o exemplo:
1. Na fazenda de Armando, foram produzidos 135 litros de leite. Ele vendeu 2 
 3
 dessa produção para João, distribuídos em três recipientes: A, B e C. No 
 recipiente A, ele colocou 2 
 5
 dessa quantidade, no recipiente B, 1 
 5
, e no 
 recipiente C, a mesma quantidade do recipiente A. 
a. Quantos litros Armando vendeu para João?
Resolução
Podemos responder a essa pergunta calculando 2 
 3
 de 135.
Quando estamos lidando com um número inteiro, podemos dizer que ele repre-
senta uma fração cujo denominador é 1, isto é, podemos representar 135 na fração 135 
 1
.
Em qualquer operação de fração, multiplicamos numerador por numerador e de-
nominador por denominador. Logo, usamos esta operação:
135
1
 2 
 3
. = 270
3
= 90
Então, Armando vendeu um total de 90 litros de leite para João.
b. Que fração da produção representa a quantidade de leite colocada em cada 
um dos recipientes?
Resolução
Como os recipientes A e C ficaram com a mesma quantidade de leite, consegui-
mos calcular a quantidade de cada um por meio da multiplicação de 2 
 3
 da produção to-
tal vezes 2 
 5
 da venda realizada para João. 
 2 
 3
. = 2 5
 4 
15
Logo, foram colocados 4 15 da produção de leite no recipiente A e 
 4 
15 no recipiente C.
Para o recipiente B, precisamos calcular 1 
 5
 de 2 
 3
 , ou seja:
 1 
 5
. = 2 3
 2 
15
Fundamentos da matemática 50
Logo, o recipiente B tinha 2 
15
 da quantidade de leite produzida.
c. Quantos litros havia em cada recipiente?
Resolução
Ficamos com a seguinte distribuição de leite em litros:
Armazenados: 
135
1
 2 
 3
. = 270
3
 = 90 litros, que foram distribuídos nos recipientes 
A, B e C.
Recipiente A e C = 
 4 
15 de 135 litros ou 
 2 
 5
 de 90 litros, sendo:
 4 
15 
. 135 = 540
15
 = 36 litros, ou ainda:
 2 
 5
 . 90 = 180
5
 = 36 litros
Recipiente B = 
 2 
15 de 135 litros ou 
 1 
 5
 de 90 litros, sendo:
 2 
15 
. 135 = 270
15
 = 18 litros, ou ainda:
 1 
 5
 . 90 = 90
 5
 = 18 litros
2. Carolina está preparando uma receita de bolo que pede 3 
 4
 de xícara de óleo.
 A receita toda serve 8 pessoas, mas Carolina deseja preparar somente para 4 
pessoas. Nesse caso, qual deve ser a quantidade de óleo na receita de Carolina?
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 P
at
ry
ss
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 / 
/ F
ot
ol
ia
Fundamentos da matemática 51
Resolução
Nesse caso, temos uma multiplicação de duas frações, pois se a receita é para 8
pessoas eCarolina deseja adaptá-la para 4, então temos uma fração de 4 
 8
 (isto é, 4 
partes de 8, ou quatro oitavos). 
Se a quantidade de óleo é de 
 3 
 4 , precisamos multiplicá-la pela proporção da re-
ceita. Logo:
 3 
 4
. = 4 
 8
 3 . 4 
 4 . 8 =
 12 
 32
Precisamos transformar essa fração em uma fração irredutível. O maior número 
divisível pelo numerador e denominador é 4, sendo:
 12 ÷ 4 
 32 ÷ 4 =
 3 
 8
Ou seja, a quantidade de óleo na receita será de 3 
 8
 .
Para encontrar o resultado da multiplicação de um número inteiro por um número fracionário, 
ou vice-versa, multiplicamos esse número pelo numerador da fração e mantemos o denomina-
dor. Para encontrar o resultado da multiplicação de duas ou mais frações, multiplicamos o nu-
merador pelo numerador e o denominador pelo denominador.
2�2�3 Divisão de frações
Na divisão de frações, invertemos uma das frações e multiplicamos pela outra, ou 
ainda, fazemos uma multiplicação cruzada de numerador por denominador, conforme 
exemplo a seguir.
Vera programou um bate-papo com 
seus amigos. Para o lanche, ela comprou 
4 pães para fazer canapés, calculando que
 2 
 5
 de pão por pessoa seriam suficientes.
Quantas pessoas havia nesse bate-papo?
©
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pa
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i /
 / 
Fo
to
lia
Fundamentos da matemática 52
Resolução
Como são 4 pães e Vera calculou 
 2 
 5 de pão para cada pessoa, então teremos que
dividir esses pães pela fração indicada por ela. Temos:
 4 
 1
 2 
 5
÷ =
 4 
 2
5
Vamos inverter a segunda fração. O inverso de 
 2 
 5 é 
 5 
 2 , portanto 
 4 
 1
 . 
 5 
 2
 = 20 2 . 
Como se trata de uma fração com denominador maior que o numerador e que 
forma um número inteiro, dividimos e obtemos o resultado de 10, isto é, havia 10 
pessoas nesse bate-papo.
Para dividir uma fração por outra fração, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda.
2�3 Porcentagem e aplicações
O símbolo de porcentagem (%) foi criado por comerciantes para simplificar a lin-
guagem nas transações comerciais.
Quando estamos usando a porcentagem, cada número é dividido em 100 partes e expressa em 
fração de 100.
A porcentagem representa uma fração de 100, isto é, x% (lê-se x por cento). É 
outra forma de representar 
x
100 . Uma fração representa uma padronização de números 
em partes de 100.
Por exemplo, 25% são equivalentes a 
25
100 . Se dividirmos essa fração, temos 0,25.
Os registros dos primeiros cálculos percentuais são do século I a.C., quando o im-
perador romano decretou a cobrança de impostos como uma parte obtida na venda de 
mercadorias. Um dos impostos era chamado centésimo rerumvenalium e representava 
um centésimo (1/100) pela venda de cada mercadoria, sem usar o símbolo de porcen-
tagem. Sobre a venda de escravizados, incidia imposto de 1/25 (um vinte e cinco avos). 
Fundamentos da matemática 53
O conceito de porcentagem passou a ser aplicado a partir do século XV, com a pa-
dronização da divisão por 100. Naquela época, utilizava-se o símbolo “p. cento” ou “p.c.” 
e somente mais tarde foi inserido o símbolo % para simplificar as representações.
Observe alguns exemplos a seguir sobre porcentagem.
1. José fez um planejamento finan-
ceiro e resolveu poupar 20% de sua 
renda mensalmente. Considerando 
que neste mês a renda de José foi 
de R$ 3.600, qual o valor que ele 
poupará?
Resolução
Nesse caso, temos uma multiplica-
ção de porcentagem por um número intei-
ro. Precisamos descobrir quanto é 20% de 
3.600.
A forma indicada é a regra de três:
Se R$ 3.600 = 100% da renda
Quantos R$ (x) = 20%
Fazemos uma multiplicação cruzada 
dos valores:
©
 G
st
ud
io
 G
ro
up
 / 
/ F
ot
ol
ia
Então: 3.600 . 20 = 72.000
E 100 x
 Assim, 72.000 = 100 x
Para achar o valor de x, basta dividir 72.000 por 100, isto é, 72.000 ÷ 100 = 720.
Logo, neste mês José deverá poupar R$ 720.
Conceitualmente, o que estamos fazendo é dividindo a renda de José em 100 par-
tes e guardando 20 partes dela, isto é, a renda dividida em 100 partes  3600 ÷ 100 = 36. 
Considerando que queremos 20 partes dela, temos 36 . 20 = 720.
3600 = 100
x = 20
Fundamentos da matemática 54
Outra forma de resolver seria simplesmente multiplicando 20%, isto é, 20 ÷ 100 = 0,20, 
por 3.600, cujo resultado é R$ 720.
2. Uma loja deseja vender um home theater com lucro equivalente a 40% do cus-
to. Se o equipamento custou R$ 6.000,00, por quanto deve ser vendido?
Resolução
Esta questão refere-se a uma transação com lucro, então temos:
C = custo, PV = preço de venda e L = lucro.
C + L = PV
O lucro deve ser equivalente a 40% do custo. Nesse caso, estamos dividindo o va-
lor de R$ 6.000 em 100 partes e queremos descobrir quanto representam 40 partes.
Assim, lucro = 40% do custo = 40 ÷ 100 = 0,40 do custo.
Sendo, C = 6.000,00.
Então, L = 0,40 . 6.000 = 2.400
Portanto, PV = 6.000 + 2.400 = 8.400.
O equipamento será vendido por R$ 8.400,00.
3. Um comerciante deseja ter um lucro de 20% sobre o preço de venda de seus 
produtos. Qual deve ser o acréscimo, em porcentagem, que ele precisa incluir 
no custo de seus produtos para que isso aconteça?
Resolução
Pelos dados do problema, concluímos que, para cada R$ 100,00 recebidos, 
ele deseja ganhar R$ 20,00. Isso só acontece se o custo for R$ 80,00, pois R$ 100,00 – 
R$ 20,00 = R$ 80,00, isto é, quando P = 100, L = 20 e C = 80.
Relacionando o lucro com o custo, obtemos a seguinte taxa percentual:
L 
C
 20 
 80
= = 0,25 = 25%
Essa taxa corresponde ao acréscimo que o comerciante deve dar ao custo. Assim, 
para ter um lucro de 20% do preço de venda, é necessário vender o produto por 25% a 
mais do que ele custou.
Fundamentos da matemática 55
Por exemplo, se o custo do produto é de R$ 40, o lucro acrescido deve ser de 
R$ 40 × 0,25 = R$ 10. Logo, o preço de venda é de R$ 40 + R$ 10 = R$ 50.
Assim, o lucro de R$ 10 representa 20% do preço de R$ 50.
4. O custo de um aparelho eletrônico é de R$ 12.000,00. Ele vai ser vendido com 
um prejuízo de 10% do custo. Qual deve ser o preço de venda desse aparelho?
Resolução 
Prejuízo = 10% de C, isto é, prejuízo = 0,10 . 12.000 = 1.200.
Logo, o preço de venda desse aparelho é dado por:
P = 12.000 – 1.200 = 10.800
O preço de venda será de R$ 10.800,00.
5. Vendi um terreno por R$ 320.000,00, com ganho de 20%. Quanto eu havia pa-
gado pelo terreno?
Resolução
Ganho = 20% do preço de venda
Custo = preço de venda – 20%
Ganho = 0,20 . 320.000 = 64.000
Custo do terreno = 320.000 – 64.000 = 256.000
6. Ana tinha 80 kg e, após um regime, passou a pesar 60 kg. Qual é o percentual 
de peso que Ana perdeu?
Resolução
Nesse caso, temos uma variação numérica (80 – 60) de 20 kg, e queremos calcu-
lar a variação percentual. A referência é em relação ao número inicial, isto é, 80. Nesse 
caso, usamos a regra de três: se 80 = 100%, quanto representa 20?
Basta, então, dividir 20 ÷ 80 = 0,25 = 25%, ou seja, Ana perdeu 25% de seu peso 
original.
Fundamentos da matemática 56
Portanto, nas transações comerciais podem ocorrer lucro ou prejuízo. Observamos 
que os exemplos trouxeram situações de:
a. transação com lucro.
Sendo C = custo, P = preço e L = lucro, temos:
C + L = P
b. transação com prejuízo. 
Sendo C = custo, P = preço e J = prejuízo, temos:
C – L = P
Então, uma pessoa pode comprar determinado produto por um valor de 
R$ 500,00 (preço de custo), por exemplo, e este pode ser revendido com um lucro de 
50%. Isso quer dizer que nesta operação o lucro em espécie da operação é de R$ 50,00 
(lucro) para cada valor de R$ 100,00 do preço do custo.
Observe que:
Custo Lucro
R$ 100,00 R$ 50,00
R$ 100,00 R$ 50,00
R$ 100,00 R$ 50,00
R$ 100,00 R$ 50,00
R$ 100,00 R$ 50,00
Custo total: R$ 500,00 Lucrototal: R$ 250,00
Por meio da regra de três simples, temos:
R$ 500,00 100%
x 50%
x = R$ 250,00 (valor do lucro total na operação).
2�3�1 Descontos
Em diversas situações de compras, podemos obter um desconto sobre o valor do 
produto. Esse desconto é um percentual do preço original e pode ser calculado confor-
me exemplo a seguir.
Fundamentos da matemática 57
O preço de um notebook é de 
R$ 2.000,00. Por causa de uma promo-
ção, esse aparelho foi colocado à venda 
por R$ 1.900,00. Qual desconto está sendo 
oferecido?
Resolução 
O desconto é dado por:
©
 jp
go
n 
/ /
 F
ot
ol
ia
D = 2.000 – 1.900 = 100
Sendo P o preço, a taxa percentual é:
D 
P
100 
2.000
= = 0,05 = 5%i =
Portanto, está sendo concedido desconto de 5% sobre o preço original.
2�3�2 Fator de aumento X Fator de diminuição
Em certas operações, precisamos calcular o crescimento, ou aumento, de deter-
minada magnitude, como o aumento do faturamento de uma empresa, o crescimento 
da população ou da renda das pessoas. Para isso, usamos o fator de aumento.
Também temos operações em que há redução da magnitude, como redução de 
defeitos na produção e redução da mortalidade infantil. Nesse caso, usamos o fator de 
diminuição ou redução.
Usamos o fator de aumento para calcular a variação positiva de um valor, enquanto o fator de 
redução é usado para calcular a variação negativa de certo valor.
Vamos ver a seguir como calcular essas variações.
1. A empresa X produz dois tipos de computadores: XR e XQ. No ano passado, ela 
produziu 20 mil unidades do modelo XR. Neste ano, ela pretende aumentar sua 
produção em 15% em relação ao ano anterior. 
Sendo assim, responda às questões:
Fundamentos da matemática 58
a. Qual é o fator de aumento dessa produção?
b. Quantas unidades do modelo XR devem ser produzidas neste ano?
c. Sabendo que neste ano serão produzidos 46.000 computadores do modelo XQ, 
quantas unidades foram produzidas no ano passado?
d. A empresa X projeta uma queda de 10% na produção para o terceiro ano, em 
relação ao ano anterior. Qual será a produção de cada modelo de computador?
Resolução
a. Fator de aumento
Vamos considerar o ano passado como o ano 1, e este ano como ano 2.
Temos um valor no ano 1 (XR1) que sofre um aumento (i), que é um percentual em 
relação ao valor inicial.
Logo, podemos dizer que a quantidade de computadores no ano 2 (XR2) é a quan-
tidade produzida no ano anterior mais a variação (i . XR1). 
Assim: XR2 = XR1 + (i . XR1)
Observe que XR1 aparece duas vezes: uma somando e outra multiplicando. 
Podemos então dizer que XR1 multiplica uma vez por 1 e uma vez por i, isto é:
XR2 = XR1 + (i . XR1)
XR2 = (1 . XR1) + (i . XR1)
Logo, podemos simplificar multiplicando XR1 por (1 + i), pois assim estamos con-
siderando a soma de XR1 com a variação de XR1. 
Já que ao multiplicar o número de computadores atuais por (1 + i) obtemos uma 
produção maior, isto é, obtemos o crescimento da produção, podemos então dizer que 
(1 + i) é o fator de aumento da operação.
XR1 . 1
XR2 = XR1 . (1 + i)
 XR1 . i
Fundamentos da matemática 59
Logo, para obter o resultado da questão a. (fator de aumento da produção), basta 
substituir os valores nessa parte da equação, isto é:
Fator de aumento = (1 + i)
Considerando que i foi de 15% = 15 ÷ 100 = 0,15, então:
Fator de aumento = (1 + 0,15)
Fator de aumento = 1,15
O fator de aumento é a taxa de aumento dividida por 100 e somada a 1, isto é (1 + i).
b. Produção de XR no ano 2
Considerando que XR1 é a produção do ano atual, isto é, 20.000, e o i é a taxa de 
acréscimo da produção, ou seja, 15% = 15 ÷ 100 = 0,15, logo:
XR2 = 20.000 . (1 + 0,15)
XR2 = 20.000 . 1,15  Fator de aumento
XR2 = 23.000
Ou seja, a produção do ano 2 será de 23.000 computadores.
Para obter o resultado de um aumento de determinada variável, basta multiplicá-la pelo fator 
de aumento, isto é, XR2 = XR1 . (1 + i).
c. Produção de XQ no ano 1
Nesse caso, temos a produção do ano 2 para XQ, isto é, temos XQ2 = 46.000 e 
queremos descobrir XQ1. Sabemos que XQ2 é 15% maior que XQ1, isto é, sofreu um au-
mento de 15%. Podemos então utilizar a mesma equação para a questão anterior.
XQ2 = XQ1 . (1 + i)
Substituindo os valores, temos:
46.000 = XQ1 . (1 + 0,15)
46.000 = XQ1 . (1,15)
Fundamentos da matemática 60
Como existe a incógnita multiplicando o fator de aumento, podemos trocar os 
valores de lado da equação e inverter a operação, ou seja, transformar a multiplicação 
em divisão:
Quando queremos descobrir o valor inicial de uma magnitude que sofreu um aumento, basta 
dividir o valor aumentado pelo fator de aumento, isto é, XQ1 = XQ2 ÷ (1 + i).
d. Produção de XR e XQ no ano 3
Nesse caso, a produção sofreu uma redução de 10% em relação ao ano 2, ou seja, 
a XR3 é 10% menor que XR2 e XQ3 é 10% menor em relação a XQ2.
Nesse caso, podemos dizer que há um fator de redução, isto é:
XR3 = XR2 – (XR2 . i)
Se aplicarmos o mesmo raciocínio de simplificação da equação de fator de au-
mento, temos que:
Podemos considerar que o fator de diminuição é (1 – i).
O fator de diminuição é a taxa de aumento dividida por 100 subtraída de 1, ou seja, (1 – i).
46.000 = XQ1 . (1,15)
46.000 = XQ1
 1,15
Logo:
XQ1 = 40.000
XR3 = (1 . XR2) – (XR2 . i)
XR3 = XR2 . (1 – i)  fator de diminuição
 XR2 . 1
 XR2 . i
Fundamentos da matemática 61
Nesse caso, nosso fator de diminuição é (1 – 0,1), isto é, 0,90.
Sendo assim, para obter a produção esperada do ano 3, basta multiplicar o fator 
de redução pela produção no ano 2:
XR3 = 23.000 . 0,90  XR3 = 20.700
XQ3 = 46.000 . 0,90  XQ3 = 41.400
Para obter o resultado da diminuição de uma variável, multiplicamos seu valor pelo fator de 
diminuição.
Podemos aplicar o fator de aumento e o fator de diminuição nas operações a 
seguir.
2. “IBGE prevê aumento de 122,2% na produção de feijão no Pará”. 
“Em 2013, a primeira safra somou 4 mil toneladas de grãos”. (FOLHA DO 
PROGRESSO NEWS, 2014).
Qual será a produção de feijão em 2014?
Resolução
Nesse caso, queremos aplicar um fator de aumento.
Temos: 
Quantidade produzida em 2013 (Q2013) = 4 mil toneladas
Aumento da produção (i) = 122,2% = 122,2 ÷ 100 = 1,222
Queremos descobrir a quantidade produzida em 2014 (Q2014), isto é:
(Q2014) = (Q2013) . (1 + i)
Logo, aplicando os valores na equação de fator de aumento, temos:
(Q2014) = 4.000 . (1 + 1,222)
(Q2014) = 4.000 . (2,222)
(Q2014) = 8.888
Fundamentos da matemática 62
Ou seja, a produção de feijão em 2014 será de quase 9.000 toneladas.
Observe que a taxa de aumento é superior a 100% e, nesse caso, o fator de aumento ficou 
maior que 2, ou seja, mais que dobrou.
3. “Inflação oficial fecha 2013 em 5,91%, diz IBGE”. (GLOBO.COM, 2014).
Ana paga R$ 500,00 de aluguel, que será reajustado pela inflação. Qual será o 
novo valor de aluguel?
Resolução
Nesse caso, o fator de aumento é (1 + 0,0591) = 1,0591.
Multiplicando pelo valor atual do aluguel = 1,0591 × 500, temos o novo valor de 
aluguel: R$ 529,55.
4. Leia o excerto a seguir: 
 “Em queda em quase todo o mundo, a taxa de novas infecções pelo vírus da 
Aids teve aceleração de 11% entre 2005 e 2013 no Brasil, revela o relatório “The 
Gap Report”, do Programa Conjunto das Nações Unidas HIV/Aids (Unaids), 
divulgado ontem. No planeta – onde o total de pessoas infectadas está está-
vel em cerca de 35 milhões –, houve diminuição de 28% no número de novos 
casos.” (GLOBO.COM, 2014).
Quantas pessoas estavam infectadas no mundo em 2005?
Resolução
Nesse caso, temos um valor atual que sofreu redução em relação ao valor origi-
nal. Podemos então usar a equação do fator de diminuição.