Inteiros_jogo_construção

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X Encontro Nacional de Educação Matemática 
 Educação Matemática, Cultura e Diversidade 
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010 
 
 
 
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática 
Relato de Experiência 
1 
 
A CONSTRUÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS POR CLASSES DE 
EQUIVALÊNCIA EM UMA TURMA DE EJA USANDO O JOGO DO VAI-VEM 
 
Sabrina Bobsin Salazar 
Universidade Federal de Pelotas 
sabrina.salazar@ufpel.edu.br 
 
Resumo: Este trabalho versa sobre a construção dos números inteiros por uma turma de 
EJA de uma forma bastante precisa sob o ponto de vista matemático: via classes de 
equivalência. O conceito das classes de equivalência é construído partindo de material 
concreto através da aplicação de um jogo, o jogo do Vai-vem. Após, são realizadas 
algumas tarefas que preparam para a definição dos números inteiros. 
Palavras-chave: Números inteiros; Classes de equivalência; Material concreto. 
 
1 Introdução 
 
Para iniciar este relato, vou relembrar a construção formal dos números inteiros via 
classes de equivalência. Vou adotar neste trabalho a forma proposta por (FLUCH, 2007, 
3). 
A idéia do processo de construção dos números inteiros está baseada na seguinte 
observação: todo número inteiro 
x
 pode ser escrito como uma diferença dos números 
naturais 
m, n
. Dois inteiros 
x m n
 e 
x m' n '
 são o mesmo se, e somente se, 
m n ' m' n
, onde temos em ambos os lados da equação números naturais. 
Definição 1.1: Seja A um conjunto. Uma relação ~ no conjunto A é dita relação de 
equivalência se é reflexiva, simétrica e transitiva, ou seja: 
(i) 
x ~ x, x A
 
(ii) 
x ~ y y ~ x, x, y A
 
(iii) 
x ~ y, y ~ z x ~ z, x, y, z A
 
Vamos definir a relação ~ no conjunto por 
m,n ~ m',n ' m n ' m' n
. 
Teorema 1.2: A relação ~ definida acima é uma relação de equivalência em . 
A demonstração deste teorema é bastante trivial e requer apenas a utilização das 
propriedades da adição para números naturais. 
Definição 1.3: O conjunto dos números inteiros é o conjunto das classes de 
equivalência 
/ ~
. 
 
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Como exemplos de classes de equivalência em temos: 
0,0 m,m ;m 0
 
1,0 m 1,m ;m 1
 
0,1 m,m 1 ;m 1
 
Os elementos de serão chamados de números inteiros. 
A construção precisa dos números inteiros é importante, pois auxilia na atribuição 
de outros significados para os esses números como definição de sentido, que é importante 
para escalas de temperatura e altitude, por exemplo. Além disso, favorece a definição das 
operações elementares de adição e multiplicação. 
Usualmente, esta apresentação dos números inteiros restringe-se a disciplinas 
específicas em cursos de licenciatura em matemática e não chega a aparecer nas salas de 
aula do ensino básico. Podemos evidenciar este fato analisando alguns livros didáticos, 
como (SPINELLI e SOUZA, 2002, 9-11) e (MORI e ONAGA, 2007, 22-24), que 
preocupam-se em enfatizar a apresentação dos números negativos, e não os números 
inteiros em sua totalidade, na maioria das vezes apresentando algumas aplicações para os 
esses números como escalas de temperatura e altitude e saldo bancário. 
Para possibilitar o aprendizado desta construção pelos alunos, pensei em um jogo 
que a tornasse “natural”. Chamei este jogo de Jogo do Vai-vem. O jogo é composto de um 
tabuleiro e dois dados de cores diferentes, digamos branco e azul. O tabuleiro consiste em 
uma sequência de casas, com uma casa central, chamada Início, uma casa Ganhou, distante 
6 casas da casa Início e uma casa Perdeu, distante às mesmas 6 casas da casa Início, porém 
no sentido contrário, conforme figura 1.4. 
 
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Figura 1.4: Tabuleiro do jogo do Vai-vem. 
Regras do Jogo do Vai-vem: 
 O número mínimo de jogadores é dois. 
 Todos os jogadores iniciam na casa Início. 
 Cada jogador, na sua vez, deve lançar os dois dados simultaneamente, o dado 
branco representa quantas casas em direção a casa Ganhou o jogador deve 
 
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movimentar-se e o dado azul representa quantas casas em direção a casa 
Perdeu o jogador deve movimentar-se. Para facilitar, convenciona-se que o 
movimento em direção a casa Ganhou é “para frente” e que o movimento em 
direção a casa Perdeu é “para trás”. 
 O jogador que parar na casa Ganhou, ou em qualquer outra após a casa Ganhou 
em relação à casa Início, ganha o jogo e o jogo termina. 
 O jogador que parar na casa Perdeu, ou em qualquer outra após a casa Perdeu 
em relação à casa Início, sai do jogo. Se sobrar apenas um jogador no tabuleiro, 
este ganha o jogo e o jogo termina. 
 A vez de cada jogador só termina após executar o movimento advindo dos dois 
dados, mesmo que durante a movimentação ultrapasse a casa Ganhou ou a casa 
Perdeu. Então, por exemplo, se o jogador está a uma casa da casa Ganhou e tira 
dois no dado branco e três no dado azul, ele pára a duas casas da casa Ganhou e 
não ganha o jogo. 
Com este tabuleiro e com estas regras fica evidente uma identificação imediata com 
as classes de equivalência que definem os números inteiros. O número do dado branco 
corresponde à primeira posição do par ordenado e o número do dado azul corresponde à 
segunda. O número inteiro definido por esse representante da classe de equivalência 
aparece no movimento final do jogador. No início é introduzida apenas a noção de “para 
frente” ou “para trás”, os sinais + e – são introduzidos na realização de tarefas posteriores. 
O zero aparece “naturalmente” quando os números dos dois dados são iguais, 
primeiramente com a noção “não sai do lugar” e após, durante a realização de tarefas 
posteriores, com o símbolo 0. 
 
2 A aplicação do jogo em sala de aula 
 
Este jogo foi aplicado em uma turma da Totalidade 4, da qual eu era a professora, 
na Escola Municipal de Ensino Fundamental Leocádia Felizardo Prestes no município de 
Porto Alegre no ano de 2009. A Totalidade 4 é uma “etapa” na Educação de Jovens e 
Adultos (EJA) prevista na organização das escolas municipais de Porto Alegre e 
corresponde, aproximadamente, ao sexto ou sétimo ano da escola regular. A legislação no 
estado do Rio Grande do Sul permite que jovens a partir de 15 anos ingressem em turmas 
 
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de EJA. Desta forma, os alunos da turma tinham idades entre 15 e 65 anos. Treze alunos 
participaram da realização desta atividade. 
A realização da atividade foi feita através da aplicação do jogo e da realização de 
tarefas propostas a partir da aplicação do jogo. Estas tarefas eram seqüenciais, ou seja, o 
aluno precisava terminar uma para começar a seguinte. Além disso, cada aluno realizava as 
tarefas em seu ritmo, ou seja, se o aluno terminasse a tarefa corretamente, poderia passar 
para a seguinte, não precisaria esperar que seus colegas terminassem ou esperar pela 
próxima aula. Da mesma forma,se algum aluno demorasse para terminar uma tarefa, ele 
poderia continuar em casa ou na aula seguinte. 
Como realização de tarefas, foi proposto que os alunos completassem as tabelas a 
seguir, tabelas, 2.1, 2.2, 2.3 e 2.4, na ordem em que estão colocadas no texto e realizassem 
a atividade 1 do anexo I. Após a realização destas 5 tarefas, foi pedido para os alunos 
lerem o texto no anexo II, a fim de formalizar os conceitos aprendidos. 
Tabela 2.1 
Dado branco (para frente) Dado azul (para trás) Movimento Final 
3 1 
2 5 
4 4 
Tabela 2.2 
Dado branco (para frente) Dado azul (para trás) Movimento Final 
3 4 
1 1 para trás 
 5 não sai do lugar 
Tabela 2.3 
Dado branco (+) Dado azul (–) Movimento Final 
3 3 
1 4 
5 4 
Tabela 2.4 
Dado branco (+) Dado azul (–) Movimento Final 
2 1 
 
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 2 +3 
2 – 4 
Dos treze alunos que participaram da atividade, sete conseguiram realizar todas as 
tarefas propostas, alguns, inclusive avançaram no conteúdo e realizaram tarefas extras 
versando sobre comparação e adição de números inteiros. Os outros seis não cumpriram as 
tarefas, pois faltaram a muitas aulas. 
Durante o período de “jogar o jogo” já pude fazer algumas observações. Quando 
pensei nesta atividade, ponderei que as dificuldades viriam apenas durante a realização das 
tarefas, mas o próprio jogo já causou algumas dificuldades, principalmente aos alunos mais 
velhos. Para fazer o movimento, os alunos contavam a casa em que estavam ao invés de 
contar a partir da casa seguinte. É importante salientar que, se o movimento for realizado 
contanto a casa em que se está, ele não corresponde às classes de equivalência que definem 
os números inteiros. Após uma intervenção, os alunos conseguiram entender o movimento 
do jogo e jogá-lo de forma correta. 
Em certo momento, após a realização de algumas rodadas, foi solicitado que cada 
jogador somente executasse o movimento resultante da combinação dos dois dados. Esta 
etapa proporcionou o desenvolvimento de algumas técnicas próprias para calcular o 
movimento final sem executar cada etapa concretamente. Uma técnica bastante apurada 
que apareceu foi subtrair o valor do dado menor do valor do dado maior e “andar” no 
sentido do dado maior. A interação foi muito interessante, pois os alunos queriam 
compartilhar sua própria técnica com os colegas, especialmente os alunos mais velhos. 
Estes mesmos alunos mais velhos mostraram muito interesse em jogar o jogo e 
permaneceram algumas aulas jogando antes de se sentirem seguros e começarem a realizar 
as tarefas, já os alunos mais jovens, adolescentes, ficavam entediados após algumas 
rodadas e solicitavam as tarefas. Este maior tempo de contato com o material concreto 
pelos alunos mais velhos permitiu um aprendizado mais significativo evidenciado na 
realização das tarefas. Eles tinham mais autonomia ao preencher as tabelas, não 
precisavam voltar ao material concreto. Já os alunos mais jovens eram afoitos e queriam 
terminar as tarefas depressa, inclusive competindo entre si para ver quem completava 
antes, mas tinham mais dúvidas e precisavam retornar ao tabuleiro, às vezes diziam que 
não precisavam mais, porém desenhavam um esquema imitando o tabuleiro. Pude observar 
também que os alunos que jogaram por mais tempo no início da atividade cometiam menos 
 
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erros ao realizar as tarefas. Além disso, os alunos que faltavam a muitas aulas também 
precisavam retornar ao material concreto para conseguir concluir as tarefas. 
Além dessas observações gerais sobre a realização das tarefas propostas, pude 
perceber que as tabelas 1 e 3 foram mais fáceis de preencher do que as tabelas 2 e 4. O 
raciocínio necessário para preencher as tabelas 2 e 4 não se dava de forma direta como na 
realização do jogo, tornando seu preenchimento mais difícil. Já o sinal menos (–) foi 
assimilado muito facilmente. Alguns alunos empregaram os sinais mais (+) e menos (–) 
para facilitar a escrita da tarefa 5. 
No final da tarefa 5 já havia uma extensão aos pares formados pelos dados, 
imaginou-se um dado de 10 faces. E no texto seguinte a esta atividade, foram definidos os 
números inteiros formando pares com todos os números naturais. Esta extensão se deu de 
forma “natural”, o que foi percebido naqueles alunos que avançaram um pouco mais e 
resolveram tarefas de comparação e adição de números inteiros. 
 
Considerações finais 
 
Primeiramente, ponderei que os alunos mais velhos estavam usando o material 
concreto por mais tempo que deveriam, pois tinham ultrapassado o tempo esperado. Mas 
com a realização das tarefas, percebi que tinham usado o tempo necessário para seu 
aprendizado. Além disso, mesmo que os alunos mais jovens tenham precisado retornar ao 
material concreto mais vezes, seu aprendizado também foi observado durante a realização 
da tarefa 5. 
Considero bastante relevante a aplicação da atividade descrita, pois pude perceber 
que a utilização do material concreto possibilitou aos alunos que nunca tinham estudado os 
números inteiros uma aprendizagem bastante significativa e precisa sob o ponto de vista 
matemático. E mesmo os alunos que já haviam estudado o assunto em cursos regulares 
anteriormente adicionaram novos entendimentos às suas pré-concepções e seu 
entendimento prévio acerca dos números inteiros. 
O jogo ainda mostrou sua versatilidade quando alguns alunos realizaram tarefas 
extras sobre comparação e adição de números inteiros. Este trabalho poderia ser ampliado 
a fim de definir as operações de adição e multiplicação com os números inteiros usando o 
jogo do Vai-vem. 
 
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REFERÊNCIAS 
 
FLUCH, M. Construction of real numbers from the natural numbers. Disponível 
em: < http://mathstat.helsinki.fi/~fluch/docs/2007-01.pdf>. Acesso em 20/03/2010. 
MORI, I. e ONAGA, D. S. Matemática: Idéias e Desafios, 6ª. série. São Paulo: 
Saraiva, 2007. 
SPINELLI,W. e SOUZA, M. H. Matemática, 6ª. série. São Paulo: Ática, 2002. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANEXO I 
Atividade 1 
 
Responda as perguntas com base no jogo do Vai-vem. 
1) Se você tirou 3 no dado branco (para frente) e 1 no dado azul (para trás), então o 
movimento final foi 2 para frente. Há outras combinações de dados que também resultam 
no movimento final 2 para frente? Quais? 
2) Quais são as combinações de dados que resultam no movimento final 4 para 
frente? 
3) Quais são as combinações de dados que resultam no movimento final 3 para 
trás? 
4) Quais são as combinações de dados que resultam no movimento final não sai do 
lugar? 
5) Imagine que você está jogando o jogo do Vai-vem, porém com dados diferentes, 
que possuem dez faces (isso significa que você pode tirar osnúmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
ou 10 em cada um dos dados). Nesse caso, quais seriam as combinações de dados que 
resultariam no movimento final 4 para frente? 
6) Ainda com o dado de dez faces, quais seriam as combinações de dados que 
resultariam no movimento final 3 pra trás? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANEXO II 
O conjunto dos Números Inteiros 
 
No jogo do Vai-vem, tínhamos que combinar os dois dados para descobrir qual 
seria o movimento final de cada jogada. Assim, se um jogador tirasse 5 no dado branco 
(para frente) e 2 no dado azul (para trás), seu movimento final seria 3 para frente e se um 
jogador tirasse 2 no dado branco (para frente) e 5 no dado azul (para trás), seu movimento 
final seria 3 para trás. Para simplificar, podemos dizer 
5,2 3
 para o primeiro caso e 
2,5 3
 para o segundo caso. Se usarmos o “0” (zero) para os movimentos resultantes 
de dados iguais, como 
2,2 0
, podemos listar todos os movimentos possíveis do jogo: 
5, 4, 3, 2, 1,0, 1, 2, 3, 4, 5
. 
Os Números Inteiros são obtidos de maneira parecida com os movimentos do jogo 
do Vai-vem, porém são combinados todos os Números Naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 
11, 12, 13, 14, 15, ...), não só os que aparecem nos dados. Assim, podemos escrever, por 
exemplo: 
8,10 2, 15,12 3, 12,3 9, 60,60 0, 10,25 15
. 
Note que há inúmeras combinações que resultam em cada número inteiro: 
2,4 8,10 5,7 50,52 123,125 36,38 2
. 
Quando reunimos todos os números inteiros, obtemos o que chamamos de conjunto 
dos Números Inteiros e o representamos pela letra . 
..., 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1,0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...
.