Aplicaçoes de derivada

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Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I 17 
Unidade 3 
 Aplicações de Derivadas 
3.1. Regra de L’Hospital: 
Na disciplina anterior, Matemática para Ciências Aplicadas II, aprendemos o cálculo de limites 
indeterminados, sob a forma 
0
0 e 
∞
∞ , usando artifícios algébricos. Agora, podemos aplicar 
derivadas para resolvermos limites de formas indeterminadas, utilizando a chamada Regra de 
L’Hospital. A regra de L’Hospital é creditada ao matemático francês Guillaume François Antonie 
de L’Hospital (1661-1704). Tal regra é empregada para calcular o valor limite de uma fração 
onde tanto o numerador quanto o denominador tendem, simultaneamente, para zero ou para 
o infinito. 
Nesta seção, queremos calcular o limite 
g(x)
f(x)
lim
ax→
, nos seguintes casos: 
 1) axquando0)x(ge0)x(f →→→ ; 
 2) axquando)x(ge)x(f →∞→∞→ . 
 Sejam )x(f e )x(g funções deriváveis num intervalo aberto I, 
exceto possivelmente , em um ponto a ∈ I. Suponhamos 0)x('g ≠ para todo ax ≠ em I. 
i) Se 0)x(glim)x(flim
axax
==
→→
 e L
(x)g'
(x)f
lim
'
ax
=
→
, então L
(x)g'
(x)f'
lim
g(x)
f(x)
lim
axax
==
→→
; 
ii) Se ∞==
→→
)x(glim)x(flim
axax
 e L
(x)g'
(x)f
lim
'
ax
=
→
, então L
(x)g'
(x)f'
lim
g(x)
f(x)
lim
axax
==
→→
; 
O mesmo resultado é válido para x tendendo a infinito. A regra de L’Hospital pode ser aplicada 
sucessivas vezes, até o momento em que o limite não for mais indeterminado. Assim, para 
aplicar a regra derivamos, simultaneamente, o numerador e o denominador. 
Exemplo 1: Considere a função ( )
1x
2xx
xf
2
−
−+
= , onde se deseja calcular 
1x
2xx
lim
2
1x
−
−+
→
. 
Substituindo o valor da tendência na função, obtém-se: 
0
0
11
2112
=
−
−+
, que é uma expressão 
indeterminada ou uma indeterminação. Além disso, percebe-se que a função ( )
1x
2xx
xf
2
−
−+
= 
não é definida em 1x = , porém isso não é problema, visto que queremos estudar seu 
Regras de L’Hospital 
Curso de Administração 18 
comportamento na vizinhança de 1x = (limite) e não, exatamente, em 1x = . Vamos, então, 
aplicar a regra de L’Hospital para resolver o limite. 
Resolução: Calculando )x('f vem 1x2)x('f += e calculando )x('g vem 
1)x('g = . Aplicando a regra de L’Hospital temos: 
3
1
1)1(2
1
1x2
lim
0
0
1x
2xx
lim
1x
2
1x
=
+
=
+
==
−
−+
→→
 
Exemplo 2: Usando a regra de L’Hospital, calcular o valor do limite 
4x3x
12xx
lim
2
2
4x
−−
−−
→
. 
Resolução: Aplicando a tendência, 4x → , o limite apresenta a forma 
indeterminada 
0
0
. Calculando )x('f vem 1x2)x('f −= e calculando )x('g vem 
3x2)x('g −= . Aplicando a regra de L’Hospital temos: 
5
7
3)4(2
1)4(2
3x2
1x2
lim
0
0
4x3x
12xx
lim
4x2
2
4x
=
−
−
=
−
−
==
−−
−−
→→
, portanto
5
7
4x3x
12xx
lim
2
2
4x
=
−−
−−
→
. 
 
Exemplo 3: Usando a regra de L’Hospital, calcular o valor do limite 
 
)x(g
)x(f
lim
1x2x
1x3x
lim
x2
2
x ∞→∞→
=
−−
+−
 
Resolução: Aplicando a tendência, ∞→x , o limite apresenta a forma 
indeterminada 
∞
∞
. Calculando )x('f vem 3x2)x('f −= e calculando )x('g vem 
2x2)x('g −= . Aplicando a regra de L’Hospital temos: 
 
2x2
3x2
lim
1x2x
1x3x
lim
x2
2
x −
−
=
−−
+−
∞→∞→
 que continua na forma indeterminada 
∞
∞
. 
Aplicando novamente a regra de L’Hospital, isto é, derivando simultaneamente o 
numerador e o denominador vem: 
 
1
2
2
lim
2x2
3x2
lim
1x2x
1x3x
lim
xx2
2
x
==
−
−
=
−−
+−
∞→∞→∞→
, portanto 1
1x2x
1x3x
lim
2
2
x
=
−−
+−
∞→
 
 
Exemplo 4: Usando a regra de L’Hospital, calcular o valor do limite 
3x4x
1x
lim
2
2
1x ++
−
−→
. 
 
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I 19 
Resolução: O limite 
3x4x
1x
lim
2
2
1x ++
−
−→
 toma a forma indeterminada 
0
0
. Aplicando 
a regra de L’Hospital, isto é, derivando simultaneamente o numerador e o 
denominador vem: 
 
1
2
2
4)1(2
)1(2
4x2
x2
lim
0
0
3x4x
1x
lim
1x2
2
1x
−=
−
=
+−
−
=
+
==
++
−
−→−→
. 
 
Exemplo 5: Usando a regra de L’Hospital, calcular o valor do limite 
xcose
x
lim
x0x
−
→
. 
Resolução: O limite 
xcose
x
lim
x0x
−
→
 toma a forma indeterminada 
0
0
. Pois 
1)0cos(e1e0 == . Calculando )x('f vem 1)'x()x('f == e calculando )x('g 
vem )x(sene))'x(cos()'e()x('g xx +=−= . Aplicando a regra de L’Hospital temos: 
1
01
1
)0(sene
1
senxe
1
lim
0x0x
=
+
=
+
=
+→
. 
 
Exemplo 6: Usando a regra de L’Hospital, calcular o valor do limite 
7x
23x
lim
7x
−
−−
→
. 
Resolução: O limite 
7x
23x
lim
7x
−
−−
→
 toma a forma indeterminada 
0
0
. Pois 
0
0
77
22
77
237
lim
7x
=
−
−
=
−
−−
→
. Calculando )x('f vem 
3x2
1
)1.()3x(
2
1
dx
)2(d
)3x(
dx
d
)'23x()x('f 2/112/1
−
=−=−−=−−=
− e 
calculando )x('g vem 1)7x()x('g =−= . Aplicando a regra de L’Hospital temos: 
4
1
42
1
372
1
1
3x2
1
lim
7x
23x
lim
7x7x
==
−
=
−
=
−
−−
→→
. 
 
Exemplo 7: Usando a regra de L’Hospital, calcular o valor do limite 
2x2
xxx
lim
3
23
x +
++
+∞→
. 
Resolução: O limite =
+
++
+∞→ 2x2
xxx
lim
3
23
x
 toma a forma indeterminada 
∞
∞
. 
Calculando )x('f vem 1x2x3)x('f 2 ++= e calculando )x('g vem 2x6)x('g = . 
Aplicando a regra de L’Hospital temos: 
∞
∞
=
++
=
+
++
+∞→+∞→ 2
2
x3
23
x x6
1x2x3
lim
2x2
xxx
lim , derivando mais duas vezes o 
numerador e o denominador, obtemos 
Curso de Administração 20 
2
1
12
6
lim
x12
2x6
lim
x6
1x2x3
lim
xx2
2
x
==
+
=
∞
∞
=
++
+∞→+∞→+∞→
 
Conseguiu acompanhar o conteúdo 
estudado até aqui? Para saber se aprendeu, 
procure resolver os exercícios propostos abaixo. 
Caso encontre dificuldades, busque 
apoio junto ao tutor. 
Exercícios propostos I: 
Aplicando a regra de L’Hospital, calcular os seguintes limites. 
1) 
8x
4x
lim
3
2
2x
−
−
→
 4) 
x
xln
lim
x +∞→
 
 
2) 
senx
xcos1
lim
0x
−
→
 5) 
2
x3
x x
e
lim
+∞→
 
 
3) 
x4
)x6(sen
lim
0x→
 6) 
x
24x
lim
0x
−+
→
 
3.2. Máximos e mínimos de uma função: 
O objetivo desta seção é aplicar os conhecimentos de derivada para determinar os valores 
máximos e mínimos de uma função. 
3.2.1. Definições: 
Dada a função definida em um intervalo I, um ponto ∈0x I é chamado de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto de máximo local(ou relativo) da função, quando )x(f)x(f 0 ≥ para todo ∈x I; 
Ponto de mínimo local(ou relativo) da função, quando )x(f)x(f 0 ≤ para todo ∈x I. 
O valor de )x(f 0 é chamado de máximo ou mínimo local de f, e ))x(f,x( 00 são as coordenadas 
do ponto de máximo ou mínimo local de f. 
 Quando )x(f 0
' existe, a condição 0)x(f 0
'
= é necessária para a existência de um extremo 
relativo em 0x , mas não é suficiente, isto é, se 0)x(f 0
'
= , a função f pode ter ou não um 
extremo relativo no ponto 0x . Da mesma forma, quando )x(f 0
' não existe, f pode ter ou não 
um extremo relativo em 0x . Então, o ponto 0x fD∈ tal que 0)x(f 0
'
= ou )x(f 0
' não existe, 
é chamado de pontocrítico da função. Assim uma condição necessária para a existência de 
um extremo relativo em um ponto 0x é que 0x seja um ponto crítico. 
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8: Determinar os pontos críticos da função 1xxx)x(f 23 +−+= e os intervalos de 
crescimento e decrescimento. 
 
Resolução: São pontos críticos os pontos que anulam a primeira 
derivada. Assim 1x2x3)x(f 2' −+= , fazendo 0)x(f ' = , 
01x2x3 2 =−+ obtemos 
6
42
6
)1)(3(442
x
±−
=
−−±−
= , 
3
1
x1 = e 1x2 −= . 
Logo ))3/1(f,3/1( e ))1(f,1( −− são possíveis pontos extremos da função, ou seja, 
podem ser máximos ou mínimos. 
 
 Agora vamos analisar o sinal da função derivada. Como temos uma função do 
segundo grau, sabemos que o gráfico é uma parábola de concavidade voltada para 
cima. Assim, o sinal da primeira derivada é negativo entre -1 e 1/3 e fora deste 
intervalo ele é positivo, conforme mostra o esboço abaixo. 
 
 
 
 
 
Analisando o esboço podemos dizer que y’>0 no intervalo (-∞,-1) e no intervalo 
(1/3, +∞), e y’< 0 no intervalo (-1,1/3). Logo: 
 
 f(x) > 0 para todo x ∈ (-∞,-1) U (1/3, +∞) ⇒ função é crescente; 
 f(x)< 0 para todo x ∈ (-1,1/3) ⇒ função é decrescente. 
 
y’ 
-1 1/3 
− 
+ +
Se uma função cresce à medida que x aumenta, a tangente ao seu gráfico, em cada ponto, tem 
coeficiente angular positivo. Logo, se a tangente tem coeficiente angular maior que zero significa 
que a derivada da função no ponto também é maior que zero. Podemos, então, dizer que uma 
função é crescente em um intervalo (a,b) se 0)x(f 0
' > . 
Da mesma forma, se uma função decresce à medida que x aumenta, a tangente ao seu gráfico, 
em cada ponto, tem coeficiente angular negativo. Logo, se a tangente tem coeficiente angular 
negativo (interpretação geométrica da derivada) significa que a derivada da função em cada 
ponto é menor do que zero. Podemos, então, dizer que uma função é decrescente num 
intervalo (a,b) se 0)x(f 0
' < . 
Curso de Administração 22 
Podemos concluir que, se a função cresce até x=-1 e depois decresce, em x=-1 
temos um ponto máximo. Da mesma forma se a função decresce até 1/3 e depois 
cresce, em x=1/3 temos um ponto mínimo. 
 
3.2.2. Critério da primeira derivada para determinação de extremos: 
 
Sejam f uma função derivável num intervalo (a,b) e 0x um ponto crítico de f neste intervalo, 
isto é, 0)x(f 0
'
= , com bxa 0 << . Se f admite a derivada 
'f em (a,b) e: 
 
i) Se f ’(x) > 0 para todo x < x0 e f ‘ (x) < 0 para todo x > x0 , f tem um valor máximo em 
0x . 
 
 
 
 
 
 
No caso a função é crescente (y’>0) até 0x , atinge o máximo em 0x (y’=0) e depois decresce 
(y’<0). 
 
 
ii) Se f ’(x) < 0 para todo x < x0 e f ‘ (x) > 0 para todo x > x0 , f tem um valor mínimo 
em 0x . 
 
 
 
 
 
y’<0 
y’>0 
y’=0 
y
x
0x
x 
x0 
x0 
− 
+ 
y’<0 y’>0 
− 
+ 
y’<0 y’>0 
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I 23 
No caso a função é decrescente (y’<0) até 0x , atinge o mínimo em 0x (y’=0) e depois cresce 
(y’>0). 
 
3.2.3. Critério da segunda derivada para determinação de extremos: 
Sejam f uma função derivável num intervalo (a,b) e 0x um ponto crítico de f neste intervalo, 
isto é, 0)x(f 0
'
= , com bxa 0 << . Se f admite a derivada 
''f em (a,b), temos: 
 
 i) Se 0)x(f 0
'' < , f tem um valor máximo relativo em 0x . 
 
 ii) Se 0)x(f 0
'' > , f tem um valor mínimo relativo em 0x . 
 
3.2.4. Concavidade e pontos de inflexão: 
 
Uma função é côncava para cima num intervalo aberto I se y’ é crescente em I. Ou se y’’ é 
positiva em I. 
 
 
 
 
Uma função é côncava para baixo num intervalo aberto I se y’ é decrescente em I. Ou se y’’ 
é negativa em I. 
 
 
 
Ponto de Inflexão (PI): é o ponto onde a derivada segunda troca de sinal, ou seja, a função 
muda de concavidade. 
 
 
 
 
 
 
 
+ + 
− − 
+ + 
− − 
Curso de Administração 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9: Dada a função 23 x3x)x(f −= . Determine: 
a) os pontos críticos; 
b) os intervalos de crescimento e decrescimento da função; 
c) os pontos extremos; d)intervalos quanto à concavidade; 
e) e pontos de inflexão, se existirem: 
 
 
 
Resumo 
 
� f(x) é CRESCENTE num intervalo I se f’(x) > 0 em I. 
� f(x) é DECRESCENTE num intervalo I se f’(x)< 0 em I. 
 
� x0 é um ponto MÀXIMO, se f’(x) passa de positiva (y’>0) para 
negativa (y’<0), antes e depois de x0. 
� x0 é um ponto MÍNIMO, se f’(x) passa de negativa (y’<0) para 
positiva (y’>0), antes e depois de x0. 
 
� Se f’’(x)>0 em I, f(x) tem concavidade voltada para cima em I. 
� Se f’’(x0)>0, então x0 é um mínimo relativo. 
 
+ + 
 
 
� Se f’’(x)<0 em I, f(x) tem concavidade voltada para baixo em I. 
� Se f’’(x0)<0, então x0 é um máximo relativo. 
 
− − 
 
 
� Se f’’(x) passa de positiva para negativa, antes e depois de x0, 
ou vice-versa, x0 é um ponto de inflexão. 
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I 25 
Resolução: 
a) Para determinarmos os pontos críticos, calculamos a primeira derivada de f(x) 
e a igualamos a zero: x6x3)x(f 2' −= , 0)2x(x30x6x3 2 =−=− , um x=0 e 
outro x=2. Assim os pontos críticos são (0, f(0)) e (2,f(2)), ou seja, (0,0) e (2,-4). 
Lembrando: 0)0(30)0(f 23 =−= e 4128)2(32)2(f 23 −=−=−= 
b) Os intervalos de crescimento e decrescimento da função são obtidos por meio do sinal da 
primeira derivada ( )x(f ' é uma parábola da concavidade voltada para cima (veja funções 
parte 1, MCSAI)) 
 
 
 
 
 
F.E.C. = função estritamente crescente (y’>0)= ),2()0,( +∞∪−∞ 
F.E.D.= função estritamente decrescente (y’<0)= )2,0( 
c) Pelo esboço acima verificamos que (0,0) é um ponto máximo local e (2,-4) um mínimo 
local. Ou podemos aplicar o critério da segunda derivada: 6x6)x(''f −= . 
066)0(6)0(''f <−=−= , logo x=0 é um ponto de máximo local; 
 
066)2(6)2(''f >=−= , logo x= 2 é um ponto de mínimo local. 
 
d) Para determinarmos os intervalos quanto a concavidade, calculamos a segunda derivada 
de f(x) e analisamos o seu sinal. 
 Se x6x3)x(f 2' −= , então 6x6
dx
)x6x3(d
)x(f
2
''
−=
−
= . Igualando a zero, 
1x0)1x(606x6 =⇒=−⇒=− , como )1x(6f '' −= é uma reta crescente de zero 
x=1, temos: 
 
 
 
 
 
 
C.V.B. = concavidade voltada para baixo (y’’<0)= )1,(−∞ 
C.V.C. = concavidade voltada para cima (y’’>0) = ),1( +∞ 
 
0 2 
− 
+ + 
y’ 
1 
y’’ 
+ 
− 
Curso de Administração 26 
e) Como em x=1 a segunda derivada de f(x) passa de negativa para positiva, x=1 
é um ponto de inflexão do gráfico da função. 
 
Exemplo 10: Seja 8x6x
2
1
x
3
1
)x(f 23 +−+= , determine: 
a) os pontos críticos; 
 b) os intervalos onde f é crescente e decrescente; 
 c) os valores máximos e mínimos de f. 
 
Resolução: 
a) calculando a primeira derivada e a igualando a zero, determinamos os pontos 
críticos: 
6x
2
2
x
3
3
)x(f 2' −+= 
06xx2 =−+ 
2
51
2
)6)(1(411
x
±−
=
−−±−
= 
3xe2x 21 −== . 
b) Analisando o sinal da função 6xx)x(f 2' −+= podemos determinar os 
intervalos de crescimento e decrescimento de f(x). 
 
 
 
 
 
-3 2 
+ 
− 
+ 
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I 27 
F.E.C. = função estritamente crescente (y’>0)= ),2()3,(+∞∪−−∞ 
F.E.D.= função estritamente decrescente (y’<0)= )2,3(− 
 
c) Pelo esboço acima verificamos que (-3,f(-3)) é um ponto máximo local e (2,-f(2)) um 
mínimo local. Ou podemos aplicar o critério da segunda derivada: 1x2)x(''f += . 
051)3(2)3(''f <−=+−=− , logo x=-3 é um ponto de máximo local; 
 
051)2(2)2(''f >=+= , logo x= 2 é um ponto de mínimo local. 
 
Exemplo 11: (Prático) A função custo mensal de fabricação de um produto é dada por 
1x10x2
3
x
)x(C 2
3
++−= e a função de demanda mensal (p) do mesmo produto, é dada por 
x10)x(p −= . Qual o preço x que deve ser cobrado para maximizar o lucro? 
 
Resolução: O lucro total é dado por 
Lucro(L)= Receita (R) – Custo (C ) e a receita é R=p.x, assim 
2xx10x).x10()x(R −=−= . Logo 
 
1x
3
x
1x10x2
3
x
xx101x10x2
3
x
)xx10(L 2
3
2
3
22
3
2
−+−=−−+−−=








++−−−=
 
Calculando a derivada primeira da função Lucro em relação à x temos: 
x2
3
x3
L
2
' +−= 
Calculando a derivada segunda da função Lucro em relação à x temos: 
2x2''L +−= . 
Os pontos críticos são obtidos fazendo 0)2x(x0x2x2 =−−=+− , assim x=0 e 
x=2 são os pontos críticos. 
Empregando o critério da segunda derivada podemos determinar os pontos 
extremos: 
2x2''L +−= 
022)0(2)0(''L >=+−= , logo é um ponto mínimo relativo. 
 
 
022)2(2)0(''L <−=+−= , logo é um ponto máximo relativo. 
 
Portanto o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro é x=2. 
 
+ + 
− − 
Curso de Administração 28 
Exercícios Propostos II: 
1. Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os 
eventuais pontos de máximo e mínimo: 
a) 3x12x
2
7
3
x
)x(f 2
3
++−= 
b) 3x)x(f = 
c) 4x
4
1
)x(f = 
d) 
3x
x
)x(f
−
= 
e) 1x2x
2
3
3
x
)x(f 2
3
++−= 
 
Exemplo 12: (Prático) Dada a função de demanda x240p −= , obtenha o preço que deve 
ser cobrado para maximizar a receita. 
Resolução: Receita=p.x (p= preço e x= quantidade) 
Assim 2x2x40x)x240(R −=−= , calculando a derivada primeira de R obtemos o 
ponto crítico 10x0x440x440R ' =⇒=−⇒−=⇒ . 
Podemos usar o critério da primeira derivada: a função primeira derivada é 
uma função do primeiro grau decrescente, logo antes de x=10 a função é positiva, 
após negativa. Então em x=10 temos um valor máximo. 
 
 
Ou podemos usar o critério da segunda derivada: 04R '' <−=⇒ , logo x=10 é um 
ponto máximo. 
Portanto o preço a ser cobrado é 20)10(240p =−= . 
 
Exemplo 13: (Prático) Com relação ao exemplo 10, qual o preço que deve ser cobrado para 
maximizar o lucro, se a função custo for x240C += ? 
Lucro= Receita – Custo; 
40x38x240x2x40x2)x240(x2x40L 222 −+−=−−+−=+−−= 
O ponto crítico: 38x4L' +−= 2/19x =⇒ 
Portanto o preço a ser cobrado para maximizar o lucro é 21)
2
19
(240p =−= . 
 
−
+
10 
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I 29 
Exemplo 14: (Prático) A função custo mensal de fabricação de um produto é 
10x10x2
3
x
C 2
3
++−= , e o preço de venda é p=13. Qual a quantidade que deve ser 
produzida e vendida mensalmente para dar o máximo lucro? 
x13x.pR == (receita) ; 10x3x2
3
x
)10x10x2
3
x
(x13L 2
3
2
3
−++−=++−−= 
Ponto crítico: 3x4x3x4
3
x
3L 2
2
++−=++−= , igualando a zero e achando as raízes: 
2
284
2
)3)(1(4164
x03x4x2
−
±−
=
−
−−±−
=⇒=++− , 64,4x = e 0,68x −= 
, x=4,68 é a quantidade máxima que deve ser 
produzida e vendida para dar o máximo lucro. 
 
 
Saiba Mais ... 
Para aprofundar os conteúdos abordados nesta aula consulte: 
 MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton de O. Cálculo funções de uma 
e várias variáveis, 5a ed. São Paulo: Saraiva, 2006. 
 ANTON, H. Cálculo: Um Novo Horizonte, volume 1, 6a ed. São Paulo: Editora Bookman, 
2000. 
 SCHNEIDER, D. I., LAY, D. C., GOLDSTEIN, L. J. Matemática Aplicada à Economia, 
Administração e Contabilidade, 10a ed. São Paulo: Editora Bookman, 2006. 
 
 
-0,68 4,64 
+ 
− − 
y’