Regras de derivação

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Curso de Administração 
Unidade 2 
2.1. Regras de derivação: 
 
 O cálculo da derivada de uma função pela definição, dependendo da função, pode ser 
bastante complicado. Para facilitar os cálculos recorremos às regras de derivação, onde cada 
uma das regras é obtida a partir da definição de derivada. Consideraremos que u e v são 
funções deriváveis da variável independente x e k, n são constantes. 
 
• Propriedades operatórias: 
 
P1) Se )x(gk)x(f ⋅= , então )x('gk)x('f ⋅= . 
 
P2) Se )x(v)x(u)x(f ±= , então )x('v)x('u)x('f ±= . 
 
P3) Se )x(v)x(u)x(f ⋅= , então )x(v)x('u)x('v)x(u)x('f ⋅+⋅= . 
 
P4) Se 
)x(v
)x(u
)x(f = , então 
2)]x(v[
)x('v)x(u)x('u)x(v
)x('f
⋅−⋅
= . 
 
• Derivada das principais funções: 
 
1) Derivada da função constante: 
Se k)x(f = , onde k é uma constante, então 0)x('f = . 
De fato, 0
h
0
lim
h
)k()k(
lim
h
)x(f)hx(f
lim)x('f
0h0h0h
==
−
=
−+
=
→→→
. 
Ex: Seja 3)x(f = , então 0)x('f = . 
 
2) Derivada da função identidade: 
Se x)x(f = , então 1)x('f = . 
Ex: Seja x3)x(f = , aplicando a propriedade P1 e a regra 2, tem-se: 
3)1(3
dx
dx
3)x('f === 
 
3) Derivada da função afim bax)x(f += , onde a e b são constantes: 
a
dx
)bax(d
)x('f =
+
= . 
Ex. Seja 4x3)x(f += , assim 30)1(3
dx
4d
dx
dx
3)x('f =+=+= 
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I 11 
 
4) Derivada da função potência: 
Se nx)x(f = , então 1nnx)x('f −= . 
 
Ex: Seja 10xx4x)x(f 25 −++= , aplicando as propriedades P1, P2 e a regra 4, 
1x8x501x)2(4x510
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
4x
dx
d
)x('f 4425 ++=+++=−++= 
 
5) Derivada da função composta (ou regra da cadeia): 
 
Sejam )x(fy = e )x(gu = duas funções, tais que suas derivadas existam e 
exista a derivada da função ))x(g(fy = , que indicaremos por 
dx
dy
, então 
dx
du
du
dy
dx
dy
'y ⋅== . 
 
6) Derivada da função potência (geral): 
Se nuf(x) = e )x(gu = , aplicando a regra da cadeia e a derivada da função 
potência podemos obter a derivada da função ))x(g(fy = dada por 
dx
du
nu)x('f'y
dx
dy 1n−
=== . 
Ex: Seja 3
2
2 )3x()x(f += , para calcularmos a derivada de f(x), fazemos uma 
substituição, chamamos 3xu 2 += e 
3
2n = , e após aplicamos a regra anterior, logo 
3 2
3
1
2
2
3
3
3
2
2
3x3
x4
)x2()3x(
3
2
dx
)3x(d
)3x(
3
2
)x('f
+
=+=
+
+=
−
−
 
 
7) Derivada da função logarítmica: 
Seja ulog)x(f a= , então 
dx
du
elog
u
1
)x('f a= , para x>0. 
Ex. Seja )1x3(log)x(f 2 += , fazendo )1x3(u += , tem-se 
elog
)1x3(
3
dx
)1x3(d
)e(log
)1x3(
1
)x('f 22
+
=
+
+
= . 
 
Seja a função logaritmo natural, ou seja, o log na base e, dado por lnuf(x) = , então 
dx
du
elog
u
1
)x('f e= , para x>0. Como já sabemos o 1aloga = , assim 
dx
du
u
1
)x('f = . 
Ex: Seja )1x3ln()x(f += , fazendo )1x3(u += , tem-se 
Curso de Administração 12 
)1x3(
3
dx
)1x3(d
)1x3(
1
)x('f
+
=
+
+
= 
 
8) Derivada da função exponencial na base e: 
 
Seja ue)x(f = , então 
dx
du
e)x('f u= . 
Ex: Se xef(x) = , então xx e
dx
dx
e)x('f == 
Ex: Se 
2xef(x) = , onde 2xu = , então 
2xx
2
x xe2)x2(e
dx
)x(d
e)x('f === . 
 
9) Derivada da função seno: 
Seja )u(sen)x(f = , então 
dx
du
)ucos()x('f = . 
Ex: Se )x3(sen)x(f = , então )x3cos(3
dx
)x3(d
)x3cos()x('f == 
 
10) Derivada da função cosseno: 
 
Seja )ucos()x(f = , então 
dx
du
)u(sen)x('f −= . 
Ex: Se )x3cos()x(f 2= , então )x3cos(x6
dx
)x3(d
)x3(sen)x('f
2
2
=−= , pois 
2x3u = e x6x)2(3
dx
)x(d
3
dx
)x3(d 12
22
===
− 
 
Exemplo 1: 
Obtenha, usando as regras de derivação, a derivada de cada função a seguir: 
a) 23 x5x10)x(f += 
x10x30x)2(5x)3(10
dx
)x(d5
dx
)x(d10
dx
)x5(d
dx
)x10(d
)x('f 21213
2323
+=+=+=+= −− 
b) xsen(x)f(x) = , usando P3, obtém-se: senxxcosx
dx
dx
)x(sen)x(sen
dx
d
x)x('f +=+= . 
c) 
2x
1x
)x(f
−
−
= , usando P4, obtém-se: 
2222 )2x(
1
)2x(
1x2x
)2x(
)1)(1x()1)(2x(
)2x(
)'2x)(1x()'1x)(2x(
)x('f
−
−
=
−
+−−
=
−
−−−
=
−
−−−−−
= . 
d) 





++= 1
x
1
x
1
)x(f
2
, podemos escrever f(x) como ( )1xx)x(f 12 ++= −− e aplicar a 
propriedade da soma e a regra da função potência: 
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I 13 
x
1
x
2
0x)1(x2)'1()'x()'x()x('f
3
2312
−−=+−+−=++= −−−− . 
e) )x2x3ln()x(f 2 −= , e se x2x3u 2 −= , então 
)x2x3(
2x6
)'x2x3(
)x2x3(
1
)x('f
2
2
2
−
−
=−
−
= . 
f) 1l2xf(x) += , e se 1x2u += , então 
1x2
1
1x22
2
)1x2()1x2(
2
1
)x('f '2
1
+
=
+
=+⋅+=
−
. 
 
Exemplo 2: 
Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f nos pontos de abscissas indicados: 
a) 2x)x(f = , 5x 0 = 
Como vimos anteriormente, a derivada da função num ponto representa o coeficiente angular 
da reta tangente ao gráfico da função nesse ponto (interpretação geométrica da derivada). 
Assim x2)x('f = e 10)5(2)5('fm tg === , logo a equação da reta tangente ao gráfico de 
2x)x(f = , no ponto )25,5( , é )5x(1025y −=− , 25x102550x10y −=+−= . 
 
b) 6x5x)x(f 2 +−= , 2x 0 = 
5x2)'6()'x5()'x()x('f 2 −=+−= e 15)2(2)2('fm tg −=−== , assim a equação da reta 
tangente no ponto (2,0) é 2xy)2x(10y +−=⇒−−=− . 
 
Resumo : Tabela de derivadas 
1) )x('gk)x('f)x(gk)x(f ⋅=⇒⋅= . 
2) )x('v)x('u)x('f)x(v)x(u)x(f ±=⇒±= . 
3) )x(v)x('u)x('v)x(u)x('f)x(v)x(u)x(f ⋅+⋅=⇒⋅= . 
4) 
2)]x(v[
)x('v)x(u)x('u)x(v
)x('f
)x(v
)x(u
)x(f
⋅−⋅
=⇒= . 
5) 0)x('fk)x(f =⇒= . 
6) a)bax()x('fbax)x(f ' =+=⇒+= . 
7) 1nn nx)x('fx)x(f −=⇒= . 
8) )x(fy = e )x(gu = , 
dx
du
du
dy
dx
dy
y'f(g(x))y ⋅==⇒= . 
9) nuf(x) = e )x(gu = , 
dx
du
nu)x('f'y
dx
dy
uf(x) 1nn −===⇒= . 
10)
dx
du
elog
u
1
)x('fulog)x(f aa =⇒= , para x>0. 
Curso de Administração 14 
11) 
dx
du
u
1
)x('flnuf(x) =⇒= , para x>0. 
12) 
dx
du
e)x('fe)x(f uu =⇒= . 
13) 
dx
du
)ucos()x('f)u(sen)x(f =⇒= . 
14) 
dx
du
)u(sen)x('f)ucos()x(f −=⇒= . 
 
2.2. Funções Marginais – Aplicação da derivada: 
Na Administração e na Economia costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar 
o efeito causado na função custo (C(x)) e na função receita (R(x)) por uma pequena variação 
em uma unidade da quantidade x produzida. Assim a função custo marginal é a derivada da 
função custo, a função receita marginal é a derivada da função receita. 
 
Exemplo 3: 
a) Dada a função receita x100)x(R = , obtenha a receita marginal. 
Resolução: 
100)x('RRmg == . 
b) Dada a função receita 5010xxR(x) 2 +−= , obtenha a receita marginal. 
Resolução: 
10x2)x('RRmg −== . Por exemplo, se x=10, 1010)10(2Rmg =−= . A receita marginal é 
aproximadamente igual à variação da receita decorrente da venda de uma unidade adicional, a 
partir de x unidades 
c) Em cada caso, obtenha a função custo marginal: 
 c1) 100x10x2x5)x(C 23 ++−= 
Resolução: 
10x4x1510x)2(2x)3(5)x('CC 22mg +−=+−== 
 c2)
2x
x
)x(C
2
+
= 
Resolução: 
2
2
2
22
2
2
2
22
mg
)2x(
x4x
)2x(
xx4x2
)2x(
xx2)2x(
)2x(
)1(x)'x)(2x(
)x('CC
+
+
=
+
−+
=
+
−+
=
+
−+
== 
 
 c3) 3x)(x
2
eC(x) += 
Resolução: 
)x3x(2)x3x(
mg
22
e)3x2()'x3x.(e)x('CC ++ +=+== 
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I 15 
2.3. Derivadas Sucessivas:Suponha que f é uma função derivável no intervalo I. Se a função )x('f , chamada de 
primeira derivada de f(x), é derivável no mesmo intervalo, então existe a função derivada de 
)x('f , indicada como )x(''f que é chamada de derivada segunda de f(x). Seguindo este 
procedimento sucessivamente e , supondo que f(x) é n vezes derivável, obtém-se a função 
derivada de ordem n, de f(x) indicada como )x(f n . As funções )x('f , )x(''f , )x('''f .... )x(f n , 
são as derivadas sucessivas da função )x(fy = . 
 Exemplo 4: 
Determinar todas as derivadas da função 1x4x2x)x(fy 23 +++== : 
 4x4x34x)2(2x3
dx
dy
)x('f'y 22 ++=++=== 
 4x6)4x4x3(
dx
d
dx
yd
)x(''f''y 2
2
2
+=++=== 
 6)4x6(
dx
d
dx
yd
)x('''f'''y
3
3
=+=== 
 
 0)6(
dx
d
dx
yd
)x(fy
4
4
iviv
==== . 
Exemplo 5: 
Determinar as derivadas indicadas: 
a) xe)x(fy == , ?''y = 
Resolução: 
 xe
dx
dy
)x('f'y === 
 x
2
2
e
dx
yd
dx
dy
dx
d
)x(''f''y ==





== 
b) 
x
1
)x(fy == , ?'''y = 
Resolução: 
 
2
1
x
1
dx
)x(d
dx
dy
)x('f'y
−
====
−
 
 ( )
3
32
2
2
x
2
x)2(x
dx
d
dx
yd
dx
dy
dx
d
)x(''f''y =−−=−==





==
−− 
 ( )
4
43
3
3
2
2
x
6
x)3)(2(x2
dx
d
dx
yd
dx
yd
dx
d
)x('''f'''y
−
=−===








==
−− 
c) x3x5x)x(fy 310 ++== , ?'''y = 
Curso de Administração 16 
 3x15x10
dx
dy
)x('f'y 29 ++=== 
 x30x90
dx
yd
dx
dy
dx
d
)x(''f''y 8
2
2
+==





== 
 30x720
dx
yd
dx
yd
dx
d
)x('''f'''y 7
3
3
2
2
+==








== 
 
 
 
Nesta unidade, você realizou cálculos de derivadas de 
diversos tipos de função, tais como derivada da função 
produto e função quociente, aplicou a regra da cadeia 
(derivada da função composta), aprendeu a derivar 
sucessivamente uma função e obteve uma noção de função 
marginal. Novamente, menciona-se que a compreensão 
sempre referida é importante para que você possa 
acompanhar a disciplina. Faça todos os exemplos 
atentamente e consulte o tutor sempre que tiver dúvida. 
 
 
 
Saiba Mais ... 
Para aprofundar os conteúdos abordados nesta aula consulte: 
 MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton de O. Cálculo funções de uma 
e várias variáveis, 5a ed. São Paulo: Saraiva, 2006. 
 ANTON, H. Cálculo: Um Novo Horizonte, volume 1, 6a ed. São Paulo: Editora Bookman, 
2000. 
 SCHNEIDER, D. I., LAY, D. C., GOLDSTEIN, L. J. Matemática Aplicada à Economia, 
Administração e Contabilidade, 10a ed. São Paulo: Editora Bookman, 2006. 
 
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