Sistemas de Numeração e Representação Numérica

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UUnniivveerrssiiddaaddee FFeeddeerraall ddee JJuuiizz ddee FFoorraa 
FFaaccuullddaaddee ddee EEnnggeennhhaarriiaa 
DDeeppaarrttaammeennttoo ddee CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss 
 
 
CCIIRRCCUUIITTOOSS LLÓÓGGIICCOOSS 
 
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CCaappííttuulloo 11 
SSoobbrree ooss SSiisstteemmaass ddee NNuummeerraaççããoo 
 
1. Introdução 
 Os aborígenes tasmanianos, espécie extinta que mal atingiu o nível paleolítico de evolução cultural, só 
sabiam contar até quatro. Podemos presumir que a necessidade de contar grandes números só se fez sentir 
quando os homens começaram a pastorear boiadas e rebanhos. Pastor e boiadeiro precisam saber contar o 
número de suas reses e ovelhas para se certificarem de que nenhuma se extraviou e, muitos anos antes do 
homem passar a residir em cidades, ele já havia descoberto o expediente de contá-las em grupos. 
 Em nosso sistema numeral, agrupamos os objetos, para fins de numeração, em dezenas (grupos de 
dez unidades), dezenas de dezenas (centenas, grupos de dez dezenas), dezenas de dezenas de dezenas 
(milhares) etc. É isso que queremos dizer quando afirmamos que dez é a base, isto é, o número de grupo, 
em nosso sistema de numeração (sistema decimal). 
 Quase sempre, em todos os sistemas de numeração, um múltiplo de cinco (seja cinco, dez ou vinte) 
aparece como base, ou meio fundamental de agruparem os números. Isto provém de o homem primitivo 
valer-se, como as crianças, de seus dedos para conferir os objetos. Alguns aborígenes americanos usavam 
os dedos dos pés. Uma tribo de índios paraguaios possui denominações correspondentes aos números um, 
dois, três, quatro, cinco (uma mão), dez (duas mãos), quinze (duas mãos e um pé), vinte (duas mãos e dois 
pés). A numeração dos antigos calendários maias atribuía sete sinais distintos correspondentes a um, dois, 
três, quatro, cinco, vinte e quatrocentos (vinte vintenas). O inglês guarda vestígios deste processo 
rudimentar de contagem pelos pés e pelas mãos, como se pode verificar pelo uso tão freqüente da palavra 
score (vintena) no Velho Testamento. Método ainda mais antigo, qual o de agrupar os números em duplas e 
quadras (duas mãos e dois pés) revela a base dois do sistema numeral da Síria. 
 
2. Representação formal em um sistema de numeração 
 Consideremos um sistema de agrupamento que utilize a base seis, ou seja, os objetos são agrupados 
em grupos de seis unidades, seis grupos de seis unidades, seis grupos de seis grupos de seis unidades, e 
assim por diante. 
 Para representar a quantidade abaixo (correspondente ao número decimal 46), deveríamos proceder 
como indicado: 
 
 
Note que temos: 
 Quatro unidades (ou seja, quatro “grupos” de 1 = 60 unidade) 
 Um grupo de seis unidades (ou seja, um grupo de 6 = 61 unidades) 
 Um grupo de seis grupos de seis unidades (ou seja, um grupo de 6 x 6 = 62 unidades) 
 
Então, na base 6, tal quantidade seria representada por (1 1 4)6. 
 
 De uma maneira geral, toda quantidade (número) pode ser representada em um sistema de 
numeração de base b por uma estrutura da forma 
 
(dn dn-1 dn-2 ... d1 d0)b 
 
onde d0, d1, ..., dn são os dígitos (símbolos, normalmente algarismos decimais), que variam de 0 a b – 1. 
 
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 Quando a base é b = 10 (sistema decimal) não precisamos indicá-la, por tratar-se de nosso sistema 
comum de representação numeral. 
 
 Note que os dígitos assumem como valor máximo b – 1. Assim, um sistema de base cinco só pode 
utilizar os dígitos (algarismos) 0, 1, 2, 3 e 4. O nosso sistema decimal usa os algarismos de 0 a 9. Sistemas 
com base superior a 10, como o hexadecimal (base 16) utilizam letras maiúsculas para representar os 
“algarismos” maiores que 9 (10  A; 11  B; 12  C; 13  D; 14  E; 15  F). 
 
 
Exemplos 
 
1. Utilizando uma estrutura pictórica (figura), represente o número decimal 46 nas bases 5, 8 e 16. 
 
2. Em um sistema de transmissão de dados, cada sinal é transmitido individualmente por uma fibra, ou 
seja, utiliza um canal individual. Entretanto, podemos associar 8 canais em uma superfibra que, embora 
mais cara que 8 fibras individuais, permite maior controle, menor desperdício (perda) e maior 
confiabilidade. Ainda, grupos de 8 superfibras podem se associar em um cabo especial com 64 fibras e 
assim por diante. Se os preços dos cabos são p reais por fibra individual, 10p reais por superfibra e 86p 
reais por cabo especial, quanto seria gasto num sistema com 245 canais? 
 
 
 
3. Admita que uma determinada informação possa assumir M valores distintos e que queiramos expressa-
la num sistema (numérico) de base R. Quantos coeficientes são necessários para que possamos 
representar todos os M valores possíveis da informação? Assuma que esses valores vão de 0 a M – 1. 
 
 
 Sistemas de numeração de especial interesse em Eletrônica Digital são o binário (base 2, algarismos 
0 e 1), o octal (base 8, algarismos de 0 a 7) e o hexadecimal (base 16, que usa os algarismos de 0 a 9 e 
as letras de A a F). 
 O sistema binário está intimamente associado ao fato de, em Eletrônica, distinguirmos se num 
determinado ramo de circuito passa ou não passa corrente elétrica: podemos associar o número 1 à 
passagem de corrente elétrica e o número 0 à interrupção desta. 
 
 
não passa corrente 
número binário 0 
 
passa corrente 
número binário 1 
 
 Os sistemas octal e hexadecimal compactam a representação binária porque 8 e 16 são potências de 
2 (8 = 2
3
 e 16 = 2
4
). Por isso, cada três dígitos binários correspondem a um dígito octal; cada quatro dígitos 
binários correspondem a 1 dígito hexadecimal. Por exemplo, é fácil verificarmos que 
(1011001)2 = (131)8 = (59)16 
 Como exercício, verifique as igualdades acima! 
 
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3. Conversão de um sistema qualquer para o decimal 
 A representação de um número em nosso sistema decimal é posicional, ou seja, cada algarismo tem 
um valor relativo que depende de sua posição no numeral. Os valores relativos são associados a potências 
de base 10, como mostrado abaixo: 
 
número 1 0 6 4 (1064) 
potências de 10 10
3
 10
2
 10
1
 10
0
 
valor relativo 1 x 10
3
 0 x 10
2
 6 x 10
1
 4 x 10
0
 
 1000 0 60 4 = 1000 + 0 + 60 + 4 = 1064 
 
 Para determinarmos o equivalente decimal de um número escrito em uma base b qualquer, basta 
procedermos como mostrado acima, cuidando para que os valores relativos sejam associados às potências 
da base em questão. 
 
Por exemplo, determinemos o equivalente decimal de (2071)8. 
 
número 2 0 7 1 (2071)8 
potências de 8 8
3
 8
2
 8
1
 8
0
 
valor relativo 2 x 8
3
 0 x 8
2
 7 x 8
1
 1 x 8
0 
 
 1024 0 56 1 = 1024 + 0 + 56 + 1 = 1081 
 
 
Assim, verificamos que (2071)8  1081 (não precisamos escrever a base 10...). 
 
 
Exemplo 
 
Determine os equivalentes decimais dos números 
 
 (12345)6 
 (10100101110)2 
 (2456)8 
 (52E)16 
 
 
4. Conversão do sistema decimal para um de base qualquer 
 Dado um número na base 10, para determinarmos seu equivalente em uma base b qualquer basta 
calcularmos quantas vezes a base b e os grupos de b elementos mencionados no item (1) “cabem” no 
número dado. Veja o exemplo: 
 
 No número 1081 cabem 1081  8 = 135 grupos de 8 unidades e sobra 1 unidade; 
 Os 135 grupos de 8 unidadescorrespondem a 135  8 = 16 grupos de 8 x 8 unidades e sobram 7 
grupos de 8 unidades 
 Os 16 grupos de 8 x 8 unidades podem ser divididos em 16  8 = 2 grupos de 8 x 8 x 8 unidades 
e não sobra nenhum. 
 
Assim, no número 1081 temos: 
 
 2 grupos de 8 x 8 x 8 = 83 unidades 
 0 grupo de 8 x 8 = 82 unidades 
 7 grupos de 8 = 81 unidades 
 1 grupo de 1 = 80 unidade 
 
 Logo, podemos escrever 
1081 = (2071)8 
 
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 Em termos práticos, a conversão pode ser feita por divisões sucessivas do número dado (na base 10) 
pelo valor da nova base (b), recolhendo-se o último quociente e os restos (na ordem inversa) para formar o 
número na base b. Para o exemplo acima, teríamos: 
 
1081 8 
1 135 8 
 7 16 8 
 0 2 
 
 Com o último quociente e os restos na ordem inversa formamos o conjunto 2 0 7 1, ou seja, 
 
1081 = (2071)8 
 
 
 
Exemplo 
 
Escreva o número 12345 
 
 na base 5 
 na base 16 
 na base 2 
 na base 8 
 
 
5. Conversão entre bases quaisquer 
 Um método para se converter um número numa base b1 para outra base b2 é, primeiramente, 
encontrar o equivalente decimal do número dado (na base b1) e, depois, converter o decimal equivalente 
para a base b2. Por exemplo, para converter (1023)4 para a base 6 faríamos: 
 
1°. Achar o equivalente decimal de (1023)4. 
 (1023)4  1 x 4
3
 + 0 x 4
2
 + 2 x 4
1
 + 3 x 4
0
 = 64 + 0 + 8 + 3 = 75 
 
2°. Converter 75 para a base 6. 
 
75 6 
3 12 6 
 0 2 
 
 Logo, 75  (203)6 
 
3°. Assim, (1023)4  (203)6 
 
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6. Operações aritméticas no sistema binário 
 Por ser de especial importância no estudo de circuitos digitais, o sistema binário (base 2, algarismos 0 
e 1) merece especial atenção. 
 Inicialmente, vale ressaltar que um dígito binário é denominado bit (do inglês binary digit). Assim, 
 
um bit é um número que só pode valer 0 ou 1 
 
 Veremos agora como proceder às operações de adição, multiplicação e subtração entre números 
binários (a divisão foge ao escopo de nosso assunto). 
 
a) Adição 
A soma de dois dígitos binários (dois bits) é feita segundo o quadro abaixo: 
 
Adição de dígitos binários 
0 0 1 1 
0 1 0 1 
0 
 
1 
 
1 
 0 
(e “vai um”) 
 
 
b) Multiplicação 
O produto de dois bits é obtido seguindo-se as regras: 
 
Multiplicação de dígitos binários 
0 0 1 1 
0 1 0 1 
0 0 0 1 
 
 
c) Subtração 
Para se achar a diferença entre dois dígitos binários utilizamos: 
 
Subtração de dígitos binários 
0 0 1 1 
0 1 0 1 
0 
 1 
(empresta-
se 1) 
 
1 
 
0 
 
 
 
d) Subtração usando complemento de 2 
A diferença entre dois números binários, formados por vários bits, pode ser encontrada pela soma 
do primeiro com o simétrico do segundo (simétrico é o negativo de um número). 
Um número negativo pode ser representado acrescentando-se um bit à esquerda com valor 1, 
que não faz parte do número: serve apenas para indicar seu sinal. Por exemplo: 
 
01011  decimal + 11 
11011  decimal – 11 
 
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Esta representação, entretanto, não é útil para o nosso propósito, que é de achar a diferença 
entre dois números através da soma. 
Uma forma mais conveniente de representar um número negativo é através do seu complemento 
de 2: invertemos todos os bits do número e somamos 1 ao resultado. Exemplificando: 
 
número original 1011 decimal 11 
inversão dos bits 0100 complemento de 1 
somando 1 0101 complemento de 2  – 11 
 
Com essa representação, confira os exemplos abaixo, onde usaremos “acumuladores” de 6 bits 
(apenas 5 bits são aproveitados: o bit mais significativo está associado ao sinal): 
 
 21 – 10 = ? 
21  010101 
– 10  110110 
21 + (– 10)  010101 + 110110 = 1001011 
eliminando o primeiro bit (pois só há 6 bits) 001011  decimal +11 
 
 7 – 13 = ? 
7  000111 
– 13  110011 
7 + (– 13)  000111 + 110011 = 111010 
como o primeiro bit é igual a 1, o resultado é negativo  o resultado está na forma de 
complemento de 2  devemos achar o número cujo complemento de 2 é 111010  basta 
acharmos o complemento de 2 novamente  000110  decimal (–) 6 
 
 3 – 17 = ? 
3  000011 
– 17  101111 
3 + (– 17) = 000011 + 101111 = 110010 
primeiro bit igual a 1  resultado negativo  complemento de 2 novamente  001110  
decimal (–) 14 
 
 12 – 12 = ? 
12  001100 
– 12  110100 
12 + (– 12) = 001100 + 110100 = 1000000 
eliminando o primeiro bit (só há 6 bits)  000000  decimal 0 
 
 31 – 3 = ? 
31  011111 
– 3  111101 
31 + (– 3)  011111 + 111101 = 1011100 
eliminando o primeiro bit  011100  decimal 28 
 
 3 – 31 = ? 
3  000011 
– 31  100001 
3 + (– 31)  000011 + 100001 = 100100 
primeiro bit igual a 1  negativo  novo complemento de 2  011100  decimal (–) 28 
 
 17 – 26 = ? 
17  010001 
– 26  100110 
17 + (– 26)  010001 + 100110 = 110111 
primeiro bit igual a 1  negativo  novo complemento de 2  001001  decimal (–) 9 
 
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Exemplos 
 
1. O bloco abaixo é denominado meio somador de dois bits: dados os bits de entrada A e B, o circuito 
interno deve fornecer as saídas S e C, de modo que S é o resultado da soma e C é o “carry out”, ou 
seja, o “vai um”. Complete a tabela abaixo para os possíveis valores de A e B. 
 
 
A B S C 
0 0 
0 1 
1 0 
1 1 
 
2. Utilizando blocos somadores como mostrado no exemplo (1) e, ainda, um bloco inversor, que fornece 
na saída o complemento de 1 (ou, simplesmente, complemento) do bit de entrada ( M = 0  
M
 = 1 e 
M = 1  
M
 = 0), monte uma estrutura que dê a diferença entre dois números binários A1A0 – B1B0. 
Complete a tabela abaixo com os resultados que você obterá com seu circuito: D1 D0 é o resultado e S 
é o bit de sinal do resultado. 
 
 
A1 A0 B1 B0 S D1 D0 
0 0 0 0 
0 0 0 1 
0 0 1 0 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
0 1 0 1 
0 1 1 0 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 0 1 
1 0 1 0 
1 0 1 1 
1 1 0 0 
1 1 0 1 
1 1 1 0 
1 1 1 1