2Listacal2T01022010 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
DEMAT/ICE/UFRRJ, Prof.Orlando
2a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo II-IC 242-T01/T02
1. Em cada caso, a equac¸a˜o dada abaixo descreve uma elipse de centro na origem
e focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y. (i) Calcule as medidas dos eixos
maior e menor e a distaˆncia focal; (ii) Escreva as coordenadas dos ve´rtices e
dos focos.
(a) 16x2 + y2 = 1
(b) 25x2 + 169y2 = 9
(c) 8x2 + 3y2 = 24
2. Em cada caso, a equac¸a˜o dada abaixo descreve uma hipe´rbole de centro na
origem e focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y. (i) Calcule as medidas dos
eixos transverso e conjugado e a distaˆncia focal; (ii) Escreva as coordenadas
dos ve´rtices, dos focos e das extremidades do eixo conjugado.
(a) 25x2 − 144y2 = 9
(b) 16x2 − y2 = −1
(c) 9x2 − 4y2 = 36
3. Obtenha o paraˆmetro p, o foco e a reta diretriz de cada para´bola dada.
a)y2 = 5x, b)y2 = −5x, c)y = 10x2, d)y + x2 = 0
4. Para cada func¸a˜o z = f(x, y) abaixo: (a) Econtre o domı´nio e a imagem; (b)
Descreva as curvas de n´ıvel; (c) Encontre a fronteira do domı´nio; (d) Determine
se o domı´nio e´ aberto, fechado ou nenhum dos dois; (e) Decida se e´ limitado
ou ilimitado.
(a) f(x, y) = xy
(b) f(x, y) =
√
y − x
(c) f(x, y) = y
x2
(d) f(x, y) = e−(x
2+y2)
(e) f(x, y) = arcsen(y − x)
(f) f(x, y) = arctg( y
x
)
(g) f(x, y) = ln(x2 + y2)
(h) f(x, y) = 1√
16−x2−y2
1
5. Ache o domı´nio das func¸o˜es e mostre graficamente a regia˜o de definic¸a˜o:
a)Z =
√
2y − x2 − y2, b)Z = 2√y−x, c)f(x, y) =
√
x2+y2−1
y+x
6. Calcule os limites abaixo:
a) lim
(x,y)→(0,0)
ex+ey
cosx+cosy
, b) lim
(x,y,z)→(0,−1,0)
y3+xz2
x2+y2+z2
7. Mostre que na˜o existem os limites lim
(x,y)→(x0,y0) f(x, y) nos seguintes casos:
(a) f(x, y) = x
3y2
x8+y4
, (x0, y0) = (0, 0);
(b) f(x, y) = x
2+y
x2+y2
, (x0, y0) = (0, 0);
(c) f(x, y) = y
2+2x
y2−2x , (x0, y0) = (0, 0)
(d) f(x, y) = xy
y−2x , (x0, y0) = (1, 2)
8. Ache a de modo que seja cont´ınua a func¸a˜o
f(x, y) =

x2 + y2√
x2 + y2 + 1− 1 se (x, y) 6= (0, 0)
a se (x, y) = (0, 0)
9. Discuta a continuidade da func¸a˜o : f(x, y) =
{ xy
|x|+|y| se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
10. Defina f(0, 0) de maneira que f se estenda a uma func¸a˜o cont´ınua na origem
onde a)f(x, y) = ln
(
3x2−x2y2+3y2
x2+y2
)
e b)f(x, y) = 2xy
2
x2+y2
.
11. Mostre que lim
(x,y,z)→(0,0,0) f(x, y, z) na˜o existe onde: f(x, y, z) =
x2+y2−z2
x2+y2+z2
12. Calcule as derivadas parciais indicadas:
(a) f(x, y) = 3xy + 6x− y2, ∂f
∂x
, ∂f
∂y
(b) f(x, y) = 3xy + 6x− y2, ∂f
∂y
(c) f(x, y) = e−xsen(x+ y), ∂f
∂x
, ∂f
∂y
(d) f(x, y) = arctg( y
x
), ∂f
∂x
, ∂f
∂y
(e) f(x, y) = exylny, ∂f
∂x
, ∂f
∂y
2
(f) f(x, y) = Logyx,
∂f
∂x
, ∂f
∂y
(g) f(x, y) = sen2(x− 3y), ∂f
∂x
, ∂f
∂y
(h) f(x, y) = xcosy − yex, ∂2f
∂y2
, ∂
2f
∂y∂x
13. Encontre o valor de ∂z
∂x
no ponto (1, 1, 1) sabendo que a equac¸a˜o
xy + z3x− 2yz
define z como uma func¸a˜o de duas varia´veis independentes x e y e que a
derivada parcial existe.
14. Mostre que as func¸o˜es
a)f(x, y) = x2 − y2
b)f(x, y) = ln(x2 + y2)
satisfazem a` equac¸a˜o de Laplace ∂
2f
∂x2
+ ∂
2f
∂y2
= 0
15. Calcule a derivada direcional no ponto P0 na direc¸a˜o do vetor v, nos seguintes
casos:
a)f(x, y) = ex
2−y2 , P0 = (1, 1), v = (1, 3)
a)f(x, y) =
√
4− x2 − y2, P0 = (0, 1), v = (2, 2)
16. Os comprimentos a, b e c das arestas de uma caixa retangular variam com o
tempo. No instante em questa˜o, a = 1 m, b = 2 m, c = 3 m, da
dt
= 1 m/s, db
dt
=
1 m/s e dc
dt
= −3 m/s. Quais sa˜o as taxas de variac¸a˜o do volume V e da a´rea
S da caixa em um dado instante?
17. A voltagem V em um circuito ele´trico que satisfaz a lei V = IR vai caindo
lentamente a` medida que a bateria descarrega. Ao mesmo tempo a resisteˆncia
R vai aumentando a` medida que o resistor esquenta. Como esta´ variando a cor-
rente I no instante em que R = 600 ohms, I = 0, 04 amp, dR
dt
= 0, 5 ohms/seg
e dV
dt
= −0, 01 volts/seg? (Figura 1)
3
Figura 1: Circuito Ele´trico
Resposta: −0, 00005amps/s
18. Expresse vx em termos de u e v se as equac¸o˜es x = vlnu e y = ulnv definem u
e v como func¸o˜es das varia´veis independentes x e y e se vx existe.
Ajuda: Diferencie ambas as equac¸o˜es em relac¸a˜o a x e resolva o sistema resul-
tante para vx.
19. Suponha que substituamos coordenadas polares x = rcosθ e y = rsenθ em
uma func¸a˜o diferencia´vel w = f(x, y).
(a) Mostre que
∂w
∂r
= fxcosθ + fysenθ
e
1
r
∂w
∂θ
= −fxsenθ + fycosθ
(b) Resolva as equac¸o˜es no item (a) para expressar fx e fy em termos de
∂w
∂r
e ∂w
∂θ
(c) Mostre que
(fx)
2 + (fy)
2 = (
∂w
∂r
)2 +
1
r2
(
∂w
∂θ
)2
20. Mostre que se w = f(u, v) satisfaz a equac¸a˜o de Laplace fuu + fvv = 0 e se
u = x
2−y2
2
e v = xy, enta˜o w satisfaz a equac¸a˜o de Laplace wxx + wyy = 0
21. Suponha que as derivadas parciais de uma func¸a˜o f(x, y, z) nos pontos da
he´lice x = cost, y = sent, z = t sejam
fx = cost, fy = sent fz = t
2 + t− 2
4
Em que pontos na curva, caso exista algum, f assume um valor extremo?
Resposta: (cos1, sen1, 1) e (cos(−2), sen(−2),−2)
22. Seja w = x2e2ycos(3z). Encontre o valor de dw
dt
no ponto (1, ln2, 0) na curva
x = cost, y = ln(t+ 2), z = t.
23. Seja T = f(x, y) a temperatura no ponto (x, y) na circunfereˆncia x = cost, y =
sent, 0 ≤ t ≤ 2pi e suponha que
∂T
∂x
= 8x− 4y, ∂T
∂y
= 8y − 4x
(a) Descubra onde ocorrem as temperaturas ma´xima e mı´nima na circun-
fereˆncia examinando as derivadas dT
dt
e d
2T
dt2
. Resposta: ma´ximo em (−
√
2
2
,
√
2
2
)
e (
√
2
2
,−
√
2
2
); mı´nimo em (
√
2
2
,
√
2
2
) e (−
√
2
2
,−
√
2
2
)
(b) Suponha que T = 4x2−4xy+4y2. Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo
de T na circunfereˆncia. Resposta: Max=6, min=2
24. Seja T = g(x, y) a temperatura no ponto (x, y) na elipse x = 2
√
2cost, y =√
2sent, 0 ≤ t ≤ 2pi e suponha que
∂T
∂x
= y,
∂T
∂y
= x
(a) Localize as temperaturas ma´xima e mı´nima na elipse examinando dT
dt
e
d2T
dt2
.
(b) Suponha que T = xy− 2. Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo de T na
elipse.
25. Em que direc¸a˜o a derivada de f(x, y) = xy + y2 em P = (3, 2) e´ igual a zero?
Resposta: u = 7√
53
i− 2√
53
j e −u.
26. Existe uma direc¸a˜o u na qual a taxa de variac¸a˜o de f(x, y) = x2 − 3xy + 4y2
em P = (1, 2) e´ igual a 14? Justifique sua resposta. Resposta: Na˜o, a taxa
ma´xima de variac¸a˜o e´
√
185 < 14
27. Existe uma direc¸a˜o u na qual a taxa de variac¸a˜o da func¸a˜o temperatura
T (x, y, z) = 2xy − yz(temperatura em graus Celsius, distaˆncia em metros)
em P = (1,−1, 1) seja −30C/m? Justifique sua resposta.
5
28. Considere a func¸a˜o f(x, y) = x2 + y2 − 2y e o ponto P0 = (2, 2). Determine a
taxa de variac¸a˜o de f em P0 na direc¸a˜o do vetor (1, 1) e a direc¸a˜o na qual a
taxa de variac¸a˜o de f em P0 e´ ma´xima.
29. Um esquiador esta´ num ponto Q0 de uma montanha cujos pontos teˆm alturas
relativas ao plano xy dadas pela func¸a˜o f : D ⊂ R2 → R definida por f(x, y) =
2xy, onde D = {(x, y) ∈ R2| x > 0}. Sendo que Q0 tem abscissa x0 = e e
ordenada y0 = 1, qual a direc¸a˜o mais favora´vel que o esquiador deve tomar
para pra´tica do seu esporte e qual e´ a sua velocidade ma´xima? E a direc¸a˜o
menos favora´vel? (Figura 2)
Figura 2: Esquiador na Montanha
30. Seja f(x, y) =

x3y
x5 + y3
, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
(a) Mostre que f na˜o e´ cont´ınua em (0, 0).
(b) Mostre que f possui derivada direcional em (0, 0) na direc¸a˜o de qualquer
vetor unita´rio v = (a, b),
√
a2 + b2 = 1, isto e´, existe
∂f
∂v
(0, 0).
(c) Mostre que a func¸a˜o f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0).
31.Encontre a equac¸a˜o do plano tangente e da reta normal no ponto P0 em cada
superf´ıcie dada:
(a) x2 + y2 + z2 = 3, P0 = (1, 1, 1)
(b) x2 + y2 − z2 = 18, P0 = (3, 5,−4)
(c) x2 + 2xy − y2 + z2 = 7, P0 = (1,−1, 3)
6
(d) cospix− x2y + exz + yz = 4, P0 = (0, 1, 2)
(e) x+ y + z = 1, P0 = (0, 1, 0)
32. Encontre a equac¸a˜o parame´trica da reta tangente a` curva de intersec¸a˜o das
superf´ıcies xyz = 1 e x2 + 2y2 + 3z2 = 6 no ponto (1, 1, 1).
33. Encontre a equac¸a˜o parame´trica da reta tangente a` curva de intersec¸a˜o das
superf´ıcies x2 + y2 = 4 e x2 + y2 − z = 0 no ponto (√2,√2, 4).
34. Suponha que a temperatura em graus Celsius em um ponto (x, y) no plano xy
seja T (x, y) = xsen(2y) e que a distaˆncia no plano xy seja medida em metros.
Uma part´ıcula esta´ se movendo no sentido hora´rio ao redor da circunfereˆncia
de raio 1m centrada na origem a uma taxa constante de 2m/s.
(a) Qual e´ a velocidade da variac¸a˜o de temperatura ”sentida”pela part´ıcula,
em graus Celsius por metro, no ponto P = (1
2
,
√
3
2
). Resposta:
√
3
2
sen
√
3−
1
2
cos
√
3 ≈ 0, 9350C/m
(b) Qual e´ a velocidade da variac¸a˜o de temperatura ”sentida”pela part´ıcula
em graus Celsius por segundo em P? Resposta:
√
3sen
√
3 − cos√3 ≈
1, 870C/s
7