Apostila Matrizes e Determinantes

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Apostila: Matrizes e Determinantes 
Prof. André Luís Rossi de Oliveira 
 
1 Matrizes 
1.1 Conceitos Básicos 
 
Chamamos de matriz a uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. 
 
Exemplos: 
(1) Considere a tabela abaixo: 
 
 Altura (metros) Peso (quilos) Idade (anos) 
Pessoa 1 1,70 70 23 
Pessoa 2 1,75 60 45 
Pessoa 3 1,60 52 25 
Pessoa 4 1,81 72 30 
 
Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, obtemos a matriz 
 
 
1,70 70 23
1,75 60 45
1,60 52 25
1,81 72 30
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
(2) Os elementos de uma matriz podem ser números, funções etc, como nas 
matrizes abaixo: 
 
 [ ]
2
3
1 0
5 22
31 3
x
sen x ex
xx
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 
 1
 
Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por 
 
 
11 12 1
21 22 2
1 2
,
n
n
m n ij m n
m m mn
a a a
a a a
A a
a a a
× ×
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
"
"
# # % #
"
 
onde é o elemento característico da matriz, com i representando a linha e j, a coluna. ija
 
Definição: Duas matrizes e m n ij r s ijm n r sA a B b× ×× ×⎡ ⎤ ⎡= = ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ são iguais, ou seja, A B= , se elas 
têm o mesmo número de linhas ( m r= ) e colunas ( n s= ) e todos os seus elementos 
correspondentes são iguais ( ). ij ija b=
 
Exemplo: 
 
2
0
2 ln1 90 4 0 1
3 0 9 3 0
cos90 1 3 0 1 3
osen⎡ ⎤
3
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
1.2 Tipos Especiais de Matrizes 
 
Seja uma matriz com m linhas e n colunas. Alguns tipos importantes de matrizes 
são os seguintes: 
m nA ×
 
(a) Quadrada: É aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas 
( m ). n=
 
 [ ]1 1
3 3
2 0 9
4 8 7 4
2 8 6
×
×
−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 2
 
(b) Nula: . 0 ,ija i= ∀ j
 
 
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
(c) Coluna: . 1n =
 
6
1
0
4
8
3
7
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦
 
 
Uma matriz coluna é chamada de vetor-coluna. 
 
(d) Linha: . 1m =
 
 [ ] [ ]3 7 4 6 4 1 8− − − 
 
Uma matriz linha é chamada de vetor-linha. 
 
(e) Diagonal: É uma matriz quadrada onde 0ija i j= ∀ ≠ . 
 
 
2 0 0
0 1 0
0 0 4
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 
 
(f) Identidade: É uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal são 
iguais a 1, ou seja, 1 e 0ii ija a i j= = ∀ ≠ . 
 
 3
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
(g) Triangular Superior: É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo 
da diagonal são nulos, isto é, 0ija i j= ∀ > . 
 
 
4 3 2 9
0 1 0 1
0 0 3 4
0 0 0 1
− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
(h) Triangular Inferior: É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima 
da diagonal são iguais a zero, isto é, 0ija i j= ∀ < . 
 
 
2 0 0 0
3 2 0 0
3 3 4 0
2 4 8 9
⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥−⎣ ⎦
 
 
(i) Simétrica: É uma matriz quadrada onde ,ij jia a i j= ∀ . 
 
 
1 2 4
2 3 1
4 1 2
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 
 
1.3 Operações com Matrizes 
 
Adição: , onde ij ij m nA B a b ×⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦ e m n ij m n ijA a B b× ×⎡ ⎤ ⎡= = ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . 
 
 4
Exemplo: 
1 5 0 8 1 13
3 3 7 1 4 2
4 2 9 0 13 2
− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− + − = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
 
Propriedades da adição: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem mxn, temos: 
(i) A B B A+ = + (comutatividade) 
(ii) ( ) ( )A B C A B C+ + = + + (associatividade) 
(iii) , onde 0 é a matriz nula mxn. 0A+ = A
 
Demonstração: Exercício! 
 
Multiplicação por escalar: . ij m nk A ka ×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , onde ij m nA a ×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ e k é um número real. 
Exemplo: 
0 3 0 21
7
4 5 28 35
− −⎡ ⎤ ⎡=⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎦
 
Propriedades: Dadas matrizes A e B de mesma ordem mxn e números reais , 
temos: 
1 2, e k k k
(i) ( )k A B kA kB+ = +
(ii) ( )1 2 1 2k k A k A k A+ = +
(iii) 0. 0A =
(iv) ( ) ( )1 2 1 2k k A k k A=
 
Demonstração: Exercício! 
 
Transposição: Dada uma matriz ij m nA a ×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , a matriz transposta de A é definida como 
, cujas linhas são as colunas de A, isto é, T ij n mA b ×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ,ij jib a i j= ∀ . 
 
Exemplos: 
 5
 
3 8
3 0 0
0 7
8 7 3
0 3
4 2 4 2
2 1 2 1
T
T
A A
B B
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
Propriedades: 
(i) Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual à sua transposta, ou seja, TA A= . 
(ii) ( )TTA A= 
(iii) ( )T T TA B A B+ = + 
(iv) ( )T TkA kA=
(v) ( )T T TAB B A= 
 
Demonstração: Exercício! 
 
Multiplicação de Matrizes: Sejam [ ] e ij rs n pm nA a B b ××⎡ ⎤= =⎣ ⎦ . Definimos o produto 
matricial [ ]uv m pAB c ×= por 
 
 1 1
1
n
uv uk kv u v un nv
k
c a b a b a
=
= = + +∑ " b
 
Perceba que só é possível efetuar o produto de duas matrizes e m n l pA B× × se n l= , ou 
seja, se o número de colunas da matriz que aparece pré-multiplicando for igual ao número 
de linhas da matriz que aparece pós-multiplicando. 
 
Exemplos: 
 
 6
 
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
1 1 2 3
2 1 2
3 1
3 1 5 4 3 0 5 73 5 1 0 17 35
4 1 6 4 4 0 6 74 6 4 7 20 42
1 3 1 5 3 9 32
5
2 8 2 5 8 9 82
9
4 0 4 5 0 9 20
2 8 9 2 8 9
3 9 0 3 9
2 1 3 2
x x x x
A x x Ax x x
x x
⎡ ⎤− + +−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦
⎡ ⎤+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = = − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 33x x
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎣ ⎦
⎤⎥⎦
 
 
Propriedades: 
(i) Em geral, AB BA≠ . 
Exemplo: Se , então 
1 1 1 1 2 3
3 2 1 2 4 6
2 1 0 1 2 3
A B
−⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢= − − =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢−⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
 
 
0 0 0 11 6 1
0 0 0 e 22 12 2
0 0 0 11 6 1
AB BA
− −⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢= = −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢
⎤⎥− ⎥⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
É importante perceber que 0AB = sem que 0 ou 0A B= = . 
Desde que estejam bem definidas as operações, as seguintes propriedades são válidas: 
(ii) AI IA A= = 
(iii) ( )A B C AB AC+ = + 
(iv) ( )A B C AC BC+ = + 
(v) ( ) ( )AB C A BC= 
(vi) ( )T T TAB B A= 
(vii) 0. 0 e .0 0A A= =
 
 7
1.4 Matriz Inversa 
 
Definição: Seja A uma matriz quadrada. A matriz inversa de A, denotada por , é aquela 
que satisfaz a condição . 
1A−
1 1AA A A I− −= =
 
Obs.: (i) Nem toda matriz quadrada possui inversa. Se uma matriz quadrada possui 
inversa, ela é chamada de não-singular. Se ela não possui inversa, é chamada de singular. 
(ii) Se existe a matriz inversa, então ela é única. 
 
Exemplos: Se e 
3 1
0 2
A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
1 1
3 6
10
2
B
⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎥ , então 
 
 
3 1 2 1 6 0 1 01 1 .
0 2 0 3 0 6 0 16 6
AB I
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 
Podemos verificar facilmente que BA I= , de forma que 1B A−= e . 1A B−=
 
Propriedades: 
(i) ( ) 11A A−− = 
(ii) ( ) 1 1 1AB B A− − −= 
Demonstração: Seja C a inversa de AB. Então CAB I= , de forma que 
 
 1 1 1 1 1 1.CABB A IB A B A− − − − −= = − 
 
Mas também é verdade que 
 
 1 1 1 1 ,CABB A CAIA CAA CI C− − − −= = = = 
 
o que implica 1 1C B A− −= . 
 8
(iii) ( ) ( )1 1 TTA A− −=
 
1.5 Sistemas de Equações Lineares e Matrizes 
 
Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de 
equações do tipo: 
 
 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪
m+ + + =⎩
"
"
#
"
 
 
onde os , são números reais. , 1 ,1ija i m j≤ ≤ ≤ ≤ n
)
Uma solução do sistema acima é uma lista de n números (n-upla) do tipo 
( 1 2, , , nx x x… que satisfaça simultaneamente as m equações. 
O sistema pode ser escrito na forma matricial como 
 
 
1112 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
 ou ,
n
n
m m mn n n
a a a x b
a a a x b
Ax b
a a a x b
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
…
…
# # % # # #
…
 
 
onde A é a matriz dos coeficientes, x é o vetor das incógnitas e b é o vetor dos termos 
independentes. 
Outra matriz importante é a matriz ampliada do sistema: 
 
 
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
n
n
m m mn n
a a a b
a a a b
a a a b
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
…
…
# # % # #
…
 
 9
Exemplo: Considere o sistema 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 5
7
5 9
x x x
x x x
x x x
7
4
3
+ − =⎧⎪− + − =⎨⎪ + + = −⎩
. A sua forma matricial é 
 
 
1
2
3
2 3 5 7
1 7 1 4 .
1 5 9 3
x
x
x
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎤⎥⎥⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
Operações Elementares 
 
(i) Permuta da i-ésima e j-ésima linhas ( i jL L↔ ) 
 
Exemplo: 1 2L L↔
 
2 0 4 2
4 2 2 0
5 1 5 1
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢→− ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢− − ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
(ii) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar (número real) não nulo k ( ) i iL kL→
 
Exemplo: 3 32L L→−
 
2 0 2 0
4 2 4 2
5 1 10 2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢→− − ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
j
 
 
(iii) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha 
( i iL L kL→ + ) 
 
Exemplo: 2 2 3L L→ + 1L
 
 
2 0 2 0
4 2 10 2
5 1 5 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢→ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢− − ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 10
 
Se A e B são matrizes mxn, dizemos que B é linha-equivalente a A se B pode ser 
obtida de A através de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A. A 
notação para isso é . ou A B A→ ∼ B
⎤⎥⎥⎥⎦
⎤⎥− ⎥⎥⎦
 
Exemplo: , pois 
1 0 1 0
4 1 0 1
3 4 0 0
⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢→−⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢−⎣ ⎦ ⎣
 
2 2 1 3 3 1
2 2 3 3 2
4 3
4
1 0 1 0 1 0
4 1 0 1 0 1
3 4 3 4 0 4
1 0 1 0
0 1 0 1
0 4 0 0
L L L L L L
L L L L L
→ − → +
→− → −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
Teorema: Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes são equivalentes, ou 
seja, toda solução de um dos sistemas também é solução do outro. 
Demonstração: Não será apresentada. 
 
Forma Escada 
 
Definição: Uma matriz mxn é linha-reduzida à forma escada se: 
(a) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1; 
(b) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos 
os seus outros elementos iguais a zero; 
(c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linha não nulas; 
(d) Se as linhas 1, são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da 
linha i ocorre na coluna , então 
, r…
ik 1 2 rk k k< < <" . 
 
Exemplos: 
 11
(1) A matriz não satisfaz as condições (b) e (c). 
1 4 0
0 0 0
0 1 0
−⎡ ⎤⎢⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
(2) A matriz não satisfaz as condições (a), (b) e (d). 
0 3 0
1 0 2
0 0 1
⎡ ⎤⎢ −⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
(3) A matriz está na forma escada. 
0 1 0 2 2
0 0 1 0 3
0 0 0 0 0
−⎡ ⎤⎢⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Teorema: Toda matriz é linha-equivalente a uma única matriz linha-reduzida à forma 
escada. 
m nA ×
Dem.: Não será apresentada. 
 
Definição: Dada uma matriz m nA × , seja m nB × a matriz linha-reduzida à forma escada 
equivalente a A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B. A 
nulidade de A é igual ao número n-p. 
 
Exemplo: Considere a matriz 
1 2 1 0
1 0 3 5
1 2 1 1
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
. Efetuamos as seguintes operações: 
 
 
22 2 1
2
3 3 1
31 1 2 1 1 3
3
3 3 2 2
2
2 3
4 8
1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0
1 0 3 5 0 2 4 5 0 1 2 5 2
1 2 1 1 0 4 0 1 0 4 0 1
1 0 3 5 1 0 3 5
0 1 2 5 2 0 1 2 5 2
0 0 8 11 0 0 1 11 8
LL L L LL L L
LL L L L L LLL L L L
→ + →→ −
→ − → +→→ +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 32
1 0 0 7 8
0 1 0 1 4
0 0 1 11 8L L→ −
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯⎯→ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
O posto de A é 3 e a nulidade é 4-3=1. 
 12
Podemos interpretar a matriz A como sendo a matriz ampliada do seguinte sistema 
linear: 
 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
0 3
2 1
x x x
x x x
x x x
+ + =⎧⎪ 5− + + =⎨⎪ − + =⎩
 
 
Pelo que foi demonstrado acima, esse sistema é equivalente ao seguinte sistema: 
 
 
1
2
3
7
8
1
4
11
8
x
x
x
⎧ = −⎪⎪⎪ = −⎨⎪⎪ =⎪⎩
 
Soluções de Sistemas de Equações Lineares 
 
Considere o sistema formado de apenas uma equação e uma incógnita . Nesse 
caso, há três possibilidades: 
ax b=
(i) : Existe uma única solução 0a ≠ bx
a
= . 
(ii): : Neste caso, o sistema torna-se 00 e 0a b= = 0x = e qualquer número real é uma 
solução. 
(iii) : Neste caso, o sistema torna-se 0 e 0a b= ≠ 0x b= e não possui solução. 
 
Analogamente, no caso de um sistema de m equações lineares e n incógnitas, há três 
casos possíveis: uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. No primeiro 
caso, o sistema é dito possível (ou compatível) e determinado, no segundo, possível e 
indeterminado, e, no terceiro, impossível (ou incompatível). 
O seguinte teorema traz alguns resultados sobre a existência de soluções. 
 
 13
Teorema: 
(i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se, o posto da 
matriz ampliada é igual ao posto da matriz de coeficientes; 
(ii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p n= , a solução é única. 
(iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto e p<n, podem ser escolhidas n-p incógnitas, e 
as demais p incógnitas serão dadas em função destas. 
 
Exemplos: 
(1) O sistema com matriz ampliada 
1 0 0 5
0 1 0 1
0 0 1 2
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 tem solução única, dada por 
, já que o posto da matriz de coeficientes (1 2 35, 1, 2x x x= = − = − cp ) é igual ao da matriz 
ampliada ( ap ), , e o número de incógnitas é igual ao posto. 3c ap p= =
(2) Para o sistema com matriz ampliada 
1 0 8 2
0 1 2 5
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦ , temos 
, de maneira que há infinitas soluções, dadas por 2, 2, 3, 2c ap p m n p= = = = =
 1 3
2 3
2 8
5 2
x x
x x
= − −
= + 
(3) O sistema com matriz ampliada 
1 0 8 2
0 1 2 5
0 0 0 3
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 é impossível, pois 2, 3.c ap p= =
 
(4) Considere o sistema . A matriz ampliada do sistema pode ser 
transformada na forma escada através das seguintes operações. 
1 2 3 4
1 2 3 4
2 0
3 2
x x x x
x x x x
+ + + =⎧⎨ + − + =⎩ 0
⎤⎥− ⎦
 
 
 
2 2 1 1 1 22
1 2 1 1 0 1 2 1 1 0 1 0 5 1 0
1 3 1 2 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0L L L L L L→ − → −
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
 14
Podemos observar que 2, 2, 4c ap p m n= = = = , de forma que há 2 graus de 
liberdade. As variáveis 3 e 4x x são livres. Se fizermos 3 1 4 e x x 2λ λ= = , obteremos as 
seguintes soluções do problema: 
 
1 1
2 1
3 1
4 2
5
2
x
x
x
x
2
2
λ λ
λ λ
λ
λ
= − +
= −
=
=
 
 
2 Determinantes 
2.1 Definição e propriedades básicas 
Considere o sistema de apenas uma equação e uma incógnita , com ax b= 0a ≠ . A 
solução desse sistema é bx
a
= . O denominador a está associado à matriz de coeficientes do 
sistema, [ ]a . 
Em um sistema 2x2 do tipo 11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
a x a x b
a x a x b
+ =⎧⎨ + =⎩
, a solução é dada por 
 
 1 22 2 12 2 11 1 211 2
11 22 12 21 11 22 12 21
e .b a b a b a b ax x
a a a a a a a a
− −= =− − 
 
Perceba que os denominadores são iguais. Além disso, de maneira análoga ao caso de 
uma equação e uma incógnita, os denominadores estão associados à matriz de coeficientes 
do sistema, qual seja 
 
 11 12
21 22
a a
a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 
 
Em um sistema 3x3, as soluções 1 2, e 3x x x são frações com denominadores iguaisa 
 11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31,a a a a a a a a a a a a a a a a a a− − + + −
 
 15
que também estão relacionados à matriz de coeficientes do sistema, dada por 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Os denominadores mencionados acima são chamados de determinantes das matrizes 
de coeficientes. 
Para podermos definir determinante, precisamos da noção de inversão, dada a seguir: 
 
Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, , existe uma inversão quando um 
inteiro precede outro menor do que ele. 
2, , n…
 
Podemos agora definir o conceito de determinante. 
 
Definição: O determinante de uma matriz quadrada ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ é definido como 
 ( )
1 21 2
det 1 ,
n
J
j j njA a a
ρ
= − a∑ … 
onde é o número de inversões da permutação ( 1 2, , , nJ J j j j= … ) ( )1 2, , , nj j j… e ρ indica 
que a soma ocorre sobre todas as permutações de ( )1,2, ,n… (existem permutações). !n
Podemos fazer as seguintes observações com relação a essa definição. 
 
Obs.: (i) Em cada termo do somatório, existe um e apenas um elemento de cada linha e um, 
e apenas um, elemento de cada coluna da matriz; 
(ii) O determinante também pode ser definido através da fórmula 
 ( )
1 21 2
det 1 ,
n
J
j j j nA a a
ρ
= − a∑ … 
 
Exemplos: 
(1) [ ]det a a= 
(2) 11 12 11 22 12 21
21 22
det
a a
a a a a
a a
⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦
 16
(3) 
11 12 13
21 22 23 11 22 33 11 23 32 12 21 33
31 32 33
12 23 31 13 21 32 13 22 31
det
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a a a a a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥ = − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
+ + −
 
Propriedades: 
 
(1) Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz A são nulos, então 
. det 0A =
Dem.: Segue-se imediatamente da observação (i). 
(2) det det TA A= . 
Dem.: Se ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , sabemos que T ijA b⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , onde ij jib a= . Sendo assim, 
 
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
det 1
1
det ,
n
n
J
ij j j nj
J
j j j n
ij
b b b
a a a
a
ρ
ρ
⎡ ⎤ = −⎣ ⎦
= −
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
b∑
∑
…
… 
pela observação (ii). 
Exemplo: , .
a b a c
ad bc ad bc
c d b d
= − = − 
(3) Se a linha de uma matriz é multiplicada por uma constante, o determinante fica 
multiplicado por esta constante. 
Dem.: Segue-se imediatamente da observação (i). 
Exemplo: ( ) .ka kb a bkad kbc k ad bc k
c d c d
= − = − = 
(4) A troca da posição de duas linhas (ou colunas) altera o sinal do determinante, 
mas não o seu valor numérico. 
Dem.: Quando duas linhas são trocadas, é alterada a paridade do número de 
inversões dos índices, o que significa que o sinal dos termos é trocado. 
Exemplo: ( ), .a b c dad bc cb ad ad bc
c d a b
= − = − = − − 
 17
(5) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é zero. 
Dem.: Quando as posições das linhas iguais são trocadas, o determinante troca 
de sinal, pela propriedade (4). Por outro lado, a matriz que resulta da troca de 
linhas (ou colunas) é a mesma de antes, o que significa que o determinante tem 
que ser o mesmo. Portanto, a única possibilidade é que o determinante seja nulo. 
(6) Se uma linha (ou coluna) é um múltiplo de outra linha (ou coluna), então o valor 
do determinante é zero. 
Dem.: Mesmo argumento utilizado acima, utilizando também a propriedade (3). 
(7) O determinante não se altera se for somada a uma linha (ou coluna) outra linha 
(ou coluna) multiplicada por uma constante. 
Exemplo: ( ) ( ) .a b aa d kb b c ka ad bc
c ka d kb c d
= + − + = − =+ +
b
)
 
(8) ( ) ( )(det det detAB A= B 
 
2.2 Desenvolvimento de Laplace 
O determinante de uma matriz A de dimensão 3x3 pode ser escrito como 
 
 
( ) ( ) ( )
11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 23 31
11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31
22 23 21 23 21 22
11 12 13
32 33 31 33 31 32
11 11 12 12 13 13 ,
A a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a a a a
a A a A a A
= − − + + −
= − − − + −
= − +
= − +
 
 
onde ijA é a submatriz da matriz inicial que resulta da retirada da i-ésima linha e da j-ésima 
coluna. 
Defina agora ( )1 i jij ijA+∆ = − , chamado de o cofator do elemento . A fórmula do 
desenvolvimento de Laplace é a seguinte: 
ija
 
1
det ,
n
n n ij ij
j
A a×
=
= ∆∑ 
 18
onde podemos observar que o determinante foi desenvolvido pela i-ésima linha. Uma 
fórmula análoga vale para o desenvolvimento a partir de uma determinada coluna. 
 
Exemplos: 
(1)
 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )12 22 32
1 2 3
2 1 1 2 1 1 2 2 1 8 1 7 5
2 1 2
A
−
= − = − ∆ + ∆ + − ∆ = − − + + −
− −
,= 
onde ( ) ( ) ( )1 2 2 2 3 212 22 322 1 1 3 1 31 2, 1 8 e 12 2 2 2 2 1
+ +−∆ = − = − ∆ = − = ∆ = −− −
+
− . 
 
(2) 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
1 1 2
1 1 2
3 3 2
7
2 2
2
3 7
2 2
1 2 3 4 5 2 3 4
5 3 4
4 2 0 0 0 2 0 0
2 1 5 3 0
1 2 3 0 5 2 3 0
8 3 1
2 5 3 1 8 5 3 1
5 3 4 10 0 4
10 4
2 5 3 0 2 5 3 0 2 3 1
13 1
8 3 1 13 0 1
6 10 52 372.
C C C
L L L
L L L
+
→ −
+
→ +
→ +
− − − − − −
= = − −− − − − −−
−
= − = − = − − −− − −
= − − − =
−
 
 
2.3 Cálculo da matriz inversa 
 
Definição: A matriz de cofatores de uma matriz n nA × é definida como ijA ⎡ ⎤= ∆⎣ ⎦ . 
 
Exemplo: Considere a matriz 
2 1 0
3 1 4
1 6 5
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
. Então 
 ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 311 12 131 4 3 4 3 11 19, 1 19, 1 19,6 5 1 5 1 6
+ + +− −∆ = − = − ∆ = − = ∆ = − = − 
e assim por diante, de maneira que 
 19
 
19 19 19
5 10 11
4 8 5
A
− −
.
⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 
 
Definição: Dada uma matriz quadrada A, definimos a matriz adjunta de A como sendo a 
transposta da matriz dos cofatores de A. 
 
Exemplo: Para a matriz A do exemplo anterior, temos 
 
19 5 4
19 10 8 .
19 11 5
adj A
− −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
 
Teorema: ( ) ( )detT nAA A adj A A I= = . 
Dem.: (Para ) 3n =
Considere uma matriz A de dimensão 3x3. Então 
 ( ) 11 12 13 11 21 3121 22 23 12 22 32
31 32 33 13 23 33
,ij
a a a
A adj A a a a c
a a a
∆ ∆ ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤= ∆ ∆ ∆ = ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ ∆ ∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
onde 
 11 11 11 12 12 13 13
12 11 21 12 22 13 23
det
,
c a a a
c a a a
= ∆ + ∆ + ∆ =
= ∆ + ∆ + ∆
A
e assim por diante. Podemos verificar que corresponde ao desenvolvimento de Laplace 
de 
12c
11 12 13
11 12 13
31 32 33
a a a
a a a
a a a
, que é igual a zero porque duas linhas são iguais. 
Analogamente, , de forma que det e 0,ii ijc A c i= = j≠
 ( ) ( ) 3
det 0 0
0 det 0 det .
0 0 det
A
A adj A A A I
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Dada uma matriz quadrada A de ordem n que possua inversa, temos que 
 20
 ( ) ( )( )1 1det det det .AA A A− −= 
 
Além disso, sabemos que 1 nAA I
− = e que det 1nI = , de maneira que 
( )( )1det det 1A A− = . Podemos então concluir que, se A tem inversa, então 
(i) det 0A ≠
(ii) 1 1det
det
A
A
− = , 
ou seja, é uma condição necessária para que A tenha inversa. Mas essa condição é 
também suficiente, pois sabemos que 
det 0A ≠
( )detTAA A= I , de forma que, se , então det 0A ≠
11 e 
det det
T 1 TA A I A A
A A
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . Isso conduz ao seguinte resultado: 
 
Teorema: Uma matriz quadrada A admite inversa se, e somente se, det . Nesse caso, 0A ≠
 ( )1 1 .
det
A adj A
A
− = 
 
Exemplo: Seja . Então 
4 1 1
0 3 2
3 0 7
A
−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
99 0B = ≠ e a matriz de cofatores é 
 
 
3 2 0 2 0 3
0 7 3 7 3 0
21 6 9
1 1 4 1 4 1
7 31 3
0 7 3 7 3 0
5 8 12
1 1 4 1 4 1
3 2 0 2 0 3
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥
.
−⎡ ⎤⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎢ ⎥− = −⎢⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Portanto, e 
21 7 5
6 31 8
9 3 12
adj A
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 21
 1
21 7 5
1 6 31 8
99
9 3 12
A−
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 
 
2.4 Regra de Cramer 
 
Considere um sistema de n equações lineares e n incógnitas: 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
n n nn n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x bn
+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩
"
"
#
"
 
 
Seja A a matriz de coeficientes desse sistema e denote por i∆ o determinante da 
matriz obtida substituindo a i-ésima coluna de A pela coluna dos termos independentes. A 
regra de Cramer estabelece a seguinte relação entre determinantes e a solução do sistema: 
 
Teorema: O sistema acima tem uma única solução se, e somente se, det . Nesse caso, 
a solução única é dada por 
0A ≠
 1 21 2, , ,det det det
n
nx x x .A A A
∆∆ ∆= = =… 
 
É preciso enfatizar que a regra de Cramer só pode ser utilizada para resolver sistemas 
de equações lineares com o mesmo número de equações e incógnitas e quando det 0A ≠ . 
Na verdade, se det , o teorema não diz se o sistema tem solução ou não. 0A =
 
Exemplo: Considere o sistema 
2 3 1
3 5 2
2 3
x y z
x y z
x y z
8
1
+ − =⎧⎪ + + =⎨⎪ − − = −⎩
. O determinante da matriz de coeficientes 
desse sistema é 
2 3 1
det 3 5 2 22
1 2 3
A
−
=
− −
= . Além disso, 
 22
 1 2 3
1 3 1 2 1 1 2 3 1
8 5 2 66, 3 8 2 22, 3 5 8 44.
1 2 3 1 1 3 1 2 1
− −
∆ = = ∆ = = − ∆ = =
− − − − − − −
 
 
Utilizando a regra de Cramer, obtemos 
 
 31 23, 1, 2.
det det det
x y z
A A A
∆∆ ∆= = = = − = = 
 
2.5 Exemplos de Economia e Econometria 
2.5.1 Economia 
Considere uma economia com dois bens em que as funções de demanda e oferta são 
lineares. Temos então as seguintes relações em um mercado competitivo: 
 
 
1
0 1 1 2 2
1
0 1 1 2 2
1 1
2
0 1 1 2
2
0 1 1 2
2 2
0
0,
d
s
d s
d
s
d s
Q a a P a P
Q b b P b P
Q Q
Q P
Q P
Q Q
α α α
β β β
= + +
= + +
− =
= + +
= + +
− =
2
2
P
P
onde os e são parâmetros das funções de demanda e oferta do bem 1 e os ia s′ jb s′ i sα ′ e 
j sβ ′ são parâmetros das funções de demanda e oferta do bem 2, respectivamente. 
Podemos substituir a primeira e a segunda equações na terceira, e a quarta e a quinta 
equações na sexta, para obter o seguinte sistema de equações nos preços e : 1P 2P
 1 1 2 2 0
1 1 2 2 0
,
c P c P c
P Pγ γ γ
+ = −⎧⎨ + = −⎩
 
onde e , 0,1,2i i ic a b i≡ − = , 1, 2,3i i i iγ α β≡ − = . 
Podemos aplicar a regra de Cramer a esse sistema, desde que o determinante da 
matriz de coeficientes seja diferente de zero. Suponha que 1 2 2 1c cγ γ≠ . Então 
 23
 1 2 1 2 2 1
1 2
det 0,
c c
A c cγ γγ γ= = − ≠ 
e o método pode ser aplicado. 
Os outros determinantes de que necessitamos são 
 
0 2
1 0
0 2
1 0
2 1
1 0
c c
c c
c c
c c
2 2 0
0 0 1
γ γγ γ
γ γγ γ
−∆ = = − +−
−∆ = = − +−
 
 
A solução é então dada por: 
 2 0 0 2 1 1 01 21 2
1 2 2 1 1 2 2 1
, .
det det
oc c c cP P
A c c A c c
γ γ γ γ
γ γ γ γ
− −∆ ∆= = = =− − 
 
Para que os preços sejam positivos, é preciso que os numeradores tenham o mesmo 
sinal que o denominador, o que introduz novas restrições sobre os parâmetros. 
As quantidades de equilíbrio podem ser encontradas por substituição dos preços de 
equilíbrio nas funções de oferta ou demanda. 
Outra aplicação é a modelos de Teoria dos Jogos. O problema mais conhecido em 
Teoria dos Jogos e o “Dilema dos Prisioneiros”, que pode ser representado pela matriz de 
payoffs abaixo: 
 
 Não confessar Confessar
Não confessar -2,-2 -10,-1 
Confessar -1,-10 -5,-5 
 
 
 
 
No jogo acima, “Confessar” (C) é uma estratégia dominante para ambos jogadores e o 
perfil (C,C) é um equilíbrio de Nash. 
O jogo abaixo está na forma extensiva e é conhecido como o Jogo da Cerveja-Quiche 
(Beer-Quiche): 
 
 24
Natureza 
Forte Fraco 
1 1 
s s w w 
2 2 
 
O jogo se desenvolve como a seguir. O jogador 1 observa um movimento aleatório da 
natureza que determina o seu tipo: ele é forte (S) com probabilidade 0,9 e fraco (W), com 
probabilidade 0,1. Após tomar conhecimento do seu tipo, o jogador 1 envia um de dois 
sinais ao jogador 2: s (“Eu sou forte”) ou w (“Eu sou fraco”). Enviar um sinal verdadeiro 
não custa nada, mas enviar um sinal falso custa 10 unidades de payoff. Após receber o 
sinal, o jogador 2 decide se luta (l) ou recua (r). Se decidir lutar, ele ganhará 10 unidades de 
payoff se o jogador 1 for fraco e perderá 10 se ele for forte. O jogador 1, por outro lado, 
perderá 20 unidades de payoff se ocorrer a luta (independentemente do seu tipo). 
Cada jogador tem 4 estratégias puras. Para o jogador 1, elas são: “sempre s” (ss), “s 
quando S, w quando W” (sw), “w quando S, s quando W” (ws), e “sempre w (ww). As 
estratégias do jogador 2 são: “recuar quando s, lutar quando w” (rl), “sempre recuar” (rr), 
“sempre lutar” (ll), e “lutar quando s, recuar quando w” (lr). 
A matriz de payoffs é: 
 rl rr ll lr 
ss -1,0 -1,0 -21,-8 -21,-8
sw -2,1 0,0 -20,-8 -18,-9
ws -28,-9 -10,0 -30,-8 -12,1 
ww -29,-8 -9,0 -29,-8 -9,0 
20
10
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠ 
0
0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
30
10
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎜ ⎟
30
10
−⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟
10
0
−⎛ ⎞ 10
0
−⎛ ⎞ ⎜ ⎟2010
−⎛ ⎞ 0
0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
l l l l r r r r 
 25
Para entender melhor os payoffs da matriz, observe o perfil (ws,rf). O payoff do 
jogador 1 pode ser recalculado como 
 ( )( ) ( )( )0.9 30 0.1 10 28,− + − = − 
enquanto o payoff do jogador 2 é 
 ( )( ) ( )( )0.9 10 0.1 0 9.− + = − 
Os equilíbrios de Nash com estratégias puras são (ss,rf) e (ww,fr). Agora suponha que 
estejamos interessados em encontrar os equilíbrios de Nash com estratégias mistas. Sejam 
as estratégias mistas do jogador 1 representadas pelo vetor ( )1 1 2 3 4, , ,x x x xσ = e as do 
jogador 2, por . ( )2 1 2 3, , ,y y y yσ = 4
Observe que em qualquer equilíbrio de Nash, pois ff é estritamente dominada 
por rr. Observe também que 
3 0y =
3 0x = em qualquer equilíbrio de Nash, pois ws não é 
racionalizável. 
Queremos determinar as condições sob as quais (ss,sw) pode fazer parte de um 
equilíbrio de Nash com estratégias mista, isto é, onde e . Sabemos que para 
isso ser verdade é preciso que 
1 0x > 2 0x >
( ) ( )1 2 1, ,u ss u sw 2σ σ= , onde 
 
( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2 3 4 1 2 3
2 2 1 2 3 4 1 3 4
, 21 21 21
, 2 0 20 18 2 20 18 .
u ss y y y y y y y y
u sw y y y y y y y
σ
σ
= − − − − = − + − +
= − + − − = − − −
4 
Lembrando que , obtemos a seguinte equação: 3 0y =
 ( )1 2 4 1 4 1 2 421 2 18 3 0.y y y y y y y y− + − = − − ⇒ − − =
Combinando essa equação com 1 2 4 1y y y+ + = , obtemos um sistema de equações que 
pode ser resolvido como a seguir: 
 
2 2 1
2 1 1 2
2 2
1 1 3 0 1 1 3 0
1 1 1 1 0 2 4 1
11 1 3 0 1 0 1
2
1 10 1 2 0 1 22 2
L L L
L L L LL
→ −
→ +→
− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤− − −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Esse sistema tem uma infinidade de soluções. Fazendo 4y λ= , obtemos 
 26
 1 2
1 1, 2
2 2
y y .λ λ= + = − 
Se 1 10λ = , por exemplo, então 1 6 10y = e 2 3 10y = . 
 
2.5.2 Econometria 
Suponha que a relação entre a variável dependente e várias variáveis independentes 
(explicativas) seja a seguinte: 
 1 1 2 2 , 1, ,i i i K iK iy x x x i .nβ β β ε= + + + + =" … 
A relação acima é chamada de equação de regressão, onde a variável dependente, y, é 
explicada pelas variáveis 1, , Kx x… . O subíndice i indexa as observações, que totalizam n. 
O termo ε é o erro aleatório. Esse erro surge por diversas razões, sendo a principalo fato 
de que não é possível captar todas as influências sobre uma determinada variável y. O 
resultado líquido de todos os fatores omitidos está refletido no erro. Outro elemento 
capturado pelo erro aleatório são os erros de medição, que estão presentes em qualquer 
amostra. 
Por exemplo, suponha que estejamos interessados em estudar o comportamento da 
renda dos indivíduos e que tenhamos postulado o seguinte modelo de regressão simples: 
 0 1educação .renda β β ε= + + 
 
Esse modelo não leva em consideração que outros fatores além do nível de educação 
podem afetar a renda do indivíduo, como idade e nível de educação dos pais. Portanto, o 
erro aleatório ε refletirá a omissão dessas variáveis. Além disso, é bastante provável que a 
variável educação esteja medida com erro, mesmo porque não há consenso sobre como ela 
deve ser medida. Isso também é capturado pelo erro aleatório. 
A equação de regressão na verdade é um conjunto de equações, uma para cada 
observação: 
 
1 1 11 2 12 1 1
2 1 21 2 22 2 2
1 1 2 2
K K
K K
n n n K nK n
y x x x
y x x x
y x x x
β β β ε
β β β ε
β β β ε
= + + + +
= + + + +
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
= + + + +
"
"
"
 
 27
 
Essas equações podem ser representadas na forma matricial como a seguir: 
 ,y X β ε= + 
onde 
 
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2
, ,
K
K
n n n nK K
y x x x
y x x x
y X
y x x x
1
2,
n
εβ
εββ ε
εβ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥= = = = ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
"
"
# # # % # #
" ⎦
# 
 
O objetivos principais de uma análise de regressão são estimar os parâmetros 
desconhecidos iβ , usar os dados disponíveis para estudar a validade de proposições 
teóricas e usar o modelo para testar hipóteses e fazer previsões sobre a variável dependente. 
Para obter estimativas dos parâmetros, o método mais utilizado é o de mínimos 
quadrados ordinários. Esse método procura encontrar os coeficientes que minimizam a 
soma dos quadrados dos resíduos 
 2
1
,
n
T
i
i
e e e
=
=∑
onde é o vetor de resíduos, sendo o resíduo da i-ésima observação definido por 
 e a estimativa de 
1
2
n
e
e
e
e
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
#
( )1 1 2 2i i i i iK Ke y x b x b x b= − − − −" ib iβ . 
A solução do problema de minimização é 
 ( ) 1 .T Tb X X X y−= 
Podemos então calcular os resíduos como 
 
( )
( )( )
1
1
.
T T
T T
e y Xb y X X X X y
I X X X X y My
−
−
= − = −
= − =
 
A matriz M tem grande importância para a análise de regressão, e apresenta 
propriedades interessantes. Além de ser simétrica, essa matriz é idempotente, o que 
significa que 2M M= . De fato, 
 28
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 12
1 1 1
1 1
1 1
2
2
T T T T
T T T T T T T
T T T T
T T T T
T T
M I X X X X I X X X X
1 TI X X X X X X X X X X X X X X X X
I X X X X X X X IX
I X X X X X X X X
I X X X X M
− −
− − −
− −
− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − − +
= − +
= − +
= − =
−
T
 
e 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 1
11
1
.
T T
T T T T T
TT TT T T T
T T
M I X X X X I X X X X
I X X X X I X X X X
I X X X X M
− −
−−
−
⎡ ⎤ ⎡= − = −⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − =
⎤⎥⎦
 
 
 
 
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