Mecânica Geral

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Mecânica Geral
Aula 6 - Equilíbrio de um ponto material
INTRODUÇÃO
Como pode um equilibrista circense andar em um monociclo, segurando uma vara enorme, em uma corda bamba a
muitos metros do chão sem cair? 
Simples, o trabalho artístico vai além da técnica e da disciplina corporal, é imensamente dependente do fenômeno
físico chamado equilíbrio e do centro de gravidade e centroide que serão estudados mais adiante. 
Nesta aula, vamos entender este fenômeno físico de equilíbrio de um ponto material, com fundamentação nas Leis de
Newton, vistas na Aula II. Aqui você aprenderá que o somatório de forças atuantes é igual a zero e irá aplicar os
sistemas de forças a partir da elaboração do diagrama de corpo livre. 
Bons estudos!
OBJETIVOS
Reconhecer o conceito de corpo livre para um ponto material;
Identificar como traçar um diagrama de corpo livre de um ponto;
Resolver problemas de equilíbrio de ponto material usando equações de equilíbrio.
VI.1 - EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL
Para que a Primeira Lei de Newton seja satisfeita é necessário que você aplique a Equação VI.1, onde a força
resultante sobre o ponto material seja zero.
Σ F = 0 (VI.1)
Como já foi visto, por facilidade, também podemos pensar em forma de componentes:
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Σ Fz = 0
O equilíbrio de um ponto material pode ser:
Estático ou Dinâmico
Quando o corpo está em repouso. Quando o corpo está em movimento
retilíneo uniforme.
O ponto P da Figura VI.1 está sujeito a três forças . Dependendo da composição dessas forças, a
resultante será nula ou não.
No caso de resultante nula, pode-se dizer que a aceleração do ponto material é igual a zero, implicando no equilíbrio do
ponto material P, que se move com velocidade constante ou permanece em repouso.
VI.2 - DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
O nosso contexto é o do equilíbrio estático, pois nosso objetivo é dar início ao estudo das estruturas. Partindo do
princípio que o ponto material está em equilíbrio, podemos admitir que, se considerarmos todas as forças que agem
sobre ele, a resultante será nula.
Diante disso, chamaremos essas forças de forças de equilíbrio, que atenderão à Equação VI.1. Portanto, todas as
forças, conhecidas e desconhecidas, que atuam sobre o ponto material analisado devem ser consideradas. Essa
condição é representada pelo esboço de um ponto e de todas as forças atuantes sobre ele.
VI.2.1 - Elaboração de um diagrama de corpo livre
Para elaborar o diagrama você precisará desenvolver três passos aplicando todas as forças atuantes sobre o ponto
material:
Passo 1 Passo 2 Passo 3
Identificar e desenhar contorno do
ponto material a ser estudado (a
forma e o material não importam,
pois estamos lidando apenas com o
equilíbrio e supondo que os corpos
são indeformáveis).
Considerar todas as forças que
atuam sobre esse ponto material.
Essas forças devem ser ativas, ou
seja, aplicadas tendendo a
movimentar o ponto material; e
também as forças reativas, que
tendem a impedir o movimento do
ponto material, os chamados pontos
de apoio. Portanto é importante que
se anote cuidadosamente cada
força que age sobre o ponto.
Identificar e representar a
intensidade, direção e sentido das
forças conhecidas e desconhecidas.
VI.3 - SISTEMAS DE FORÇAS COPLANARES
Se um ponto material estiver submetido a um sistema de forças coplanares (pertencentes a um único plano), podemos
supor que esse seja o plano x – y. Dessa forma, cada força poderá ser representada por suas componentes i (paralelas
ao eixo x) e j (paralelas ao eixo y), Nessas condições, para sistemas coplanares, escrevemos a Equação VI.2:
Como resultado, as Equações VI.1 devem ser resolvidas no máximo com duas incógnitas, geralmente representadas
como ângulos e intensidades. Portanto, para que a equação vetorial seja satisfeita, a soma de todas as componentes x
e y deve ser nula.
Normalmente, conhecemos algumas forças ou condições e, através da condição de equilíbrio, determinamos as forças
que inicialmente são desconhecidas. 
Vamos iniciar com um exemplo muito simples, com apenas duas forças.
Portanto, para que se obtenha o equilíbrio ao resolvermos essa equação F = -1N. Isso significa que F deve atuar para a
esquerda de forma a manter o ponto material em equilíbrio.
Fonte da Imagem: Dacian G / Shutterstock
Procedimento para análise
Uma vez que o diagrama de equilíbrio foi traçado, para resolver problemas com forças coplanares alguns
procedimentos devem ser seguidos:
Aplicar a Equação VI.1 de equilíbrio para os eixos x e y;
Se componentes estiverem orientados no sentido positivo do eixo, serão positivos;
Se componentes estiverem orientados no sentido negativo do eixo, serão negativos;
Se existirem duas ou mais incógnitas e o problema envolver mola, deve-se aplicar a Equação VI.3;
Se a solução der resultado negativo, isso indica que o sentido da força é oposto ao mostrado no diagrama de corpo
livre que foi suposto.
F = k.x (VI.3)
Fonte da Imagem:
Procedimento para análise
Como o conjunto está em equilíbrio, todos os seus pontos estão equilibrados. A análise do ponto P nos dará a solução
do problema, uma vez que é o ponto onde os 3 cabos (1, 2 e 3) concorrem.
Força aplicada no cabo 3: 0,8 kg . 10 m/s = 8N 
Incógnitas: forças nos cabos 1 e 2. 
Diagrama de corpo livre do ponto P
VI.4 - SISTEMAS DE FORÇA TRIDIMENSIONAIS
2
Se as forças estiverem decompostas em seus respectivos componentes i, j, k, Equação VI.5, como mostra a Figura
VI.4, então teremos:
Portanto, para garantir o equilíbrio faz-se necessária a aplicação da Equação VI.1. que representa a soma dos
componentes x, y, z das forças atuando sobre o ponto material. A partir de então é possível encontrar, no máximo, três
incógnitas, representas pelo diagrama de corpo livre.
Fonte da Imagem: Dacian G / Shutterstock
Procedimento para análise
Uma vez que o diagrama de equilíbrio foi traçado, para resolver problemas com forças coplanares alguns
procedimentos devem ser seguidos:
Aplicar a Equação VI.4 de equilíbrio, nos casos onde a decomposição de força de seus componentes x, y, z seja fácil;
Para a geometria tridimensional primeiro expresse cada força como vetor cartesiano e substitua pelos vetores da
Equação VI.1 e iguale a zero os componentes i, j, k;
Se a solução der resultado negativo, isso indica que o sentido da força é oposto ao mostrado no diagrama de corpo
livre que foi suposto.
Exemplo VI.2
Determine a força desenvolvida em cada cabo do sistema que suporta a luminária.
Por facilidade, vamos começar com o equilíbrio vertical: 
AD -800=0, logo AD =800N 
Como a direção de AD é (-2, -4, 4) e a componente z vale 800, pode-se dizer que o vetor força na direção AD deve
ser (-400, -800, 800), pois a proporcionalidade deve ser mantida. Isso resulta em uma força de magnitude 1200N
no cabo. 
Uma forma genérica seria determinar o unitário na direção AD: 
 
Como conhecemos a componente vertical que vale 800 N, sabemos que . Com isso
determinamos que o módulo da força é 1200N. 
Z Z
Prosseguindo a análise, vamos para as forças horizontais: 
Direção x: 
ADx=-400N 
Logo, AC deve valer 400 N. vetorialmente, (400,0,0) 
Direção y 
ADy = -800N 
Logo, AB=800N. Vetorialmente (0,800,0) 
Resumo: 
Força aplicada: (0,0,-800) 
Cabo AB: (0,800,0) 
Cabo AC: (400,0,0) 
Cabo AD: (-400,-800,800) 
Força resultante em A: (0+0+.400-400, 0+800+0-800,800+0+0-800) = (0,0,0)
ATIVIDADE
Determine a intensidade e os ângulos dos sentidos das coordenadas da força F da Figura VI.5. necessários para o
equilíbrio do ponto material O.
Glossário