2 ANO Polinômios 2007

Prévia do material em texto

*
Polinômios
Profª: Ana Carolina
*
Polinômios e Fatoração
Um polinômio em x é qualquer expressão que pode ser escrita na forma
Onde n é um inteiro não negativo e an ≠ 0.
Os números an-1 ,... a1 , a0 são números reais chamados de coeficientes 
O grau do polinômio é n e o coeficiente principal é o número real an
 Polinômios com um, dois, três termos são monômios, binômios e trinômios respectivamente.
p(x) = anxn + an-1xn–1 + ... + a1x + a0
*
Adição e subtração de polinômios
Agrupar os termos semelhantes e fazer as operações existentes na expressão
(x² – 3x – 1) + (–3x² + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal.  +(–3x²) = –3x²  +(+8x) = +8x  +(–6) = –6  x² – 3x – 1 – 3x² + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes.  x² – 3x² – 3x + 8x – 1 – 6  –2x² + 5x – 7  Portanto: –2x² + 5x – 7  
*
Multiplicação de polinômios
Aplicar a propriedade distributiva
2x . (7x2 – 4x + 5) = 2x . (7x2) + 2x . (-4x) + 2x . (5)
 = 14x3 - 8x2 + 10x
*
 
  PRODUTOS NOTÁVEIS
 
Na multiplicação de expressões algébricas, algumas vezes é possível determinar o produto sem efetuar a operação. Nesses casos, os resultados são conhecidos como produtos notáveis. 
*
Quadrado da soma de dois termos ou quadrado perfeito
O quadrado da soma de dois termos ( a + b )2 é igual ao quadrado do primeiro termo (a2) , mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo ( +2ab), mais o quadrado do segundo termo (+b2).
Escrevemos:
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
*
Exemplos
 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
 
(x + 1)2 = x 2 + 2. x .1+ 12 = x 2 + 2x + 1
 
(2x 3 + 5)2 = (2x3)2 + 2 .( 2x³ ) .5 + 52 = 4x6 + 20x3 + 25
 
 Exemplo: Fatore 4x2 + 4x + 1
 
Note que 4x2 + 4x + 1 = (2x)2 + 2 .2x.1+ 12 = (2x + 1)2
 
Assim, 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 
*
Quadrado da diferença de dois termos
 
O quadrado da diferença de dois termos (a – b)2 é igual ao quadrado do primeiro termo (a2), menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo (-2ab), mais o quadrado do segundo termo (+b2).
 
Escrevemos:
 
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
 
*
Exemplos
(x - 4)2 = x 2 - 2. x . 4 + 42 = x 2 - 8x + 16
 
(2y - 3)2 = (2y)2 - 2.2y.3 + 32 = 4y 2 - 12y + 9
*
Produto da soma pela diferença
O produto da soma pela diferença de dois termos (a+b) . (a-b) é igual ao quadrado do primeiro termo (a2) menos o quadrado do segundo termo (-b2).
Escrevemos:
 
 
(a+b) (a –b) = a2 – b2
 
*
Exemplos
(x-2). (x+2)= x2 - 22 = x2 – 4 
(x-y) (x+y) = x2 – y2
(x 2 - 1)(x 2 + 1) = (x 2 )2 - 1 = x 4 - 12
*
Cubo da soma de dois termos ou cubo perfeito
O cubo da soma de dois termos (a+b)3 é igual ao cubo do primeiro termo (a3), mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo (+3a2b), mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo (+3ab2), mais o cubo do segundo termo (+b3).
Escrevemos:
  
(a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
 
*
Exemplo
(x+1)3 = (x + 1)2 (x+1)= (x2 +2x +1) (x+1) =
= x2 .x + x2 .1 + 2x . x + 2x . 1 + 1.x + 1.1 =
= x3 + x2 + 2x2 + 2x + x + 1=
 
= x3 + 3x2 + 3x + 1
 
*
Cubo da diferença de dois termos
 
 
O cubo da diferença de dois termos (a – b)3 é igual ao cubo do primeiro termo (a3), menos três vezes o quadrado do primeiro termo pelo segundo (-3 a2b), mais três vezes o primeiro termo pelo quadrado do segundo (+3 ab2), menos o cubo do segundo termo(-b3).
Escrevemos:
 
 
(a – b)3 = a3 – 3 a2b + 3 ab2 - b3
  
*
Exemplo
(y - 2)3 = y 3 - 3.y 2.2 + 3.y.22 - 23 = y 3 - 6y 2 + 12y - 8
(1- b)3 = 13 - 3.12 .b + 3.1.b2 - b3 = 1- 3b + 3b2 - b3
*
FATORAÇÃO
Definição: Fatorar é transformar uma expressão algébrica em um produto de fatores.
 
Em geral, quando se é pedido para “fatorar” uma expressão, queremos que a expressão seja reescrita como produto de fatores os mais simples possíveis.
*
Fator Comum
 
ax + bx = (a+b) x
 
2x2 + 4x – 6xy = 2x(x + 2 - 3y) (fator comum = 2x)
*
Agrupamento
ax + bx + ay + by = (a+b) x + (a+b) y = (a+b) (x+y)
 
2ay2 + bx + 2by2 + ax = 2y2(a + b) + x(b + a) = (a + b)(2y2 + x)
*
Trinômio Quadrado Perfeito
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
 
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
 x 2 + 6x + 9 = x 2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2
 
4x2 - 4x + 1 = (2x)2 - 2.2x.1+ 12 = (2x - 1)2
 
*
Trinômio do Segundo Grau
Sejam x1 e x2 raízes da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), com Δ≥ 0
A soma S dessas raízes é S = x1 + x2 = – b/a
O produto P dessas raízes é P = x1.x2 = c/a
 Ex
x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) 
já que 5 = 2 + 3
 6 = 2 × 3 .
  
 
*
Diferença de dois Quadrados
x 2 - y 2 = (x + y )(x - y)
Ex: x 2 - 49 = x 2 - 72 = (x + 7)(x - 7)
 
9x2 - 1 = (3x)2 - 12 = (3x + 1)(3x - 1)
 
x 4 - 1 = (x2 )2 - 12 = (x2 + 1)(x 2 - 1) = (x2 + 1)(x + 1)(x - 1)
 
*
Soma e Diferença de Dois Cubos
x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2 )
x3 - y 3 = (x - y )(x 2 + xy + y2 )
 
Ex:
x3 + 8 = x 3 + 23 = (x + 2)(x 2 - x.2 + 22 ) = (x + 2)(x2 - 2x + 4)
8x3 - 27 = (2x)3 - 33 = (2x - 3) ( (2x)2 + 2x. 3 + 3 2 ) =
 (2x - 3)(4x2 + 6x + 9)
  
*
Cubo Perfeito
x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 = (x + y)3
 
x3 - 3x 2 y + 3xy2 - y 3 = (x - y)3
Ex:
 x 3 + 3x2 + 3x + 1 = x 3 + 3.x 2.1+ 3.x .12 + 13 = (x + 1)3
 
x 3 - 6x 2 + 12x - 8 = x 3 - 3.x 2.2 + 3 .x . 22 - 23 = (x - 2)3
*
Grau de um polinômio
O grau de um polinômio é o expoente de seu termo de maior grau, com coeficiente não-nulo. No caso, esse coeficiente é chamado de coeficiente dominante do polinômio.
p(x) = x3 – 5x + 2 é um polinômio de grau 3 (3º grau). Seu coeficiente dominante é 1.
q(x) = 0x2 + 6x + i é um polinômio de grau 1 (1º grau). Seu coeficiente dominante é 6.
r(x) = 5 é um polinômio de grau 0. Seu coeficiente dominante é 5.
*
Exemplo
Analisar, em função do parâmetro m, o grau do polinômio p(x) = (m2 – 1)x2 + (m + 1)x – 3.
1ª hipótese: o polinômio pode ser de 2º grau. Deve ser
m2 – 1 ≠ 0
⇒ m2 ≠ 1
⇒ m ≠ ± 1
2ª hipótese: o polinômio pode ser de 1º grau. Deve ser
m2 – 1 = 0
m + 1 ≠ 0
⇒ m2 = 1
⇒ m = ± 1
⇒ m ≠ –1
⇒ m = 1
*
Exemplo
Analisar, em função do parâmetro m, o grau do polinômio p(x) = (m2 – 1)x2 + (m + 1)x – 3.
3ª hipótese: o polinômio pode ser de grau 0. Deve ser
m2 – 1 = 0
m + 1 = 0
⇒ m2 = 1
⇒ m = ± 1
⇒ m = –1
⇒ m = –1
*
Valor numérico e raiz de um polinômio
Vamos considerar, por exemplo, o seguinte polinômio
	p(x) = x3 – 5x2 + 7x – 2. podemos atribuir à variável x qualquer valor .
Para x = 3, temos
p(3) = 33 – 5.32 + 7.3 – 2
= 27 – 45 + 21 – 2
= 1
Dizemos que o valor do polinômio p(x) para x = 3 é p(3) = 1.
*
Valor numérico e raiz de um polinômio
Vamos considerar, por exemplo, o seguinte polinômio
	p(x) = x3 – 5x2 + 7x – 2. podemos atribuir à variável x qualquer valor .
Para x = 2, temos
p(2) = 23 – 5.22 + 7.2 – 2
= 8 – 20 + 14 – 2
= 0
O valor de p(x) para x = 2 é p(2) = 0.
Dizemos que 2 é uma raiz ou um zero do polinômio p(x). A raiz anula o polinômio.
*
Polinômio nulo
O polinômio que tem todos os coeficientes iguais a zero, é chamado de polinômio nulo ou identicamente nulo.
p(x) = 0x3 + 0x + 0 e q(x) = 0x + 0 são duas representações do polinômio nulo.
Qual é o grau do polinômio nulo?
Não se define o grau do polinômio nulo.
Infinitas raízes.
Quantas raízes tem o polinômio nulo?
*
Polinômio nulo
De modo geral definimos:
p(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–1x + an
p(x) é nulo ⇔ a0 = an–1 = an–2 = ... = an = 0
Às vezes indicamos que p(x) é polinômio identicamente nulo, escrevendo p(x) ≡ 0.
*
Exemplo
Calcular os valores das constantes a, b e c, para que
	p(x) = ax(x – 3) + b(2x – 1)+ x(x + 5) c – 1 seja polinômio nulo.
Primeiro vamos escrever p(x) na forma geral
p(x) = ax2 – 3ax + 2bx – b + x2 + 5x + c – 1
p(x) = (a + 1)x2 + (2b – 3a + 5)x + c – b – 1
a + 1 = 0
2b + 5 – 3a = 0
c – b – 1 = 0
⇒ a = –1
⇒ 2b – 3(–1) + 5 = 0
⇒ b = –4
⇒ c – (–4) – 1 = 0
⇒ c = –3
*
Polinômios idênticos
Observe os seguintes polinômios:
 p(x) = x2 – 4(x – 1) – 1 
 q(x) = x(x – 4) + 3
 r(x) = (x + 2)(x – 2) – 4x + 7
Escrevendo-os na forma geral, obtemos o mesmo polinômio: x2 – 4x + 3.
Dizemos, por isso, que p(x), q(x) e r(x) são polinômios idênticos.
*
Polinômios idênticos
Dois polinômios são idênticos, quando escrito na forma geral tem os coeficientes de um iguais aos coeficientes do termo de mesmo grau do outro.
p(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–1x + an
q(x) = b0xn + b1xn–1 + b2xn–2 + ... + bn–1x + bn 
p(x) é idêntico a q(x) ⇔ a0 = b0 , a1 = b1, ... an = bn.
Às vezes indicamos p(x) ≡ q(x), para dizer que p(x) é idêntico a q(x).
*
Divisão de polinômios
*
Divisão de polinômios
Vamos efetuar a divisão de A(x) = 2x4 – 3x3 + x – 1 por B(x) = x2 – 2x + 3, utilizando o método da chave.
Primeiro vamos completar o dividendo A(x). Falta o termo de 2º grau
A(x) = 2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1 
*
Divisão de polinômios
Vamos efetuar a divisão de A(x) = 2x4 – 3x3 + x – 1 por B(x) = x2 – 2x + 3, utilizando o método da chave.
+ 11
–10x
+ 12
– 8x
4x2
– 1
– 2x
– 4x2
– 3x
+ 2x2
 – x3
– 1
+ x
– 6x2
 x3
 2x2
 x2 – 2x + 3
+ x
– 4
– 6x2
+ 4x3
–2x4
 2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1
*
Divisão de polinômios
Na nossa divisão, temos:
 A(x) = 2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1, é o dividendo; 
 B(x) = x2 – 2x + 3, é o divisor; 
 Q(x) = 2x2 + x – 4, é o quociente; 
 R(x) = – 10x + 11, é o resto. 
O grau de Q(x) é a diferença entre os graus de A(x) e B(x) e o grau de R(x) < grau B(x). 
*
Divisão de polinômios
Dividir A(x) por B(x) é obter dois polinômios Q(x) e R(x), obedecendo às seguintes condições.
 A(x) ≡ B(x).Q(x) + R(x)
grau de R(x) < grau de B(x) ou R(x) ≡ 0 
A(x) é o dividendo, B(x) o divisor, Q(x) o quociente e R(x) o resto da divisão. 
É importante observar que o grau do quociente é a diferença entre os graus do dividendo e do divisor. 
*
Divisibilidade de polinômios
Veja a divisão de A(x) = x2 – 5x + 6 por B(x) = x – 2, utilizando o método da chave.
0
– 6 
 + 3x
+ 6
 – 3x
x
 x – 2
– 3
+ 2x
–x2
 x2 – 5x + 6
Nesse caso, o resto é polinômio nulo, R(x) ≡ 0. Dizemos, por isso, que A(x) é divisível por B(x).
*
Divisibilidade de polinômios
Em geral, se na divisão de A(x) por B(x) o resto é o polinômio nulo, dizemos que A(x) é divisível por B(x). No caso, sendo Q(x) o quociente,
A(x) ≡ B(x).Q(x) 
ou
*
Exemplo
Sabe-se que p(x) = x3 – x2 + ax + b é divisível por b(x) = x2 + x – 2. Calcular a e b.
(a+4)x
+ 2x 
 2x2
+(a+2)x
– 2x2
x
 x2 + x – 2
– 2
– x2
–x3
 x3 – x2 + ax + b
+ 2x
+ b
 – 4 
+ b – 4
a + 4 = 0
b – 4 = 0
⇒ a = – 4
⇒ b = 4
*
Divisor de 1º grau –
caso particular
De grande importância no estudo dos polinômios e equações algébricas.
*
Teorema do resto
Vamos efetuar a divisão de p(x) = x2 – 3x + 5 por x – 2, utilizando o método da chave.
+ 3
– 2 
 + x
+ 5
 – x
x
 x – 2
– 1
+ 2x
–x2
 x2 – 3x + 5
Vamos calcular agora P(2), onde 2 é a raiz do divisor x – 2.
p(2) = 22 – 3.2 + 5
= 4 – 6 + 5
= 3
*
Teorema do resto – caso geral
Vamos obter o resto da divisão de p(x) por x – 3.
Sendo o divisor de 1º grau, o resto deve ser o polinômio nulo ou um polinômio de grau 0. O resto é uma constante real, independente de x.
p(x) = (x – 3).q(x) + R
Se q(x) é o quociente, da definição de divisão podemos escrever
p(3) = (3 – 3).q(3) + R
= 0.q(3) + R
= R
*
Teorema do resto – caso geral
O resto da divisão de um polinômio p(x) por um divisor de 1º grau, do tipo ax + b, com a ≠ 0, é igual a p(–b/a). Onde –b/a é a raiz do divisor.
R = p(–b/a)
*
Exemplo
Calcular o resto da divisão de p(x) = x3 – 2x2 – 1 por x – 2.
O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 2.
R = p(2) 
= 8 – 8 – 1 
= –1
= 23 – 2.22 – 1 
*
Exemplo
O resto da divisão de p(x) = x4 – 4x3 – kx – 75 por (x – 5) é 10. Calcular o valor de k.
O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 5.
R = p(5) = 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10
⇒ 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10
⇒ 53 – 4.52 – k – 15 = 2
(: 5)
⇒ 125 – 100 – k – 15 = 2
⇒ 10 – k = 2
⇒ k = 8
⇒ – k = 2 – 10 
⇒ R = p(5) = 10
*
Teorema de D’Alembert
Conseqüência imediata do teorema do resto.
Um polinômio p(x) é divisível pelo polinômio ax + b de 1º grau (a ≠ 0) ⇔ p(–b/a) = 0.
*
Exemplo
Analisar se p(x) = x3 + x2 – 3x – 6 é divisível por 2x + 2 e por 3x – 6.
Os divisores são de 1º grau. Suas raízes são –1 e 2, respectivamente.
p(–1) = (–1)3 + (–1)2 – 3.(–1) – 6
 = –3 
= –1 + 1 + 3 – 6
p(2) = 23 + 22 – 3.2 – 6
 = 0
= 8 + 4 - 6 – 6
Logo, p(x) não é divisível por 2x + 2, mas é divisível por 3x – 6.
*
Exemplo
Achar o valor de m, sabendo-se que o polinômio p(x) = 9x2 + mx – m + 3 é divisível por 3x – 1.
O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 1/3. Segundo o teorema de D’Alembert, devemos ter p(1/3) = 0.
9.(1/3)2 + m.(1/3) – m + 3 = 0
⇒ 9.(1/9) + m/3 – m + 3 = 0
⇒ 1 + m/3 – m + 3 = 0
⇒ m/3 – m = – 4
 (x 3)
⇒ m – 3m = –12
⇒ – 2m = –12
⇒ m = 6
*
Dispositivo de Briot-ruffini
Processo prático para efetuar uma divisão de polinômios, quando o divisor é de 1º grau.
*
Dispositivo de Briot-Ruffini
Vamos efetuar a divisão de p(x) = 3x4 – 4x3 – 5x2 + 4x + 9 por x – 2, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini.
Os cálculos a serem efetuados tem como ponto de partida, a raiz do divisor, no caso, a raiz é 2.
– 1
– 5 
13 = R
2
2
3
2
9
4
– 4 
3
+
+
+
+
x
x
x
x
q(x) = 3x3 + 2x2 – x + 2 e R(x) = 13
*
Exemplos
Na divisão de p(x) = x4 + 2x3 – x2 + k por x + 1, o resto é 4. Calcular k e o quociente da divisão.
Dividindo p(x) por x + 1, pelo dispositivo de Briot-Ruffini.
–2
– 1 
k – 2
2
1 
1
–1
k
0
2 
1
+
+
+
+
x
x
x
x
q(x) = x3 + x2 – 2x + 2
e R = k – 2 = 4 
⇒ k = 6
*