lista de Álgebra Linear I

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Universidade Federal Fluminense
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Professores: Carlos Nascimento e Edilaine
Lista 0
1. Considere as matrizes
A =
[
1 2 3
2 1 −1
]
, B =
[ −2 0 1
3 0 1
]
, C =
 −12
4
 e D = [ 2 −1 ] .
Encontre:
a) A + B
b) A . C
c) B . C
d) C . D
e) D . B
f) -A
g) -D
h) Podemos efetuar a soma A + C?
i) Podemos efetuar a soma C + D?
j) Podemos efetuar o produto A . B?
k) Podemos efetuar o produto B . C?
l) Podemos efetuar o produto B . D?
Para as questões abaixo, estude a definição de matriz transposta (AT ), matriz simétrica,
matriz triangular superior e matriz diagonal, e considere matrizes de tamanho 2× 2.
2. Seja A =
[
2 x2
2x− 1 0
]
. Sabendo que A = AT , encontre o valor de x.
3. Sabendo que A é uma matriz simétrica, encontre A−AT . Faça o mesmo, supondo que A é uma
matriz triangular superior e depois supondo que A é uma matriz diagonal.
4. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique.
a) (−A)T = −(AT ).
b) (A+B)T = BT +AT .
c) Se AB = 0, então A=0 ou B=0.
d) Se AB=0, então BA=0.
e) (k1A)(k2B) = (k1k2)AB, onde k1, k2 são números reais constantes.
e) (-A)(-B) = -(AB).
5. Encontre x, y, z, w, sabendo que[
x y
z w
] [
2 3
3 4
]
=
[
1 0
0 1
]
.
6. Explique por que, em geral, (A+B)2 6= A2 + 2AB +B2 e (A+B)(A−B) 6= A2 −B2.
Para as questões abaixo, estude como se calcula o determinante e a matriz inversa (A−1) de
uma matriz A (2× 2 ou 3× 3).
7. Calcule o determinante das matrizes abaixo:
A =
[
1 2
2 1
]
, B =
 −2 0 13 0 1
1 2 4
 , C =
 2 1 13 0 1
0 0 0
 e D =
 1 2 33 2 1
2 4 6
 .
8. Encontre a matriz inversa (A−1) das matrizes abaixo (se existir):
A =
[
6 2
11 4
]
, B =
[
3 6
1 2
]
, C =
 2 1 −30 2 1
5 1 3
 , D =
 2 −3 71 0 3
0 2 −1
 .
Propriedades da Aritmética Matricial
Sejam A, B, C matrizes e a, b números reais (ou complexos). Supondo que os tamanhos das
matrizes sejam tais que as operações indicadas possam ser efetuadas, valem as seguintes regras
da aritmética matricial:
a) A+B = B+A (Comutatividade da Adição)
b) A+(B+C) = (A+B)+C (Associatividade da Adição)
c) A(BC) = (AB)C (Associatividade da Multiplicação)
d) A(B+C) = AB+AC (Distributividade à Esquerda)
e) (A+B)C = AC+BC (Distributividade à Direita)
f) a(B+C) = aB+aC
g) (a+b)C = aC+bC
h) a(bC) = (ab)C
i) (aB)C = B(aC)
Bibliografia:
1 - CALLIOLI, C.A.; DOMINGUES, H.H.; COSTA, R.C.F. Álgebra Linear e aplicações. 7. ed.
São Paulo: Atual, 2000.
2 - BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1980.
3 - STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra Linear. 2. ed. São Paulo: Pearson Education
do Brasil, 1987.
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