lista derivada

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Cálculo I - Prof
a
Marina Ribeiro
Lista 7 - INTERPRETAÇÃO, ANÁLISE E CÁLCULO DE DERIVADAS - PARTE I
1. Associe o gráfico de cada função em (a)-(d) com o gráfico de sua derivada em I-IV. Justifique suas
escolhas.
(a) (b) (c) (d)
(I) (II) (III) (IV)
2. Associe o gráfico de cada função em (a)-(d) com o gráfico de sua derivada em I-IV. Justifique suas
escolhas.
(a) (b) (c) (d)
(I) (II) (III) (IV)
1
3. Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga qual é o domínio de cada função e de
cada derivada.
(a) f(x) =
1
2
x− 1
3
(b) f(t) = 5t− 9t2
(c) f(x) = x3 − 3x+ 5
(d) g(x) =
√
1 + 2x
(e) G(t) =
4t
t+ 1
(f) f(x) = x4
(g) y = 1, 5x2 − x+ 3, 7
(h) f(x) = x+
√
x
(i) h(x) =
3 + x
1− 3x
(j) g(t) =
1√
t
4. O gráfico de f é dado. Diga, justificando sua resposta, quais os números em que f não é diferenciável.
(a) (b) (c)
5. A figura mostra os gráficos de f , f ′ e f ′′. Identifique cada curva e explique suas escolhas.
(a) (b)
6. Seja f(x) = 3
√
x.
(a) Se a 6= 0, encontre f ′(a)
(b) Mostre que f ′(0) não existe.
(c) Mostre que a curva y = 3
√
x tem uma reta tangente vertical em (0, 0).
7. Mostre que f(x) = |x − 6| não é diferenciável em x = 6. Encontre uma fórmula para f ′ e esboce seu
gráfico.
8. Esboce o gráfico de f(x) = x|x|. Para quais valores de x a função f é diferenciável? Encontre f ′(x).
2
9. O gráfico abaixo representa uma função f . Em quais pontos do intervalo [−4, 6] a f ′ não está definida?
Justifique sua resposta. Além disso, faça o gráfico de f ′.
Ex. 9 Ex. 10
10. a) Use as informações a seguir para fazer o gráfico da função f no intervalo fechado [−2, 5]:
(i) O gráfico de f é composto por segmentos de retas fechados, unidos pelas extremidades.
(ii) O gráfico começa no ponto (−2, 3).
(iii) A derivada de f é a função representada pelo gráfico acima.
b) Repita o item (a), considerando que o gráfico comece em (−2, 0) ao invés de (−2, 3).
11. Cada gráfico abaixo mostra uma função em um intervalo D. Em que pontos do domínio a função parece
ser:
(a) Derivável.
(b) Contínua, mas não derivável.
(c) Nem contínua, nem derivável.
11(a) 11(b)
12. Considere as funções
a) y = −x2
b) y = −1
x c) y =
x3
3
d) y =
x4
4
3
Para cada uma delas:
i) Encontre y′ = f ′(x).
ii) Faça o gráfico de y = f(x) e de y = f ′(x).
iii) Para quais valores de x, caso haja, f ′ é positiva? Nula? Negativa?
iv) Para quais valores de x a função f é crescente? E decrescente?
v) Você consegue identificar alguma relação, baseando-se nos itens (iii) e (iv), entre o comportamento
de f e os valores de f ′?
13. A parábola y = 2x2 − 13x + 5 tem alguma tangente cujo coeficiente angular seja igual a -1? Se tem,
encontre uma equação para esta reta e o ponto de tangência. Se não tem, porque não?
Respostas:
1. a-II, b-IV, c-I, d-III.
2. a-II, b-I, c-IV, d-III.
3. (a) f ′(x) = 1/2; Df = R; Df ′ = R
(b) f ′(t) = 5− 18t; Df = R; Df ′ = R
(c) f ′(x) = 3x2 − 3; Df = R; Df ′ = R
(d) g′(x) =
1√
1 + 2x
; Df = [−1/2,+∞); Df ′ = (1/2,+∞)
(e) G′(t) =
4
(t+ 1)2
; Df = R− {−1}; Df ′ = R− {−1}
(f) f ′(x) = 4x3; Df = R; Df ′ = R
(g) y′ = 3x− 1; Df = R; Df ′ = R
(h) f ′(x) = 1 +
1
2
√
x
; Df = [0,+∞); Df ′ = (0,+∞)
(i) h′(x) =
10
(1− 3x)2 ; Df = R− {1/3}; Df ′ = R− {1/3}
(j) g′(t) = − 1
2t
√
t
; Df = [0,+∞); Df ′ = (0,+∞)
4. (a) -1 (bico); 0 (descontínua)
(b) -1 (tangente vertical), 4 (bico)
(c) -1 (descontínua), 2 (bico)
5. (a) a-f�, b-f', c-f (b) a-f, b-f�, c-f'
6. (a) f ′(a) =
1
3
3
√
a2
(b) Verifique, pela definição de derivada, que f ′(0) não existe.
(c) Verifique que f ′(0) = lim
x→0
f(x)− f(0)
x− 0 = +∞
7. (a) f ′(x) =
x− 6
|x− 6| . Verifique que f
′(6) não existe (use a definição de derivada!).
8. (a) R
(b) f ′(x) = 2|x|
9. x = 0, 1, 4. Ver gráfico abaixo.
10. Ver gráficos abaixo.
11.
4
Ex. 7 Ex. 8
Ex. 9 Ex. 10(a) Ex. 10(b)
(a) a) Derivável: −3 ≤ x ≤ 2
b) Nenhum
c) Nenhum
(b) a) Derivável: −1 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ x ≤ 2
b) x = 0
c) Nenhum
12. (a) f ′(x) = −2x.
f ′(x) > 0 para x < 0; f ′(x) = 0 em x = 0, f ′(x) < 0 para x > 0.
f é crescente para x < 0, f é decrescente para x > 0.
(b) y′ =
1
x2
.
f ′(x) > 0 para x 6= 0; f ′(x) nunca se anula e nunca é negativa.
f é crescente para todo x 6= 0, f nunca é decrescente.
(c) f ′(x) = x2.
f ′(x) > 0 para x 6= 0; f ′(x) = 0 em x = 0, f ′(x) nunca é negativa.
f é crescente para x 6= 0, f nunca é decrescente.
(d) f ′(x) = x3.
f ′(x) > 0 para x > 0; f ′(x) = 0 em x = 0, f ′(x) < 0 para x < 0.
f é crenscente para x > 0, f é decrescente para x < 0.
* Perceba que nos intervalos em que f ′(x) > 0, a função é sempre crescente. Nos intervalos em que
f ′(x) < 0, a função é sempre decrescente.
13. f ′(x) = 4x− 13. Sim, em x = 3.
Equação da reta tangente: y = −x− 13.
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