lista primitivas

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Cálculo I - Prof
a
Marina Ribeiro
Lista 11 - PRIMITIVAS
1. Para cada função dada, encontre a primitiva mais geral (verifique sua resposta derivando).
(a) f(x) = x− 3
(b) f(x) =
1
2
+
3
4
x2 − 4
5
x3
(c) f(x) = 6
√
x− 6√x
(d) f(x) = (x+ 1)(2x− 1)
(e) f(x) =
10
x9
(f) f(u) =
u4 + 3
√
u
u2
(g) f(x) = 3ex + 7 sec2 x
(h) g(θ) = cos θ − 5 sen θ
(i) f(x) = 2
√
x+ 6 cosx
(j) y = 1 +
4
3x
− 1
x2
(k) y = x
√
3
2. Encontre a primitiva F de f que satisfaça a condição dada:
(a) f(x) = 5x4 − 2x5; F (1) = 0
(b) f(x) = 4− 3(1 + x2)−1; F (1) = 0
3. Encontre f :
(a) f ′′′(x) = ex
(b) f ′′(t) = t−√t
(c) f ′(x) = 1− 6x; f(1) = 6
(d) f ′(x) =
√
x(6 + 5x); f(1) = 10
(e) f ′′(x) = 4− 6x− 40x3; f(0) = 2; f ′(0) = 1
(f) f ′′(t) =
3√
t
; f(4) = 20; f ′(4) = 7
(g) f ′′(t) = 2et + 3 sen t
(h) f ′′(x) = x−2, x > 0, f(1) = 0, f(2) = 0
4. Dado que o gráfico de f passa pelo ponto (1, 6) e que a inclinação de sua reta tangente em (x, f(x)) é
2x− 1, encontre f(2).
5. Qual dos seguintes gráficos mostra a solução do problema
dy
dx
= 2x que satisfaz y = 4 quando x = 1?
(a) (b) (c)
1
6. Diga se cada uma das fórmulas está certa ou errada e justifique sua resposta:
(a)
∫
(2x+ 1)2 dx =
(2x+ 1)3
3
+ c
(b)
∫
3(2x+ 1)2 dx = (2x+ 1)3 + c
(c)
∫
6(2x+ 1)2 dx = (2x+ 1)3 + c
(d)
∫ √
2x+ 1 dx =
√
x2 + x+ c
(e)
∫ √
2x+ 1 dx =
√
x2 + x+ c
(f)
∫ √
2x+ 1 dx =
1
3
(
√
2x+ 1)3 + c
7. Qual dos seguintes gráficos mostra a solução do problema
dy
dx
= −x que satisfaz y = 1 quando x = −1?
(a) (b) (c)
8. Calcule:
(a)
∫
3t2 +
t
2
dt
(b)
∫
x−1/3 dx
(c)
∫
−2 cos t dt
(d)
∫
1
5
− 2
x3
+ 2x dx
(e)
∫
x−3(x+ 1) dx
(f)
∫
t
√
t+
√
t
t2
dt
Respostas:
1. (a)
x2
2 − 3x+ c
(b)
1
2x+
1
4x
3 − 15x4 + c
(c) 4x3/2 − 67x7/6 + c
(d)
2
3x
3 + x
2
2 − x+ c
(e) −54x−8 + c
(f)
u3
3 − 6√u + c
(g) 3 ex+7 tg x+ c
(h) sen θ + 5 cos θ + c
(i)
4
3x
3/2 + 6 senx+ c
(j) x+ 43 lnx+
1
x + c
(k)
x
√
3+1√
3+1
+ c
2
2. (a) F (x) = x5 − x
6
3
− 2
3
(b) F (x) = 4x− 3 arctg(x) + 3pi4 − 4
3. (a) ex+c1x
2 + c2x+ c3
(b)
t3
6 − 415 t5/2 + c1t+ c2
(c) x2 − 3x2 + 8
(d) 4x3/2 + 2x5/2 + 4
(e) 2x2 − x3 − 2x5 + x+ 2
(f) 4t3/2 − 5t+ 8
(g) 2 et−3 sen t+ c1x+ c2
(h) − ln |x|+ x ln 2− ln 2
4. f(2) = 8
5. letra b
6. Falsas: a - b - d - e Verdadeiras: c - f
7. letra b
8. (a) t3 + 14 t
2 + c
(b)
3
2x
2/3 + c
(c) −2 sen t+ c
(d)
x
5 + x
−2 + x2 + c
(e) x−1 − x−22 + c
(f) 2t1/2 − 2t−1/2
3