Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Cálculo I - Prof a Marina Ribeiro Lista 12 - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO - PARTE I 1. Ache a integral indefinida. (a) ∫ x3 − 2√x x dx (b) ∫ √ x3 + 3 √ x2 dx (c) ∫ v(v2 + 2)2 dv (d) ∫ x2 + 1 + 1 1 + x2 dx (e) ∫ cosx+ 1 2 x dx 2. Usando a substituição dada, calcule a integral: (a) ∫ cos(3x) dx, u = 3x (b) ∫ x(4 + x2)8 dx, u = 4 + x2 (c) ∫ x2 √ x3 + 1 dx, u = x3 + 1 (d) ∫ 4 1 + 2x dx, u = 1 + 2x (e) ∫ esen θ cos θ dθ, u = sen θ (f) ∫ x sen(2x2) dx, u = 2x2 (g) ∫ [1−cos(t/2)]2 sen(t/2) dt, u = 1−cos(t/2) (h) ∫ 9r2√ 1− r3 dr, u = 1− r 3 3. Usando uma substituição apropriada, use a regra da substituição para encontrar a integral: (a) ∫ √ 3− 2s ds (b) ∫ (2x+ 1)3 dx (c) ∫ x sen(x2) dx (d) ∫ x2(x3 + 5)10 dx (e) ∫ (3x− 2)20 dx (f) ∫ x (x2 + 1)2 dx (g) ∫ dx 5− 3x (h) ∫ et √ 1 + et dt (i) ∫ √ x sen(1 + x3/2) dx (j) ∫ cosx sen2 x dx (k) ∫ z2 3 √ 1 + z3 dz (l) ∫ senx 1 + cos2 x dx (m) ∫ 1 t2 cos ( 1 t − 1 ) dt (n) ∫ x3 √ x2 + 1 dx (o) ∫ √ x− 1 x5 dx (p) ∫ dx x lnx dx (q) ∫ dz 1 + ez dz (r) ∫ ln √ t t dt (s) ∫ (sen3 x)(cos2 x) dx 4. Observe as três maneiras de calcular ∫ 2 senx cosx dx: (a) u = senx→ ∫ 2 senx cosx dx = ∫ 2u du = u2 + c1 = (senx) 2 + c1 (b) u = cosx→ ∫ 2 senx cosx dx = ∫ −2u du = −u2 + c2 = −(cosx)2 + c2 (c) Como 2 cosx senx = sen(2x), fazemos u = 2x. Então ∫ 2 senx cosx dx = ∫ 2 sen(2x) dx = 1/2 ∫ senu du = −1/2 cosu+ c3 = −1/2 cos(2x) + c3 Poderiam as três integrações estar corretas? Justifique sua resposta. 5. Calcule as integrais usando a integração por partes com as escolhas de f(x) e g′(x) indicadas: 1 (a) ∫ x2 lnx dx; f(x) = lnx, g′(x) = x2 (b) ∫ θ cos θ dθ; f(θ) = θ, g′(θ) = cos θ 6. Calcule as integrais usando a integração por partes: (a) ∫ x cos(5x) dx (b) ∫ r er/2 dr (c) ∫ ln(2x+ 1) dx (d) ∫ t sec2(2t) dt (e) ∫ (lnx)2 dx (f) ∫ e2θ sen(3θ) dθ (g) ∫ t sen(3t) dt (h) ∫ y e2y dy (i) ∫ x sen(x/2) dx (j) ∫ t2 cos t dt (k) ∫ x lnx dx (l) ∫ x3 ex dx (m) ∫ θ2 sen(2θ) dθ (n) ∫ e−y cos y dy (o) ∫ e−2x sen(2x) dx (p) ∫ (2x+ 3) ex dx 7. Calcule as integrais abaixo usando uma substituição antes da integração por partes: (a) ∫ e √ 3s+9 ds (b) ∫ sen(lnx) dx (c) ∫ x √ 1− x dx (d) ∫ ln(x+ x2) dx (e) ∫ z(ln z)2 dz (f) ∫ cos √ x dx (g) ∫ θ3 cos(θ2) dθ (h) ∫ x ln(1 + x) dx (i) ∫ t3e−t 2 dt (j) ∫ ecos t sen(2t) dt (k) ∫ x3 √ 1− x2 dx 8. Calcule as integrais: (a) ∫ sen2(2θ) dθ (b) ∫ senφ cos3 φ dφ (c) ∫ sen(3x) cosx dx (d) ∫ x2(x3 + 5)9 dx (e) ∫ x cos2 x dx (f) ∫ (x+ 1) √ 2x+ x2 dx (g) ∫ sec2(t/4) dt (h) ∫ x 1 + x4 dx (i) ∫ ln y√ y dy (j) ∫ ez +1 ez + z dz (k) ∫ sen θ cos2 θ dθ (l) ∫ r3√ 4 + r2 dr (m) ∫ x√ 1 + 2x dx (n) ∫ x e−x 2 dx (o) ∫ x3/2 lnx dx Respostas: 1. (a) x3 3 − 4x1/2 + c (b) 2 5 √ x5 + 35 3 √ x5 + c (c) v6 6 + v 4 + 2v2 + c (d) x3 3 + x+ arctg x+ c (e) senx+ x 2 4 + c 2. 2 (a) 1 3 sen(3x) + c (b) (4 + x2)9 18 + c (c) 2 9 √ (x3 + 1)3 + c (d) 2 ln |1 + 2x|+ c (e) esen θ + c (f) −14 cos(2x2) + c (g) −2 3 [1− cos(t/2)]3 + c (h) −6√1− r3 + c 3. (a) −13(3− 2s)3/2 + c (b) (2x+ 1)4 8 + c (c) −12 cosx2 + c (d) 1 33(x 3 + 5)11 + c (e) 1 62(3x− 2)21 + c (f) − 1 2(x2 + 1) + c (g) −13 ln |5− 3x|+ c (h) 2 3(1 + e t)3/2 + c (i) −12 cos(1 + x3/2) + c (j) − 1senx + c (k) 1 2(1 + z 3)2/3 + c (l) − arctg(cosx) + c (m) − sen(1t − 1) + c (n) (1+x2)5/3 5 − (1+x 2)3/2 5 + c (o) 2 3(1− 1/x)3/2 + c (p) ln | lnx|+ c (q) z − ln(1 + ez) + c (r) (ln √ t)2 + c (s) (cosx)5 5 − (cosx) 3 3 + c 4. Sim 5a) x3 3 ln |x| − 19x3 + c 5b) θ sen θ + cos θ + c 6. (a) 1 5x sen(5x) + 1 25 cos(5x) + c (b) 2(r − 2) er/2+c (c) 1 2(2x+ 1) ln |2x+ 1| − x+ c (d) 1 2 t tg(2t)− 14 ln | sec(2t)|+ c (e) x(lnx)2 − 2x lnx+ 2x+ c (f) 1 13 e 2θ(2 sen(3θ)− 3 cos(3θ)) + c (g) −13 t cos(3t) + 19 sen(3t) + c (h) −12 e−2y(y + 1/2) + c (i) −2x cos(x/2) + 4 sen(x/2) + c (j) t2 sen t+ 2t cos t− 2 sen t+ c (k) x2 2 lnx− x 2 4 + c (l) ex(x3 − 3x2 + 6x− 6) + c (m) −12θ2 cos(2θ) + 12θ sen(2θ) + 14 cos(2θ) + c (n) 1 2 e −y(sen y − cos y) + c (o) −14 e−2x[cos(2x) + sen(2x)] + c (p) (2x+ 1) ex+c 7. (a) 2 3 e √ 3s+9( √ 3s+ 9− 1) + c (b) x 2 [sen(ln |x|)− cos(ln |x|)] + c (c) 2 3(1− x)3/2 − 25(1− x)5/2 + c (d) 2x lnx+ lnx− 2x+ c (e) z2 2 [(ln z) 2 − ln z + 1/2] + c (f) 2 √ x sen √ x+ 2 cos √ x+ c (g) 1 2θ 2 sen θ2 + 12 cos θ 2 + c (h) 1 2(1+x) 2 ln(1+x)− 14(1+x)2−(1+x) ln(1+ x) + (1 + x) + c (i) −12 t2 e−t 2 −12e−t 2 + c (j) −2(cos t) ecos t+2 ecos t+c (k) −13(1− x2)3/2 − 15(1− x2)5/2 + c 8. (a) 1 2θ + 1 8 sen(4θ) + c (b) 1 2 cos2 φ + c (c) −38 cosx. cos(3x)− 18 senx. sen(3x) + c (d) (x3 + 5)10 30 + c (e) x2 4 + x 4 sen(2x)− 18 cos(2x) + c (f) 1 3(2x+ x 2)3/2 + c (g) 4 tg(t/4) + c (h) 1 2 arctg x 2 + c (i) 2 √ y ln √ y − 4√y + c (j) ln |ez + z|+ c (k) 1 cos θ + c (l) 1 3(4 + r 2)3/2 − 4(4 + r2)1/2 + c (m) 1 5(1 + 2x) 5/2 − (1 + 2x)1/2 + c (n) −12 e−x 2 (o) 2 5x 5/2 lnx− 425x5/2 + c 3
Compartilhar