Terceira Lista de Exercícios Cálculo II (1)

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Terceira Lista de Exercícios Cálculo II 
Professora Fernanda Valentim Turma Q3 2014/2 
 
1. Sejam 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) e 𝛼 𝑡 = (𝑡 + 1,2𝑡 − 1). Calcule a derivada da composta 𝑔 𝑡 = 𝑓 ∘
𝛼(𝑡). 
2. Sabendo que 𝑤 = ln 4 + 𝑥² + 𝑦² , 𝑥 = 2𝑠 − 𝑡, 𝑦 = −𝑠 + 3𝑡 e 𝑧 = 𝑠𝑡, calcule as derivadas 
parciais de 𝑤 em relação à 𝑠 e a 𝑡. 
3. Calcule 
𝜕𝑤
𝜕𝑟
 e 
𝜕𝑤
𝜕𝑡
 para 𝑤 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧, 𝑥 = 𝑟, 𝑦 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡) e 𝑧 = 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝑡). 
4. Seja a equação ln 𝑥𝑦 − 2𝑥𝑦 = −2. Calcule 𝑓′ (𝑥). 
Obs.: Lembre-se que 𝑓′ 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
5. Calcule o gradiente da função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), ∇𝑓, definida implicitamente pela equação: 
a) sen 𝑥𝑦 + sen 𝑦𝑧 + sen 𝑥𝑧 = 1; 
b) ln 𝑥2 + 𝑦2 + 1 + 𝑒𝑥𝑧 = 1; 
c) 𝑥𝑧² − 3𝑦𝑧 + cos 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0. 
6. Obtenha 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦 para 𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦) definida pela equação dada: 
a) ln 𝑥𝑦𝑧 + 𝑒𝑧 = 1; 
b) 𝑥𝑧² − 3𝑦𝑧 + cos 𝑧 = 0. 
7. Calcule 
𝜕𝑓
𝜕𝑢 
(𝑥𝑜 ,𝑦𝑜), sendo dados: 
a) 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥² − 3𝑦², 𝑥𝑜 ,𝑦𝑜 = (1,2) e 𝑢 é o versor do vetor 𝑣 = (2,1); 
b) 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑒𝑥²−𝑦², 𝑥𝑜 ,𝑦𝑜 = (1,1) e 𝑢 é o versor do vetor 𝑣 = (3,4); 
8. Sendo 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥² − 𝑦² + 𝑧², calcule a derivada direcional 
𝜕𝑓
𝜕𝑢 
 no ponto (1,2,1) na direção e 
sentido do vetor 𝑣 = (4,−2,4). 
9. Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente? E em que direção e sentido 
decresce mais rapidamente? 
a) 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥² + 𝑥𝑦 + 𝑦² em (1,1); 
b) 𝑓 𝑥,𝑦 = 4 − 𝑥² − 2𝑦² em 1,
1
2
 ; 
10. A temperatura do ar em pontos do espaço é dada pela função 𝑇 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑥² − 𝑦² + 𝑧². Um 
mosquito localizado em (1,2,1) deseja esfriar-se o mais rápido possível. Em que direção e 
sentido ele deve voar? 
11. Em que direção e sentido se deve seguir, começando da origem, para obter a taxa mais rápida 
de decrescimento da função 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 = 2 − 𝑥 − 𝑦 2 + 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 2? 
12. Encontre os máximos e mínimos locais, caso existam, das seguintes funções: 
a) 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥² + 3𝑥𝑦 + 4𝑦² − 6𝑥 + 2𝑦; 
b) 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥² + 𝑦³ + 𝑥𝑦 − 3𝑥 − 4𝑦 + 5; 
c) 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥³ + 2𝑥𝑦 + 𝑦² − 5𝑥; 
d) 𝑓 𝑥,𝑦 = −𝑥² + 𝑦² + 2𝑥𝑦 + 4𝑥 − 2𝑦. 
13. Encontre os pontos de máximos e mínimos da função com as restrições dadas: 
a) 𝑓 𝑥,𝑦 = 3𝑥 + 𝑦 e 𝑥² + 2𝑦² = 1; 
b) 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥² + 2𝑦² e 3𝑥 + 𝑦 = 1; 
c) 𝑓 𝑥,𝑦 = 3𝑥 + 𝑦 e 𝑥² + 2𝑦² ≤ 1. 
14. Determine o ponto da reta 𝑥 + 2𝑦 = 1 cujo produto das coordenadas seja máximo. 
15. Se 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑦 , 𝑥 = 2𝑢²𝑣² e 𝑦 = 3𝑢𝑣, calcule 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
 e 
𝜕𝑧
𝜕𝑣
. 
16. Seja 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑥² + 𝑦³ + 𝑧4. Calcule a derivada direcional 
𝜕𝑓
𝜕𝑢 
 no ponto (3,2,1) na direção e 
sentido do vetor 𝑣 = 1,−1,1 . 
17. Se 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥³
3
+ 𝑦³ − 2𝑥² − 5𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0, ache os extremos locais e os os pontos de sela de 
𝑓. 
18. Usando os multiplicadores de Lagrange, determine os máximos e mínimos da função 
𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥 + 2𝑦 sobre a elipse 2𝑥² + 𝑦² = 4. 
19. Usando os multiplicadores de Lagrange, determine os máximos e mínimos da função 
𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥 + 𝑦 sujeito à restrição 𝑥² + 𝑦² = 1. 
20. Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, e com a forma de um paralelepípedo retângulo e 
com 1𝑚³ de volume. O material a ser utilizado nas laterais custa o triplo do que será utilizado 
no fundo. Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo do material. 
GABARITO 
1. 𝑔′ 𝑡 = − 4𝑡 + 1 𝑠𝑒𝑛(2𝑡2 + 𝑡 − 1) 
2. 
𝜕𝑤
𝜕𝑠
=
2𝑥−𝑦
(4+𝑥2+𝑦2)
 e 
𝜕𝑤
𝜕𝑡
=
−𝑥+3𝑦
(4+𝑥2+𝑦2)
 
3. 𝑤𝑟 = 𝑟(2𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 2 cos 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 ), 𝑤𝑡 = 𝑟²(cos 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + cos 2𝑡 ) 
4. 𝑓′ 𝑥 = −
1
𝑥
−2𝑦
1
𝑦
−2𝑥
 
5. a) ∇𝑓 𝑥, 𝑦 = −
𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 +𝑧𝑐𝑜𝑠 (𝑥𝑧 )
𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑦𝑧 +𝑥𝑐𝑜𝑠 (𝑥𝑧 )
,−
𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 +𝑧𝑐𝑜𝑠 (𝑦𝑧 )
𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑦𝑧 +𝑥𝑐𝑜𝑠 (𝑥𝑧)
 
b) ∇𝑓 𝑥, 𝑦 = −
2𝑥
𝑥²+𝑦 ²+1
+𝑧𝑒𝑥𝑧
𝑥𝑒𝑥𝑧
,
−
2𝑦
𝑥²+𝑦 ²+1
𝑥𝑒𝑥𝑧
 
c) ∇𝑓 𝑥,𝑦 = −
𝑧²+𝑠𝑒𝑛 (𝑥+𝑦+𝑧)
2𝑥𝑧−3𝑦+𝑠𝑒𝑛 (𝑥+𝑦+𝑧)
,−
−3𝑧+𝑠𝑒𝑛 (𝑥+𝑦+𝑧)
2𝑥𝑧−3𝑦+𝑠𝑒𝑛 (𝑥+𝑦+𝑧)
 
 
6. a) 𝑓𝑥 =
−𝑧
𝑥(1+𝑧𝑒𝑧)
;𝑓𝑦 =
−𝑧
𝑦(1+𝑧𝑒𝑧 )
; b) 𝑓𝑥 =
−𝑧²
2𝑥𝑧−3𝑦−𝑠𝑒𝑛 (𝑧)
; 𝑓𝑦 =
3𝑧
2𝑥𝑧−3𝑦−𝑠𝑒𝑛 (𝑧)
 
7. a) 
𝜕𝑓
𝜕𝑢 
 1,2 = −
8
 5
; b) 
𝜕𝑓
𝜕𝑢 
 1,1 = −
2
5
 
8. 
𝜕𝑓
𝜕𝑢 
 1,2,1 = 4 
9. a) Maior crescimento: ∇𝑓 1,1 = (3,3), menor crescimento: −∇𝑓 1,1 = (−3,−3) 
c) Maior crescimento: ∇𝑓 1,
1
2
 = 
−1
 2
,
−2
 2
 , menor crescimento: −∇𝑓 1,
1
2
 = 
1
 2
,
2
 2
 
10. −∇𝑓 1,2,1 = (−2,4,−2) 
11. −∇𝑓 0,0,0 = (−2,0,2) 
12. a) 
54
7
,−
22
7
 é ponto de mínimo local; 
b) 
23
12
,−
5
6
 é ponto de sela e 1,1 é ponto de mínimo local 
c) −1,1 é ponto de sela e 
5
3
,−
5
3
 é ponto de mínimo local 
d) 
3
2
,−
1
2
 é ponto de sela 
13. a) 
6
 38
,
1
 38
 é ponto de máximo e −
6
 38
,−
1
 38
 é ponto de mínimo 
b) 
6
19
,
1
19
 é ponto de mínimo 
c) 
6
 38
,
1
 38
 é ponto de máximo e −
6
 38
,−
1
 38
 é ponto de mínimo 
14. 
1
2
,
1
4
 
15. 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
= 18𝑢²𝑣³𝑒6𝑢³𝑣³ e 
𝜕𝑧
𝜕𝑣
= 18𝑢³𝑣²𝑒6𝑢³𝑣³ 
16. 
𝜕𝑓
𝜕𝑢 
 3,2,1 = −
2
 3
 
17. 5,1 é ponto de mínimo local, (5,−1) e (−1,1) são pontos de sela e −1,−1 é ponto de 
máximo local. 
18. 
 32
12
,−
 32
3
 é ponto de máximo e −
 32
12
,
 32
3
 é ponto de mínimo 
19. 
 2
2
,
 2
2
 é ponto de máximo e −
 2
2
,
 2
2
 é ponto de mínimo 
20. As dimensões que minimizam o custo são: 𝑥 = 6
3
, 𝑦 = 6
3
 e 𝑧 =
 6
3
6
, onde 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são as 
medidas das arestas do paralelepípedo com área da base 𝑥𝑦 e altura 𝑧.