Lista1 calculo3 2018 01

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Escola Superior de Tecnologia - EST
Primeira lista de Exercícios de Cálculo III - 2018/01 Prof. Dr. JB Ponciano
Campo Vetorial
1. Represente geometricamente o campo vetorial dado.
(a) ~v(x, y) = x2 ~
b)
~h(x, y) =~ı+ ~
c)
~F (x, y) = −y~ı+ x~
d) ~v(x, y) = (1− x2)~, |x| < 1
e)
~F (x, y) =
x√
x2 + y2
~ı+
y√
x2 + y2
~
f) ~v(x, y) =
−y√
x2 + y2
~ı+
x√
x2 + y2
~
g)
~F (x, y) =
x
x2 + y2
~ı+
y
x2 + y2
~
2. Considere o campo vetorial
~f(x, y) =~ı+ (x− y)~. Desenhe ~f(x, y) nos pontos da reta:
a) y = x b) y = x− 1 c) y = x− 2
3. Considere o campo vetorial ~g(x, y) =~ı+xy ~. Desenhe ~g(x, y) nos pontos da hipérbole x y = 1,
com x > 0.
4. Seja
~F = ∇f, onde f(x, y) = x+ 2y. Desenhe ~F (x, y) com (x, y) na reta x+ 2y = 1.
5. Seja
~F = ∇ϕ, onde ϕ(x, y) = y − x2. Desenhe ~F (x, y) com (x, y) na parábola y = x2.
6. Seja
~F = ∇f, onde f(x, y, z) = x2 + y2 + z2. Desenhe ~F (x, y, z), com x2 + y2 + z2 = 1, x >
0, y > 0, z > 0.
7. Seja
~F = ∇f, onde f(x, y, z) = x+ y + z. Desenhe ~F (x, y, z), com x+ y + z = 1, x > 0, y >
0, z > 0.
8. Calcule o rotacional.
a)
~F (x, y, z) = −y~ı+ x~+ z ~k
b)
~F (x, y, z) = x~ı+ y ~+ x z ~k
c)
~F (x, y, z) = y z~ı+ x z ~+ x y ~k
d)
~F (x, y) = x y~ı− x2 ~
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Primeira lista de Exercícios de Cálculo III - 2018/01 Prof. Dr. JB Ponciano
9. Seja ϕ : Ω ⊂ R2 → R, Ω aberto, de classe C2. Verifique que o campo ~F = ∇ϕ é irrotacional.
10. Considere o escoamento bidimensional na região Ω = (x, y) ∈ R2| − 3 < x < 3, y ∈ R com
velocidade ~v(x, y) =
(
1− x
2
9
~
)
a) Desenhe tal campo de velocidade
b) O escoamento é irrotacional?
Divergente
11. Calcule o divergente do campo vetorial dado.
a) ~v(x, y) = −y~ı + x~
b) ~u(x, y, z) = x~ı + y ~ + x z ~k
c)
~F (x, y, z) = (x2 − y2)~ı + sen (x2 + y2)~ + arctg z ~k
d)
~F (x, y, z) = (x2 + y2 + z2) arctg (x2 + y2 + z2)~k
Laplaciano
12. Calcule o laplaciano da função ϕ dada.
a) ϕ(x, y) = xy
b) ϕ(x, y) = ln(x2 + y2)
c) ϕ(x, y) = arctg
x
y
, y > 0
d) ϕ(x, y) =
1
4
(ex
2−y2)
13. Sejam ~u, ~v : Ω ⊂ R3 → R3, dois campos vetoriais e ϕ : Ω → R um campo escalar. Em
cada caso, faça hipóteses adequadas sobre ϕ, ~u, e~v e prove (suponha ~u = P~ı + Q~ + R~k e
~v = P1~ı + Q1 ~ + R1 ~k) :
a) rot (~u, ~v) = rot ~u + rot ~v
b) div (~u, ~v) = div ~u + div ~v
c) div rot ~u = 0