Apol Estrutura Algébrica

Avisos 
Nota: 100 
Disciplina(s): 
Estrutura Algébrica 
Questão 1/10 - Estrutura Algébrica 
Considere os anéis (Z,+,⋅)(Z,+,⋅), (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) e (R,+,⋅)(R,+,⋅), em que 
++ e ⋅⋅ denotam suas operações usuais. É correto afirmar que 
Nota: 10.0 
 
A (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é um anel comutativo, unitário e com divisores de zero. 
 
 
B (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é corpo. 
 
C (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) não é domínio de integridade. 
 
D (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) é corpo. 
Você acertou! 
Com as operações usuais, (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) é um anel comutativo e com unidade 1. Além disso, 
dado a=pq∈Q, p∈Z, q∈Z∗a=pq∈Q, p∈Z, q∈Z∗com a≠0,a≠0, vem que p≠0p≠0 e 
qp∈Q.qp∈Q. Então, a−1=qp∈Qa−1=qp∈Q, pois pq⋅qp=1.pq⋅qp=1. 
 
 
E (R,+,⋅)(R,+,⋅) não é domínio de integridade. 
 
 
 
Questão 2/10 - Estrutura Algébrica 
Considere os polinômios 
f(x)=2x3−7x2+4x−1 e g(x)=x−4.f(x)=2x3−7x2+4x−1 e g(x)=x−4. Com 
base em p(x)p(x) e em q(x),q(x), analise as afirmativas: 
 
I. O polinômio f(x)f(x) é unitário. 
 
II. O grau do polinômio g(x)g(x) é 1.1. 
 
III. O quociente da divisão do polinômio f(x)f(x) pelo polinômio 
g(x)g(x) é q(x)=2x2+x+8.q(x)=2x2+x+8. 
 
São corretas as afirmativas: 
 
Nota: 10.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
 
C I e III, apenas. 
 
D II, apenas. 
 
E II e III, apenas. 
Você acertou! 
A afirmativa I é falsa, pois o coeficiente do termo dominante é diferente de 1. A afirmativa II é 
 correta, pois a potência da variável xx no termo dominante é 1. Também observamos que 
 f(x)=g(x)⋅(2x2+x+8)+31,f(x)=g(x)⋅(2x2+x+8)+31, o qual garante que a afirmativa III é 
correta. 
 
Questão 3/10 - Estrutura Algébrica 
Considere M2(R)M2(R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 
com entradas reais. Sobre o anel (M2(R),+,⋅),(M2(R),+,⋅), é correto 
afirmar que 
Nota: 10.0 
 
A É um anel comutativo. 
 
B É um anel com unidade dada pela matriz I=[1111].I=[1111]. 
 
C É um anel com divisores de zero. 
Você acertou! 
Com operações usuais, (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) é um anel. Além disso, 
 (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) possui divisores de zero. Por exemplo, as matrizes 
 A=[1000] e B=[0010]A=[1000] e B=[0010] são tais que AB=0,AB=0, 
 porém A≠0 e B≠0.A≠0 e B≠0. 
 
D É um domínio de integridade. 
 
E É um corpo. 
 
Questão 4/10 - Estrutura Algébrica 
O subconjunto BB do anel (A,+,⋅)(A,+,⋅) é subanel de AA quando 
a−b∈B e a⋅b∈Ba−b∈B e a⋅b∈B para todos a,b∈B.a,b∈B. Com base nessa 
estrutura, analise as afirmativas: 
 
I. ZZ é um subanel de Q.Q. 
 
II. L={f∈A; f(1)=1}L={f∈A; f(1)=1} é subanel de A=F(R,R).A=F(R,R). 
 
III. 2Z={2x; x∈Z}2Z={2x; x∈Z} é subanel de Z.Z. 
 
São corretas as afirmativas: 
Nota: 10.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
 
C I e III, apenas. 
Você acertou! 
Sabemos que Z⊂Q.Z⊂Q. Além disso, dados a,b∈Z,a,b∈Z, temos a−b∈Z e a⋅b∈Z.a−b∈Z 
e a⋅b∈Z. Logo, ZZ é subanel de Q.Q. Com isso, a afirmativa I é verdadeira. Observamos 
também que 2Z⊂Z.2Z⊂Z. Dados a,b∈2Z,a,b∈2Z, existem x,y∈Zx,y∈Z tais que a=2x e b=2y.a=2x e b=2y. Com 
isso, a−b=2(x−y)∈2Z e a⋅b=2(2xy)∈2Z.a−b=2(x−y)∈2Z e a⋅b=2(2xy)∈2Z. Assim, 
2Z2Z é subanel de ZZ e a afirmativa III é verdadeira. 
 
D II, apenas. 
 
E II e III, apenas. 
 
Questão 5/10 - Estrutura Algébrica 
Seja F(R,R)={f:R→R; f é função}F(R,R)={f:R→R; f é função} o 
conjunto das funções reais definidas sobre o conjunto dos números reais. 
Com base nesse conjunto, coloque VV quando a afirmativa for 
verdadeira e FF quando falsa. 
 
I. ( ) F(R,R)F(R,R) é um anel comutativo. 
 
II. ( ) F(R,R)F(R,R) é um anel com unidade. 
 
III. ( ) F(R,R)F(R,R) é um domínio de integridade. 
 
Agora, marque a sequência correta. 
Nota: 10.0 
 
A V, V, V. 
 
B V, F, V. 
 
C V, V, F. 
Você acertou! 
Com as operações do conjunto F(R,R)F(R,R), garantimos que trata-se de um anel comutativo e 
 com unidade: h:R→R, h(x)=1h:R→R, h(x)=1 para todo x∈R.x∈R. Logo, as 
afirmativas I 
e II são verdadeiras. Entretanto, F(R,R)F(R,R) não é domínio, pois possui divisores de zero. Por exemplo, as funções f,g:R→Rf,g:R→R definidas por 
 
f(x)=x e g(x)={0,x≠01,x=0f(x)=x e g(x)={0,x≠01,x=0 
 
 são tais que f⋅g=0f⋅g=0, mas f≠0 e g≠0.f≠0 e g≠0. Com isso, a afirmativa III é falsa. 
 
D V, F, F. 
 
E F, V, V. 
 
Questão 6/10 - Estrutura Algébrica 
Sobre a noção de ideal, é correto afirmar que 
Nota: 10.0 
 
A ZZ é um ideal de Q.Q. 
 
B ZZ é um ideal de R.R. 
 
 
C QQ é um ideal de R.R. 
 
 
D 2Z2Z é um ideal de Z.Z. 
Você acertou! 
Considere a,b∈2Z e x∈Z.a,b∈2Z e x∈Z. Então existem a1,b1∈Za1,b1∈Z tais que a=2a1 
e b=2b1.a=2a1 e b=2b1. Com isso, a−b=2(a1−b1)∈2Z e 
x⋅a=2(a1x)∈2Z.a−b=2(a1−b1)∈2Z e x⋅a=2(a1x)∈2Z. Isso mostra que 2Z2Z é um ideal 
 de Z.Z. 
 
E 3Z3Z é um ideal de Q.Q. 
 
Questão 7/10 - Estrutura Algébrica 
No conjunto dos números inteiros Z,Z, defina as operações: 
a∗b=a+b e a△b=0.a∗b=a+b e a△b=0. Com base neste conjunto com estas 
operações, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando 
falsa. 
 
I. ( ) (Z,∗,△)(Z,∗,△) é um anel. 
 
II. ( ) (Z,∗,△)(Z,∗,△) é um anel unitário. 
 
III. ( ) (Z,∗,△)(Z,∗,△) possui divisores de zero. 
 
Agora, marque a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 
A V, V, V. 
 
B V, F, V. 
Você acertou! 
A afirmativa I é verdadeira, pois (Z,∗,△)(Z,∗,△) satisfaz os seis axiomas de anel. Além disso, se 
 x∈Zx∈Z é a unidade, então a△x=a.a△x=a. Porém, o resultado de aplicarmos a operação △△ 
é sempre 0. Isso mostra que (Z,∗,△)(Z,∗,△) não é unitário e a afirmativa II é falsa. Por fim, a 
afirmativa III é verdadeira, pois 1≠0 e 2≠0,1≠0 e 2≠0, mas 1△2=0.1△2=0. 
 
C V, V, F. 
 
D V, F, F. 
 
E F, V, V. 
 
Questão 8/10 - Estrutura Algébrica 
Seja A={e,a}A={e,a} um conjunto com dois elementos com as 
operações + e ⋅+ e ⋅ definidas pelas tabelas abaixo: 
 
+eaeeaaae e ⋅eaeeeaea+eaeeaaae e ⋅eaeeeaea 
 
Analise as afirmativas: 
 
I. (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel. 
 
II. (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel comutativo. 
 
III. (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel sem unidade. 
 
São corretas as afirmativas: 
Nota: 10.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
Você acertou! 
Com as operações definidas no conjunto A,A, os elementos deste conjunto satisfazem os seis 
axiomas de anel. Logo, (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel e a afirmativa I está correta. Além disso, 
e⋅a=a⋅e=ee⋅a=a⋅e=e, o que mostra que (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel comutativo. Logo, a 
 afirmativa II também está correta. Por outro, (A,+,⋅)(A,+,⋅) é unitário, pois a∈Aa∈A é a 
 unidade. Logo, a afirmativa III é falsa. 
 
C I e III, apenas. 
 
D II, apenas. 
 
E II e III, apenas. 
 
Questão 9/10 - Estrutura Algébrica 
Considere (A,+,⋅)(A,+,⋅) um anel. Um subconjunto não vazio 
B⊂AB⊂A é chamado subanel de A quando as duas propriedades abaixo 
são satisfeitas: 
 
(i) se a,b∈Ba,b∈B, então a+b∈Ba+b∈B e a⋅b∈Ba⋅b∈B; 
 
(ii) (B,+,⋅)(B,+,⋅) é um anel. 
 
Diante disso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando 
falsa. 
 
I. ( ) Com as operações usuais, ZZ é um subanel de R.R. 
 
II. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números pares 
B={2k; k∈Z}B={2k; k∈Z} é subanel de Z.Z. 
 
III. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números 
ímpares C={2k+1;k∈Z}C={2k+1;k∈Z} é subanel de Z.Z. 
 
Agora, marque a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 
A V, V, V. 
 
B V, F, V. 
 
C V, V, F. 
Você acertou! 
As propriedades (i) e (ii) são satisfeitas para os conjuntos ZZ e B.B. Logo, as afirmativas I e II 
são verdadeiras. Observamos que 1 e 3 são elementos de CC, mas 1+3=4∉C.1+3=4∉C. 
Assim, a afirmativa III é falsa. 
 
D V, F, F. 
 
E F, V, V. 
 
Questão 10/10 - Estrutura