3. T Laplace e Fourier

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TRANSFORMADAS 
INTEGRAIS
LAPLACE E FOURIER
Transformada integral
Em Física Matemática há pares de funções que satisfazem uma 
expressão na forma:
F 𝛼 = 𝑎
𝑏
𝑓 𝑡 𝐾 𝛼, 𝑡 𝑑𝑡
A função F() é denominada de transformada integral de f(t) pelo 
núcleo K(,t), e vice-versa.
A operação também pode ser descrita como o mapeamento de 
uma função f(t) no espaço t para uma outra função, F(), no 
espaço .
𝑓 𝑡 = 
𝑎
𝑏
𝐹 𝛼 𝐾∗ 𝛼, 𝑡 𝑑𝛼
Transformada de Laplace 
Definição
G(s) é a Transformada de Laplace de f(t) e vice-versa
𝑓 𝑡 = 
0
∞
𝐺 𝑠 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑠
𝐺 𝑠 = 
0
∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
𝐾 𝑠, 𝑡 = 𝑒−𝑠𝑡
Núcleo
ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐺(𝑠)
ℒ−1 𝐺(𝑠) = 𝑓(𝑡)
Para t > 0
F 𝝎 =
1
2𝜋
1/2
 −∞
+∞
𝒇 𝒕 𝒆𝒊𝝎𝒕𝒅𝒕
𝑲 𝝎, 𝒕 =
1
2𝜋
1/2
𝒆𝒊𝝎𝒕Núcleo:
𝒇 𝒕 =
1
2𝜋
1/2
 
−∞
+∞
𝑭 𝝎 𝒆−𝒊𝝎𝒕 𝒅𝝎
Transformada de Fourier 
Definição
Transformada de Laplace 
(TL)
Cálculo da TL para funções 
elementares
𝑓 𝑡 = 
0
∞
𝐺 𝑠 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑠𝐺 𝑠 = 
0
∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
Exemplos: 
𝑓 𝑡 = 1
𝑓 𝑡 = cos 𝑎𝑡
𝐺 𝑠 =
1
𝑠
𝐺 𝑠 =
𝑠
𝑠2 + 𝑎2
Tabela de TL de funções elementares
G(s)G(s)
Tabela de TL de funções elementares – cont.
G(s)
G(s)
Algumas Propriedades da TL
Observe que 
nesta tabela 
F(s) = G(s)
Observe que nesta tabela F(s) = G(s)
Algumas Propriedades da TL – cont.
Utilização de TL
Exemplo: Solução de problemas de valor 
inicial
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑡 Com y(0) = 2 e y’(0)=1
Aplica a TL na equação diferencial
 
0
∞𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 + 
0
∞
𝑦 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = 
0
∞
𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑛2𝑡
Ou
ℒ
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ ℒ 𝑦 = ℒ 𝑠𝑒𝑛2𝑡 ℒ 𝑦′′ + ℒ 𝑦 = ℒ 𝑠𝑒𝑛2𝑡
Exemplo: Solução de problemas de valor 
inicial
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒕𝟐
+ 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 Com y(0) = 2 e y’(0)=1
𝓛
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒕𝟐
+ 𝓛 𝒚 = 𝓛 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕
TL de funções elementares
f(t)=y(t) e F(s) = Y(s)
ℒ
ℒ
ℒ
ℒ 𝑦 = 𝑌 𝑠 = 
0
∞
𝑦 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
𝑠2𝑌 𝑠 − 𝑠𝑦 0 − 𝑦′ 0 + 𝑌 𝑠 =
2
𝑠2 + 22 Substitui-se os valores iniciais:
𝑠2𝑌 𝑠 − 2𝑠 − 1 + 𝑌 𝑠 =
2
𝑠2 + 22
Isola-se Y(s):
𝑌 𝑠 =
2𝑠3 + 𝑠2 + 8𝑠 + 6
(𝑠2 + 1)(𝑠2 + 4)
𝑌 𝑠 =
2𝑠3 + 𝑠2 + 8𝑠 + 6
(𝑠2 + 1)(𝑠2 + 4)
A ideia é escrever Y(s) em vários termos já conhecidos da Tabela de 
TL e calcular a transformada inversa para obter y(t): 
Frações parciais
𝑌 𝑠 =
2𝑠3 + 𝑠2 + 8𝑠 + 6
(𝑠2 + 1)(𝑠2 + 4)
𝑌 𝑠 =
𝑎𝑠 + 𝑏
(𝑠2 + 1)
+
𝑐𝑠 + 𝑑
(𝑠2+4)
𝑌 𝑠 =
𝑎𝑠 + 𝑏 × 𝑠2 + 4 + (𝑐𝑠 + 𝑑) × (𝑠2 + 1)
(𝑠2 + 1)(𝑠2 + 4)
Comparando-se os termos, 
determina-se a, b, c e d:
𝑎𝑠 + 𝑏 × 𝑠2 + 4 + 𝑐𝑠 + 𝑑 × 𝑠2 + 1 = 𝑎 + 𝑐 𝑠3 + 𝑏 + 𝑑 𝑠2 + 4𝑎 + 𝑐 𝑠 + 4𝑏 + 𝑑
Devem ser iguais
2𝑠3 + 𝑠2 + 8𝑠 + 6
= 𝑎 + 𝑐 𝑠3 + 𝑏 + 𝑑 𝑠2 + 4𝑎 + 𝑐 𝑠 + 4𝑏 + 𝑑
Logo:
Expandindo o numerador de Y(s)
𝑎 + 𝑐 = 2 𝑏 + 𝑑 = 1
4𝑎 + 𝑐 = 8 4𝑏 + 𝑑 = 6
𝑌 𝑠 =
𝑎𝑠 + 𝑏
(𝑠2 + 1)
+
𝑐𝑠 + 𝑑
(𝑠2+4)
𝑎 + 𝑐 = 2
𝑏 + 𝑑 = 1
4𝑎 + 𝑐 = 8
4𝑏 + 𝑑 = 6
a = 2
b = 5/3
c = 0
d = -2/3
𝑌 𝑠 = 2
𝑠
(𝑠2 + 1)
+
5
3
1
(𝑠2 + 1)
−
1
3
2
(𝑠2+4)
ℒ−1 𝑌 𝑠 = 2ℒ−1
𝑠
(𝑠2 + 1)
+
5
3
ℒ−1
1
(𝑠2 + 1)
−
1
3
ℒ−1
2
(𝑠2+4)
Aplicando-se a TL inversa:
𝑦(𝑡) = 2 cos 𝑡 +
5
3
sin 𝑡 −
1
3
sin 2𝑡
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑡 Com y(0) = 2 e y’(0)=1
Logo, a solução y(t) para a ED com condições iniciais é:
Transformada de Fourier 
(TF)
Transformada de Fourier
Forma exponencial
𝑭 𝝎 =
1
2𝜋
1/2
 
−∞
+∞
𝒇 𝒕 𝒆𝒊𝝎𝒕𝒅𝒕
𝒇 𝒕 =
1
2𝜋
1/2
 
−∞
+∞
𝑭 𝝎 𝒆−𝒊𝝎𝒕 𝒅𝝎
𝒆±𝒊𝝎𝒕 = 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 ± 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕
𝒇 −𝒕 = 𝒇 𝒕
𝑷𝑨𝑹
𝒇 −𝒕 = − 𝒇(𝒕)
𝑰𝑴𝑷𝑨𝑹
𝑭 𝝎 =
2
𝜋
1/2
 
0
+∞
𝒇 𝒕 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝑭 𝝎 =
2
𝜋
1/2
 
0
+∞
𝒇 𝒕 𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 𝒅𝒕
𝒇 𝒕 =
2
𝜋
1/2
 
0
+∞
𝑭 𝝎 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕𝒅𝝎 𝒇 𝒕 =
2
𝜋
1/2
 
0
+∞
𝑭 𝝎 𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕𝒅𝝎
TF: Em senos e cossenos
Obtidas a partir da forma exponencial e usando: 
Tabela de TF
Tabela de TF - continuação
Alguns problemas são difíceis de solucionar diretamente. Pode 
ser mais fácil resolver o problema transformado e aplicar a 
transformada inversa na solução.
Exemplo:
A representação de um sinal no domínio do tempo (do espaço, 
...) está presente, naturalmente, no nosso dia a dia. Porém, 
certas operações tornam-se muito mais simples e 
esclarecedoras se trabalharmos no domínio da frequência, 
domínio este, conseguido a partir das Transformadas de Fourier 
(TF).
t  f
x  k
Exemplo
Imagine um trem de ondas sen0t ∶ 𝑓 𝑡 =
𝑠𝑒𝑛𝜔0𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 <
𝑁𝜋
𝜔0
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 >
𝑁𝜋
𝜔0
Considere que esta onda passe por um filtro de abertura finita. 
Trem de ondas original para N = 5.
Exemplo 𝑓 𝑡 =
𝑠𝑒𝑛𝜔0𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 <
𝑁𝜋
𝜔0
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 >
𝑁𝜋
𝜔0
𝓕 𝒇(𝒕) = 𝑭 𝝎 =
2
𝜋
1/2
 
0
𝑁𝜋
𝜔0
𝑠𝑒𝑛𝜔0𝑡 𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 𝒅𝒕
Fazendo a integral, ou usando a tabela de TF obtém-se:
Para   0
Somente o primeiro termo é importante pois o denominador é pequeno.
Somente o máximo central é relevante e a 
dispersão em frequências pode ser dada por:
Se N for grande, pulso longo, a dispersão da frequência será 
pequena.
Por outro lado, se o pulso for limitado, N pequeno, a 
distribuição será mais larga e os máximos secundários mais 
importantes.
Princípio da Incerteza
Análogo clássico do Princípio da Incerteza da MQ.
Se tivemos tratando de ondas eletromagnéticas, sendo h a constante de 
Planck:
𝐸 =
ℎ𝜔
2𝜋
∆𝐸 =
ℎ∆𝜔
2𝜋
E representa a incerteza 
na energia do pulso.
Há também uma incerteza no tempo, pois a onda de N ciclos leva 2N/0
segundos para passar ( 𝑡 <
𝑁𝜋
𝜔0
).
∆𝑡 =
2𝑁
0
∆𝐸 ∙ ∆𝑡 =
ℎ∆𝜔
2𝜋
∙
2𝑁
0
com ∆𝐸 ∙ ∆𝑡 = ℎ
∆𝐸 ∙ ∆𝑡 ≥
ℎ
4𝜋
= ℏ/2Pelo Princípio da Incerteza:
Transformada de Fourier de 
Derivadas
𝑭 𝝎 =
1
2𝜋
1/2
 
−∞
+∞
𝒇 𝒕 𝒆𝒊𝝎𝒕𝒅𝒕
𝑭𝟏 𝝎 =
1
2𝜋
1/2
 
−∞
+∞𝒅𝒇
𝒅𝒕
𝒆𝒊𝝎𝒕𝒅𝒕
𝑭𝟏 𝝎 = − 𝑖𝜔
1
2𝜋
1/2
 
−∞
+∞
𝑓 𝑡 𝒆𝒊𝝎𝒕𝒅𝒕 = −𝒊𝜔𝐹(𝜔)
𝑭𝒏 𝝎 = (−𝒊𝝎)
𝒏𝑭 𝝎
Linearidade
Convolução
Translação
Escalonamento
Derivada
Algumas Propriedades da TF
Exemplo: ED Fluxo de Calor 
𝜕𝜓
𝜕𝑡
= 𝛼2
𝜕2𝜓
𝜕𝑥2
𝜓 𝜓 𝑥, 𝑡 Ψ(𝑘, 𝑡)
Transformada em x, fazendo  = k.
𝒈 𝒌 =
1
2𝜋
1/2
 
−∞
+∞
𝒇 𝒙 𝒆𝒊𝒌𝒙𝒅𝒙
𝚿 𝒌, 𝒕 =
1
2𝜋
1/2
 
−∞
+∞
𝝍 𝒙, 𝒕 𝒆𝒊𝒌𝒙𝒅𝒙
Aplica a TF na EDP:
Aplica a TF inversa para Ψ 𝑘, 𝑡 :
𝜕𝜓
𝜕𝑡
= 𝛼2
𝜕2𝜓
𝜕𝑥2
𝜕Ψ
𝜕𝑡
= −𝛼2𝑘2Ψ Ψ 𝑘, 𝑡 = 𝐶𝑒𝑥𝑝(−𝛼2𝑘2𝑡)
𝝍(𝒙, 𝒕) =
1
2𝜋
1/2
 
−∞
+∞
Ψ 𝑘, 𝑡 𝒆−𝒊𝒌𝒙 𝒅𝒌
𝝍(𝒙, 𝒕) =
𝑪
𝜶
𝟏
𝟐𝒕
𝒆𝒙𝒑
𝒙𝟐
𝟒𝜶𝟐𝒕
EXTRA
Sinais ... Ondas...
 Distribuição de elétrons em um átomos pode ser obtida de uma 
transformada de Fourier da amplitude de raios X espalhados.
 Na Mecânica Quântica, a origem Física das relações de Fourier é a 
natureza ondulatória da matéria e a descrição que fazemos em termos de 
ondas (k).
A TF decompõe um sinal em suas 
componentes elementares 
seno e cosseno
Funções periódicas são representadas por séries de 
Fourier; 
Funções não-periódicas oscilantes são representadas 
por transformadas de Fourier (espectro do sinal); 
Fontes
http://www.dsc.ufcg.edu.br/~pet/ciclo_seminarios/tecnicos/2010/Transfo
rmadaDeFourier.pdf
FÍSICAMATEMÁTICA - MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA 
ENGENHARIA E FÍSICA, GEORGE ARFKEN, Ed. CAMPUS 
ELSEVIER.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ELEMENTARES E PROBLEMAS DE 
VALORES DE CONTORNO, William E. Boyce, Richard C. DiPrima, 
9ª. Ed., Editora LTC.
Exercícios para TL
1) Mostrar que:
2) Mostrar que:
3) Usando o método das frações parciais mostre que:
4) Encontre a solução da ED do oscilador harmônico simples usando TL, 
sendo m a massa do oscilador, a mola é ideal e tem constante elástica k, 
desprezando o atrito. As condições iniciais são: X(0)=X0 e X’(0)=0
ℒ−1
𝑠
(𝑠+𝑎)(𝑠+𝑏)
=
𝑎𝑒−𝑎𝑡−𝑏𝑒−𝑏𝑡
(𝑎−𝑏)
com a b
ℒ 0
𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =
𝐹(𝑠)
𝑠
ℒ 𝑒𝛽𝑡 sin 𝛼𝑡 =
𝛼
(𝑠−𝛽)2+𝛼2
𝑚
𝑑2𝑋
𝑑𝑡2
+ 𝑘𝑋 = 0, 𝑋(𝑡)
Exercícios para TF
1) Na Tabela de Transformadas de Fourier demonstrei as propriedades 1 
e 13.
Dica: Use a definição integral.
Dicas para resolver os exercícios de TL
Nos exercícios 1 e 2,
usar a definição integral da TL.
No exercício 3 seguir a mesma sistemática de resolução usada em 
“Frações parciais” resolvido em sala.
No exercício 4 seguir a mesma sistemática do exemplo dado em aula, ou 
seja, aplica-se a TL na equação diferencial e determina-se a TL. Depois 
reescrever a TL de forma a identificar termos que aparecem na Tabela de 
funções elementares.