APOSTILA ESTATÍSTICA APLICADA UNIÍTALO 2017 1 PROFa LIANA GUIMARÃES

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Centro Universitário Ítalo Brasileiro 
 
 
Administração de Empresas 
 
 
ESTATÍSTICA APLICADA 
 
Profa Dra Liana Maria Ferezim Guimarães 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
Apresentação 
 
 
Este caderno de estudo tem como objetivo principal mostrar, de forma clara, por meio de 
exemplos práticos, os conceitos primordiais da estatística inferencial apresentando, inicialmente, uma 
revisão da análise combinatória e do cálculo de probabilidades. Utiliza, para isso, uma metodologia 
objetiva e de fácil compreensão. 
 
O nível de aprofundamento apresentado, tanto na teoria como nos exercícios, assegura a 
necessária preparação do aluno para o desenvolvimento de disciplinas afins em sua formação 
acadêmica. Além disso, é enfatizada a importância de aplicar técnicas estatísticas para solucionar 
problemas usuais do mundo real. Em todas as oportunidades será mostrado como a estatística pode, 
efetivamente, facilitar a tomada de muitas decisões que administradores, contadores, economistas, 
executivos e empreendedores enfrentam cotidianamente. 
 
 
 
 
Profa Dr a Liana Maria Ferezim Guimarães 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ESTATÍSTICA APLICADA 
CAPÍTULO 1 - TEORIA DAS PROBABILIDADES 
 
 
 
Neste texto, inicialmente, serão revistos os conceitos de análise combinatória para que estes 
forneçam o embasamento necessário ao desenvolvimento da teoria de probabilidades. 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
A análise combinatória é a parte da Matemática que consiste em estudar métodos de contagem. 
 
 
FATORIAL 
 
 Para resolver problemas de Análise Combinatória precisamos utilizar uma ferramenta 
matemática chamada fatorial. 
 Seja um número n inteiro e não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!), 
como sendo: 
n! = n.(n-1).(n-2) . ... .4.3.2.1 para n ≥ 2 
 
Exemplos: 
 
1. 
42 1234 ! 4 
 
2. 
5.040 1234567 ! 7 
 
3. 
800.628.312345678910!10 
 
 
Perceba que 
!4567!7 
 ou 
!78910!10 
 
 
Por definição, 
 1 ! 1 e 1 ! 0 
 
 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
 
 Se determinado evento ocorre em etapas independentes; se a primeira etapa pode ocorrer de k1 
maneiras diferentes; a segunda de k2 maneiras diferentes e, assim sucessivamente, então o número 
total N de maneiras de ocorrer o evento, composto por n etapas, é dado por: 
n321 k...kkkN 
 
 
Exemplos: 
 
4. No Brasil, antes da alteração do sistema de emplacamento de automóveis, as placas dos veículos 
eram confeccionadas usando-se duas letras do alfabeto e quatro algarismos. Qual era o número 
máximo de veículos licenciados no sistema antigo? 
 
Imaginemos a seguinte situação: Placa LG8178. 
 
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos 
concluir que: 
a) Para a 1a posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2a também temos 26 
alternativas. 
b) Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada uma das 4 
posições. 
 
 
 
 
 
4 
Podemos, então, afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 
000.760.6101010102626 N
 veículos licenciados. 
 
5. Atualmente, no Brasil, as placas dos veículos são confeccionadas usando-se três letras do alfabeto e 
quatro algarismos. Qual é o número máximo de veículos que pode ser licenciado? 
 
Nesse caso, o número total de veículos que podem ser licenciados é igual a: 
000.760.17510101010262626 N
 veículos licenciados. 
 
Percebe-se que a inclusão de apenas uma letra faz com que sejam licenciados mais 169.000.000 
veículos. 
 
6. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 
5, 6 e 7? 
 
Formar um número nessas condições é considerado uma ação constituída de três etapas: 
a) escolha do algarismo das centenas: há 7 possibilidades, pois, com exceção do zero, qualquer outro 
algarismo pode iniciar o número (lembre-se que o número 058 é, na verdade, 58 e possui apenas dois 
algarismos); 
b) escolha do algarismo das dezenas: há 7 possibilidades, pois, o algarismo zero pode ser incluído, mas 
deve-se excluir o algarismo já escolhido para a centena; 
c) escolha do algarismo das unidades: há 6 possibilidades, pois, deve-se escolher um algarismo 
diferente dos dois anteriores. 
Portanto, o resultado procurado é 
294677 N
 números. 
 
 
PERMUTAÇÕES SIMPLES 
 
 Considere o conjunto E = {a1, a2, a3,..., an} de n elementos distintos. Chama-se permutação dos 
n elementos de E, qualquer sequência formada pelos n elementos de E. 
 
 De um modo geral, não nos interessa quais são as permutações que se podem fazer com os 
elementos de um conjunto, mas, sim, quantas são as permutações possíveis com esses elementos. 
Esse cálculo é bastante simples, pois ele pode ser feito por meio do princípio fundamental da contagem. 
 De fato, seja E = {a1, a2, a,..., an} um conjunto qualquer de n elementos distintos. Determinar o 
número de permutações dos n elementos de E é determinar o número de sequências diferentes que se 
podem formar com esses elementos. Para isso, vamos analisar quantas possibilidades de escolha 
existem para o 1o, 2o, 3o,...,n-ésimo termos das sequências, sem repetição de elementos. Temos, então: 
 
Termos 1o 2o 3o 4o ... no 
No de possibilidades n n-1 n-2 n-3 1 
 
Assim, pelo princípio fundamental da contagem, concluímos que o número de permutações de n 
elementos distintos é dado por: 
12...)3n()2n()1n(nPn 
, ou ainda, 
 
!nPn 
 
 
Exemplos: 
 
7. Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou 
não significado na linguagem comum. Os possíveis anagramas da palavra REI são: {REI, RIE, ERI, EIR, 
IRE e IER}. Cada um desses 6 anagramas é uma permutação dos elementos R, E, I. 
6!3P3 
 maneiras 
 
 
 
 
 
5 
8. De quantos modos diferentes 6 pessoas podem se dispor em fila? 
 Uma fila nada mais é do que uma sequência de pessoas, isto é, mudando-se as posições de 2 
pessoas numa fila, ela se altera. Então, o número de maneiras em que 6 pessoas podem se dispor em 
fila é dado por: 
720!6P6 
 maneiras 
 
9. Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MUNDO? 
 A palavra MUNDO possui 5 letras distintas e, portanto, o número de anagramas é igual a: 
120!5P5 
 anagramas 
 
10. Quantos anagramas existem com as letras da palavra CACATUA? 
 Se as letras da palavra CACATUA fossem todas distintas, o número de anagramas seria: 
 
040.5!7P7 
 anagramas 
Porém, nesse cálculo, cada anagrama é computado mais de uma vez, já que as trocas de posições 
apenas entre letras iguais não resultam em um novo anagrama e, como visto no exemplo anterior, estão 
incluídas nesse total. Como há 3 letras A, que ocupam 3 vagas, o número de vezes que elas permutam 
entre si, num mesmo anagrama é: 
6!3P3 
 
Já o número de vezes que as 2 letras C permutam entre si é: 
2!2P2 
 
Assim, cada anagrama gera 6x2 anagramas iguais, isto é, cada anagrama é computado 12 vezes 
quando se calcula P7. Logo, o número de anagramas com as letras da palavra CACATUA é igual a: 
420
12
040.5
12
P7 
 anagramas 
 
 
ARRANJOS 
 
 Considere o conjunto E = {a1, a2, a,..., an} de n elementos. Chama-se arranjo simples dos n 
elementos de E tomados r a r 
)rn( 
, representado por 
r,nA
, qualquer sequência formada por r 
elementos distintos de E. 
 
Exemplos: 
 
 11. Para ilustrar como se procede ao cálculo de arranjos, considere o conjunto dasvogais do alfabeto 
V = { a, e, i, o, u }. Suponha que queremos saber quantos grupos existem, que contenham, por 
exemplo, três das cinco vogais. Neste caso, n = 5 e r = 3. Temos, então, cinco objetos para ocuparem 
3 posições, formando vários grupos distintos. 
Para ocupar a primeira posição, tem-se como opção qualquer uma das cinco vogais. Escolhida 
uma delas, tem-se como opção para ocupar a segunda posição a escolha de qualquer uma das quatro 
restantes. Preenchida a segunda posição pode-se, finalmente, escolher qualquer uma das três vogais 
restantes para ocupar a terceira posição. 
O número total de grupos de três vogais é, portanto, o produto 
345 
, que se representa por 
3,5A
. Se quisermos usar o símbolo que representa o fatorial podemos escrever: 
 
60 
! 3)-(5
! 5
 
! 2
! 5
 
12
12345
 345 A 5,3 



 
 
 Generalizando, o número de arranjos de n objetos tomados r a r é dado pela fórmula: 
 
)!rn(
!n
A r,n


 
 
 
 
 
6 
 No exemplo acima, o cálculo mostra que podem-se formar 60 grupos com três vogais distintas. 
Alguns deles são: aei , aie , eai, eia, iae, iea. Notar que esses grupos, apesar de terem os mesmos 
elementos, são considerados distintos por causa da ordem em que os mesmos estão dispostos. 
 
 
O cálculo de arranjos é usado em problemas onde a ordem de disposição dos 
elementos é relevante. 
 
 
12. Vinte atletas disputam uma prova esportiva, todos com chances iguais de vencer. De quantas 
formas pode-se compor o pódio para os 3 primeiros lugares? 
 Neste problema, a ordem de disposição dos 3 vencedores no pódio é relevante e, portanto, 
calcula-se o número de arranjos de 20 elementos tomados 3 a 3. 
 
6.840 18 19 20 
! 3)-(20
! 20
 A 3,20 
pódios diferentes. 
 
 
COMBINAÇÕES 
 
 Considere o conjunto E = {a1, a2, a,..., an} de n elementos. Chama-se combinação simples dos 
n elementos de E tomados r a r 
)rn( 
, representada por 
r,nC
, qualquer subconjunto de E com r 
elementos. É muito importante reforçar que uma combinação é um agrupamento de elementos que 
podem ser dispostos em qualquer ordem. 
 
 
O cálculo de combinações é usado em problemas onde a ordem de disposição 
dos elementos NÃO é relevante. 
 
 
A contagem de grupos de r elementos, dentre n, onde a ordem dos elementos escolhidos não é 
importante é dada por: 
!r
A
C
r,n
r,n 
, ou seja, 
!r)!rn(
!n
C r,n


 
 
Exemplo: 
 
13. De quantas formas pode-se compor uma comissão de 3 pessoas a partir de um grupo de 8 
pessoas? 
Numa comissão de 3 pessoas, não importa a ordem em que elas estão dispostas. Calcula-se, 
portanto, o número de combinações de 8 pessoas tomadas 3 a 3: 
 
56 
12312345
12345678
 
! 3 ! 5
! 8
 C 3,8 



 comissões diferentes. 
 
 
 
Tanto arranjo como combinação são agrupamentos de r elementos distintos escolhidos a 
partir de um conjunto de n elementos. A diferença é que, no arranjo, se mudarmos a ordem 
dos elementos de certo agrupamento, obteremos um novo agrupamento; na combinação, 
mudando a ordem dos elementos de certo agrupamento, obtemos o mesmo agrupamento. 
 
 
 
 
 
 
 
7 
LISTA 1A – Exercícios para fixação 
 
ATENÇÃO: É FUNDAMENTAL SABER DIFERENCIAR OS CONCEITOS DO PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA 
CONTAGEM, PERMUTAÇÃO, ARRANJO OU COMBINAÇÃO PARA A RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS. 
 
1. Nos problemas descritos nos itens abaixo, conte o número de maneiras que cada procedimento pode 
ser feito. 
a) Alinhar 3 pessoas para uma fotografia. 
b) Organizar 5 livros da esquerda para a direita em uma estante. 
c) Premiar do primeiro ao décimo lugar os dez cavalos participantes de um concurso. 
 
2. Quantos números naturais ímpares, de 4 algarismos, há em nosso sistema de numeração? 
 
3. Quantos números naturais divisíveis por 5 e de 5 algarismos, há em nosso sistema de numeração? 
 
4. Quantos números de três algarismos existem? Quantos deles são formados por algarismos distintos? 
 
5. Usando-se 5 dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sem repeti-los, quantos números pares podemos 
formar? 
 
6. A senha de um cadeado é formada por uma sequência de quatro letras, escolhidas entre as 26 letras 
do alfabeto. 
a) Quantas senhas podem ser formadas? 
b) Quantas senhas com quatro letras distintas podem ser formadas? 
c) Quantas senhas começando com vogal podem ser formadas? 
d) Quantas senhas de letras distintas podem ser formadas começando e terminando por vogal? 
 
7. Uma prova é composta por 12 questões do tipo V ou F. De quantas maneiras distintas, a prova pode 
ser resolvida? 
 
8. Uma das etapas do processo admissional de uma empresa é constituída por uma prova composta 
por 8 questões com 5 alternativas cada. De quantas maneiras distintas, a prova pode ser resolvida? 
 
9. Um código para leitura ótica é constituído por 10 barras, brancas ou pretas. Nenhum código, tem 
barras de uma só cor. Quantos desses códigos, distintos entre si, podem ser formados? 
 
10. Existem 3 rodovias da cidade A até a cidade B e 4 rodovias da cidade B até a cidade C. Quantos 
caminhos diferentes existem da cidade A até a C, passando por B? 
 
11. De sua casa ao trabalho, Silva pode ir a pé, de ônibus ou de metrô. Do trabalho à faculdade ou da 
faculdade para casa, ele pode ir de ônibus, metrô, trem ou pegar uma carona com um colega. De 
quantos modos distintos Silva, pode, no mesmo dia, ir de casa ao trabalho, do trabalho para a faculdade 
e da faculdade de volta para casa? 
 
12. Um restaurante oferece 8 tipos de salada, 10 tipos de pratos quentes e 5 tipos de sobremesa. Uma 
pessoa pretende escolher uma salada, um prato quente e uma sobremesa. Quantas opções ela tem? 
 
13. Um automóvel é oferecido pelo fabricante em 6 cores diferentes com 3 tipos de acabamento 
(standard, sport ou luxo) e com 3 tipos de motores (1.6, 1.8 ou 2.0), sendo que os motores podem ser 
movidos a álcool ou a gasolina. Quantas são as opções de escolha de um comprador desse automóvel? 
 
14. Um salão possui 10 portas. Pergunta-se: 
a) quantas são as possibilidades de uma pessoa entrar no salão e sair dele? 
b) quantas são as possibilidades de uma pessoa entrar por uma porta e sair por outra diferente? 
 
15. Uma linha telefônica é formada por 8 algarismos. Quantas linhas podemos formar que tenham todos 
os algarismos diferentes, comecem com 5 e terminem com zero? 
 
 
 
 
8 
16. De quantas maneiras podem ser dispostas em fila oito bolas de cores diferentes? 
 
17. Numa sala de reuniões há 5 pessoas de azul, 3 de cinza e 2 de preto. De quantas formas diferentes 
podemos organizá-las em uma fila, mantendo as pessoas que usam a mesma cor juntas? 
 
18. Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARTIGO? 
 
19. Quantos anagramas podem ser gerados com as letras da palavra PAPAGAIO? 
 
20. Quantos são os anagramas formados pela palavra CORREDOR? Quantos começam por COR? 
 
21. Calcule o número de anagramas da palavra SINTAXE que começam e terminam por vogal. 
 
22. Considere os anagramas formados a partir da palavra JANEIRO. 
a) Quantos são? 
b) Quantos começam por J? 
c) Quantos começam e terminam por vogal? 
d) Quantos começam por vogal e terminam por consoante? 
e) Quantos apresentam as letras J, A, N juntas? 
 
23. Uma pesquisa deseja saber a ordem de preferência dos três maiores ídolos do esporte do Brasil. 
Quantas respostas diferentes são possíveis, se a cada entrevistado é apresentada uma lista com o 
nome de 15 esportistas? 
 
24. Entre 10 conselheiros, o presidente de um clube precisa escolher um diretor de esportes, um 
tesoureiro e um secretário. De quantas maneiras diferentes podem ser feitas as escolhas? 
 
25. De quantas maneirassete pessoas podem sentar-se em um banco com apenas três lugares? 
 
26. Em uma reunião de condomínio compareceram 28 condôminos. Quantas comissões de 3 pessoas 
podem ser formadas para fiscalizar uma obra no condomínio? 
 
27. Uma pizzaria possui 18 tipos de ingredientes para montar pizzas. Quantas pizzas diferentes podem 
ser montadas com quaisquer 3 tipos de ingredientes? 
 
28. Quantas possibilidades existem para escolher o presidente e o relator de uma CPI entre 54 
deputados? 
 
29. Entre cinco matemáticos e sete físicos deseja-se formar uma comissão constituída de dois 
matemáticos e três físicos. De quantas maneiras isso pode ser feito? 
 
30. O setor de emergência de um hospital conta, para os plantões noturnos, com 5 pediatras, 3 clínicos 
gerais e 8 enfermeiros. As equipes de plantão deverão ser constituídas por 2 pediatras, 1 clínico geral e 
3 enfermeiros. Quantas equipes de plantão distintas podem ser formadas? 
 
31. De um grupo de 11 deputados federais e 9 senadores será escolhida uma comissão de 8 
parlamentares, constituída de 5 deputados e 3 senadores. Quantas comissões podem ser formadas? 
 
32. Num acampamento, o monitor deve montar uma equipe de 4 jovens para fazer o almoço. Se há 
8 rapazes e 6 moças, quantas equipes de 2 rapazes e 2 moças podem ser formadas? 
 
33. Um professor entregou a seus alunos uma lista com 12 exercícios. Se ele pretende montar uma 
avaliação com 4 questões dessa lista, de quantos modos poderá fazê-lo? 
 
34. Quantos conjuntos de 6 dezenas são possíveis de ocorrerem no sorteio da "Mega-Sena", onde há 
60 dezenas disponíveis? 
 
 
 
 
 
9 
PRINCÍPIOS DE PROBABILIDADE 
 
 
Independentemente de sua escolha profissional, uma coisa é certa: será necessário tomar 
decisões. Por exemplo, um investidor precisa decidir se investe em um negócio particular com base em 
suas esperanças de retorno futuro. Empreendedores, na decisão de fabricar um novo produto, perante 
a incerteza da probabilidade de sucesso, devem tomar decisões mesmo com a incerteza do resultado. 
Qualquer esforço para reduzir o nível de incerteza em qualquer processo de tomada de decisão 
aumenta enormemente a chance de que esta seja inteligente ou fundamentada em boas informações. 
 
Para melhorar nossa habilidade em julgar a ocorrência de eventos futuros, vamos conhecer as 
maneiras como a probabilidade dos eventos pode ser medida. 
 
A teoria de probabilidades será usada para o estudo de uma classe de fenômenos aleatórios, 
chamados experimentos. Os experimentos são caracterizados por apresentarem as seguintes 
características: 
 
1. Repetitividade: caracteriza um fenômeno que pode ser repetido quantas vezes quisermos; 
2. Regularidade: é uma característica relacionada com a possibilidade da ocorrência dos resultados 
do fenômeno, cuja avaliação numérica dá origem às probabilidades. 
 
 
ESPAÇO AMOSTRAL 
 
Os experimentos relacionados com os fenômenos aleatórios em geral admitem vários 
resultados. O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento é chamado de espaço 
amostral e será denotado por S. 
 
O exemplo mais simples de um experimento é lançar uma moeda e anotar a face superior. Este 
é um fenômeno aleatório cujos resultados possíveis são cara (simbolizado por c) e coroa (simbolizado 
por k). Então o conjunto S será: 
 
S = { c, k } 
 
Outro exemplo ilustrativo de um fenômeno aleatório é o lançamento simples de um dado. O 
experimento será lançar um dado e anotar os pontos da face superior. O espaço amostral desse 
experimento é : 
 
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
 
Outro exemplo: Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e anotar o naipe da carta escolhida. O 
espaço amostral será: 
 
S = { paus, copas, ouros, espadas } 
 
Mais um exemplo: Lançar duas moedas (ou lançar uma moeda duas vezes) e anotar as faces 
superiores. Neste caso: 
S = { cc, ck, kc, kk } 
 
Estes foram exemplos de espaços amostrais finitos. 
 
Existem experimentos que apresentam infinitos resultados possíveis e, portanto, o espaço amostral 
desses experimentos contém infinitos elementos. Como exemplo, temos os experimentos seguintes: 
 
1) Lançar uma moeda sucessivamente, até aparecer a primeira face cara. O espaço amostral será 
S = { c, kc, kkc, kkkc, ... }. 
 
 
 
 
 
10 
2) Lançar um dado sucessivamente, até aparecer uma face com pontos pares. O espaço amostral 
será S = { p, ip, iip, iiip, ... }. 
 
Certos espaços amostrais são formados por elementos caracterizados por se originarem de dois ou 
mais procedimentos. Por exemplo, o lançamento de uma moeda, duas vezes, gera o espaço amostral 
S = { cc, ck, kc, kk }. Se a moeda for lançada três vezes, o espaço amostral será S = { ccc, cck, ckc, kcc, 
ckk, kck, kkc, kkk }. 
 
 
 
EVENTOS 
 
Evento é um subconjunto qualquer do espaço amostral S de um experimento. Notar que o 
conjunto vazio, denotado por  ou por { }, é um subconjunto de qualquer conjunto. 
 
Então, por exemplo, considerando o experimento do lançamento simples de um dado, os 
conjuntos A = { 1, 3, 5 } , B = { 2, 4, 6 } e C = { } são subconjuntos de S e portanto são eventos. 
 
 
 
NÚMERO DE ELEMENTOS DO ESPAÇO AMOSTRAL 
 
No caso do lançamento de uma moeda duas vezes, nota-se que no primeiro lançamento há 
duas ocorrências possíveis (cara ou coroa). No segundo lançamento, também, há duas ocorrências 
possíveis. O número total de elementos é o produto 
22
, que é 4. Para o caso do lançamento de uma 
moeda três vezes, nota-se, também, que no primeiro lançamento há dois resultados possíveis, assim 
como no segundo e no terceiro lançamentos. Portanto, o número de elementos do espaço amostral será 
8222 
. 
 
De uma forma geral, se um procedimento A pode ser realizado de m maneiras diferentes e um 
procedimento B pode ser realizado de n maneiras diferentes, o encadeamento dos procedimentos 
A e B pode ser feito de m

n maneiras diferentes (princípio fundamental da contagem). 
 
Outro exemplo: Se Geórgia, ao se vestir, tem como escolha três blusas de cores diferentes e 
duas calças também de cores diferentes, de quantos modos ela pode combinar seu traje? 
(Desconsidere, neste caso simples, as outras peças de vestimenta). Portanto, ela pode combinar seus 
trajes de 6 maneiras diferentes. Se ela dispõe ainda de 2 pares de sapatos de duas cores diferentes, 
quantas serão as formas de se vestir? É fácil ver que serão 12. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
ELEMENTOS DO ESPAÇO AMOSTRAL – DIAGRAMA DE ÁRVORE 
 
Uma técnica usada para se ter todos os possíveis eventos de um experimento desse tipo é fazer 
a representação pelo que se chama diagrama de árvore. Abaixo estão os diagramas de árvore que 
mostram os três casos citados acima. 
 
 
 
 
Lançamento de uma moeda duas vezes 1 0 2 0 S 
 
 c cc 
 c 
 k ck 
 c kc 
 k 
 k kk 
 
 
 
 
 
Lançamento de uma moeda três vezes: 1 0 2 0 3 0 S 
 
 c ccc 
 c 
 k cck 
 c ckc 
 k 
 k ckk 
 c kcc 
 c 
 k kck 
 c kkc 
 k 
 k kkk 
 
 
Trajes de Geórgia: Considere, por exemplo, blusas de cores branca, preta e vermelha, simbolizadas 
por bb, bp e bv , respectivamente. Sejam ainda as calças branca e preta simbolizados por cb e cp, 
respectivamente. O diagrama de árvore será: 
 
 blusas calças S 
 cb bb-cb 
 bb 
 cp bb-cp 
 cb bp-cb 
 bpcp bp-cp 
 cb bv-cb 
 bv 
 cp bv-cp 
 
 
Assim, por exemplo, o elemento bp-cb do espaço amostral S representa o traje 
blusa preta-calça branca de Geórgia. Fica para o leitor o exercício de construir o diagrama onde os 
sapatos são considerados no traje. 
 
 250 
300 
k 
 
 
 
 
12 
 
 LISTA 1B – Exercícios para fixação 
 
1. Uma moeda é lançada três vezes. Vamos representar por n(E) o número de resultados possíveis e 
representar por n(A) o número de resultados que apresentam apenas duas caras. Qual é o valor de n(E) 
e n(A)? 
 
2. Lançando-se uma moeda usual 5 vezes, seus resultados formam uma sequência. Qual é o número 
de sequências possíveis? 
 
3. Considere o seguinte experimento aleatório: "lançar três dados e observar os números obtidos nas 
faces superiores". Qual é o número de elementos do espaço amostral desse experimento? 
 
4. Em uma urna estão contidas três bolas numeradas com 1, 2 e 3. Retirando-se sucessivamente duas 
bolas dessa urna, obtém-se um par ordenado. Qual é o número de pares ordenados possíveis, fazendo-
se extrações COM reposição? 
 
5. Em uma urna estão contidas três bolas numeradas com 1, 2 e 3. Retirando-se sucessivamente duas 
bolas dessa urna, obtém-se um par ordenado. Qual é o número de pares ordenados possíveis, fazendo-
se extrações SEM reposição? 
 
6. O experimento consiste em lançar dois dados e observar a soma dos pontos das faces superiores. 
Determine o espaço amostral (Sugestão: use o diagrama de árvore). 
 
7. Lançando-se um dado honesto duas vezes, qual é o número de resultados que apresentam soma 7? 
 
8. Dois jogadores disputam um jogo no qual é lançado, uma única vez, um par de dados. O jogador A 
ganha se a soma dos resultados for 6 e B, se a soma for 10. Qual dos dois jogadores tem mais chance 
de ganhar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
TEORIA DAS PROBABILIDADES 
 
Fenômenos: 
 Determinísticos: repetidos sob as mesmas condições iniciais conduzem sempre a um só resultado. 
 Aleatórios: repetidos sob as mesmas condições iniciais podem conduzir a mais de um resultado. 
 
 Chamamos de probabilidade à medida de incerteza na ocorrência de um evento resultante de 
uma experiência aleatória. Assim, a Teoria de Probabilidades é aplicada a fenômenos aleatórios. 
 
 
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE 
 
Considere um experimento cujo espaço amostral contenha n elementos, ou seja, S = { a1, a2, 
a3, ..., an }. Associa-se a cada elemento ai desse conjunto, um número real que quantifica a 
possibilidade de sua ocorrência. Essa associação é uma função, chamada função de probabilidade, 
denotada por 
)a ( P i
, que tem as seguintes propriedades: 
 
1) 
n ... 3 ,2 ,1i 1) a ( P0 i 
 
É mais provável que um evento ocorra se sua probabilidade estiver próxima de 1. A probabilidade de 
uma certeza é 1. A probabilidade do impossível é 0. 
 
2) 
n ... 3 ,2 ,1i 1) a ( P i 
 
A probabilidade de que ocorram todos os eventos de um espaço amostral é 1. 
 
 
CÁLCULO DA PROBABILIDADE CLÁSSICA 
 
Certos tipos de experimentos têm um espaço amostral cujos elementos têm a mesma 
probabilidade de ocorrência (são equiprováveis). Se interessa calcular a probabilidade de ocorrência um 
evento qualquer E, utiliza-se a fórmula abaixo: 
 
n
) E ( n
) E ( P 
, ou seja, 
possíveis"" casos de número
"favoráveis" casos de número ) E ( P 
 
 
Essa definição é intuitiva, isto é, a probabilidade de ocorrer determinado evento é dada pela razão entre 
o número de resultados favoráveis n (ai) (ou número de casos que nos interessam) e o número total de 
resultados n (ou número de casos possíveis). 
 
Exemplos: 
 
1. Qual é a probabilidade de sair cara no lançamento de uma moeda honesta? 
Solução: Por moeda honesta, entende-se que a probabilidade de dar cara é a mesma de dar coroa , ou 
seja, P (c) = P (k). Sabemos que o espaço amostral desse experimento é S = { c, k }. Existe somente 
um caso favorável neste caso que é o evento E = { c }. 
 
5,0
2
1
)c(P)E(P 
 
 
2. Qual é a probabilidade de sair cara e cara no lançamento de duas moedas honestas? 
Solução: Já foi visto que o espaço amostral desse experimento é S = { cc, ck, kc, kk }. 
Existe somente um caso favorável neste caso que é o evento E = { cc }. O número total de eventos é 
quatro. Portanto, 
25,0
4
1
)cc(P)E(P 
 
 
 
 
 
14 
 
3. Qual é a probabilidade de sair pelo menos uma cara no lançamento de duas moedas honestas? 
Solução: O espaço amostral é o mesmo do exemplo anterior, ou seja, S = { cc, ck, kc, kk }, que contém 
4 elementos igualmente prováveis. O evento que representa os casos favoráveis é E = { cc, ck, kc }, 
que contém 3 elementos. Portanto, 
4
3
)kc,ck,cc( P)E(P 
 
 
4. Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso da urna. Qual a 
probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11? 
Solução: O espaço amostral é S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 }. O evento que 
representa os casos favoráveis, aqui, é E = { 11, 12, 13, 14, 15 } e portanto, 
 
...3333,0
15
5
)E(P 
 
 
5. Numa pesquisa feita sobre os produtos Gold e Silver com 1500 consumidores, obteve-se o seguinte 
resultado: 300 pessoas consomem ambos os produtos; 450 pessoas consomem o produto Gold e 550 
pessoas consomem o produto Silver. Um consumidor é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de 
que ele não consuma nem Gold nem Silver? 
Solução: 
 
 
 
 Gold Silver 
 
 
 
 800 
 
 
 
O número total n de casos possíveis é igual a 1500. O evento que nos interessa é "não consuma nem 
Gold nem Silver" n(E) = 800. Assim, a probabilidade pedida é: 
 
...5333,0
1500
800
)E(P 
 
 
6. Um anagrama da palavra SORTE é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que ele comece 
com S? 
Solução: 
O número total de elementos possíveis é igual a P5 = 5! = 120 = n 
O evento que nos interessa é "o anagrama que comece por S": 
S _ _ _ _ , onde já que a primeira letra está definida, há P4 = 4! = 24 = n(E) 
 
Assim, a probabilidade pedida é: 
 
20,0
120
24
)E(P 
 
 
 
 
 
 
 
150 
 250 
300 
 
 
 
 
15 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
 Quando se deseja calcular a probabilidade da ocorrência de um evento E1 que está 
condicionada à ocorrência do evento E2, essa probabilidade é chamada de probabilidade condicional. 
 Indica-se por P(E1/E2) que significa a probabilidade de ocorrência do evento E1 sabendo que E2 
vai ocorrer ou já ocorreu (os eventos E1 e E2 são dependentes) e calcula-se por: 
 
)E(n
)EE(n
) /EE ( P
2
21
21


 ou 
)E(P
)EE(P
) /EE ( P
2
21
21


  
)E/E(P).E(P) EE ( P 21221 
 
 
onde 
) EE ( n 21
 é o número de elementos de 
 EE 21
e 
) E ( n 2
 é o número de elementos de 
 E2
. 
 
 
Exemplos: 
 
7. Numa pesquisa feita sobre os produtos Gold e Silver com 1500 consumidores, obteve-se o seguinte 
resultado: 300 pessoas consomem ambos os produtos; 450 pessoas consomem o produto Gold e 550 
pessoas consomem o produto Silver. 
a) Determinar a probabilidade de uma pessoa que consuma Gold consumir também Silver. 
 
 
 
 GoldSilver 
 
 
 
 800 
 
 
Solução: 
667,0
450
300
)G(n
)GS(n
) S/G ( P 


 
 
b) Determinar a probabilidade de uma pessoa que consuma Silver consumir também Gold. 
Solução: 
545,0
550
300
)S(n
)SG(n
) G/S ( P 


 
 
 
 
8. Numa urna existem 6 bolas azuis e 4 bolas amarelas. Qual é a probabilidade de se retirar 1 bola azul 
na primeira retirada e, sem reposição, retirar uma segunda bola também azul? 
Solução: 
E2 = "extração de bola azul na primeira retirada" 
E1/E2 = "extração de bola azul na segunda retirada tendo extraído bola azul na primeira retirada" 
 
...333,0
90
30
9
5
.
10
6
)E/E(P).E(P) EE ( P 21221 
 
 
 
 
 
 
 
150 
 
 250 
300 
 
 
 
 
16 
EVENTOS INDEPENDENTES 
 
 Dois eventos E1 e E2 são ditos independentes quando: 
 
)E(P).E(P) EE ( P 2121 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
9. Numa urna existem 6 bolas azuis e 4 bolas amarelas. Qual é a probabilidade de se retirarem 2 bolas 
sucessivamente, com reposição, sendo a primeira azul e a segunda amarela? 
Solução: 
E1 = "extração de bola azul na primeira retirada" 
E2 = "extração de bola amarela na segunda retirada" 
 
Como são eventos independentes: 
 
24,0
100
24
10
4
.
10
6
) EE ( P 21 
 
 
 
10. Qual é a probabilidade de um casal ter 2 filhos e ambos do sexo feminino? 
Solução: 
 
Como são eventos independentes: 
 
25,0
4
1
2
1
.
2
1
) EE ( P 21 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS 
 
 A probabilidade de ocorrer um evento E1 ou um evento E2 de um mesmo espaço amostral, isto 
é, a probabilidade de ocorrer um evento do conjunto E1E2 é: 
 
P(E1E2) = P(E1) + P(E2) P(E1E2) 
 
onde o evento E1E2 representa a ocorrência simultânea dos eventos E1 e E2. 
 
Se P(E1E2) é um conjunto vazio, então: P(E1E2) = P(E1) + P(E2) 
 
 
Exemplos: 
 
11. Uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso dessa urna. Qual é 
a probabilidade de o número da bola sorteada ser múltiplo de 2 ou de 3? 
Solução: 
 
Consideremos o evento E1 = número é múltiplo de 2 e E2 = número é múltiplo de 3. 
 
Queremos encontrar P(E1E2). 
 
 
 
 
 
17 
Temos que: 
 
E1 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24} ; E2 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} e 
 
E1E2 = {6, 12, 18, 24} que é o evento formado pelos números múltiplos de 2 e 3 ao mesmo tempo e 
que foram contados em E1 e em E2, ou seja, foram contados duas vezes. Assim: 
 
48,0
25
12
)E(P 1 
 ; 
32,0
25
8
)E(P 2 
 e 
16,0
25
4
)EE(P 21 
 
 
Portanto: 
 
P(E1E2) = P(E1) + P(E2)  P(E1E2) 
 
P(E1E2) = 0,48 + 0,32 - 0,16 = 0,64 
 
 
12. A probabilidade de um guarda rodoviário aplicar quatro ou mais multas em um dia é de 63%; a 
probabilidade de que ele aplique quatro ou menos multas em um dia é de 56%. Qual é a probabilidade 
de o guarda aplicar exatamente quatro multas em um dia? 
Solução: 
 
E1 = "o guarda aplica quatro ou mais multas"  P(E1) = 0,63 
 
E2 = "o guarda aplica quatro ou menos multas"  P(E2) = 0,56 
 
E1E2 = "o guarda aplica exatamente quatro multas" 
 
P(E1E2) = 1 (100% = probabilidade total) 
 
P(E1E2) = P(E1) + P(E2)  P(E1E2) 
 
1 = 0,63 + 0,56  P(E1E2)  P(E1E2) = 1,19 - 1 = 0,19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
TABELA DE CONTINGÊNCIA E TABELA DE PROBABILIDADE CONJUNTA 
 
Uma tabela em forma de matriz pode ser construída para indicar a frequência de ocorrência de 
eventos correspondentes a duas variáveis. Os possíveis eventos de uma das variáveis são colocados 
como cabeçalhos de colunas da matriz e os possíveis eventos da segunda variável como linhas da 
matriz. A tabela que mostra as frequências com que ocorrem os eventos das duas variáveis em 
conjunto é chamada tabela de contingência. Pela análise dos dados da tabela de contingência é 
possível construir uma outra tabela, onde são colocadas nas células da matriz, as probabilidades de 
ocorrência conjunta dos eventos. 
 
 
Exemplo 13. A tabela abaixo é uma tabela de contingência onde está descrito o caso de 200 pessoas 
que entraram em uma loja de aparelhos telefônicos celulares, de acordo com o sexo e a idade. A tabela 
de probabilidades pode ser construída dividindo cada uma das entradas da tabela de contingência pelo 
total, 200 clientes. A tabela de probabilidades é, também, chamada de Tabela de Probabilidade 
Conjunta. 
 
 
Tabela de contingência para clientes de uma loja segundo as variáveis: sexo e idade 
 
 
 Sexo masculino feminino Total 
 Idade 
 
 Abaixo de 30 anos 60 50 110 
 30 anos ou mais 80 10 90 
 
 Total 140 60 200 
 
 
 
Tabela de probabilidade conjunta correspondente à tabela de contingência acima 
 
 
 Sexo masculino feminino Total 
 Idade 
 
 Abaixo de 30 anos 0,30 0,25 0,55 
 30 anos ou mais 0,40 0,05 0,45 
 
 Total 0,70 0,30 1,00 
 
 
Nesta tabela pode-se verificar, por exemplo, que a probabilidade de o cliente ser do sexo feminino é 
0,30 e que a probabilidade de o cliente ter menos de 30 anos é 0,55. Já a probabilidade de que o cliente 
seja do sexo masculino e tenha 30 anos ou mais é 0,40, enquanto que, a probabilidade de ser do sexo 
feminino e ter menos de 30 anos é igual a 0,25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
LISTA 1C – Exercícios para fixação 
 
 
1. No lançamento de dois dados e na observação da soma dos pontos das faces superiores, determine 
a probabilidade de cada um dos eventos seguintes: 
a) A : A soma ser par; 
b) B: A soma ser ímpar; 
c) C: A soma ser múltiplo de 3; 
d) D: A soma ser número primo; 
e) E: A soma ser maior ou igual a 7; 
f) F: A soma ser maior que 12. 
 
2. Um experimento consiste em sortear um aluno em uma classe pela lista de chamada (1 a 20). 
Determine a probabilidade dos seguintes eventos: 
a) A: Ser sorteado um número par; 
b) B: Não ser sorteado múltiplo de 5; 
c) C: Ser sorteado um número maior que 12 e múltiplo de 3; 
d) D: Ser sorteado um número menor que 7 e múltiplo de 4; 
e) E: Ser sorteado um número menor que 13, maior que 8 e múltiplo de 7; 
f) F: Ser sorteado um número real. 
 
3. Há 50 bolas em uma urna sendo 20 azuis, 15 vermelhas, 10 brancas e 5 verdes. Misturam-se as 
bolas e retira-se uma ao acaso. Determine a probabilidade de que a bola escolhida seja: 
a) verde; b) azul; c) não vermelha; d) amarela; e) não amarela. 
 
4. Jogando-se uma moeda três vezes, qual é a probabilidade de se tirar cara pelo menos uma vez? 
 
5. Uma caixa contém 15 peças defeituosas em um total de 40 peças, qual é a probabilidade de se 
selecionar ao acaso uma peça não defeituosa desta caixa? 
 
6. Se o número da placa de um carro é par, qual é a probabilidade de que o algarismo das unidades 
seja zero? 
 
7. Inserem-se em uma urna 10 bolas idênticas numeradas de 1 a 10. Se uma bola for retirada da urna, 
qual éa probabilidade de que essa bola não seja número 7? 
 
8. Um senhor enviou 150 cartas para um concurso no qual seria sorteada apenas uma carta de um total 
de 14.250 cartas. Qual é a probabilidade de que uma das cartas desse senhor seja sorteada? 
 
9. Num grupo de 80 alunos, 50 jogam futebol, 40 jogam vôlei e 20 jogam futebol e vôlei. Escolhendo ao 
acaso um dos alunos, qual a probabilidade de ele: 
a) jogar vôlei? b) jogar futebol? c) jogar vôlei e futebol? d) jogar somente futebol? 
e) jogar vôlei ou futebol? f) não praticar nenhum desses esportes? 
 
10. Roberto Jr., administrador recém-formado, envia seu currículo para duas empresas A e B, à procura 
de emprego. A probabilidade de ser aceito pela empresa A é 25% e a de ser aceito pela empresa B é 
20%. A probabilidade de ser aceito por ambas é 8%. Nesse caso: 
a) Qual a probabilidade de ser aceito por exatamente uma empresa? 
b) Qual a probabilidade de ser aceito pela empresa A ou pela empresa B? 
 
11. Numa classe com 60 alunos, 40 estudam só Matemática, 10 estudam só Física e 5 estudam 
Matemática e Física. Determinar a probabilidade de um aluno que estuda Matemática estudar também 
Física. 
 
12. Numa caixa de bombons há 3 de cereja, 4 de avelã, 5 de laranja, 5 de framboesa, 6 de maracujá e 
7 de menta. Uma pessoa retira um bombom da caixa e em seguida retira outro. Qual é a probabilidade 
de que seja 1 de cereja e 1 de laranja? 
 
 
 
 
20 
13. Em uma urna estão contidas 4 bolas brancas e 6 pretas. Retirando-se, sucessivamente e sem 
reposição, 2 bolas, qual é a probabilidade de sair bola preta e bola branca, nesta ordem? 
 
14. Em uma bandeja há dez pastéis dos quais 3 são de carne, 3 de queijo e 4 de camarão. Se uma 
pessoa retirar, aleatoriamente e sem reposição, 2 pastéis desta bandeja, qual é a probabilidade de que 
os 2 pastéis retirados sejam de camarão? 
 
15. Num grupo de 60 pessoas, 10 são torcedores do time A, 5 são torcedores do time B e os demais 
são torcedores do time C. Se um elemento do grupo for escolhido ao acaso, qual será a probabilidade 
de que esse elemento seja torcedor do time A ou do time B? 
 
16. Qual é a probabilidade de sair as faces 4 ou 5 no lançamento de um dado? 
 
17. Qual é a probabilidade de sair as faces 4 e 5 no lançamento de dois dados? 
 
18. Se um casal pretende ter três filhos e o primeiro é do sexo masculino, qual é a probabilidade de que 
os outros dois sejam do mesmo sexo? 
 
19. Qual é a probabilidade de se acertar na "Mega-Sena" fazendo, apenas, um jogo de 6 dezenas? 
Obs.: Nesse jogo há 60 dezenas disponíveis. 
 
20. Um anagrama da palavra BERMUDA é escolhido ao acaso. 
a) Qual a probabilidade de ele começar pela letra B e terminar pela letra A? 
b) Qual a probabilidade de ele apresentar as letras BE juntas, em qualquer ordem? 
 
21. Um grupo de 500 funcionários da Eletrônica e Montadora Saturno apresenta, de acordo com o sexo 
e a classificação por função, a seguinte composição: 
 
 SEXO 
 CLASSIFICAÇÃO 
 
Masculino 
 
Feminino 
 
TOTAL 
Auxiliar 120 50 170 
Linha de Produção 150 140 290 
Gerente 30 10 40 
TOTAL 300 200 500 
 
Se um funcionário dessa empresa é selecionado ao acaso, calcule: 
a) a probabilidade de ser uma mulher; 
b) a probabilidade de ser mulher e ser gerente; 
c) a probabilidade de ser homem e ser auxiliar; 
d) a probabilidade de ser mulher e trabalhar na linha de produção; 
e) a probabilidade de ser um gerente; 
f) sendo mulher, a probabilidade de ser gerente; 
g) sendo homem, a probabilidade de ser auxiliar; 
h) sendo gerente, a probabilidade de ser mulher; 
i) sendo auxiliar, a probabilidade de ser homem. 
 
22. Para testar a eficácia de uma campanha de anúncio do lançamento do novo sabão S, uma agência 
de propaganda realizou uma pesquisa com 2.000 pessoas. Por uma falha da equipe, a agência omitiu 
os dados dos campos x, y, z e w no seu relatório sobre a pesquisa, conforme mostra a tabela a seguir. 
Número de pessoas que Adquiriram S Não adquiriram S TOTAL 
Viram o anúncio x y 1.500 
Não viram o anúncio 200 z 500 
TOTAL 600 w 2.000 
 
Indique os valores dos campos x, y, z e w. Depois, suponha que uma dessas 2.000 pessoas 
entrevistadas seja escolhida ao acaso. Nesse caso, qual é a probabilidade de que esta pessoa tenha 
visto o anúncio da campanha e adquirido o sabão S? 
 
 
 
 
21 
CAPÍTULO 2 - DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES 
 
 
DEFINIÇÕES IMPORTANTES: VARIÁVEL ALEATÓRIA 
 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA E CONTÍNUA 
 
 Uma variável aleatória é aquela cujos valores são determinados por processos acidentais, ao 
acaso, que não estão sob controle do observador. A soma das probabilidades de todos os resultados 
possíveis ai é igual a 1. 
 1)a(P i
 
 
As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas. 
 
As variáveis aleatórias discretas são aquelas que só podem tomar valores numéricos isolados. 
Estes valores são determinados por fatores de chance. Geralmente simbolizados por uma letra 
maiúscula. Uma variável aleatória é considerada discreta se assume valores que podem ser contados. 
Exemplos: Número de acidentes automobilísticos em uma semana, número de defeitos em determinada 
peça fabricada, número de livros numa estante, etc. 
Entretanto, as variáveis aleatórias discretas não precisam tomar apenas valores em números 
inteiros. Por exemplo, suponha que joguemos um dado duas vezes e que M, seja a média dos dois 
números que aparecem. Então, M admite os valores 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 5,5 e 6. 
 
Uma variável aleatória é considerada contínua quando pode tomar qualquer valor de 
determinado intervalo. 
Exemplos: Altura de alunos de uma classe na universidade, vida útil de uma lâmpada, intervalo de 
tempo decorrido até o decaimento de um átomo radioativo, duração da vida de uma pessoa, etc. 
 
 A distinção entre variáveis aleatórias discretas e contínuas é importante porque a utilização de 
diferentes modelos (distribuições) de probabilidade depende do tipo de variável aleatória considerada. 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES 
 
 Quando resultados de probabilidade são calculados para os possíveis valores de uma variável 
aleatória X, tanto por uma listagem como por uma função matemática, o resultado é uma distribuição de 
probabilidades. Uma distribuição de probabilidades é uma distribuição de frequências relativas para os 
resultados de um espaço amostral. Mostra a proporção de vezes em que a variável aleatória tende a 
assumir cada um dos diversos valores. 
 
Exemplo: 
1. Observando as vendas de automóveis na "DiCarlo Motors" em Saratoga, NY, EUA, por 300 dias, 
concluiu-se que a distribuição de probabilidades para o número de automóveis vendidos em um dia, 
obedece os dados descritos na tabela abaixo. 
 
No de automóveis 
vendidos 
Xi 
Número de dias 
fi 
Probabilidade 
P(Xi ) 
0 54 0,18 
1 117 0,39 
2 72 0,24 
3 42 0,14 
4 12 0,04 
5 3 0,01 
 

 n = 300 1,00 
 
 
 
 
 
22 
Observe que as frequências observadas foram convertidas, na última coluna da tabela, em 
probabilidade (ou seja, frequência relativa) para o período de 300 dias, onde P(XI) = 






n
fi
. 
Nesse caso, é fácil observar que a probabilidade de serem vendidos exatamente dois 
automóveis em um dia aleatoriamente escolhido é de 0,24, enquanto que a probabilidade de serem 
vendidos dois ou mais automóveis em um dia é de 0,43. 
 
 
FUNÇÃO PROBABILIDADE 
 
 A função probabilidade é dada por: 
f(x) = P(X = xi) 
onde os valores individuais de probabilidade podem ser designados pelo símbolo f(x), o que enfatiza a 
existência de uma função matemática; P(X = xi), ou simplesmente P(X), designa a distribuição de 
probabilidade da variável aleatória X, enfatizando quea variável aleatória pode assumir quaisquer 
valores. 
 
 
VALOR ESPERADO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
 No estudo de distribuições de frequências feito em estatística descritiva, para fins de caracterizar 
certas amostras de uma população, foram calculados parâmetros da distribuição, como média, variância 
e desvio padrão de uma variável (discreta ou contínua). Esses parâmetros foram representados por 
x
, 
s2(x) e s(x), respectivamente. 
 
 Para estudar populações serão usadas variáveis aleatórias (discretas ou contínuas), às quais se 
associam probabilidades de ocorrência ao invés de frequências. Neste caso, a média populacional, a 
variância e o desvio padrão serão representados por , 2(x) e (x), respectivamente. 
 
I. Valor esperado de uma variável aleatória: é a média ponderada de todos os possíveis valores da 
variável com os respectivos valores de probabilidade tomados como pesos. É calculada como: 
 
 = E(X) = 


n
1i
ii )X(P.X
; onde P(XI) = 






n
fi
 
Exemplo: 
2. Para o exemplo anterior sobre o número de automóveis vendidos em um dia por um período de 300 
dias pela "DiCarlo Motors", calcula-se o valor esperado da seguinte forma: 
 
No de automóveis 
vendidos 
Xi 
Probabilidade 
P(Xi ) 
Valor ponderado 
Xi . P(Xi) 
0 0,18 0,00 
1 0,39 0,39 
2 0,24 0,48 
3 0,14 0,42 
4 0,04 0,16 
5 0,01 0,05 
 

 1,00 1,50 
 
Valor esperado (médio):  = E(X) = 


n
1i
ii )X(P.X
 = 1,50 automóveis vendidos por dia. 
 
 
 
 
 
 
 
23 
II. Variância e desvio padrão de uma variável aleatória: os conceitos são análogos à variância e ao 
desvio padrão de uma distribuição de frequências. 
 A forma geral de desvios para a fórmula da variância de uma distribuição discreta de 
probabilidades é: 
 
 2(x) = E(x2) – [E(x)]2 
 
 E, portanto, o desvio padrão é dado por: 
 
 (x) = 
)(2 X
 
 
Exemplo: 
3. Para o exemplo anterior sobre o número de automóveis vendidos em um dia por um período de 300 
dias pela "DiCarlo Motors", calcula-se a variância e o desvio padrão da seguinte forma: 
 
 
 
i 
No de automóveis 
vendidos 
Xi 
Probabilidade 
P(Xi ) 
Valor 
ponderado 
E(xi)=Xi . P(Xi) 
 
 
Xi
2 
Quadrado 
ponderado 
E(Xi
2)=Xi
2. P(Xi) 
1 0 0,18 0,00 0 0,00 
2 1 0,39 0,39 1 0,39 
3 2 0,24 0,48 4 0,96 
4 3 0,14 0,42 9 1,26 
5 4 0,04 0,16 16 0,64 
6 5 0,01 0,05 25 0,25 
 

 1,00 1,50 ----- 3,50 
 
 
Variância: 2(X) = E(Xi
2) – [E(Xi)]
2 = 3,50 – (1,50)2 = 3,50 – 2,25 = 1,25 
 
Desvio padrão: (X) = 
)(2 X
 = 
25,1
 = 1,12 automóveis vendidos por dia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE 
 
Para uma variável aleatória discreta, todos os possíveis valores da variável aleatória podem ser 
listados numa tabela com as probabilidades correspondentes, gerando, como resultado, uma 
distribuição de probabilidades. Os modelos discretos de probabilidades mais utilizados são as 
distribuições de probabilidade binomial e de Poisson. 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 
 Um experimento como o lançamento de uma moeda tem apenas dois possíveis resultados: (1) 
cara e (2) coroa. A probabilidade de cada resultado é conhecida e constante em cada tentativa 
(lançamento) e o experimento pode ser repetido muitas vezes. Experimentos desse tipo seguem uma 
distribuição binomial. 
 
 Assim, a distribuição binomial segue as seguintes hipóteses: 
1. Há n observações idênticas; 
2. Cada observação tem dois resultados possíveis, um chamado “sucesso” e o outro “fracasso”; 
3. As probabilidades p de sucesso e (1 – p) de fracasso permanecem constantes em todas as 
observações; 
4. Os resultados das observações são independentes uns dos outros. 
 
Deve estar claro que o lançamento de uma moeda preenche os requerimentos para uma 
distribuição binomial. 
 
Muitos exemplos relacionados aos negócios podem ser citados. Sindicatos frequentemente 
querem saber quantos trabalhadores (1) querem se filiar ao sindicato ou (2) que não estão interessados. 
Banqueiros procuram especialistas em economia para opinarem se os juros (1) vão subir ou (2) vão 
cair. A equipe de marketing quer saber se o cliente (1) prefere ou (2) não prefere determinado produto. 
A aplicação da distribuição binomial nos negócios é quase ilimitada. 
 
Há dois métodos para se obter as probabilidades para uma variável aleatória discreta distribuída 
binomialmente: 
I. Utilização da fórmula binomial; 
II. Utilização das tabelas de probabilidades binomiais. 
 
 
I - UTILIZAÇÃO DA FÓRMULA BINOMIAL 
 
 A distribuição binomial é utilizada para determinar a probabilidade de obtenção de certo número 
de sucessos. Três valores são necessários para isso: o número total de observações ou de tentativas n; 
o número de sucessos X e a probabilidade p de sucesso em cada tentativa. A fórmula para se 
determinar a probabilidade P de certo número de sucessos X em uma distribuição binomial é: 
 
 P(X) = Cn,X [P(sucesso)]
X [P(fracasso)]n – X = 
XnX )p1(p
!X)!Xn(
!n 

 
 
Exemplos: 
1. A probabilidade de que um presumível cliente, aleatoriamente escolhido, faça uma compra é 0,20. Se 
um vendedor visita seis presumíveis clientes, qual é a probabilidade de que ele fará exatamente quatro 
vendas? 
 
P(sucesso) = 0,20 e, portanto, P(fracasso) = 0,80 
 
 
 
 
 
 
25 
A probabilidade de que o vendedor faça exatamente quatro vendas é determinada da seguinte 
maneira: 
 
P(X = 4) = C6,4 (0,20)
4(0,80)2 = 
01536,0)64,0)(0016,0(
!4!2
!6

 
 
Ou seja, a probabilidade de que o vendedor faça exatamente quatro vendas é, aproximadamente, 
igual a 1,536%. 
 
 Geralmente, existe um interesse na probabilidade acumulada de “X ou mais” sucessos ou “X ou 
menos” sucessos ocorrerem em n tentativas. Em tal caso, precisa ser determinada a probabi lidade de 
cada resultado incluído dentro do intervalo dado, sendo tais probabilidades, então, somadas. 
 
 
2. No exemplo anterior, a probabilidade de que o vendedor realize 4 ou mais vendas é determinada 
como se segue: 
 
P(X  4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) 
 
onde P(X = 4) = 0,01536 
 
 P(X = 5) = C6,5 (0,20)
5(0,80)1 = 
001536,0)80,0)(00032,0(
!5!1
!6

 
 
 P(X = 6) = C6,6 (0,20)
6(0,80)0 = 
000064,0)1)(000064,0(
!6!0
!6

 
 
P(X  4) = 0,01536 + 0,001536 + 0,000064 = 0,016960 

 0,01696 
 
Ou seja, a probabilidade de que o vendedor faça quatro ou mais vendas é, aproximadamente, igual a 
1,696%. 
 
 
II - UTILIZAÇÃO DAS TABELAS DE PROBABILIDADES BINOMIAIS 
 
 Quando a amostra é relativamente grande ou quando se deseja determinar a probabilidade de 
que o resultado ocorra em um intervalo de valores, a fórmula da binomial envolve uma quantidade 
considerável de cálculos. Para resolver estes casos, utilizam-se, freqüentemente, tabelas de 
probabilidades da distribuição binomial. 
Há duas maneiras de calcular probabilidades através de tabelas binomiais. Uma das maneiras é 
calcular as probabilidades de resultados individuais de uma variável aleatória, enquanto que a outra, é 
calcular as probabilidades de um conjunto de resultados. A primeira é utilizada quando há interesse na 
determinação da probabilidade de um único valor numa distribuição binomial, tal como, a probabilidade 
de exatamente 4 sucessos em 6 observações (como pode ser observado no exemplo 1 acima). A 
segunda maneira é utilizada quando há interesse nos resultados do tipo “mais do que” ou “menos do 
que” determinado número de sucessos (como pode ser observado no exemplo 2 acima). 
 
Exemplos: 
3. Calcular a probabilidadede exatamente 5 sucessos (x = 5) em 8 observações (n = 8), quando a 
probabilidade de sucesso é 0,30. Utilizar a tabela de probabilidades binomiais. 
 
Solução: 
1. Procurar no topo da tabela o valor de p de sucesso pedido; 
2. Localizar o valor de n na coluna esquerda da tabela e procurar o número x desejado de sucessos; 
3. A probabilidade de x sucessos se encontra na intersecção da linha descrita conforme o item 2 acima 
com a coluna descrita conforme o item 1. 
 
 
 
 
26 
 
Assim, a probabilidade de se obter exatamente 5 sucessos em 8 observações, quando a 
probabilidade de sucesso em cada observação é 0,30, é igual a 0,047 ou 4,70%. 
 
 
4. Calcular a probabilidade de 2 ou menos sucessos (isto é, x = 0 ou 1 ou 2) em 3 observações 
(n = 3), com probabilidade de sucesso 0,40. 
 
Solução: 
Utiliza-se a tabela de probabilidades binomiais, realizando o mesmo raciocínio do exemplo anterior. 
Tomam-se a probabilidade de sucesso p = 0,40 e sua intersecção com as linhas de n = 3 observações, 
somando-se as probabilidades de x = 0, 1, 2 sucessos. 
Portanto, o valor da probabilidade é: 
P(x  2) = 0,216 + 0,432 + 0,288 = 0,936 (para 2 ou menos sucessos). 
 
Assim, a probabilidade de se obter 2 ou menos sucessos em 3 observações, quando a 
probabilidade de sucesso em cada observação é 0,40, é igual a 0,936 ou 93,60%. 
 
OBS.: Para calcular a probabilidade de mais de 2 sucessos, determina-se a probabilidade de 2 ou 
menos sucessos e a subtraímos de 1. Ou seja: 
P(x > 2) = 1,000 – 0,936 = 0,064 (para mais de 2 sucessos) 

 6,40% 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 
 Desenvolvida pelo matemático francês Simon Poisson (1781-1840), a distribuição de Poisson 
mede a probabilidade de que um evento aleatório ocorra em um período de tempo ou espaço. Ela é 
usada para calcular o número de fregueses que entram por hora em uma loja, o número de acidentes 
por mês em uma avenida, o número de ligações defeituosas no sistema de iluminação da cidade por 
quilômetro, o número de máquinas quebradas que estão esperando conserto, etc. 
 
 Para que a distribuição de Poisson possa ser aplicada, deve-se assumir que: 
1. A probabilidade da ocorrência de um evento é constante para qualquer intervalo de tempo ou de 
espaço; 
2. A ocorrência de um evento, em qualquer intervalo, é independente da ocorrência em qualquer outro 
intervalo. 
 
Há dois métodos para se obter as probabilidades para uma variável aleatória discreta que 
obedece aos pressupostos acima e, portanto, é descrita pela distribuição de Poisson: 
I. Utilização da fórmula de Poisson; 
II. Utilização das tabelas de probabilidades de Poisson. 
 
 A função de Poisson pode ser expressa como: 
 
!x
.e
)x(P
x

 
 
onde x = número de ocorrências do evento; 
 µ = média de ocorrências por unidade de tempo ou espaço; 
 e = 2,71828 = número de Euler. 
 
Exemplos: 
1. Suponha que estejamos interessados na probabilidade de que exatamente 5 fregueses cheguem em 
uma loja na próxima hora (ou qualquer hora). Uma observação das últimas 80 horas mostra que 800 
clientes entraram na loja. Assim, µ = 10 clientes por hora. Então: 
 
 
 
 
27 
 
0378,0
!5
10.71828,2
)5x(P
510

 
 
Como essa equação não é muito fácil de manipular, pode-se utilizar a Tabela da Distribuição de 
Poisson (que é fornecida nesta apostila para alguns valores). 
 
Procure na tabela µ = 10. Desça nessa coluna até encontrar x = 5. Ali você encontra 0,0378, isto é, 
3,78% de chance de que exatamente 5 clientes entrem na loja na próxima hora. 
 
 
2. Uma empresa de pavimentação fechou um contrato com a prefeitura para fazer o serviço de 
manutenção nas estradas que servem a um grande centro urbano. As estradas recentemente 
pavimentadas pela empresa tiveram uma média de 2 defeitos por quilômetro depois de um ano de uso. 
Se a prefeitura continuar seu contrato com essa empresa, qual é a probabilidade de encontrar 3 defeitos 
em qualquer quilômetro da estrada depois de um ano de tráfego? 
 
1804,0
!3
2.71828,2
)3x(P
32

 
 
Na Tabela da Distribuição de Poisson, procure a coluna onde µ = 2 e a linha x = 3. Você encontrará o 
valor 0,1804, isto é, 18,04% de chance de se encontrar 3 defeitos em qualquer quilômetro da estrada 
depois de um ano de tráfego. 
 
 
3. Uma professora recomenda a seus alunos de estatística que sejam prudentes procurando o monitor 
se tiverem qualquer dúvida. Parece que as chegadas à sala do monitor se ajustam à distribuição de 
Poisson com média de 5,2 alunos a cada 20 minutos. A professora está preocupada, pois, se muitos 
alunos precisarem dos serviços do monitor, ele terá um aglomerado de pessoas. 
a) O monitor deve determinar a probabilidade de 4 estudantes chegarem em qualquer período de 20 
minutos, pois isso criaria a aglomeração que a professora teme. Se essa probabilidade for maior que 
20%, um novo monitor deve ser contratado. 
b) O monitor deve calcular, também, a probabilidade de mais de 4 estudantes chegarem em qualquer 
período de 20 minutos. Se a probabilidade for maior que 50%, o horário de atendimento também deve 
aumentar dando a oportunidade dos alunos serem atendidos com mais atenção durante esse período. 
c) Se a probabilidade de mais de 7 estudantes chegarem durante qualquer período de 30 minutos for 
maior que 50%, então, a própria professora vai ajudar na monitoria. 
 
Solução: 
 
a) P(x = 4 | µ = 5,2) = 0,1681 
Como P(x = 4) = 16,81% < 20%, não é necessário um novo monitor. 
 
b) P(x > 4 | µ = 5,2) = 0,1748 + 0,1515 + 0,1125 + 0,0731 + 0,0423 + 0,0220 + 0,0104 + 0,0045 + 
0,0018 + 0,0007 + 0,0002 + 0,0001 = 0,5939 
Como P(x > 4) = 59,391% > 50%, o horário de atendimento do monitor deve aumentar. 
 
c) É dado que µ = 5,2 alunos a cada 20 minutos. Temos que verificar agora a nova meta da professora, 
ou seja, para um período de 30 minutos. 
Se a média é de 5,2 alunos a cada 20 minutos, calculando a proporção para 30 minutos observa-se que 
µ = 7,8 alunos (monte a regra de três!). Portanto: 
P(x > 7 | µ = 7,8) = 0,1392 + 0,1207 + 0,0941 + 0,0667 + 0,0434 + 0,0260 + 0,0145 + 0,0075 + 0,0037 + 
0,0017 + 0,0007 + 0,0003 + 0,0001 = 0,5186 
Como P(x > 7) = 51,86% > 50%, a professora também vai ajudar na monitoria dos alunos. 
 
 
 
 
 
 
28 
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE 
 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 Dentre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, distribuição exponencial, 
distribuição uniforme e distribuição normal, a mais empregada em estatística é a distribuição normal, 
também chamada de distribuição de Gauss. A distribuição normal de probabilidades é uma distribuição 
de probabilidade contínua que é simétrica em relação à média. 
 
 O aspecto gráfico de uma distribuição normal é o da figura abaixo: 
0 1 2 3 4 6 7 8 9 10
5
10
15
20
25
 
 

 X
 
 
 Em resumo as características das curvas normais são: 
 
1. A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real; 
2. A curva normal tem a forma de sino; 
3. É simétrica em relação à média ; 
4. A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1 (100%); 
5. A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, prolonga-se de - a +; 
6. A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente distribuída 
tomar um valor entre esses pontos; 
7. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do número de desvios padrões 
entre a média e aquele ponto. 
 
A distribuição de probabilidade normal é importante na inferência estatística por três razões 
distintas: 
I. As medidas produzidas em diversos processos aleatórios seguem esta distribuição; 
II. Probabilidades normais podem ser usadas frequentementecomo aproximações de outras 
distribuições de probabilidade, tais como, as distribuições binomiais e de Poisson; 
III. As distribuições de estatísticas da amostra, tais como a média e a proporção, frequentemente, 
seguem a distribuição normal, independentemente da distribuição da população. 
 
Como para qualquer distribuição contínua de probabilidade, o valor da probabilidade pode ser 
determinado somente para um intervalo de valores da variável. A função que determina a curva normal 
ou de Gauss, é dada por: 
 
]22/2)X[(
2
e
2
1
)X(f 


 
 
onde  é a constante 3,1416; e é a constante 2,71828;  é a média da distribuição e  é o desvio 
padrão da distribuição. 
 
 
 
 
 
29 
Como já dito anteriormente, a área sob a curva normal (na realidade, abaixo de qualquer curva 
que represente uma função de densidade de probabilidade) é 1. Então, para quaisquer dois valores 
específicos podemos determinar a proporção de área sob a curva entre esses dois valores. Para a 
distribuição normal, a proporção de valores no intervalo dentro de um, dois ou três desvios padrão da 
média são: 
 
 
Este resultado é usado da seguinte maneira. Suponha que os comprimentos de um particular tipo de 
peixe podem ser descritos por uma distribuição normal, com média 140 mm e desvio padrão 15 mm. 
Podemos calcular a proporção dos peixes que têm comprimentos entre 125 mm e 155 mm, por 
exemplo, como a proporção da área sob a curva entre 125 mm e 155 mm. Então, em nosso exemplo, 
68,3% dos peixes têm comprimentos entre 125 mm e 155 mm. 
 
Uma vez que cada combinação de  e  geraria uma distribuição normal de probabilidade 
diferente, as tabelas de probabilidades da normal são baseadas em uma distribuição particular: a 
distribuição normal padronizada. Esta é a distribuição normal de probabilidade com  = 0 e  = 1. 
Qualquer conjunto de valores X, normalmente distribuído, pode ser convertido em valores normais 
padronizados z pelo uso da fórmula: 
z = 

X
 
onde z = número de desvios padrões a contar da média; X = valor arbitrário;  = média da distribuição 
normal;  = desvio padrão. 
Pode-se, então, escrever que a probabilidade será P ( < X < x) = P(0 < Z < z), cujos valores são 
tabelados. Note-se que z tem sinal negativo para valores de X inferiores à média e sinal positivo para 
valores superiores à média. 
 
Exemplo: 
1. Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina. 
Suponha que essa variável tenha distribuição normal com média  = 2,00 cm e desvio padrão  
= 0,04 cm. Pode haver interesse em conhecer a probabilidade de parafusos produzidos terem diâmetros 
com valores entre 2,00 cm e 2,05 cm. É fácil notar que essa probabilidade, que é indicada por P(2,00 < 
X < 2,05), corresponde à área destacada na figura abaixo: 
 
 
Intervalo Proporção 
 1
 68,3% 
 2
 95,5% 
 3
 99,7% 
 
 
 
 
30 
Se X é uma variável aleatória contínua com distribuição normal com média  = 2 cm e 
desvio padrão  = 0,04 cm, então a variável z padronizada é: 
 
z = 

X
 = 
04,0
205,2 
 = 
04,0
05,0
 = 1,25 
 
Deseja-se calcular P(2 < X < 2,05) que é igual, portanto, a P (0 < z < 1,25) para a distribuição normal 
padronizada ( = 0 e  = 1), que pode ser representada graficamente, como segue: 
 
que, como é fácil observar, corresponde exatamente à área destacada na primeira figura. 
 
Procura-se na Tabela de Probabilidades da distribuição normal padronizada ( = 0 e  = 1), que 
expressa áreas, o valor z = 1,25. Na primeira coluna encontra-se o valor 1,2. Em seguida, encontra-se, 
na primeira linha, o valor 5, que corresponde ao último algarismo do número 1,25. Na intersecção da 
linha e coluna correspondentes encontramos o valor 0,3944. Isso permite que se escreva que: 
 
P(0 < z < 1,25) = 0,3944 
 
Como P(0 < z < 1,25) = P(2,00 < X < 2,05) então P(2,00 < X < 2,05) = 0,3944. 
 
Portanto, a probabilidade de um parafuso fabricado por essa máquina apresentar diâmetros entre a 
média  = 2,00 cm e o valor x = 2,05 cm é 0,3944 ou 39,44%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
LISTA 2 - Exercícios para fixação 
 
 
1. O número de caminhões que chegam, por hora, a um depósito, segue a distribuição de probabilidade 
dada na tabela abaixo. Calcular o número esperado X de caminhões que chegam por hora e seu desvio 
padrão. 
No de caminhões X 0 1 2 3 4 5 6 
Probabilidade P(X) 0,05 0,10 0,15 0,25 0,30 0,10 0,05 
 
2. Na tabela abaixo está indicado o número de períodos diários que um sistema de informática fica fora 
de operação durante a fase inicial de implantação em uma empresa e sua respectiva probabilidade. 
 
No de períodos diários 
que o sistema fica fora de operação 
X 
Probabilidade 
 
P(X) 
4 0,01 
5 0,08 
6 0,29 
7 0,42 
8 0,14 
9 0,06 
TOTAL 1,00 
 
Calcular o número esperado X de vezes que o computador fica fora de operação por dia e o desvio 
padrão correspondente. 
 
3. O trem do metrô pára no meio do túnel. O defeito pode ser na antena receptora ou no painel de 
controle. Se o defeito ocorrer na antena, o conserto poderá ser feito em 5 minutos. Se o defeito ocorrer 
no painel, o conserto poderá ser feito em 15 minutos. O encarregado da manutenção acredita que a 
probabilidade de o defeito ser no painel é de 60%. Qual é a expectativa do tempo de conserto? 
 
4. Uma máquina fabrica placas de papelão que podem apresentar nenhum, um, dois ou três defeitos, 
com probabilidades de 90%, 5%, 3% e 2%, respectivamente. O preço de venda de uma placa perfeita é 
de $ 10 e à medida que apresente algum defeito, o preço cai 50% para cada defeito apresentado. Qual 
é o preço médio de venda destas placas? 
 
5. Se chover, um vendedor de guarda-chuva pode ganhar $ 400,00 em um dia. Caso contrário, pode 
perder $ 80,00 em um dia. Sabendo-se que a probabilidade de chover em certo dia é de 40%, qual é o 
ganho esperado nesse dia pelo vendedor? 
 
6. Uma doceira produz cinco bolos confeitados em um dia. As probabilidades de vender nenhum, um, 
dois, três, quatro ou cinco bolos valem, respectivamente, 1%, 3%, 15%, 30%, 29% e 22%. O custo total 
de produção de cada bolo é $ 15,00 e o preço unitário de venda é $ 45,00. Calcule o lucro médio obtido 
com a venda dos bolos. 
 
7. A demanda para um produto das indústrias Califórnia, localizada em San Diego – EUA, varia muito 
de mês para mês. A distribuição de probabilidade da demanda mensal da empresa pode ser observada 
na tabela abaixo, baseada nos dados dos cinco últimos anos: 
Demanda mensal (unidades) 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 
Probabilidade 0,10 0,15 0,25 0,35 0,10 0,05 
 
a) Se a empresa baseia suas ordens de compra mensais no valor esperado da demanda mensal, qual 
deve ser a quantidade comprada mensalmente para esse produto? 
b) Considere que cada unidade demandada gera $ 70,00 de receita e que cada unidade comprada tem 
custo total de $ 50,00. Quanto a empresa ganhará ou perderá em um mês, se ela comprou e vendeu o 
valor esperado calculado no item a? 
 
 
 
 
32 
 
8. Um produto deve ser lançado no mercado no próximo ano. A expectativa do departamento de 
marketing de que o projeto seja bem-sucedido é de 80%. Neste caso, o retorno esperado durante seu 
primeiro ano no mercado é de $ 1.000.000. Se isto não acontecer, o prejuízo previsto é de $ 500.000. 
Calcule o lucro médio que a empresa poderá obter com esse produto. 
Obs.: (Prejuízo = Lucro Negativo). 
 
9. Usando as tabelas binomiais, determinar: 
a) P(X = 5  n = 9, p = 0,50) 
b) P(X = 7  n = 14, p = 0,60) 
c) P(X  3  n = 12, p = 0,05) 
d) P(X > 12  n = 25, p = 0,30) 
e) P(X  14  n = 20,p = 0,40) 
 
10. Um levantamento da Associação Americana de Investidores Pessoa Física concluiu que 23% dos 
seus membros tinham comprado ações diretamente através de uma oferta pública inicial. Em uma 
amostra de 20 membros: 
a) Qual é a probabilidade de que exatamente quatro membros tenham comprado tais ações? 
b) Qual é a probabilidade de que menos de dois membros tenham comprado tais ações? 
 
11. Durante um ano particular, 70% das ações ordinárias negociadas na Bolsa de Nova York tiveram 
aumentadas suas cotações, enquanto 30% tiveram suas cotações diminuídas ou estáveis. No começo 
do ano, um serviço de assessoria financeira escolhe 10 ações como sendo “especialmente 
recomendadas”. Se as 10 ações representam uma seleção aleatória, qual a probabilidade de: 
a) Todas as 10 ações terem suas cotações aumentadas? 
b) Ao menos 8 ações terem suas cotações aumentadas? 
c) Menos do que quatro ações terem suas cotações aumentadas? 
 
12. Os registros de uma pequena companhia indicam que 40% das faturas, por ela emitidas, são pagas 
após o vencimento. De 14 faturas expedidas, determine a probabilidade de: 
a) Nenhuma fatura ser paga com atraso; 
b) No máximo duas faturas serem pagas com atraso; 
c) Ao menos três faturas serem pagas com atraso. 
 
13. Uma pesquisa governamental recente indica que 80% das famílias de uma comunidade, que 
ganharam mais de $ 60.000 (renda bruta) no ano anterior, possuem dois carros. Supondo que esta 
hipótese seja verdadeira e que seja tomada uma amostra de 10 famílias dessa comunidade, qual é a 
probabilidade de exatamente 80% da amostra tenha dois carros? 
 
14. Uma pesquisa médica indica que 20% da população sofrem efeitos colaterais negativos com o uso 
de uma nova droga. Se um médico receita o produto a quatro pacientes, qual é a probabilidade de: 
a) Nenhum paciente sofrer efeito colateral; 
b) Todos os pacientes sofrerem efeitos colaterais; 
c) Ao menos um paciente sofrer efeitos colaterais. 
 
15. O American Almanac of Jobs and Salaries, revelou que 30% dos contadores estão empregados na 
contabilidade pública. Considere que esta porcentagem se aplica a um grupo de 15 graduados em 
bacharelado que acabaram de entrar na profissão de contador. Qual é a probabilidade de que pelo 
menos três deles serão empregados na contabilidade pública? 
 
16. Cinco por cento dos motoristas de caminhões americanos são mulheres (Statistical Abstract of 
United States). Suponha que 30 motoristas de caminhões são selecionados aleatoriamente para serem 
entrevistados sobre a qualidade das condições de trabalho. 
a) Qual é a probabilidade de que dois dos motoristas sejam mulheres? 
b) Qual é a probabilidade de que nenhum motorista seja mulher? 
c) Qual é a probabilidade de que pelo menos três motoristas sejam mulheres? 
 
 
 
 
 
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17. Existem 10% de probabilidade de que um tipo de componente eletrônico não se comporte de forma 
adequada sob condições de elevadas temperaturas. Se um dispositivo possui 4 destes componentes, 
aplicando a distribuição binomial de probabilidade, responda: 
a) Qual é a probabilidade de que todos os componentes se comportem de forma adequada, ou seja, de 
que o dispositivo funcione? 
b) Qual é a probabilidade de que o dispositivo não funcione porque um dos componentes falha? 
c) Qual é a probabilidade de que o dispositivo não funcione porque um ou mais componentes falham? 
 
18. Uma pesquisa revelou que 8% dos estudantes de uma universidade particular não terminam a prova 
final no tempo permitido de 60 minutos. Para uma amostra aleatória de 40 estudantes, qual é a 
probabilidade de que 5 estudantes não terminem a prova no tempo permitido? 
 
19. Cinquenta por cento dos fabricantes de médio porte dos Estados Unidos planejaram enviar 
representantes ao Canadá e ao México a fim de tirarem vantagem das oportunidades comerciais 
criadas pelo Acordo Americano de Livre Comércio. Um grupo de exportação-importação em Toronto, 
Canadá, convidou 15 fabricantes de médio porte dos Estados Unidos para participarem de uma 
conferência para explorar as oportunidades de comércio entre esses países. Usando a distribuição 
binomial de probabilidades, responda: 
a) Qual é a probabilidade de que 10 empresas ou mais enviem representantes? 
b) Qual é a probabilidade de que não mais que 5 empresas enviem representantes? 
 
20. Uma universidade descobriu que 10% de seus estudantes retiram-se sem completar o primeiro 
semestre do curso de Administração de Empresas. Considere uma amostra de 30 estudantes 
matriculados nesse curso no primeiro semestre do corrente ano. 
a) Qual é a probabilidade de que dois ou menos se retirarão? 
b) Qual é a probabilidade de que exatamente três se retirarão? 
c) Qual é a probabilidade de que mais de três se retirarão? 
 
21. Chamadas chegam em uma mesa telefônica de certo escritório na razão média de duas a cada 
minuto e seguem a distribuição de Poisson. Se o operador da mesa distrair-se por um minuto, qual a 
probabilidade de que o número de chamadas não atendidas seja: 
a) Zero? 
b) Pelo menos uma? 
c) Entre 3 e 5 inclusive? 
 
22. Um processo industrial usado para produzir artefatos de plástico tem taxa de defeito de 5 por 100 
unidades. As unidades são enviadas aos revendedores em lotes de 200. Se a probabilidade de 
encontrar mais de 10 itens defeituosos no lote exceder 30%, o revendedor certamente vai preferir 
investir em um estoque de camisetas. O que acontecerá? 
 
23. Você compra peças de bicicletas de um fornecedor de Minas Gerais que apresenta taxa de 3 
defeitos por 100 peças. Você deseja comprar 150 peças, mas não vai aceitar uma probabilidade maior 
do que 20% de 2 peças estarem com defeito. Você comprará desse fornecedor? 
 
24. Os aviões chegam ao aeroporto de Miami na média de 5,1 por minuto. O controle do tráfego aéreo 
pode comandar no máximo 7 aviões por minuto com segurança. Qual é a probabilidade de que a 
segurança do aeroporto seja prejudicada? 
 
25. Caminhões chegam para carregamento na razão de 9,3 por hora. Um encarregado das docas sabe 
que se seis ou menos caminhões chegarem, apenas uma doca será necessária para o carregamento. 
Se mais de seis caminhões chegarem, uma segunda doca deverá ser aberta. Ele deverá abrir uma 
segunda doca? 
 
26. Dado que uma população tem distribuição normal com média 25,0 e desvio padrão 2,0, determine 
os valores de z para os seguintes valores da população: 
a) 23,0 b) 23,5 c) 25,0 d) 25,5 e) 28,0 
 
 
 
 
 
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27. Se Z : N(0, 1), calcular: 
a) P(0<Z<1,28) 
b) P(-1,28  Z  0) 
c) P(Z>1,28) 
d) P(Z<-2) 
e) P(Z>4,99) 
f) P(-1,28<Z<1,28) 
g) P(-3  Z  5) 
h) P(3<Z<5) 
i) P(1,89<Z<3,54) 
j) P(Z>-1,22) 
k) P(Z<2,33) 
l) o valor a tal que P(0<Z<a) = 0,1879 
m) o valor b tal que P(Z>b) = 0,0025 
n) o valor c tal que P(Z>c) = 0,80 
 
28. Se X : N(10, 4), calcular: 
a) P(8<X<10) b) P(9X12) c) P(X>10) d) P(X<8 ou X>11) 
 
29. As vendas mensais de um determinado produto têm distribuição aproximadamente normal com 
média igual a 500 unidades e desvio padrão igual a 50 unidades. Se a empresa decide fabricar 600 
unidades no mês em estudo, qual é a probabilidade de que não possa atender a todos os pedidos 
desse mês, por estar com a produção esgotada? 
 
30. A renda média de uma comunidade tem distribuição normal com média igual a $ 1.500,00 e desvio 
padrão de $ 300,00. 
a) Que porcentagem da população terá renda superior a $ 1.850,00? 
b) Que porcentagem da população terá renda entre $ 1.600,00 e $ 1.850,00? 
 
31. Um processo industrial produz canos com diâmetro médio de 2,00” e  = 0,01”. Os canos que 
variam para mais ou para menos de 0,03" a contar da média são considerados defeituosos. Supondo a 
normalidade, qual a porcentagem de canos defeituosos? 
 
32. O adulto americano médio tem 1,75