Lista 1 Calclulo II

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Lista Ca´lculo II-Me´todos de Integrac¸a˜o
Fa´bio Ribeiro
Dezembro 2017
1. Calcule as integrais usando integrac¸a˜o por partes:
(a)
∫
x sen(5x)dx
(b)
∫
eθcos(2θ)dx
(c)
∫
cos(lnx)dx
(d)
∫
sen(lnx)dx
(e)
∫
cosxln()dx
(f)
∫
sen(
√
x)dx
(g)
∫
x2(x)dx
(h)
∫ xarctg(x)√
1−x2 dx
(i)
∫
(x5 − x3 + x)e−xdx
(j)
∫
cos(
√
x)dx
(k)
∫ 4
1
√
t.ln(t)dt
(l)
∫√3
1
arctg(1/x)dx
(m)
∫ pi/2
pi/4
xcossec2(x)dx
(n)
∫
x√
x2+4
dx
(o)
∫
dx√
x2−a2 , a > 0
(p)
∫ 2√3
0
x3√
16−x2 dx
(q)
∫ a
0
x2
√
a2 − x2dx
(r)
∫ pi/2
0
cost√
1+sen2(t)
dt
(s)
∫
dx√
x2+a2
dx
(t)
∫
dx
x2−a2 dx, a 6= 0
(u)
∫
dx
x2+a2
(v)
∫
4x2−3x+2
4x2−4x+3dx
1
(w)
∫ √
x+4
x dx
(x)
∫
ex
(ex−2)(e2x+1)dx
(y)
∫
1−x+2x2−x3
x(x2+1)2 dx
2. Usando integrac¸a˜o por partes mostre que
pi2n+1
∫ 1
0
tn(1− t)nsen(pit)dt = n!Q(pi)
onde Q e´ um polinoˆmio de grau n com coeficienntes inteiros. Use isso para
mostrar que se pi e´ racional enta˜o existe um q ∈ N tal que |qnQ(pi)| ≥ 1.
Use os fatos anteriores para concluir a irracionalidade de pi.
3. Mostre que
(a)
∫
cos(n)(x)dx = 1ncos
(n−1)(x) + n−1n
∫
cos(n−2)(x)dx
(b)
∫
sen(n)(x)dx = − 1n sen(n−1)(x)cosx+ n−1n
∫
sen(n−2)(x)dx
(c)
∫ pi/2
0
sen(n) dx = n−1n
∫ pi/2
0
sen(n−2)dx
(d)
∫ pi/2
0
sen(2n+1)(x)dx = 2.4.6.....(2n)3.5.7....(2n+1)
(e)
∫ pi/2
0
sen(2n)(x)dx = 3.5.7....(2n+1)2.4.6...(2n) .
pi
2
4. Mostre que
(a)
∫
(lnx)ndx = x(lnx)n − n ∫ (ln)n−1dx
(b)
∫
xnexdx = xnex − n ∫ xn−1exdx
(c)
∫
tgn(x) = tg
n(x)
n−1 −
∫
tgn−2(x)dx,(n 6= 1)
(d)
∫
secn(x)dx = tgxsec
n−2(x)
n−1 +
n−2
n−1
∫
secn−2(x)dx, (n 6= 1)
5. Seja In =
∫ pi/2
0
senn(x)dx
(a) Mostre que I2n+2 ≤ I2n+1 ≤ I2n
(b) Mostre que I2n+2I2n =
2n+1
2n+2
(c) 2n+12n+2 ≤ I2n+2I2n ≤ 1
(d) Mostre que lim
n→∞
I2n+1
I2n
= 1
(e) Mostre que 2.2.4.4.6.6...1.1.3.3.5.5... =
pi
2
6. Mostre que
(a)
∫ pi
−pi sen(mx)cos(nx)dx = 0
(b)
∫ pi
−pi sen(mx)sen(nx)dx =
{
0 se m 6= n
pi se m = n
(c)
∫ pi
−pi cos(mx)cos(nx)dx =
{
0 se m 6= n
pi se m = n
2
7. Encontre a antiderivada de func¸a˜o f : [0, 2]→ R,
f(x) =
√
x3 + 2− 2
√
x3 + 1 +
√
x3 + 10− 6
√
x3 + 1
8. Encontre a a´rea da regia˜o em forma de lua crescente
9. A circunfereˆncia de raio 1 toca a curva y = |2x| duas vezes. Determine a
a´rea da regia˜o que se encontra entre as duas curvas.
10. Calcule
∫ 1
0
( 3
√
1− x7 − 7√1− x3)dx
11. Mostre que
∫ pi/2
0
senn(x)
senn +cosn dx =
pi
4
sugesta˜o: fac¸a a mudanc¸a de varia´vel u = pi2 −x e use o exerc´ıcio anterior.
12. Seja f(x) =
n∑
k=1
aksen(kx). Mostre que o m-e´simo coeficiente am e´ dado
por
am =
1
pi
∫ pi
−pi
sen(mx)dx
3