PROVA DOIS

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SEGUNDA PROVA de CÁLCULO III: REVISÃO
Identificar e resolver as equações diferenciais de 01 a 09:
1ª) y’’ – 2y’ – 3y = 0, com y(0) =5 e y’(0) = - 1
2ª) y’’ + 6y’ + 9y = 0
3ª) 8y’’ + 12y’ + 5y = 0
4ª) x²y’’ – 3xy’ + 13y = 0
5ª) x²y’’ + xy’ – 4y = 0, com y(1) = 0 e y’(1) = 0
6ª) Encontrar somente a solução integral (ou complementar, ou não-homogênea) da E.D.O. de 2ª ordem y’’ - y = 8sen(x) – 4cos(x), usando como Tentativa Criteriosa 
7ª) Encontrar a solução geral da E.D.O. de 2ª ordem y’’ – 12y’ + 36y = e6x, sabendo-se que sua solução homogênea é , usando o Método da Variação de Parâmetros.
8ª) Usando o Método da Variação de Parâmetros, encontrar somente a solução não-homogêna , sabendo-se que Ax5 + Bx4, para a E.D. de 2ª Ordem não-homogênea y’’ – 8y’x-1 + 20yx-2 = x, com x.
9ª) Usando o Método da Tentativa Criteriosa, encontrar somente a solução não-homogênea da E.d.: y’’ – y = 2x – x².
10ª) Resolver o sistema de equações diferenciais:
Soluções e respostas
1ª) E.D.O.H. de 2ªO. com coeficientes constantes
 E.C.: r² - 2r – 3 = 0, com raízes r1 = 3 e r2 = -1 e solução geral igual a
y = Ae3x + Be-x e o PVI: y(0) = 5: Ae0 + Be0 = 5 A + B = 5(I)
com: y’= 3Ae3x – Be-x e y’(0) = -1: 3Ae0 – Be0 = -1 3A – B = -1 (II)
Somando (I) com (II): 4A = 4 e A = 1; subst. em (I) : B = 5 – a= 5 – 1
B = 4 e a sol. particular: y = e3x + 4e-x
2ª) E.D.O.H. de 2ª O. com coeficientes constantes
E.C.: r² + 6r + 9 = 0; raízes r1 = r2 = r = -3 e solução geral y = e-3x[A + Bx]
3ª) E.D.O.H. de 2ª O. com coeficientes constantes
E.C.: 8r² + 12r + 5 = 0 e as raízes , com solução geral igual a:
4ª) E.D. de Euler, com eq. característica: r² - 4r + 13 = 0 ; r = 
y² = x²{C1cos[ln(x³)] + C2sen[ln(x³)]}
5ª) E,D, de Euler, com eq. caract. r² - 4 = 0 e r = 
y = C1x² + C2x-2 y’ = 2C1x - 2C2x-3
PVI: y(1) = 0: 0 = C1 + C2 (I)
 y’(1) = 4: 4 = 2C1 – 2C2 (II)
Fazendo (I) X 2 + (II): 0 = 2C1 + 2C2
 4 = 2C1 – 2C2
Resultando C1 = 1 C2= -1 y=x² - x-2 (solução particular) 
6ª) 
Subst. na E.D.: -Acos(x) – Bsen(x) – Acos(x) – Bsen(x) = 8sen(x) – 4cos(x);
-2Acos(x) – 2Bsen(x) = 8sen(x) – 4cos(x)
Daí: - 2A = – 4, logo A = 2
2B = 8 e B = - 4. Sol.: 
 
 7ª) W = W = e12x (diferente de zero, pois toda exponencial é sempre positiva).
 u2 = = u2 = u2 = x
 u1 = u1 = 
 Daí: 
 E a solução geral: y = 
 
 8ª) W = 
 u1 = u2 = 
 
 9ª) 
 Subst. na E.D.: 2A – Ax² - Bx –C = - x² + 2x. P.I.P.: -A = -1, logo A = 1;
 -B = 2, logo B = - 2; 2A – C = 0, logo C=2.1, i.é., C = 2 e 
 
 10ª) Da 1ª eq.: x2 = - 5x1 - e, portanto: 
 Subst. na 2ª eq.: - 
 Cuja eq.característica: r² + 4r + 3 = 0 fornece as raízes – 1 e – 3
 Logo: x1 = C1e-t + C2e-3t, com x2 = - [-C1et – 3C2e-3t] – 5[C1e-t + C2e-3t]
 E, juntando os termos semelhantes: x2 = - 4C1e-t – 2C2e-3t 
 11ª) Da 1ª eq.: que se subst. na 1ª eq.: 
 e a E.C.: r² - 9r + 20 = 0 com raízes 5 e 4. Daí
 x1 = Ae5t + Be4t x2 = 5Ae5t + 4Be4t