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Curso: Ciclo Básico das Engenharias 
Disciplina: Cálculo Vetorial e Geometria Analítica (CVGA) 
Professor: Bruno Freitas 
 
 
 
 
 
2ª Lista de exercícios 
1) Dado os pontos A (2, -3, 1) e B (4, 5, -2), determine o ponto P tal que 
PBAP 
. 
2) Dado os pontos A (-1, 2, 3) e B (4, -2, 0), determine o ponto P tal que 
ABAP 3
. 
3) Determine o vetor 
v
 sabendo que 
vv  )4,10,6(2)1,7,3(
. 
4) Encontre os números 
1a
 e 
2a
 tais que 
2211 vavaw 
, sendo 
)1,2,1(1 v
, 
)4,0,2(2 v
 e 
)14,4,4( w
. ( Vetor 
w
 é combinação linear dos vetores 
1v
 e 
2v
 ). 
5) Determine a e b de modo que os vetores 
)3,1,4( u
 e 
),,6( bav 
 sejam paralelos. 
6) Dados os pontos A (3, m - 1, -4) e B (8, 2m – 1, m), determine m de modo que 
35AB
. 
7) Determinar as coordenadas do ponto médio do segmento de extremos nos pontos A(0, 2, 4) e B(-6, 4, 7). 
8) Calcular o perímetro do triângulo de vértices A (0, 1, 2), B(-1, 0, -1) e C(2, -1, 0). 
9) Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistantes dos pontos A (2, -3, 1) e B (-2, 1,-1). 
10) Sendo A (-1, 3, 1) e B (2, 4, -1) vértices consecutivos do paralelogramo ABCD. Determine os pontos C e 
D sabendo que M (1, 0, -1) é o ponto médio das diagonais. 
11) Calcule os valores de a para que o vetor 
)3,,1(  au
 tenha o mesmo comprimento de 
)1,1,5( v
. 
12) Sabendo que 
3u
, 
7v
 e 
2vu
, calcule: 
a) 
vvu  )2(
 b) 
)()23( vuvu 
 
13) Sabendo que 
)1,3,2( u
 e 
)5,1,1( v
 calcule: 
a) 
vu 
 b) 
)( jvu 
 
14) Calcule o ângulo entre os vetores abaixo: 
a) 
)2,1,1( u
 e 
)7,1,4(v
 b) 
)7,2,3(u 
e 
)2,0,0(v
 
15) Determine os ângulos do triângulo de vértices A (2, 1, 3), B (1, 0, -1) e C (-1, 2, 1). 
16) Calcule o valor de a para que os vetores 
)3,5,13(  au
e 
)7,3,2(  av 
sejam ortogonais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
 
1) P (3, 1, -1/2) 
2) (14, -10, -6) 
3) 
)1,1,1(v
 
4) 
21 a
 e 
32 a
 
5) 
2
3
a
 e 
2
9
b
 
6) m = - 3 ou m = - 1 
7) (-3, 3, 11/2) 
8) 
321122 p
 
9) P (1,0,0) 
10) C (3, -3, -3) e D (0, -4, -1) 
11) 
17a
 
12) 
a) 45 
b) – 69 
13) 
a) – 6 
b) 2 
14) 
a) 








66
1117
cos
 
b) 








62
627
cos
 
15) 









84
2810
cosÂ
, 









9
62
cosBˆ
 e 









42
422
cosCˆ
 
16) a = 34/11