Equações Diferenciais e Séries

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Equações Diferenciais e Séries
Prof.: Luciano Andrade
Sequências Numéricas
Definição: É uma listagem de números escritos numa ordem definida.
Notação:
Exemplos de Sequências
Convergência de sequência
Definição: Uma sequência tem limite e escrevemos , se pudemos tornar os valores de tão próximos de quanto desejarmos desde que, façamos suficientemente grande. Se este limite existir, como número real, dizemos que a sequência é convergente. Caso contrário, a sequência será divergente. 
Observações sobre convergência
Se uma sequência possui duas subsequências convergindo para valores diferentes, diremos que esta sequência é divergente.
Se uma sequência é convergente, então qualquer subsequência de converge para o mesmo valor. 
Exemplos
Séries Numéricas
Definição: Seja uma sequência, chamaremos de série numérica infinita ou simplesmente série, à expressão: 
Exemplo: 
 
Sequência das Somas Parciais 
Definição: Seja uma série. Chamaremos de sequência das somas parciais desta série à sequência onde,
Exemplos
Determine a sequência das somas parciais de cada série abaixo:
 
Série convergente
Definição: Sejam uma série e a sua sequência das somas parciais. Se , então a série é convergente e, converge para a sua soma que é o número real .
Exemplos
Verifique, usando a sequência das somas parciais, se as séries abaixo convergem: 
Teorema sobre convergência de séries
Teorema 1: Se uma série é convergente, então . (ver demonstração)
Teorema 2: (Teste da divergência: Criterio do termo geral): Seja a série . Se , então a série é divergente.
Exemplos
Série Geométrica
Definição: Uma série do tipo
é chamada de série geométrica.
Exemplos:
Convergência de série Geométrica
Teorema: Uma série geométrica
 é dita convergente e tem soma se . Caso contrário, se a série diverge.
Série Harmônica
Os termos desta série decrescem tendendo para zero. Inicialmente parece que esta soma tende para um número finito, mas está impressão é falsa. Vamos verificar que esta série é divergente.
Teste da Integral
Seja uma série de termos positivos,
 Seja uma função positiva, contínua e decrescente para e tal que
 Então a série:
Converge se convergir.
Diverge se divergir.
P - Séries
Definição: Uma p – série, também chamada de série hiper-harmônica é toda série da forma 
Exemplo de p - séries
Convergência das P- séries
 Seja uma p – série.
 se a p- série converge.
 se a p- série diverge. 
Propriedades de Séries
A convergência ou divergência de uma série não é afetada pela retirada ou acréscimo de um número finito de termos.
Se duas séries convergem para os números s e r, respectivamente, então a série
 converge para s+r. 
 
Propriedades de Séries
Seja a série que converge para um nº s e considere o nº real k. Então a série converge para .
Se a série é convergente e a série 
é divergente, então a série é divergente.
 Se é divergente e é divergente.
Observação
Se são ambas divergentes nada se pode afirmar sobre a convergência ou divergência da série . Esta pode convergir ou divergir.
Exemplo: são ambas divergentes mas converge para zero.
Teste da Comparação
A idéia consiste em comparar uma série dada com outra que sabemos se convergente ou divergente.
 
 Sejam
Se converge, então converge.
Se diverge, então diverge. 
Exemplos
Verifique a convergência das séries usando o teste da comparação:
 
Séries Alternadas
Definição: São aquelas séries cujos termos são alternadamente positivos e negativos, isto é, da forma:
Teste de Leibniz
 Uma série alternada é convergente se:
 e
Exemplos
Estimando Somas
 Se uma série alternada satisfaz as condições do teste de Leibniz e sendo S a sua soma, temos que:
 se a soma S for aproximada por então o erro absoluto . 
Observação
 Com este resultado podemos avaliar somas de séries alternadas com precisão de k casas decimais. 
 Se é o erro de uma aproximação, então esta terá precisão de k casas decimais se 
 . 
Exemplos
1. Calcule o erro cometido quando a soma da série é aproximada por .
Dada a série , determine:
 a) A soma com precisão de duas casas decimais.
 b) A precisão se considerarmos a soma .
Convergência Absoluta
Dada uma série , podemos considerar a série correspondente, denominada série dos valores absolutos:
 
Absolutamente Convergente
Definição: Uma série é dita absolutamente convergente se a série de valores absolutos for convergente.
 Observação:
Caso a série tenha todos os seus termos positivos, então convergência absoluta é o mesmo que convergência.
Exemplos
Verifique se as séries são absolutamente convergentes:
Convergência Absoluta
Se uma série é absolutamente converte, então ela é convergente.
Exemplo:
 Determine se a série é convergente ou divergente. 
Teste da Razão - TRZ
 Seja a série e considere o limite
Se a série é absolutamente convergente, logo convergente.
Se a série é divergente.
Se nada podemos afirmar. Logo devemos usar outro teste.
Teste da Raiz - TRI
Seja a série e considere o limite
Se , então a série é absolutamente convergente, logo convergente.
Se , então a série é divergente.
Se nada podemos afirmar. Logo devemos usar outro teste. 
Exemplos
Serie de Potências
Vamos trabalhar com séries cujos termos são funções, em especial, potências de x ou x-a. O objetivo é representar funções como uma série de potências em x em algum intervalo. 
Serie de Potências
Definição: Uma série de potências em (x-a) é uma série da forma: 
 Quando temos uma série de potências em x:
 
Exemplos
Observação
Vamos investigar sob que condições podemos escrever uma função como uma série de potências de x e em que domínio ela converge.
Dada uma série de potências para cada valor atribuído à x obtemos uma série numérica correspondente que pode convergir ou divergir.
Domínio de Convergência
Definição: 
 Chamaremos de região ou domínio de convergência de uma série de potências ao conjunto dos números reais para os quais a série dada converge.
Exemplos
Verifique a região de convergência das séries:
Raio de Convergência
Teorema: Dada uma série de potências
apenas uma das seguintes condições é válida:
 A série é absolutamente convergente para todo x real.
A série converge apenas para x=a
Existe um nº r tal que a série é absolutamente convergente para e divergente para
 
Observação
Quando a série é absolutamente convergente
 dizemos que e quandoa série converge apenas para dizemos que .
Exemplo: 
 Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série .
Representação de Funções em Série de Potências
Objetivo: Representar certos tipos de funções como somas de séries de potências pela manipulação de séries geométricas ou pela derivação e/ou integração de tais séries.
Isto é útil para integrar funções que não têm primitivas elementares, resolver equações diferenciais e aproximar funções por polinômios.
Representação de Funções em Série de Potências
Se uma série de potências tem um intervalo de convergência o raio de convergência, podemos usar esta série para definir uma função cujo domínio é o intervalo de convergência da série: 
Observação
A partir da série geométrica podemos obter novas séries que definem funções. Reciprocamente, dada uma função, podemos definir uma série de potências que converge para a função e quais valores de x a série converge. 
Exemplos
A partir da série geométrica dê a representação em série de potências de x das funções, identificando a região de convergência:
 
Exemplos
A partir da série geométrica 
 determine uma série de potências em para as funções: 
Derivação e Integração de Séries
Teorema:Dada uma série de potências
 com raio de convergência r>0, considere a função . Temos que:
 
Exemplos 
Note que o índice do somatório se conserva se o 1º termo da série não é uma constante e, se altera quando o 1º termo da série é uma constante.
Exercícios
A partir da série geométrica
 determine uma série que represente as seguintes funções.
 
Série de Taylor e Série de Maclaurin 
Desenvolvimento de funções em série de potências.
Considere a função definida pela série de potências em (x-a) 
 
 com raio de convergência r>0, continuamente derivável num ponto a e numa vizinhança de a .