Apostila 1

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BREVE REVISA˜O DE MATEMA´TICA
BA´SICA
Mozart Gonc¸alves
13/03/2012
2
Divisibilidade
Esta apostila trata de questo˜es a respeito de divisibilidade, pois muitos
alunos ao ingressarem na Universidade trazem o legado de uma fraca con-
solidac¸a˜o de conceitos importantes a respeito deste assunto, o que muitas
vezes impede que o aluno conclua o seu curso no tempo normal, postergando
a conclusa˜o ou ainda abandonando o mesmo durante o processo. Por isso
esperasse contribuir, ao menos em parte, para a recuperac¸a˜o de conteu´dos
matema´ticos. O material aqui apresentado baseia-se Obrigado
Cap´ıtulo 1
Divisa˜o de nu´meros naturais
A divisa˜o esta´ presente em nosso dia a dia de va´rias formas, vamos entender
alguns procedimentos que podem ser aplicados a situac¸o˜es reais.
Imagine se quisermos dividir 3 chocolates para dois amigos. Matema´ticamente
teremos:
3
2
E assim cada um ficara´ com 1 chocolate e meio.
Em alguns casos na˜o temos esta opc¸a˜o de divisa˜o, como caso seguinte.
Se formos dividir 27 camisas entre 4 pessoas, e assim teremos:
27
4
• Quantidade de pessoas que recebera˜o as camisas 4
• Quantidade de camisas cada pessoa recebera´ 6
• Quantidade de camisas que sobraram 3
Logo:
27
4
= 6
com resto 3.
E´ fa´cil verificar que isto esta´ correto, pois:
4× 6 + 3 = 27
Definindo os elementos da operac¸a˜o:
3
4 CAPI´TULO 1. DIVISA˜O DE NU´MEROS NATURAIS
• D e´ o dividendo 27
• d e´ o divisor 4 (que deve ser obrigato´riamente diferente de zero)
• r e´ o resto 3 (que deve ser menor que d)
Podemos resumir o que esta´ acima:
D = d× q + r, r < d, d > 0, D, d, q, r ∈ N
Este algor´ıtmo aparece pela primeira vez de forma organizada nos “Ele-
mentos” de Euclides de Alexandria.
A restric¸a˜o r < d assegura que o quociente e´ u´nico.
Exemplo: Uma caixa de 33 la´pis deve ser dividida entre 7 pessoas. Quanto
cada um recebera´? Quantos la´pis sobrara˜o? Descreva a situac¸a˜o usando a
equac¸a˜o de Euclides.
Soluc¸a˜o:
33
7
= 4
com resto 5
Cada pessoa recebera´ 4 la´pis. Sobrara˜o 5 la´pis. A situac¸a˜o pode ser
descrita por:
33 = 7× 4 + 5
1. Efetue as diviso˜es e descreva o resultado na forma da equac¸a˜o
de Euclides:
a) 44 : 5
b) 44 : 7
c) 353 : 3
d) 483 : 438
e) 157325 : 10000
2. Efetue as diviso˜es e descreva o resultado na forma da equac¸a˜o
de Euclides. O que observa na sequencia dos restos?:
5
a) 48 : 4
b) 47 : 4
c) 46 : 4
d) 45 : 4
e) 44 : 4
f) 43 : 4
g) 42 : 4
h) 41 : 4
i) 40 : 4
Cap´ıtulo 2
Mu´ltiplos, fatores e divisores
Observe a condic¸a˜o a seguir:
35 = 7× 5⇒ 35 e´ mu´ltiplo de 7 e 35 e´ multiplo de 5
Temos com isto que 7 e 5 sa˜o divisores de 35. Como podemos obter 35
pela multiplicac¸a˜o de 7 por 5, dizemos que:
7 e 5 SA˜O FATORES de 35
Demos bastante eˆnfase a esta nomenclatura, pois a mesma sera´ utilizada
com frequeˆncia. Exemplo: Quais os fatores do nu´mero 12?
1 e 12, pois 12 = 1× 12
2 e 6, pois 12 = 2× 6
3 e 4, pois 12 = 3× 4
Logo o conjunto dos divisores de 12 e´:
D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
1. Determine os fatores de:
a) 42
b) 6
c) 18
d) 15
e) 25
f) 100
g) 13
6
7
h) 23
i) 37
j) 101
k) 1001
Cap´ıtulo 3
Crite´rios de Divisibilidade
• O zero na˜o e´ divisor de nu´mero algum.
• Todo nu´mero e´ divisor de si mesmo.
• O nu´mero 1 e´ divisor de qualquer nu´mero natural.
• O conjuntos dos divisores de um nu´mero natural diferente de zero e´
finito.
Divisibilidade por 2
Um nu´mero e´ divis´ıvel por 2 quando e´ par
Divisibilidade por 3
Um nu´mero e´ divis´ıvel por 3 quando e´ quando soma dos valores absolutos
de seus algarimos for divis´ıvel por 3
Divisibilidade por 4
Um nu´mero e´ divis´ıvel por 4 quando o nu´mero formado pelos seus dois
u´ltimos algarismos for divis´ıvel por 4
Divisibilidade por 5
Um nu´mero e´ divis´ıvel por 5 quando terminar em 0 ou 5
Divisibilidade por 6
Um nu´mero e´ divis´ıvel por 6 quando e´ divis´ıvel por 2 e por 3
Divisibilidade por 7
Para saber se um nu´mero e´ divis´ıvel por 7, multiplique por 2 o u´ltimo
algarismo do nu´mero e subtraia este valor do nu´mero inicial sem o u´ltimo
algarismo, o resultado deve ser mu´ltiplo de 7. Se necessa´rio repita o processo.
Se o nu´mero final obtido for divis´ıvel por 7, enta˜o o nu´mero tambe´m sera´.
Divisibilidade por 8
Um nu´mero e´ divis´ıvel por 8 quando o nu´mero formado pelos seus treˆs
u´ltimos algarismos for divis´ıvel por 8
8
9
Divisibilidade por 9
Um nu´mero e´ divis´ıvel por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus
algarismos for divis´ıvel por 9
Divisibilidade por 10
Um nu´mero e´ divis´ıvel por 10 quando teminar em 0
Divisibilidade por 11
Um nu´mero e´ divis´ıvel por 11 quando a diferenc¸a entre a soma dos alga-
rismos de ordem impar e dos de ordem par for divis´ıvel por 11
Divisibilidade por 12
Um nu´mero e´ divis´ıvel por 12 quando for divis´ıvel por 3 e por 4
Divisibilidade por 15
Um nu´mero e´ divis´ıvel por 15 quando for divis´ıvel por 3 e por 5
1. Calcule o resto das diviso˜es:
a) 1425782:2
b) 1425782:4
c) 1425782:8
d) 658591:2
e) 658591:4
f) 658591:8
2. Qual o resto das diviso˜es:
a) (3257 + 12378 + 1569) : 3
b) (354567 + 356 + 1) : 3
c) (5 + 15 + 25 + 35 + 45) : 3
d) (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) : 3
3. Qual o resto das diviso˜es:
a) (3257 + 12378 + 1569) : 9
b) (354567 + 356 + 1) : 9
c) (5 + 15 + 25 + 35 + 45) : 9
d) (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) : 9
10 CAPI´TULO 3. CRITE´RIOS DE DIVISIBILIDADE
4. Sem executar a soma, determine o resto das diviso˜es:
a) (3257 + 12378 + 1569) : 10
b) (354567 + 356 + 1) : 10
c) (5 + 15 + 25 + 35 + 45) : 5
d) (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) : 2
e) (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) : 5
f) (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) : 10
5. Verifique, sem calcular a divisa˜o, se o dividendo e´ divis´ıvel
por 7, caso na˜o seja qual e´ o resto:
a) (3486) : 7
b) (294) : 7
c) (248738) : 7
d) (5129) : 7
Cap´ıtulo 4
Potenciac¸a˜o
4.1 Propriedades das Poteˆncias
i)
am.an = am+n
ii)
am
an
= am−n
iii)
(a.b)n = an.bn
iv) (a
b
)n
=
an
bn
v)
(am)n = am.n
Com base nas propriedades resolva os seguintes exerc´ıcios:
1. Calcule:
a)
(−5)2−42+( 15)
0
3−2+1
b) 43 + (137)0 + (−1)0 + 25 + (1
2
)3
+
(
3
5
)2
+ (−2)5 + 10 + (−2
7
)3
c) 70 + (0, 125)2 − (0, 5)4 − 1
23
11
12 CAPI´TULO 4. POTENCIAC¸A˜O
d) 256
3
4
e) (10−4)−
1
2
f) (3−1 + 2−2)−1
g)
[(
−2−3
6
)−2]−1
h)
[(
2−1
3−1
)
+
(
5
4−1
)−1]
4.2 Propriedades das Ra´ızes
i)
n
√
am = n.p
√
am.p
ii)
n
√
a.
n
√
b =
n
√
a.b
iii) (
n
√
a
)m
= n
√
am
iii)
m
√
n
√
a = m.n
√
a
Podemos tambe´m escrever qualquer ra´ız na forma de poteˆncia, o que
pode facilitar nosso trabalho em alguns casos:
n
√
am = a
m
n
2. Calcule:
a) 5
12√64−√18√
50− 4√324
b) 3
√
60000×0,00009
0,0002
c)
(
3
2
)−1 ÷ (2
3
) 1
2
d)
√
1
3√a
e)
(
32
1
2 − 2 12
)
.81
1
2
f) (0, 2)3 + (0, 16)2
4.2. PROPRIEDADES DAS RAI´ZES 13
3. Simplifique:
a) 7
√
4. 7
√
32
b)
(
3
√
2
)9
c) 3
√
3. 3
√
81
d)
3
√
4
√
5
√
2120
Cap´ıtulo 5
Valor Absoluto de um Nu´mero
5.1 Definic¸a˜o
O valor absoluto de x e´ definido por:
|x| =
{
x , se x ≥ 0
−x , se x < 0
Em termos geome´tricos, o valor absoluto de um nu´mero representa a sua
distaˆncia da origem.
5.2 Teoremas
i) Teorema: |x| < a, se e somente se, ... < x < ..., onde a > 0
ii) Teorema: |x| ≤ a, se e somente se, ... ≤ x ≤ ..., onde a > 0
iii) Teorema: |x| > a, se e somente se, x > ... ou x...., onde a > 0
iv) Teorema: |x| ≥ a, se e somente se, x.... ou x...., onde a > 0
1. Determine os valores dex que satisfazem as desigualdades:
a) |3x + 2| < 5
b) |3x− 4| > 2
c) |3x− 4| < 2
14
5.3. PROPRIEDADES DO MO´DULO 15
d) |2x− 1| = |4x + 3|
e) |x− 5| < 4
f) |5x + 4| = −3
g)
∣∣x+1
4
∣∣ > 1
h)
∣∣3−2x
2+x
∣∣ ≤ 4
i)
∣∣x−2
x+3
∣∣ < 1
5.3 Propriedades do Mo´dulo
Na definic¸a˜o da raiz quadrada de a, representada por
√
a, define-se um
u´nico nu´mero na˜o negativo x, tal que:
x2 = a
Assim sendo temos que
√
4 = 2, pois 22 = 4, no entanto,
√
4 6= −2.,
apesar de (−2)2 = 4, pois pela definic¸a˜o da raiz quadrada x e´ un´ıco e
na˜o negativo
Da definic¸a˜o de ra´ız quadrada de “a” segue que:
√
x2 = |x|
Desta definica˜o podemos obter as seguintes propriedades:
i)
|a.b| = |a| . |b|
ii) ∣∣∣a
b
∣∣∣ = |a||b|
iii)
|a + b| ≤ |a|+ |b|
Como consequ¨eˆncia de iii temos os seguintes corola´rios:
a)
|a− b| ≤ |a|+ |b|
b)
|a| − |b| ≤ |a− b|
Cap´ıtulo 6
Polinoˆmios
6.1 Definic¸a˜o
Um POLINOˆMIO e´ uma expressa˜o que pode ser escrita como um termo ou
uma soma de termos da forma:
a0x
0, a1x
1, a2x
2, a3x
3, ..., an−2xn−2, an−1xn−1, anxn
onde os termos ai representam as contantes de cada termo. Cada termo aix
i
representa um monoˆmio e a soma de mais de um termo cujas poteˆncias de x
sejam distintas, caracteriza um polinoˆmio. Representando o Polinoˆmio por
P (x), temos a soma geral como sendo:
P (x) = anx
n + an−1xn−1 + an−2xn−2 + ... + a3x3 + a2x2 + a1x1 + a0x0
6.2 Grau de um Termo ou Monoˆmio
E´ o expoente da varia´vel, ou se houver mais de uma varia´vel, a soma dos
expoentes das varia´veis.
Exemplo 1 3x8 tem grau 8
Exemplo 2 20x2y3.z2 tem grau 7
Exemplo 3 40 tem grau 0
16
6.3. GRAU DO POLINOˆMIO 17
6.3 Grau do Polinoˆmio
E´ o maior grau da varia´vel, ou se houver mais de uma varia´vel, sera´ a maior
soma dos expoentes, analisando a soma de cada termo.
Exemplo 4 x5 + 6x3 − 3x− 21 tem grau 5
Exemplo 5 8x4y2 − 12x2 + 6x tem grau 6
Exemplo 6 x5 + x2y3 − 12x4y tem grau 5
6.3.1 Soma e Substrac¸a˜o de Polinoˆmios
A soma e subtrac¸a˜o de polinoˆmios e´ feita termo a termo, por combinac¸a˜o
dos termos semelhantes.
Exemplo 7
P (x) = 2x4 − 3x2 + 2x− 10
Q(x) = 3x4 + 2x3 − 6x2 + 5
P (x) + Q(x) =
(
2x4 − 3x2 + 2x− 10)+ (3x4 + 2x3 − 6x2)
P (x) + Q(x) = 5x4 + 2x3 − 9x2 + 2x− 5
P (x)−Q(x) = (2x4 − 3x2 + 2x− 10)− (3x4 + 2x3 − 6x2)
P (x)−Q(x) = −x4 − 2x3 + 3x2 + 2x− 15
6.3.2 Multiplicac¸a˜o de Polinoˆmios
A multiplicac¸a˜o de polinoˆmios e´ feita aplicando a propriedade distributiva.
Exemplo 8
P1(x) = 2x
3 − 3x2
P2(x) = 2x
2 + 2
P1(x)× P2(x) =
(
2x3 − 3x2)× (2x2 + 2)
P1(x)× P2(x) = 4x5 + 4x3 − 6x4 − 6x2
18 CAPI´TULO 6. POLINOˆMIOS
6.4 Produtos Nota´veis
A seguir sa˜o apresentados algun produtos nota´veis que sa˜o importantes em
situac¸o˜es em que e´ necessa´rio proceder a simplificac¸a˜o de expresso˜es.
6.4.1 Diferenc¸a de dois quadrados
a2 − b2 = (a + b) (a− b)
6.4.2 Diferenc¸a de dois cubos
a3 − b3 = (a− b) (a2 + ab + b2)
6.4.3 Soma de dois cubos
a3 + b3 = (a + b)
(
a2 − ab + b2)
6.4.4 Quadrado de uma soma
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
6.4.5 Quadrado de uma diferenc¸a
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2
6.4.6 Cubo de uma soma
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
6.4.7 Cubo de uma diferenc¸a
(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Um questa˜o importante que facilita o processo de ca´lculos com polinoˆmios e´
a FATORAC¸A˜O, e para isso temos que uma das possibilidades de fatorac¸a˜o
e´ fazer uso produtos nota´veis. Ale´m desta opc¸a˜o temos ainda as opc¸o˜es de
colocar em evid6encias fatores comuns ou mesmo fatorar por agrupamento.
A seguir seguem alguns exemplos.
6.4. PRODUTOS NOTA´VEIS 19
Exemplo 9 Colocando em evideˆncia:
3x5 − 24x4 + 12x3 = 3x3 (x2 − 8x + 4)
Exemplo 10 Colocando em evideˆncia um fator na˜o monomial:
12
(
x2 − 1)4 (3x + 1)3 + 8 (x2 − 1)3 (3x + 1)4 = 4 (x2 − 1)3 (3x + 1)3 [3 (x2 − 1)+ 2 (3x + 1)]
= 4
(
x2 − 1)3 (3x + 1)3 (3x2 + 6x− 1)
Exemplo 11 Fatorando por agrupamento:
3x2 + 4xy − 3xt− 4ty = (3x2 + 4xy)− (3xt + 4ty)
= x (3x + 4y)− t (3x + 4y)
= (3x + 4y) (x− t)
Exemplo 12 Reverter a distributividade para fatorar:
Neste caso encontrar dois fatores de 50 que somam−15, ou seja, −5 e −10
x2 − 15x + 50 = (x− 5) (x− 10)
Para fatorar 4x2 + 11xy + 6y2, encontre dois fatores para 4.6=24 que
somam 11, ou seja, 8 e 3
4x2 + 11xy + 6y2 = 4x2 + 8xy + 3xy + 6y2
= 4x (x + 2y) + 3y (x + 2y)
= (x + 2y) (4x + 3y)
20 CAPI´TULO 6. POLINOˆMIOS
6.4.8 Estrate´gias de Fatorac¸a˜o
A observaˆncia das dicas a seguir pode auxiliar no in´ıcio da resoluc¸a˜o de
exerc´ıcios envolvendo fatorac¸a˜o. A pra´tica desta atividade o levara´ natural-
mente a perceber as alternativas poss´ıveis para realizar uma fatorac¸a˜o.
1◦ Passo Coloque em evideˆncia todos os fatores comuns a todos os termos
2◦ Passo Observe o nu´mero de termos.
• Se o polinoˆmio obtido apo´s o primeiro passo tem dois termos,
procure a diferenc¸a ou soma de dois quadrados ou de dois cubos.
• Se o polinoˆmio obtido apo´s o primeiro passo tem treˆs termos, pro-
cure por um quadrado perfeito ou tente reverter a distributividade.
• Se o polinoˆmio obtido apo´s o primeiro passo tem quatro ou mais
termos, tente fatorar por agrupamento.
Exemplo 13 Outra possibilidade de fatorac¸a˜o ocasionalmente e´ somar um
terceiro termo seguido de sua subtrac¸a˜o para obter um quadrado perfeito.
Observe que somamos um termo 2xy e em seguida fazemos a subtrac¸a˜o do
mesmo, desta forma na˜o alteramos a expressa˜o inicial.
x2 + y2 = x2 + 2xy + y2 − 2xy
= (x + y)2 − 2xy
= (x + y)2 −
(√
2xy
)2
=
(
x + y −
√
2xy
)(
x + y +
√
2xy
)
Exemplo 14
Observe que somamos um termo 2xy e em seguida fazemos a subtrac¸a˜o do
mesmo, desta forma na˜o alteramos a expressa˜o inicial.
x2 + 16 = x2 + 8x + 16− 8x
= (x + 4)2 − 8x
= (x + 4)2 −
(√
8x
)2
=
(
x + 4−
√
8x
)(
x + 4 +
√
8x
)
6.4. PRODUTOS NOTA´VEIS 21
Exemplo 15
Observe que somamos um termo 4 e em seguida fazemos a subtrac¸a˜o do
mesmo, desta forma na˜o alteramos a expressa˜o inicial.
x2 − 4x = x2 − 4x + 4− 4
= (x + 2)2 − 4
= (x + 2)2 − (2)2
= (x + 2− 2) (x + 2 + 2)
= x (x + 4)
No caso acima poder´ıamos simplesmente seguir o 1◦ Passo, das estrate´gias
de fatorac¸a˜o, e colocar x em evideˆncia, no entanto o exemplo apenas ilustra
que completar os quadrados leva a` forma fatorada.
Exerc´ıcios
1. Desenvolver cada expressa˜o:
a) (cx− d) (cx + d) =
b) (3x− 5)2 =
c) (2t− 5) (4t2 + 10t + 25) =
d) 4 (−2x) (1− x2)3 =
e) [(r − s) + t] [(r − s)− t] =
2. Realizar as operac¸o˜es:
a) (x + h)3 (x− h)3 =
b) (1 + t)4 =
3. Fatorar:
a) 15x4 − 10x3 + 25x2 =
b) x2 + 12x + 20 =
c) 9x2 − 25y2 =
d) 6x5 − 48x4 − 54x3 =
e) 5x2 + 13xy + 6y2 =
f) P (1 + r) + P (1 + r) r =
22 CAPI´TULO 6. POLINOˆMIOS
g) x3 − 64 =
h) 3 (x + 3)2 (x− 8)4 + 4 (x + 3)3 (x− 8)3 =
i) x4 − y4 + x3 − xy2 =
j) x6 − 64y6 =
4. Fatorar voltando o trinoˆmio ao quadrado perfeito:
a) x2 − 12x + 32 =
b) x2 + 12x + 20 =
c) x2 − 8x + 7 =
d) x2 − 7
2
x + 3
2
=
e) 4x2 − 16x + 7 =
6.5 Divisa˜o de Polinoˆmios
A divisa˜o de polinoˆmios pode facilitar a resoluc¸a˜o de equac¸o˜es polinoˆmiais
ou ainda auxilar na fatorac¸a˜o de um polinoˆmio em algumas situac¸o˜es em que
isto seja necessa´rio. Para isso podemos utilizar o algor´ıtmo de Briot-Ruffini
que permite fazer a divisa˜o de um polinoˆmio por um binoˆmio, que tomaremos
com sendo x− a.
Exemplo 16 Dividindo o polinoˆmio P (x) = 2x3 +3x2−1 por Q (x) = x+1
Como temos a divisa˜o por x− a, reescrevemos Q (x) = x− (−1) e seguimos
o seguinte procedimento.
a) Transcrever os coeficientes e a, conforme abaixo. Onde P (x) na˜o tem
coeficiente para x colocamos 0.
2 3 0 -1
-1
b) Passe o 1◦ coeficiente para baixo.
2 3 0 -1
-1
2
6.5. DIVISA˜O DE POLINOˆMIOS 23
c)Multiplique-o por a e coloque o resultado abaixo do coeficiente na coluna
a direita.
2 3 0 -1
-1 -2
2
d) Some os valores da coluna.
2 3 0 -1
-1 -2
2 1
e) Repita os passos c e d ate´ a u´ltima coluna.
2 3 0 -1
-1 -2 -1 1
2 1 -1 0
Chegando ao final temos nas primeiras colunas os coeficientes do po-
linoˆmio Q (x) que e´ o resultado da divisa˜o e na u´ltima coluna o resto da
divisa˜o que neste caso e´ 0.
Utilizando o algor´ıtmo da divisa˜o ja´ conhecido temos que:
P (x) = D (x) .Q (x) + resto
Logo,
2x3 + 3x2 − 1 = (x + 1) . (2x2 + x− 1)
Exerc´ıcios
1. Divida o polinoˆmio P (x) = x3 − 12x2 + 47x− 60 por D (x) = (x− 5)
2. Reduza o grau do polinoˆmio P (x) = x3 − 8x2 + 19x− 12
3. Fatorar do polinoˆmio P (x) = x4 − 11x3 + 35x2 − 13x− 60
4. Divida o polinoˆmio P (x) = x5 − 11x4 + 29x3 + 59x2 − 342x+ 360 por
D (x) = x3 − 2x2 − 9x + 18
Cap´ıtulo 7
Simplificando Expresso˜es
7.1 Racionalizando
Uma condic¸a˜o de simplificac¸a˜o de expresso˜es numa frac¸a˜o envolve o que cha-
mamos de racionalizac¸a˜o do denominador. Neste caso numerador e denomi-
nador podem ser multiplicados pela expressa˜o conjugada do denominador ou
do numerador. Uma expressa˜o conjugada para um binoˆmio da forma a+ b e´
a expressa˜o a− b.
Exemplo 17 Neste caso temos a frac¸a˜o x−4√
x−2 , e a racionalizac¸a˜o e´ realizada
da seguinte forma:
Observe que a expressa˜o conjugada de
√
x− 2 e´ √x + 2, logo temos
x− 4√
x− 2 =
x− 4√
x− 2 ·
√
x + 2√
x + 2
= ...
No denominador temos o produto(√
x− 2) (√x + 2) = (√x)2 − 22
Voltando na expressa˜o temos
... =
(x− 4) · (√x + 2)
(
√
x)
2 − 22 = ...
... =
(x− 4) · (√x + 2)
(x− 4) =
√
x + 2
Exemplo 18 Neste caso temos a frac¸a˜o
√
x−√a
x−a , e a racionalizac¸a˜o e´ reali-
zada da seguinte forma:
24
7.2. FATORANDO 25
Observe que a expressa˜o conjugada de
√
x−√a e´ √x +√a, logo temos
√
x−√a
x− a =
√
x−√a
x− a ·
√
x +
√
a√
x +
√
a
= ...
No numerador temos o produto(√
x−√a) (√x +√a) = (√x)2 −√a2
Voltando na expressa˜o temos
... =
(
√
x)
2 −√a2
(x− a) (√x +√a) = ...
... =
(x− a)
(x− a) (√x +√a) =
1
(
√
x +
√
a)
7.2 Fatorando
A simplificac¸a˜o por fatorac¸a˜o e´ muito utilizada para facilitar o desenvolvi-
mento de expresso˜es, para isso e´ preciso lembrar das va´rias possibilidades de
fatorac¸a˜o.
Exemplo 19 Simplificando
x3 − 27
2x2 + 6x + 18
Lembrando dos produtos nota´teis podemos obter:
x3 − 27
2x2 + 6x + 18
=
(x− 3) (x2 + 3x + 9)
2x2 + 6x + 18
= ...
... =
(x− 3) (x2 + 3x + 9)
2 (x2 + 3x + 9)
=
(x− 3)
2
7.3 Tirando o MMC
O desenvolvimento de algumas expresso˜es depende do uso do MMC como no
exemplo a seguir.
Exemplo 20 Simplificando
x
x−1 − xx+1
x
x−1 +
x
x+1
26 CAPI´TULO 7. SIMPLIFICANDO EXPRESSO˜ES
Lembrando dos produtos nota´teis podemos obter:
x
x−1 − xx+1
x
x−1 +
x
x+1
=
x(x+1)−x(x−1)
(x−1)(x+1)
x(x+1)+x(x−1)
(x−1)(x+1)
= ...
Eliminando os denominadores comuns de cada frac¸a˜o, temos:
... =
x (x + 1)− x (x− 1)
x (x + 1) + x (x− 1) = ...
Desenvolvendo os termos:
... =
x2 + x− x2 + x
x2 + x + x2 − x =
2x
2x2
=
1
x
Cap´ıtulo 8
Equac¸o˜es
8.1 Definic¸a˜o
Uma equac¸a˜o e´ uma declarac¸a˜o de igualdade de duas expresso˜es, sendo que
podemos ter expresso˜es nume´ricas e expresso˜es alge´bricas. Numa equac¸a˜o
alge´brica temos uma ou mais varia´veis representadas por letras, como por
exemplo x, y e z. Quando resolvemos uma equac¸a˜o alge´brica, obtemos o
conjuntos de valores que as varia´veis podem ter de modo que a equac¸a˜o seja
verdadeira.
Exemplo 21 Uma equac¸a˜o representada por:
x2 = 25
Tem um conjunto de valores para x, neste caso x = 5 e x = −5 que satis-
fazem a equac¸a˜o, e portanto sa˜o o conjunto soluc¸a˜o desta equac¸a˜o, pois se
substitu´ıdos no lugar de x, de fato correspondem a 25.
Resolver equac¸o˜es faz parte dos processos de resoluc¸o˜es de problemas,
pois quando trabalha-se com func¸o˜es, as ana´lises envolvidas va˜o requerer
a habilidade de desenvolver ca´lculos que possibilitem encontrar o conjunto
soluc¸a˜o destas equac¸o˜es.
Para resolver equac¸o˜es e´ necessa´rio ter conhecimento dos conteu´dos ob-
servados nos cap´ıtulos anteriores, saber crite´rios de divisibilidade, encontrar
o MMC, fatorar, dividir polinoˆmios, racionalizar e simplificar termos de uma
expressa˜o.
A seguir sa˜o dados alguns exerc´ıcios para praticar a resoluc¸a˜o de equac¸o˜es.
27
28 CAPI´TULO 8. EQUAC¸O˜ES
Exerc´ıcios
1. Resolva:x
5
− 3x
4
= 2− x
8
2. Um triaˆngulo retaˆngulo tem lados cujos comprimentos sa˜o treˆs pares
inteiros consecutivos. Encontre o comprimento dos lados.
3. Resolva: x3 − 5x2 − 4x + 20 = 0
4. Resolva: 5x = 2x− (1− 3x)
5. Resolva (x + 5)2 + (2x− 7)2 = 82
6. Resolva completando o quadrado x2 − 8x + 13 = 0
7. Resolva s = 1
2
gt2 − v0t + s0 em relac¸a˜o a t
8. Um recipiente e´ preenchido com 8 litros de uma soluc¸a˜o com 20% de
sal. Quantos litros de a´gua pura devem ser acrescentados para produzir
uma soluc¸a˜o com 15%de sal? Resposta: t = 8
3
de litros de a´gua pura
9. Resolva a equac¸a˜o para a varia´vel f 1
p
+ 1
q
= 1
f
10. Uma caixa com base quadrada e sem tampa deve ser feita a partir
de um pedac¸o quadrado de placa de zinco, cortando-se um quadrado
de 3 cent´ımetros de cada canto e fazendo as dobras para cima. Se a
caixa deve ter uma capacidade de volume de 75cm3, qual o tamanho
do pedac¸o da placa de zinco a ser usada?