Apostila de Estatística Experimental

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2017 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS 
Departamento de Matemática 
Área Estatística 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IC 283 – BIOESTATÍSTICA 
 
IC 284 – ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 
 
 
 
 
Esta apostila constitui o material didático básico das disciplinas IC 283 – Bioestatística e 
IC 284 – Estatística Experimental. Nas aulas serão feitas complementações com o objetivo de 
atualizar e facilitar o entendimento do material didático apresentado. 
IC283 – Bioestatística e IC284 – Estatística Experimental 
Professor Marcelo Jangarelli – DEMAT – ICE - UFRRJ 
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CONTEÚDO I 
 
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL E INTERVALO DE CONFIANÇA 
 
1 – INTRODUÇÃO 
 Grande parte dos trabalhos científicos utiliza amostras aleatórias extraídas de uma 
população, na qual se deseja fazer um determinado estudo. As medidas descritivas numéricas 
calculadas a partir dessas amostras são definidas como Estatísticas (Média Amostral, 
Variância Amostral, Desvio Padrão Amostral, etc). 
 A Inferência Estatística é uma área da estatística que tem por objetivo obter 
informações relativas a uma população por meio da utilização de amostras dela extraídas. Nas 
populações, as medidas descritivas numéricas são denominadas de parâmetros (Média, 
Variância, Desvio Padrão, etc). Um dos problemas da estatística é a estimativa desses 
parâmetros populacionais, mediante o uso de amostras (estatísticas). 
 
1.1 Métodos utilizados para estimar um parâmetro populacional 
� Estimação por ponto: Inferência com base em um único valor numérico (estatística). 
Por exemplo, a estimativa pontual da média populacional (µ) é feita por um valor 
(Média Amostral: X ); 
� Estimação por intervalo: Inferência mediante a uma amplitude de dois valores 
numéricos a e b (a < b), entre os quais se espera que o parâmetro esteja contido. As 
estimativas por intervalo são preferíveis às estimativas por ponto por apresentarem 
uma precisão, denominada grau de confiança ou nível de confiança. Por exemplo, ao 
dizermos que o diâmetro médio da artéria aorta em bovino é de 1,75 cm tem-se uma 
estimativa por ponto. Entretanto, se for dito que o diâmetro mede 1,75 ± 0,05 cm, a 
estimativa é por intervalo, no qual se infere que o diâmetro da aorta está entre 1,70 e 
1,80 cm para um determinado nível de confiança (c). 
� Testes de Hipóteses: Método a ser detalhado ao longo do Conteúdo II, no qual se 
aplicam testes específicos para inferir sobre hipóteses (afirmações) previamente 
formuladas a respeito de um parâmetro populacional. 
 
 
 
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2 – DEFINIÇÕES 
� População: é o conjunto de todos os elementos sobre os quais desejamos desenvolver 
determinado estudo; 
� Amostra: é uma parte desses elementos da população, ou seja, qualquer subconjunto 
da população; 
� Parâmetro: é uma medida utilizada para descrever uma característica da população; 
� Estatística: é uma medida utilizada para descrever uma característica da amostra, ou 
seja, uma estatística T é uma função de X1, X2, X3, ..., Xn → T = f (X1, X2, X3, ..., Xn); 
� Estimador: é qualquer estatística T = f (X1, X2, X3, ..., Xn) utilizada para estimar uma 
quantia desconhecida (parâmetro). Em geral, ele é representado por uma determinada 
fórmula; 
� Estimativa: é o valor numérico assumido pelo estimador quando os valores observados 
(X1, X2, X3, ..., Xn) são considerados. 
 
3 – DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 
 A Distribuição Amostral de determinada estatística é a distribuição de todos os 
possíveis valores que ela pode assumir, calculados a partir de todas as possíveis amostras de 
tamanho “n”. Toda estatística, sendo uma função de uma amostra aleatória (X1; X2; ...; Xn), é 
uma variável aleatória e, consequentemente, apresenta uma distribuição de probabilidade. No 
caso das estatísticas, a distribuição de probabilidade é denominada Distribuição de Amostral. 
 Esquematicamente, considere uma população X, onde θ é o parâmetro de interesse na 
população e t é o valor da estatística T para cada amostra extraída: 
 
 Para exemplificar, consideremos a Distribuição Amostral da Média, em que: para 
determinado tamanho da amostra “n”, tomada de uma população com média “µ”, o valor da 
média amostral ( X ) irá variar de uma amostra para outra. A Distribuição Amostral da Média 
é descrita para determinar o valor esperado [E( X )] e o desvio padrão [σ( X )] da distribuição 
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das médias. O desvio padrão da média [σ( X )] também pode ser definido como Erro Padrão 
da Média. 
 Seja X1; X2; ...; Xn uma amostra aleatória de tamanho n de uma população 
representada pela variável aleatória X com média µ e variância 2σ . Então: 
E( X ) = µ 
σ
2
( X ) = 
n
2σ
 ∴ σ( X ) = 
n
σ
 
Se o desvio padrão da população (σ) for desconhecido o erro padrão da média pode ser 
estimado por meio do desvio padrão amostral (s ou DP). 
s( X ) = DP( X ) = 
n
s
 = 
n
DP
 
 
4 – INTERVALO DE CONFIANÇA (IC) 
 Seja X1; X2; ...; Xn uma amostra aleatória de tamanho n e θ um parâmetro 
desconhecido da população. Um Intervalo de Confiança para θ é um intervalo construído a 
partir das observações da amostra, de modo que ele inclui o verdadeiro e desconhecido valor 
de θ, com uma específica e alta probabilidade. Esta probabilidade é denotada por “c” ou “1 – 
α”, definida como grau de confiança ou nível de confiança: 
P(a < θ < b) = 1 - α 
 Assim, o intervalo ]a ; b[ é chamado de intervalo com 100(1 – α)% de confiança para 
o parâmetro θ, em que a e b são os limites de confiança, inferior e superior, respectivamente, 
do intervalo. O comprimento/amplitude do intervalo pode ser obtido pela diferença entre os 
limites superior e inferior (b – a). 
 
4.1 IC para a média populacional (µ): σ2 conhecida 
 O desenvolvimento de intervalos de confiança para µ é baseado na distribuição 
amostral de X . Neste caso, considera-se que a amostra siga comportamento 
aproximadamente normal ≈ N (0;1), sendo utilizada a tabela da Distribuição Normal (Z) para 
construção dos intervalos, como segue: 
P 





+≤≤−
n
ZX
n
ZX σµσ αα
22
 = 1 – α 
IC (µ)
 1 – α: X ± 
n
Z σα
2
 
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 Note que, o comprimento do IC também pode ser obtido pela expressão: 
Comprimento IC = 2 






n
Z σα
2
 
Caso sejam mantidos os valores de “n” e “1 – α” o comprimento do intervalo será 
fixo/constante. Já a estimativa da média amostral ( X ) continua sendo uma variável aleatória, 
determinando os limites do intervalo de acordo com a amostra considerada. 
 Interpretação do IC: Tem-se 100 (1 – α)% de confiança de que o parâmetro 
populacional (µ) esteja compreendido no intervalo obtido. Ou mesmo: Se construirmos n 
intervalos do mesmo tipo (tamanho e nível de confiança), espera-se que em 100 (1 – α)% 
deles contenha o verdadeiro parâmetro (µ). 
 
4.2 IC para a média populacional (µ): σ2 desconhecida 
 Quando a variância populacional (σ2) ou o desvio padrão populacional (σ) não forem 
conhecidos, podemos substituí-los pelas suas estatísticas: variância amostral (s2) e desvio 
padrão amostral (s), respectivamente. Em que “s” é a raiz quadrada da “s2”. 
A pressuposição da distribuição normal é garantida para amostras grandes (n > 30), ou 
mesmo amostras menores, desde que ela tenha sido extraída de uma população com 
distribuição normal e σ2 e/ou σ conhecidos. Para amostras pequenas em que não se pode 
afirmar sobre sua normalidade, adistribuição normal deve ser substituída pela Distribuição t 
de Student com n – 1 graus de liberdade (gl). 
IC (µ)
 1 – α: X ± 
n
s
t
2
α … ..)1(
2
lgnt −α 
O Grau de Liberdade é conceituado como o número de valores independentes de uma 
estatística. Tomando como exemplo o estimador s2 de σ2: 
1n
)xx(
s
2
i2
−
−
=
∑
 
A quantidade (n – 1) graus de liberdade representa o numerador do estimador de s2 
para um tamanho amostral n, ou seja, calculando-se (n – 1) desvios (independentes): 
)xx(,),xx(),xx( 1n21 −−− −K , o remanescente )xx( n − pode ser obtido por diferença, 
pois 0)xx( i =−∑ . 
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O comprimento do intervalo 2 






n
s
t
2
α é uma variável aleatória, assim como a média 
amostral ( X ), pois envolve o desvio padrão amostral (s), mesmo sendo mantido o tamanho 
da amostra (n) e o nível de confiança (n – 1). 
Interpretação do IC: Tem-se 100 (1 – α)% de confiança de que o parâmetro 
populacional (µ) esteja compreendido no intervalo obtido. Ou mesmo: Se construirmos n 
intervalos do mesmo tipo (tamanho e nível de confiança), espera-se que em 100 (1 – α)% 
deles contenha o verdadeiro parâmetro (µ). 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1 – Uma Variável Aleatória X tem distribuição normal, com média 100 e desvio padrão 10. 
a) Se X é a média de uma amostra de 25 elementos, calcular P (95 < X < 105); 
b) Qual tamanho deveria ter a amostra para que P (90 < X < 110) fosse obtido a 95% de 
confiança? 
 
2 – Considere uma amostra de 100 animais da raça Nelore, onde o peso médio a desmama foi 
de 171,70 kg. Suponha que o desvio padrão da população (σ) seja igual a 7,79 kg. 
a) Determinar um IC de 95% para a média µ; 
b) Qual o tamanho da amostra (n) para o intervalo obtido? “IC (µ)95%: 171,70 ± 1,03” 
c) Com a amostra de 100 animais foi obtido o intervalo 171,70 ± 1,45. Determinar o 
nível de confiança (%) utilizado para obter este intervalo. 
 
3 – Uma amostra de 10 cães sofrendo de uma determinada doença apresentou um tempo de 
sobrevivência médio de 46,9 meses e o desvio padrão de 43,3 meses. 
a) Determinar os limites de confiança de 90% para a média µ; 
b) O comprimento do intervalo obtido na alínea a. 
 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
1 – Seja X a duração da vida de uma peça de equipamento tal que σ = 5 horas. Admita que 
100 peças foram ensaiadas fornecendo uma duração de vida média de X = 500 horas. 
a) Obter um intervalo de 95% para a média µ; 
b) Qual o tamanho da amostra para o intervalo obtido? “IC (µ)95%: 500 ± 1,63” 
c) Com a amostra de 100 peças foi obtido o intervalo 500 ± 0,765. Determinar o nível de 
confiança (%) utilizado para obter este intervalo; 
 
2 – Em uma amostra aleatória de 25 crianças de uma determinada comunidade encontrou-se 
altura média 150 cm e desvio padrão 5 cm. Determinar: 
a) Um intervalo de 95% de confiança para a altura média da população; 
b) O comprimento do intervalo obtido na letra “a”. 
 
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3 – Uma agência de propaganda, que atende a uma das principais estações de rádio, gostaria 
de calcular a quantidade média de tempo que a audiência gasta diariamente ouvindo rádio. A 
partir de diversos estudos anteriores, o desvio padrão é definido em 45 minutos. Determinar: 
a) O tamanho da amostra necessário caso a agência queira ter 90% de confiança de estar 
correta em um intervalo de ± 5 minutos; 
b) Se for desejado um nível de 99% de confiança, qual seria o novo tamanho da amostra 
necessário para o mesmo intervalo da alínea anterior (± 5 minutos)? 
c) Faça inferências a respeito dos tamanhos das amostras encontrados nas alíneas 
anteriores (a e b), explicando o motivo de ter encontrado dimensões distintas. 
 
4 – O tempo de reação de um novo medicamento é a característica/variável avaliada em uma 
pesquisa. Deseja-se fazer inferência sobre a média que é desconhecida por meio de um 
intervalo de confiança. Vinte pacientes foram sorteados ao acaso e tiveram seu tempo de 
reação anotado. Os dados foram os seguintes (em minutos): 
2,9 3,4 3,5 4,1 4,6 4,7 4,5 3,8 5,3 4,9 
4,8 5,7 5,8 5,0 3,4 5,9 6,3 4,6 5,5 6,2 
 
a) Obter um intervalo de 95% de confiança para a média do tempo de reação; 
b) Obter um intervalo de 99% de confiança para a média do tempo de reação; 
c) Estabelecer a amplitude (comprimento) para cada intervalo de confiança obtido nas 
alíneas anteriores (a e b). Faça inferências pertinentes ao comprimento. 
 
5 – Estudos anteriores levam a supor que crianças de dois meses alimentadas exclusivamente 
com leite do tipo A sofrem aumento de peso, com média desconhecida, porém de variância 
9.000 gramas2. Escolhe-se ao acaso 20 crianças de dois meses, alimentando-as 
exclusivamente com leite do tipo A. Nesta amostra o aumento de peso médio foi de 475 
gramas. Obter um intervalo de 99% de confiança para o aumento médio do peso das crianças 
nas condições apresentadas. 
 
6 – O consumo mensal de calorias (kcal/g) de certa espécie de esquilos apresentou desvio 
padrão 0,16. Recolheu-se uma amostra aleatória de dimensão 18 cuja média amostral foi de 
0,41. 
a) Obter um intervalo de confiança a 95% para o consumo médio de calorias; 
b) Qual deve ser a dimensão da amostra para que um intervalo de confiança a 95% para a 
média tenha amplitude 0,2? 
 
7 – Um experimento, composto por 12 animais, foi alimentado com uma dieta especial 
durante determinado tempo e verificou-se que os ganhos de peso (em kg) foram de: 25 – 22 – 
30 – 26 – 24 – 39 – 32 – 26 – 32 – 33 – 28 – 30. Encontrar os limites de confiança para a 
média de ganho de peso ao nível de 90% de probabilidade. 
 
8 – Qual deve ser a dimensão da amostra a recolher de uma população normal de valor médio 
µ e desvio padrão 10 de modo que o intervalo de confiança para µ a 99% tenha amplitude 1? 
 
9 – Uma amostra de 60 camarões de água doce apresentou, para o comprimento dos corpos, 
uma média de 5,315 cm e um desvio padrão de 0,8293 cm. 
a) Determinar um intervalo de confiança a 99% para a média da população; 
b) Qual o erro padrão associado à média da amostra? 
 
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10 – A altura (em mm) da espuma de sabão em uma bacia é importante para os fabricantes de 
detergentes. Foi efetuada uma experiência colocando a mesma quantidade de detergente em 
10 bacias de tamanho padrão e, depois de certa agitação da água, mediu-se a altura da 
espuma. Obtiveram-se os seguintes resultados: 
229
10
1
=∑
=i
ix ; ( ) 553.110
1
2
=−∑
=i
i xx 
a) Determinar uma estimativa pontual para a média e para o desvio padrão; 
b) Determinar um intervalo de confiança de 99% para a média; 
c) Comente os dois tipos de estimativa obtidos para a média (alíneas a e b). 
 
 
GABARITO 
1 – a) 499,02 ≤≤ µ 500,98 
 b) n = 36,15 ≈ 37 
 c) c = 0,874 = 87,4% 
 
2 – a) 147,936 ≤≤ µ 152,064 
 b) Comprimento IC = 4,128 
 
3 – a) n = 220,52 ≈ 221 
 b) n = 539,17 ≈ 540 
 
4 – a) 4,279 ≤≤ µ 5,211 
 b) 4,108 ≤≤ µ 5,382 
 c) Comprimento(a) = 0,932 ; Comprimento (b) = 1,274 
 
5 – 420,27 ≤≤ µ 529,73 
 
6 – a) 0,3361 ≤≤ µ 0,4839 
 b) n = 9,83 ≈ 10 
 
7 – 26,473 ≤≤ µ 31,367 
 
8 – n = 2.662,56 ≈ 2.663 
 
9 – a) 5,03 ≤≤ µ 5,6 
 b) 
X
s = 0,10706 
 
10 – a) X = 22,9 ; s = 13,136 
 b) 9,4 ≤≤ µ 36,4 
 
 
 
 
 
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CONTEÚDOII 
 
TESTES DE HIPÓTESES 
 
1 – INTRODUÇÃO 
 Os Testes de Hipóteses representam uma das áreas da Inferência Estatística. Sua 
utilização permite ao pesquisador fazer inferências a respeito de uma população a partir de 
uma ou mais amostras representativas da população da qual as amostras foram retiradas. 
Com frequência utilizamos a inferência para tomarmos certas decisões. Por exemplo, 
quando vamos à feira/mercado para comprar frutas podemos experimentar uma unidade e 
depois inferir se levaremos ou não; na compra de um automóvel podemos fazer um teste drive 
e após inferir sobre sua compra; assim como na aquisição de um imóvel, em que avaliamos 
diversos fatores (localização, tamanho, preço, etc.) para tomarmos uma decisão de compra. 
Enfim, no dia a dia somos indagados constantemente para tomarmos decisões. 
 Na ciência é necessário que os procedimentos inferenciais sejam padronizados e bem 
especificados. O objetivo deste capítulo é fornecer os conceitos teóricos fundamentais para 
um correto uso dos testes de hipóteses. Neste capítulo serão abordados alguns dos testes de 
hipóteses mais comuns para comparar no máximo parâmetros de duas populações. Outros 
testes aplicáveis para comparações de parâmetros envolvendo mais de duas populações serão 
apresentados no Conteúdo IV. 
 
2 – HIPÓTESES EM UM TESTE ESTATÍSTICO 
Para realizar um teste de hipóteses e divulgar as conclusões é necessário seguir um 
procedimento aceito pela comunidade científica. Neste procedimento, o pesquisador deve 
deixar claro qual a hipótese que ele deseja testar. Para isto ele precisa descrever em termos 
estatísticos as suas hipóteses científicas. A hipótese científica do pesquisador nada mais é do 
que o que o levou a realizar a sua investigação. 
Assim, o teste de hipótese é uma regra decisória que nos permite aceitar ou rejeitar 
uma hipótese estatística com base nos elementos de uma ou mais amostras. A hipótese 
estatística é uma suposição/afirmação referente ao valor de um parâmetro populacional 
(média, variância, proporção, etc.) que será verificada por meio de um teste paramétrico. 
 Exemplos de hipóteses estatísticas: 
� A altura média da população brasileira é de 1,66 metros, ou seja, µ = 1,66; 
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� A proporção de brasileiros com determinada doença é de 40%, ou seja, p = 0,40; 
� A variabilidade no peso ao nascer dos animais da raça A é semelhante aos animais da 
raça B, ou seja, 2Aσ = 2Bσ . 
Para realizar um teste de hipóteses é necessário que o pesquisador lance duas 
hipóteses: 
 
2.1 Hipótese de Nulidade (H0) 
 É a hipótese a ser testada, também chamada de hipótese básica ou nula. Os testes são 
construídos sobre a pressuposição de que H0 seja verdadeiro. Exemplos: 
� Um pesquisador informa que a produtividade média de uma cultura é de 500 kg/ha. 
H0: µ = 500 
� Duas rações (I e II) para leitões em fase de crescimento propiciam, em média, o 
mesmo ganho de peso. 
H0: µI = µII 
Para os dois exemplos, o raciocínio é que enquanto não houver evidências amostrais 
sugerindo que tais informações não sejam verdadeiras, elas são tomadas como verídicas 
(verdadeiras). 
 
2.2 Hipótese Alternativa (H1) 
 É a hipótese que contraria H0, formulada com base no conhecimento prévio do 
problema (investigação), informações de pesquisas científicas, entre outras indagações. 
Considerando os exemplos anteriores podemos ter: 
� H1: µ > 500 ou µ < 500 ou µ ≠ 500 
� H1: µI > µII ou µI < µII ou µI ≠ µII 
No teste de hipóteses, a rejeição de H0 implicará na aceitação automática de H1. Isso 
se deve ao fato dessas hipóteses serem contrastantes e mutuamente excludentes, 
impossibilitando que sejam simultaneamente verdadeiras. 
 
3 – DECISÃO EM UM TESTE DE HIPÓTESES 
 Para decidirmos se devemos ou não devemos rejeitar a hipótese de nulidade, baseamos 
na comparação do valor especificado para o parâmetro, denominado valor tabelado, com 
aquele estimado a partir de uma amostra da população, denominado valor calculado. 
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Todos os possíveis valores que o teste estatístico pode assumir são pontos no eixo 
horizontal do gráfico da distribuição do teste estatístico, sendo dividido em duas regiões: uma 
região constitui o que denominamos de região de rejeição e a outra região constitui o que 
denominamos de região de não rejeição. A regra de decisão nos diz para rejeitar H0 se o 
valor do teste estatístico calculado da amostra (valor calculado) é um dos valores que está na 
região de rejeição e para não rejeitar H0 se o valor calculado do teste estatístico é um dos 
valores que está na região de não rejeição. 
O pesquisador sempre estará sujeito a cometer um de dois erros possíveis ao tomar 
qualquer decisão, pois um estimador pode assumir valores diferentes para amostras diferentes, 
os quais sendo variáveis aleatórias apresentarão uma distribuição de probabilidade para os 
valores de um estimador do teste estatístico. 
� Erro tipo I ou erro α: é caracterizado pelo fato de rejeitarmos H0 sendo H0 
verdadeiro. Sua probabilidade é representada por “α”, sendo denominado nível de 
significância do teste estatístico. Logo, α = P (erro tipo I) = P (rejeitar H0/ H0 é 
verdadeiro). 
� Erro tipo II ou erro β: é caracterizado pelo fato de não rejeitarmos H0 sendo H0 
falso. A probabilidade de cometermos este tipo de erro é indicada por β. Logo, β = P 
(erro tipo II) = P (não rejeitar H0/ H0 é falso). 
A tabela a seguir apresenta as probabilidades de cometermos os erros do tipo I e do 
tipo II. 
Decisão \ Hipótese H0 é verdadeiro H0 é falso 
Rejeitar H0 α 1 – β 
Não rejeitar H0 1 – α β 
 
 Esses dois erros estão de tal forma associados, pois se diminuirmos a probabilidade de 
ocorrência de um deles, automaticamente aumentamos a probabilidade de ocorrência do 
outro. Em geral, controlamos somente o Erro Tipo I, por meio do nível de significância do 
teste representado por α, o qual é a probabilidade máxima com que nos sujeitamos a correr 
um risco de cometer um erro do Tipo I ao testar uma hipótese. Na prática é comum fixarmos α 
= 0,05 (5%) ou α = 0,01 (1%). Se, por exemplo, for escolhido α = 0,05, isto indica que temos 
5 possibilidades em 100 de rejeitarmos a hipótese nula (H0), quando na verdade ela deveria 
ser aceita, ou seja, existe uma confiança de 95% de que tenhamos tomado uma decisão 
correta. Esta confiabilidade é denominada grau/nível de confiança (c) do teste sendo 
representada por 1 – α e expressa em percentagem. 
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 Tabelas estatísticas apropriadas para cada tipo de teste de hipóteses fornecem valores 
críticos a partir do nível de significância (α) estabelecido no teste, os quais delimitarão as 
regiões de rejeição e de não rejeição de H0. O valor obtido de uma ou mais amostras retirada 
da(s) população(ões) é então usado para calcular o valor de uma estatística que tem 
distribuição de probabilidades idêntica àquela utilizada para identificar o valor tabelado. A 
comparação dos valores calculado e tabelado permite ao pesquisador decidir entre rejeitar ou 
não rejeitar H0. 
 
4 – TIPOS DE TESTES DE HIPÓTESES 
4.1 Teste Unilateral à Direita 
 A partir de um valor crítico (valor tabelado), rejeita-se H0 se “valor calculado ≥ valor 
tabelado”. 
H0: µ = K 
H1: µ > K 
4.2 Teste Unilateral à Esquerda 
 A partir de um valor crítico (valor tabelado), rejeita-se H0 se “valor calculado ≤ valor 
tabelado”. 
H0: µ = K 
H1: µ < K 
4.3 Teste Bilateral 
 A partir dos valores críticos (valores tabelados C1 e C2), rejeita-se H0 se “valor 
calculado ≤ C1 ou valorcalculado ≥ C2. 
H0: µ = K 
H1: µ ≠ K 
 
5 – RESUMO DAS ETAPAS PARA CONSTRUÇÃO DE UM TESTE DE HIPÓTESES 
1. Enunciar as hipóteses nula (H0) e alternativa (H1); 
2. Especificar o nível de significância (α) e selecionar a estatística do teste; 
3. Estabelecer o(s) valor(es) crítico(s) da estatística do teste (valor tabelado) por meio 
de tabelas estatísticas apropriadas; 
4. Determinar o valor da estatística do teste (valor calculado) por meio da(s) 
amostra(s); 
5. Tomar a decisão (inferência) pela rejeição ou não rejeição de H0 pela comparação do 
valor tabelado com o valor calculado. 
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6 – ALGUNS TESTES DE HIPÓTESES 
 
6.1 Teste F para Comparação de Variâncias de Duas Populações 
Este teste é indicado para verificar se duas populações, digamos X e Y, apresentam 
igual valor para o parâmetro variância. Em termos de hipóteses estatísticas teríamos: 
 H0: 2xσ = 
2
yσ 
H1: 2xσ > 
2
yσ ou 
 
2
xσ < 
2
yσ ou 
2
xσ ≠ 
2
yσ 
A estatística F utilizada para decidir entre rejeitar ou não rejeitar H0 é dada pelo 
quociente entre as duas estimativas amostrais de variância, ou seja: 
2
2
y
x
Calculado
s
sF = 
 Sob a hipótese de nulidade, este quociente tem Distribuição F de Fisher-Snedecor, 
com n1 e n2 graus de liberdade, ou seja, a distribuição de probabilidade da estatística F 
depende dos números de graus de liberdade n1 e n2, em que: n1 = nx – 1 e n2 = ny – 1. 
O valor crítico (valor tabelado) da distribuição F será estabelecido de acordo com o 
nível de significância (α) e os números de graus de liberdade: 
FTabelado = F α (n1 ; n2) 
A tomada de decisão (inferência) do teste é feita mediante a comparação do valor de 
FCalculado com o valor de FTabelado: 
� Fcalc. ≥ Ftab: Rejeita-se H0 
� Fcalc. < Ftab: Não Rejeita H0 ou Aceita H0 
 
OBS: Para simplificar o uso da tabela do teste F utilizaremos à expressão: 
 
 
 
Assim, a hipótese alternativa (H1) corresponderá a um teste unilateral à direita: 
H0: 2xσ = 
2
yσ 
H1: 2xσ > 
2
yσ OU 
2
yσ > 
2
xσ 
 
1
var
var
>→
<
>
= CCalculado Fiância
iânciaF
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13 
 
6.2 Teste t de Student 
 O teste t é indicado para testar hipóteses referentes à média de uma ou mais 
populações, cuja variância populacional (σ2) seja desconhecida. 
 Serão apresentadas três aplicações principais para o teste t em teste de hipóteses: i) 
teste para uma média populacional; ii) teste para duas médias populacionais (amostras 
independentes); e iii) teste para duas médias populacionais (amostras dependentes). 
 
6.2.1 Teste de hipóteses para uma média populacional 
 Este teste é utilizado para verificar se a média de uma característica de uma população 
assume um valor específico (K). As hipóteses do teste t para uma média populacional são as 
seguintes: 
 H0: µ = K 
H1: µ > K ou 
 µ < K ou 
 µ ≠ K 
Para aplicação deste teste devemos selecionar uma amostra de tamanho n da 
população, ou seja: X1 ; X2 ; ... ; Xn. Com base nestes elementos amostrais calculamos a média 
e o desvio padrão. Estas estatísticas são utilizadas para calcular a estatística t, definida por: 
n
s
X
s
X
t
X
Calculado
µµ −
=
−
=
)(
 
 Está estatística t tem Distribuição t de Student com n – 1 graus de liberdade. 
 Para decidirmos entre rejeitar ou não rejeitar H0 comparamos o valor de tCalculado com o 
valor de tTabelado, sendo este obtido em função do nível de significância (α) e do número de 
graus de liberdade: 
tTabelado = t α (n – 1) 
 
OBS: A tabela da Distribuição t de Student utilizada em nossas aulas é para testes bilaterais. 
Assim, se o teste efetuado for bilateral, observamos na tabela o valor de α e o respectivo 
número de graus de liberdade. Caso contrário, se o teste realizado for unilateral, observamos 
na tabela 2α como nível de significância, para garantir a realização do teste ao nível de 
significância desejado para testes unilaterais. 
 
 
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14 
 
Tomada de decisão (inferência): 
� Se 
.calct ≥ ttab: Rejeita-se H0 
� Se 
.calct < ttab: Não Rejeita-se H0 ou Aceita-se H0 
 
6.2.2 Teste de hipóteses para duas médias populacionais (amostras independentes) 
 Este teste verifica se duas populações, digamos A e B, apresentam um mesmo valor 
médio para uma determinada característica, ou seja, µA = µB. Neste caso é necessário obter 
uma amostra de cada população. Estas amostras podem ser relacionadas (dependentes) ou não 
relacionadas (independentes) uma da outra. 
 Duas amostras são independentes quando não existe nada que as relacione. Nesta 
situação, os valores amostrais foram obtidos em conjuntos amostrais distintos, ou seja, os 
elementos amostrais que originaram os valores de uma amostra são distintos dos elementos 
amostrais que originaram a segunda amostra. 
Hipóteses a serem consideradas: 
H0: µA = µB 
 H1: µA > µB ou 
µA < µB ou 
 µA ≠ µB 
A aplicação deste teste t para duas amostras independentes fica na dependência se as 
variâncias de suas populações são ou não são iguais entre si. Inicialmente deve-se efetuar um 
Teste Preliminar com o objetivo de comparar suas variâncias, ou seja, aplicamos o teste F. 
Ao testarmos as hipóteses do teste F teremos dois casos a considerar: Caso 1 e Caso 2. 
 
6.2.2.1 Caso 1 
 Representa o caso em que H0 não é rejeitada no teste F. Assim, admitimos que as 
variâncias sejam iguais, cujos valores assumidos por 2As e 2Bs são estimativas de um mesmo 
valor σ2. Devemos combinar essas variâncias ( 2As e 2Bs ) estimando-se uma variância comum 
( 2Cs ). Um estimador comum para a variância é obtido tomando-se uma média ponderada das 
estimativas de variâncias obtidas para as duas amostras. O tamanho da amostra é utilizado 
como um peso para o cálculo desta variância média ponderada ( 2Cs ). 
2
Cs = 2
)1()1( 22
−+
−+−
BA
BBAA
nn
snsn
 
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15 
 
 Em seguida, calcula-se o valor da estatística t, definida por: 






+
−
=
BA
C
Calculado
nn
s
BA
t
112
 
 Esta estatística tem Distribuição t de Student com (nA + nB – 2) graus de liberdade, ou 
seja: 
tTabelado = t α (nA + nB – 2) 
Tomada de decisão (inferência): 
� Se 
.calct ≥ ttab: Rejeita-se H0 
� Se 
.calct < ttab: Não Rejeita-se H0 ou Aceita-se H0 
 
6.2.2.2 Caso 2 
 Representa o caso em que H0 é rejeitada no teste F. Assim, admitimos que as 
variâncias sejam diferentes, o que não requer estimar uma variância comum. Neste caso, 
utilizaremos para o teste t os valores assumidos por 2As e 2Bs . 
 O valor da estatística t fica definido: 
B
B
A
A
Calculado
n
s
n
s
BA
t
22
+
−
= 
Esta estatística tem Distribuição t de Student com (n*) graus de liberdade, em que: 
11
2222
222
*
−






+
−












+
=
B
B
B
A
A
A
B
B
A
A
n
n
s
n
n
s
n
s
n
s
n 
OBS: Adotar como graus de liberdade o maior valor inteiro desde que não supere o valor 
calculado. 
tTabelado = t α ( n*) 
Tomada de decisão (inferência): 
� Se 
.calct ≥ ttab: Rejeita-se H0 
� Se 
.calct < ttab: Não Rejeita-se H0 ou Aceita-se H0 
 
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16 
 
6.2.3 Teste de hipóteses para duas médias populacionais (amostras dependentes) 
 Duas amostras são dependentes quando existe algo que as relacione. Por exemplo, se 
os valores de duas amostras foram obtidos de um mesmo conjunto de elementos amostrais, 
podemos dizer que as duas amostras de valores são dependentes uma vez que foram tomados 
de um conjunto de elementos amostrais comum. Em muitas situações as amostras são 
coletadas como pares de valores (dados pareados), tal como medidas sobre o mesmo 
indivíduo antes e depois da aplicação de algum medicamento; sobre um mesmo animal antes 
e depois do fornecimento de uma suplementação alimentar; ou também sobre uma mesma 
planta antes e depois de administrar um determinado fertilizante. 
 O objetivo neste caso é verificar se houve alteração na média de uma população 
quando a mesma é avaliada sob duas condições diferentes. Cada condição representa uma 
população distinta, embora se suponha que os elementos populacionais sejam os mesmos nas 
duas condições. Para verificar se houve alteração na média, avalia-se uma característica de 
interesse do pesquisador em um conjunto de elementos amostrais tomados ao acaso na 
população quando a mesma esteja sob a condição 1. Digamos que esta avaliação resulte nos 
seguintes valores amostrais: X11 ; X12 ; ... ; X1n. Depois de feita esta avaliação, os elementos 
amostrais que originaram a primeira amostra são submetidos à condição 2. Os mesmos 
elementos amostrais são novamente avaliados na condição 2, resultando os seguintes valores 
amostrais: X21 ; X22 ; ... ; X2n. Caso a condição 2 não tenha nenhum efeito, espera-se que em 
média os valores observados nas duas condições sejam iguais. 
 Em termos de desvios, se a alteração das condições não resultar em nenhum efeito 
significativo, podemos dizer que a diferença entre os valores observados na primeira condição 
e na segunda condição é, em média, igual a zero. Portanto, para verificar se houve alteração 
na média de uma população avaliada em duas condições diferentes, pode-se testar a hipótese 
de que o desvio médio seja estatisticamente igual a zero. Assim, a partir de duas amostras 
(dependentes) obtém-se outra amostra baseada nos desvios (di). 
Elemento Amostral i 1 2 ... N 
Amostra 1 X11 X12 ... X1n 
Amostra 2 X21 X22 ... X2n 
Desvios = di = X1i – X2i d1 d2 ... dn 
 Desta forma, o teste t para duas amostras dependentes é reduzido para teste t para uma 
média populacional, conforme visto anteriormente. Neste caso, deseja-se testar se a média dos 
desvios é igual a zero (ou igual a determinado valor ∆). 
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17 
 
A média e o desvio padrão da amostra de valores di são obtidos substituindo os valores 
Xi por di. 
 
n
d
d
n
i
i∑
=
=
1
 e 
1
1
2
12
−






−
=
∑
∑
=
=
n
n
d
d
s
n
i
n
i
i
i
d 
Hipóteses estatísticas: 
H0: D = 0 
 H1: D > 0 ou 
D < 0 ou 
 D ≠ 0 
 Para decidir entre rejeitar ou não rejeitar H0, calcula-se o valor da estatística t, definida 
por: 
d
i
Calculado
s
Dd
t
−
= 
 Sob H0 “ D = 0”: 
n
s
d
n
s
d
t
d
i
d
i
Calculado =
−
=
0
 
Esta estatística t tem Distribuição t de Student com (n – 1) graus de liberdade: 
tTabelado = t α (n – 1) 
Tomada de decisão (inferência): 
� Se 
.calct ≥ ttab: Rejeita-se H0 
� Se 
.calct < ttab: Não Rejeita-se H0 ou Aceita-se H0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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18 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1 – Com o intuito de controlar a homogeneidade da produção de certas partes ao longo do 
tempo, amostras semanais são retiradas da produção corrente. Uma primeira amostragem, de 
dez elementos, forneceu média 284,55 e desvio padrão 0,320, ao passo que, em uma segunda 
amostra, forneceu, nas mesmas unidades, os seguintes valores: {284,6 ; 283,9 ; 284,8 ; 285,2 ; 
284,3 ; 283,7 ; 284,0}. 
Ao nível de 5% de significância, podemos concluir que a semana (amostra) 2 
apresentou maior variabilidade que a semana (amostra) 1? 
 
2 – Em indivíduos sadios o consumo renal de oxigênio (O2) distribui-se normalmente com 
média de 12 cm3/minuto. Deseja investigar, com base em cinco indivíduos portadores de certa 
doença, se esta tem influência no consumo renal médio de O2. Os consumos medidos para os 
cinco pacientes foram: {14,4; 12,9; 15,0; 13,7 e 13,5 cm3/minuto}. Qual a conclusão ao nível 
de 1% de significância? 
 
3 – Os dados a seguir referem-se a um experimento de competição de duas progênies de 
Eucalyptus saligna. Cada progênie foi cultivada em solos com características semelhantes e a 
avaliação das plantas foi feita pela média dos diâmetros à altura do peito (DAP) de cada 
parcela. Foram utilizadas dez parcelas para cada progênie. Avaliar as progênies (A e B) com 
relação à característica mensurada. (α = 5%) 
 Progênie A Progênie B 
Média – DAP (cm) 15,4 13,5 
Variância – DAP (cm2) 2,5 3,0 
Número de Parcelas 10 10 
 
4 – Desejando saber se duas rações A e B, para determinada raça de suínos, são equivalentes 
ou se a ração A é superior a ração B em relação ao ganho de peso, há 11 animais sorteados ao 
acaso foi dado a ração A e a outros 19 a ração B. Os resultados, em kg, foram: 
AX = 66 kg e 2As = 40 kg
2
 
BX = 63 kg e 2Bs = 16 kg
2
 
 A que conclusão chegar se adotarmos o nível de significância de 5%? 
 
5 – A Tabela abaixo apresenta dados da pressão sanguínea sistólica de dez mulheres, na faixa 
etária de 30 a 35 anos, que fizeram uso de anovulatório por determinado período e depois não 
o fez, e vice e versa. Teste a hipótese de que o uso de anovulatório não tem efeito sobre a 
pressão sanguínea sistólica. (α = 5%) 
Anovulatório Mulheres (30 – 35 anos) 
Sim 111 119 121 113 116 126 128 123 122 121 
Não 109 113 120 117 108 120 122 124 115 112 
 
 
 
 
 
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19 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
1 – Um experimentador deseja testar o efeito de certo fertilizante na produção de milho. Para 
realizar o experimento tinha-se 12 unidades experimentais de áreas iguais, onde 7 receberam 
o fertilizante e as outras não. As demais condições foram mantidas iguais. As produções em 
kg/unidade experimental foram as seguintes: 
c/ fertilizante 25 35 45 30 20 25 30 
s/ fertilizante 35 25 20 15 30 
 De posse dos dados acima, pode o experimentador concluir que há aumento de 
produção de milho por causa do fertilizante, com nível de significância igual a 5%? 
 
2 – Desejando comparar os efeitos de dois analgésicos, A e B, em termos do tempo de ação 
sobre pacientes com certa doença, ambos foram aplicados a 14 doentes, em dias diferentes, 
sendo que 7 pacientes receberam primeiro o analgésico A, e os outros 7 receberam primeiro o 
analgésico B, e vice e versa. A situação foi controlada de forma a não haver interferência do 
efeito de um sobre o outro. Os resultados (em minutos) foram: 
Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
A 362 345 356 370 360 365 345 363 358 332 335 370 335 362 
B 320 330 315 325 323 328 318 322 320 310 308 332 307 325 
 Testar a hipótese de diferença nula entre as médias populacionais, ao nível de 
significância de 1%. 
 
3 – Considere uma amostra de 10 leitões da raça Large White. Aos 21 dias de idade foram 
feitas medições dos seus pesos (kg), fornecendo os seguintes dados: 
Leitões 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Peso (kg) 5,0 5,2 5,4 4,8 5,1 4,9 5,0 5,2 5,5 5,6 
 Pode-se concluir, ao nível de 5% deprobabilidade, que o peso médio aos 21 dias de 
idade dos leitões não difere de 5,0 kg? 
 
4 – Determinada cultura apresenta uma produtividade média de 10,8 t/ha. Um 
experimentador, desejando aumentar a produtividade média, introduziu um novo tratamento à 
cultura. Uma amostra de 20 parcelas submetidas ao novo tratamento apresentou uma 
produtividade média de 11,50 t/ha e desvio padrão de 1,2 t/ha. Testar H0 e concluir para α = 
5%. 
 
5 – Em um estudo sobre metabolismo de citrato no fígado foram tomadas amostras de sangue 
da veia hepática de 10 indivíduos normais e amostra de sangue arterial de outros 10 
indivíduos normais, obtendo-se as seguintes determinações de citrato em cada amostra (em 
mg/ml): 
Veia Hepática 20,2 24,6 18,3 19,0 29,5 12,6 18,2 30,8 22,2 25,4 
Sangue Arterial 26,4 32,2 37,8 25,0 28,4 26,2 31,3 35,0 29,7 27,4 
 Verificar se existe diferença significativa entre o conteúdo médio de citrato do sangue 
arterial e da veia hepática, adotando α = 1%. 
 
6 – Modificações foram implementadas na linha de produção de determinado artigo, utilizado 
em motores agrícolas, com o objetivo de reduzir a percentagem de peças defeituosas 
produzidas nas diversas máquinas da linha. Considerando os dados abaixo e α = 1%, testar a 
hipótese H0 e concluir: 
 
 
 
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20 
 
Máquina 1 2 3 4 5 6 7 8 
% defeito antes (X) 3,8 4,2 2,3 3,3 3,4 3,1 3,0 2,5 
% defeito após (Y) 2,5 4,2 2,5 2,2 2,0 1,8 2,0 2,0 
 
7 – Um nutricionista, desejando comparar dois produtos com relação ao teor médio de 
Vitamina C, retira 10 amostras de cada produto e obtém os teores listados abaixo: 
Produto Teores de Vitamina C (mg) 
A 20,2 25,3 21,3 27,0 22,0 26,0 20,0 21,2 23,1 29,3 
B 27,3 28,4 29,5 27,0 28,0 29,8 30,1 30,5 28,5 29,1 
 Testar H0 e concluir para α = 5%. 
 
8 – Os dados abaixo referem aos pesos, em gramas, de ratos machos da raça Wistar com 15 
dias de idade, segundo a condição normal e submetidos à extirpação do timo aos 4 dias de 
idade. Verificar se a timectomização piora o ganho de peso destes animais, usando α = 5%. 
Condição Normal 40,3 40,0 39,6 35,2 32,0 
Timectomizado 18,6 20,3 23,6 22,2 20,9 
 
9 – Para verificar o efeito da suplementação de alfafa no ganho de peso (kg), considerou-se 8 
pares de coelhos, cujos resultados são dados a seguir: 
Sem Suplementação 0,32 0,49 0,51 0,45 0,70 0,52 0,35 0,60 
Com Suplementação 0,72 0,90 0,67 0,83 0,67 0,93 0,80 0,75 
 Há evidência que a suplementação aumenta o desempenho, considerando α = 5%? 
 
10 – Para verificar o efeito da suplementação de alfafa no ganho de peso (kg), considerou-se 8 
coelhos, cujos resultados são dados a seguir: 
Sem Suplementação 0,32 0,49 0,51 0,45 0,70 0,52 0,35 0,60 
Com Suplementação 0,72 0,90 0,67 0,83 0,67 0,93 0,80 0,75 
 Há evidência que a suplementação aumenta o desempenho, considerando α = 5%? 
 
 
 
GABARITO 
 
1 – tcal = 1,06 tα = 1,81 
2 – tcal = 14,61 tα = 3,01 
3 – tcal = 2,05 tα = 2,26 
4 – tcal = 2,61 tα = 1,73 
5 – tcal = 3,57 tα = 2,88 
6 – tcal = 3,64 tα = 3,10 
7 – tcal = 4,92 tα = 2,20 
8 – tcal = 8,81 tα = 1,86 
9 – tcal = 5,19 tα = 1,76 
10 – tcal = 4,72 tα = 1,90 
 
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21 
 
CONTEÚDO III 
 
PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO 
 
1 – INTRODUÇÃO 
 A experimentação tem por objetivo o estudo dos experimentos, compreendendo seu 
planejamento, execução, coleta e análise dos dados e interpretação dos resultados. 
 
2 – CONCEITOS BÁSICOS 
� Experimento ou Ensaio: é um trabalho previamente planejado seguindo 
determinados princípios básicos. Nele se faz a comparação dos efeitos dos 
tratamentos; 
� Tratamento: é o método, elemento ou material cujo efeito desejamos medir ou 
comparar em um experimento. Exemplos: i) variedades de milho; ii) níveis de proteína 
na ração; iii) meios de cultura (substratos) para o cultivo de microorganismos; 
� Unidade/Parcela Experimental: é a unidade que vai receber o tratamento e fornecer 
os dados que deverão refletir o seu efeito. Exemplos: i) plantas; ii) animais; iii) 
vidrarias de laboratório; 
� Variável Resposta: é a variável (característica) mensurada no experimento utilizada 
para avaliar o efeito de tratamentos; 
� Delineamento Experimental: é a maneira como os tratamentos são designados às 
unidades experimentais. Exemplos: i) Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC); 
ii) Delineamento em Blocos Casualizado (DBC); 
� Esquema Experimental: quando em um mesmo experimento são avaliados dois ou 
mais fatores, cada qual com pelo menos dois níveis. O esquema é a maneira utilizada 
pelo pesquisador ao combinar os níveis dos fatores para se obter os tratamentos. 
Exemplo: Experimento/Esquema Fatorial (Fator 1: variedades de soja; Fator 2: 
espaçamento no plantio). 
� Erro Experimental: é o efeito de fatores que atuam de forma aleatória e que não são 
passíveis de controle pelo pesquisador. 
 
A pesquisa científica está constantemente se utilizando de experimentos para avaliar e 
validar suas hipóteses. Apesar dos experimentos variarem de uma pesquisa para outra, todos 
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22 
 
eles são regidos por alguns princípios básicos, necessários para que as conclusões que venham 
a ser obtidas se tornem válidas. 
 
3 – PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO 
 São três os princípios básicos da experimentação: Repetição, Casualização e Controle 
Local. 
3.1 Repetição 
 A repetição consiste em aplicar o mesmo tratamento a várias unidades/parcelas 
experimentais, ou seja, consiste na reprodução do experimento básico. O número mínimo de 
repetições depende do conhecimento do pesquisador sobre o assunto e do conjunto de 
condições em que será realizado o experimento. Quanto maior é o número de repetições, 
espera-se que seja maior a precisão do experimento. Contudo, esta relação é válida até 
determinado número de repetições, a partir do qual o incremento na precisão não é 
significativo. 
 Em termos estatísticos, o uso do princípio da repetição tem por finalidade obter uma 
estimativa do erro experimental. 
 
3.2 Casualização 
 O princípio da casualização consiste em distribuir ao acaso os tratamentos às unidades 
experimentais. Este princípio tem por finalidade propiciar, a todos os tratamentos, a mesma 
chance/probabilidade de serem designados a qualquer uma das unidades experimentais, 
visando evitar que algum dos tratamentos seja sistematicamente favorecido ou desfavorecido 
por fatores fora de controle do pesquisador. Isto significa que a distribuição dos tratamentos 
às unidades experimentais deve ser feita ao acaso, por meio de um mecanismo qualquer de 
sorteio. 
 Em termos estatísticos, o uso do princípio da casualização em um experimento permite 
obter uma estimativa válida do erro experimental, além de garantir a aplicação de testes de 
significância/hipóteses, pela atuação independente dos erros experimentais nas diversas 
unidades experimentais. 
 Ressalta-se que todo experimento deve conter no mínimo os princípios básicos da 
repetição e da casualização. 
 
 
 
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23 
 
3.3 Controle Local 
 O uso do princípio do controle local só é recomendado quando as unidades 
experimentais não são ou não estão sob condições homogêneas devido à influência de um ou 
mais fatores. Para utilizar este princípio, é necessário inicialmente dividir as unidades 
experimentais em blocos de unidades de tal forma que dentro de cada bloco haja 
homogeneidadee um número de unidades igual ao número de tratamentos do experimento. A 
distribuição dos tratamentos às unidades é feita dentro de cada bloco. 
A finalidade do uso do controle local é reduzir o efeito do erro experimental por meio 
do controle da variação existente entre às unidades experimentais. Espera-se que com o 
controle a estimativa obtida para o erro experimental seja menor. 
 
4 – FONTES DE VARIAÇÃO DE UM EXPERIMENTO 
 
Em um experimento podem ocorrer as seguintes fontes de variação: 
4.1 Premeditada 
 É a variação introduzida pelo pesquisador com a finalidade de fazer comparações. Por 
exemplo: os tratamentos. 
 
4.2 Sistemática 
 Variações não intencionais, porém de natureza conhecida. São variações inerentes ao 
material experimental, e que podem ser controladas pelo pesquisador. Por exemplo: 
heterogeneidade do solo, tamanho de semente, idade dos animais, etc. 
 
4.3 Aleatória 
 São variações de origem desconhecida, não podendo ser controladas. Constituem o 
erro experimental. São resultantes de duas fontes: variações no material experimental e falta 
de uniformidade nas condições experimentais. 
 
 
 
 
 
 
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CONTEÚDO IV 
 
DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS E 
TESTE DE COMPARAÇÃO DE MÉDIAS 
 
1 – DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO (DIC) 
 No Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) a distribuição dos tratamentos às 
unidades experimentais é feita inteiramente ao acaso. Os demais delineamentos 
experimentais, por exemplo: Blocos Casualizado e Quadrado Latino, se originam do DIC pelo 
uso de restrições na casualização. O DIC utiliza apenas os princípios básicos da repetição e da 
casualização. 
 Como não se faz restrições na casualização, a utilização do DIC pressupõe que as 
unidades experimentais estejam sob condições homogêneas. Estas condições homogêneas 
geralmente são obtidas em locais com ambientes controlados, tais como: laboratórios, estufas, 
granjas e casas de vegetação. 
 
1.1 Quadro de tabulação dos dados 
 A título de exemplo, considere um experimento instalado no DIC com I tratamentos e 
J repetições. A coleta de dados da pesquisa pode ser resumida no quadro a seguir: 
 Tratamentos 
Repetições 1 2 ..... I 
1 Y11 Y21 ..... YI1 
2 Y12 Y22 ..... YI2 
..... ..... ..... ..... ..... 
J Y1J Y2J ..... YIJ 
Totais T1 T2 ..... TI 
 Deste quadro podem-se retirar algumas informações de interesse: 
• Nº de unidades experimentais: N = I x J 
• Total geral: G = ∑∑
=
=
=
=
I
i
i
JI
j
i
ij TY
1
,
1
1
 
• Total para o tratamento i: Ti = ∑
=
J
j
ijY
1
 
• Média para o tratamento i: 
^
im = J
Ti
 
• Média geral do experimento: 
^
m = IJ
G
 
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25 
 
1.2 Modelo Estatístico 
Existe um modelo estatístico específico para cada tipo de delineamento. O modelo 
estatístico identifica quais são as fontes de variação dos valores de uma variável resposta em 
estudo. 
 Para os dados oriundos de um experimento instalado segundo o DIC, o seguinte 
modelo estatístico deve ser utilizado nas análises: 
Yij = m + ti + eij 
em que, 
� Yij = é o valor observado para a variável resposta obtido para o i-ésimo tratamento em 
sua j-ésima repetição; 
� m = é a média de todos os valores possíveis da variável resposta; 
� ti = é o efeito do tratamento i no valor observado Yij (ti = mi – m); 
� eij = é o erro experimental associado ao valor observado Yij (eij = Yij – mi). 
 O erro experimental ocorre em todos os experimentos, pois não é possível controlar o 
efeito de fontes de variações que ocorrem de forma aleatória e desconhecida. Este erro é o 
responsável pela variação observada entre as observações obtidas nas repetições para cada 
tratamento. 
 
1.3 Análise de Variância (ANOVA) 
 É uma técnica de análise estatística que permite decompor a variação total, ou seja, a 
variação existente entre todas as observações, na variação devido à diferença entre os efeitos 
dos tratamentos e na variação devido ao acaso, que também é denominada de erro 
experimental ou resíduo. Entretanto, para que esta técnica seja empregada é necessário que 
sejam satisfeitas as seguintes pressuposições: 
� Os efeitos do modelo estatístico devem ser aditivos; 
� Os erros experimentais devem ser normalmente distribuídos, independentes, com 
média zero e com variância comum. 
Por meio do modelo estatístico pode-se decompor a variação entre os valores 
observados (variação total) nas diferentes causas de variabilidade, como demonstrado a 
seguir. 
Considere o modelo estatístico para um experimento instalado segundo o DIC: 
Yij = m + ti + eij , 
fazendo ti = mi – m e eij = Yij – mi, tem-se: 
Yij – m = (mi – m) + (Yij – mi), 
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substituindo m, mi e eij por seus estimadores, elevando ambos os membros ao quadrado e 
aplicando somatório, tem-se: 
∑∑
=
=
=
=








−+−=−
JI
j
i
iiji
JI
j
i
ij mYmmmY
,
1
1
2
^^^
2
,
1
1
^
)()()( 
 Escrevendo de forma mais simplificada, a igualdade anterior temos: 
SQTotal = SQTratamentos + SQResíduo 
 Aplicando propriedades do somatório em cada termo da soma de quadrados tem-se o 
desenvolvendo de fórmulas mais práticas para encontrar os valores das respectivas somas de 
quadrados. 
 Para a SQTotal tem-se que: 
SQTotal = 2
,
1
1
^
)(∑
=
=
−
JI
j
i
ij mY = IJ
Y
Y
JI
ji
ijJI
j
i
ij
2
,
1,1
,
1
1
2
)( ∑
∑ ==
=
=
− 
 Para a SQTratamento: 
SQTratamentos = 2
^,
1
1
^
)( mm
JI
j
i
i∑
=
=
− = 
IJ
Y
J
T
JI
ji
ijI
i
i
2
,
1,1
1
2 )( ∑
∑ ==
=
− 
 Esta fórmula é utilizada quando o número de repetições é igual para todos os 
tratamentos. No caso em que o número de repetições varia de acordo com o tratamento a 
fórmula apropriada é: 
SQTratamentos = 
N
Y
J
T
JI
ji
ijI
i
i
2
,
1,1
1
2 )( ∑
∑ ==
=
− , 
em que: 
� N = é o número de unidades experimentais = ∑
=
I
i
ir
1
; 
� ri = é o número de unidades experimentais (repetições) do tratamento i. 
 
A soma de quadrados do resíduo é obtida por diferença: 
 
SQResíduo = SQTotal – SQTratamento 
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27 
 
 O quadro da Análise de Variância (ANOVA) para a análise de um experimento 
instalado segundo o DIC, com igual número de repetições para todos os tratamentos, é dado a 
seguir: 
FV GL SQ QM F 
Tratamentos (I – 1) SQTrat. 
1−I
SQTrat
 
sQM
QMTrat
Re
 
Resíduo I(J – 1) SQRes. 
)1(
Re
−JI
sSQ
 
Total IJ – 1 SQTotal - - 
 A partir das SQTratamento e SQResíduo obtêm-se os respectivos quadrados médios, 
por meio do quociente entre a soma de quadrado com o respectivo número de graus de 
liberdade. 
 Para concluir se existe diferença entre os tratamentos calcula-se o valor da estatística 
F, que é obtido pelo quociente do QMTrat. com o QMRes. Este valor, denominado FCalculado, 
deve ser comparado com o valor de FTabelado, o qual é obtido na tabela de Distribuição de 
Fisher (F), de acordo com o nível de significância do teste, graus de liberdade para 
tratamentos (n1) e graus de liberdade para resíduo (n2). 
 
As hipóteses para o Teste F da Análise de Variância para tratamentos são: 
� H0: m1 = m2 = ... = mI = m; O que equivale a dizer que todos os tratamentos 
apresentam efeito médioigual, ao nível “α” de probabilidade que foi realizado o teste; 
� H1: não H0; O que equivale a dizer que existe pelo menos um tratamento que 
apresenta efeito médio diferente dos demais, ao nível “α” de probabilidade que foi 
realizado o teste. 
 
A regra decisória (tomada de decisão/conclusão) para o Teste F é a seguinte: 
� Se o valor do FCalculado for maior ou igual ao valor do FTabelado, então rejeita-se H0. 
Conclui-se que pelo menos um dos tratamentos tem efeito diferenciado, ao nível de 
significância em que foi realizado o teste; 
� Se o valor do FCalculado for menor que o valor do FTabelado, então não rejeita-se H0. 
Conclui-se que os tratamentos tem efeitos iguais, ao nível de significância em que foi 
realizado o teste. 
 
 
 
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28 
 
2 – MEDIDAS DE AVALIAÇÃO DA QUALIDADE DOS EXPERIMENTOS 
2.1 Coeficiente de Variação [C.V.(%)] 
O Coeficiente de Variação permite avaliar a precisão do experimento. Quanto menor o 
C.V. mais preciso tende a ser o experimento. O conhecimento desta precisão auxilia na 
avaliação dos resultados do experimento. 
O C.V. é calculado da seguinte maneira: 
100Re.(%).
^ 







=
m
sdQ
VC µ , em que 
N
G
m =
^
 
 De acordo com Gomes (2009), na experimentação agrícola (experimentos de campo) o 
coeficiente de variação pode ser classificado nas seguintes categorias, com relação a sua 
precisão: 
C.V.(%) Precisão 
< 10% Alta 
10% a 20% Média 
20% a 30% Baixa 
> 30% Muito Baixa 
 
2.2 Coeficiente de Determinação (R2) 
Por definição, o Coeficiente de Determinação (R2) é a razão entre a Soma de Quadrado 
de Tratamento e a Soma de Quadrado Total, isto é: 
SQTotal
SQTratR .2 = 
Portanto, o R2 representa uma medida da proporção da variação total explicada pela 
variação devido aos tratamentos. Como o valor de R2 varia entre 0 e 1, pode-se interpretá-lo 
como uma percentagem. 
 Exemplo: R2 = 0,9215 → 92,15% da variação total está sendo explicada pela variação 
devido aos tratamentos. 
 
3 – TESTE DE COMPARAÇÃO DE MÉDIAS 
 O Teste F é aplicado na Análise de Variância dos delineamentos experimentais. Ele é 
utilizado para comparar variâncias, representando um teste preliminar, cujo resultado 
estabelece se será necessária uma detalhada análise complementar. 
 Se o Teste F levar a conclusão que os tratamentos tem efeitos iguais não é necessário a 
aplicação de um teste de comparação de médias, o que o torna um teste conclusivo. Todavia, 
se o Teste F levar a conclusão de que pelo menos um dos tratamentos tem efeito diferenciado 
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será necessário a aplicação de um teste de comparação de médias, pois neste caso o Teste F 
comporta-se como um teste preliminar. 
Os testes de comparações de médias são utilizados para identificar o (s) tratamento (s) 
que difere (m) estatisticamente entre si. 
 
3.1 Teste de Tukey 
 O Teste de Tukey pode ser utilizado para comparar todo e qualquer contraste 
(comparações entre tratamentos por meio de suas respectivas médias) envolvendo duas 
médias de tratamentos (comparações aos pares). Ou seja, para I tratamentos poderão ser 
estabelecidos ( )


 −
2
1II
 contrastes do tipo Yij = mi – mj, para i ≠ j. 
 O Teste de Tukey baseia-se na Diferença Mínima Significativa (DMS), representada 
por ∆, dada por: 
∆ = qα(n1;n2) sQM
rr ji
Re11
2
1








+ 
em que: 
� ∆ = é a Diferença Mínima Significativa (DMS); 
� q = é o valor da amplitude estudentizada do Teste de Tukey, obtido em tabelas 
adequadas conforme o nível de significância (α); o número de tratamentos (n1) e o 
número de graus de liberdade do resíduo na Análise de Variância (n2). 
 
Caso o número de repetições seja igual entre os tratamentos comparados no contraste 
(ri = rj = r), o cálculo da DMS (∆) pode ser simplificado conforme a expressão: 
∆ = qα(n1;n2)
r
sQM Re
 
 
Para a realização do Teste de Tukey, a um nível de significância α, é necessário: 
 
a) Enunciar as hipóteses: 
H0: mi = mj 
H1: mi ≠ mj , para i ≠ j 
b) Obter as estimativas dos contrastes: jiij mmY
^^^
−= , com base nos valores amostrais; 
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30 
 
c) Calcular a Diferença Mínima Significativa (∆); 
d) Concluir a respeito da significância dos ( )


 −
2
1II
 contrastes em teste, utilizando a 
seguinte relação: 
� Se ∆≥ijY
^
, Rejeita-se H0; 
� Se ∆<ijY
^
, Não Rejeita-se H0. 
A conclusão do Teste de Tukey será única para todos os contrastes que se fizerem 
necessário avaliar: “As médias seguidas por pelo menos uma mesma letra não diferem entre 
si ao nível “α” de probabilidade pelo Teste de Tukey”. 
 
4 – DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADO (DBC) 
 Para a utilização do DIC pressupõe que as unidades experimentais sejam homogêneas, 
bem como estejam durante todo o experimento sob condições completamente homogêneas. Se 
o pesquisador perceber algum fator perturbador a homogeneidade, seja nas unidades 
experimentais ou nas condições ambientais em que serão submetidas às unidades 
experimentais, é necessário que o pesquisador controle o efeito deste fator perturbador. 
Entenda-se como fator perturbador uma fonte de variação indesejável (sistemática) presente 
no experimento. Como exemplo, suponha que o pesquisador deseja comparar o efeito de 
analgésicos em cobaias, no entanto, as cobaias não são da mesma idade. Se o pesquisador 
julgar que o fator idade da cobaia pode influenciar na avaliação dos analgésicos, o mesmo 
deverá controlar tal fator, tendo em vista que o fator idade comportar-se-á como uma fonte de 
variação indesejável (sistemática). 
O controle do efeito do fator perturbador é feito pela formação de grupos, ou seja, 
blocos de unidades experimentais homogêneas, fazendo com que todos os tratamentos em 
estudo sejam avaliados em cada grupo/bloco homogêneo do fator perturbador. No 
Delineamento em Blocos Casualizado (DBC), a distribuição ao acaso dos tratamentos às 
unidades experimentais sofre a restrição de ser feita dentro de cada bloco. Portanto, o DBC 
faz uso dos três princípios básicos da experimentação: repetição, casualização e controle 
local. 
Em experimentos instalados segundo o DBC, espera-se que as condições 
experimentais de um bloco sejam diferentes das condições experimentais do outro bloco, e 
que exista homogeneidade das condições experimentais dentro de cada bloco. 
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31 
 
No DBC o fator perturbador é controlado e tem o seu efeito quantificado, de modo que 
seja possível eliminar tal efeito na análise estatística dos dados experimentais. Caso o 
pesquisador não controle o efeito do fator perturbador por meio da formação de blocos 
homogêneos, o efeito do fator perturbador é absorvido pelo erro experimental. Tal absorção 
tende a provocar um aumento no valor do quadrado médio do resíduo (QMResíduo), o que 
pode acarretar a não identificação de diferenças nos efeitos dos tratamentos, depreciando a 
qualidade/precisão dos resultados experimentais. 
 
4.1 Quadro de tabulação dos dados 
 Considere um experimento instalado no DBC, com I tratamentos e J repetições 
(blocos). A coleta de dados da pesquisa pode ser resumida no quadro a seguir: 
 
 Tratamentos 
Blocos 1 2 ..... I Totais 
1 Y11 Y21 ..... YI1 B1 
2 Y12 Y22 ..... YI2 B2 
..... ..... ..... ..... ..... ..... 
J Y1J Y2J ..... YIJ BJ 
Totais T1 T2 ..... TI G 
 
Deste quadro podem-se retiraras seguintes informações: 
 
• Nº de unidades experimentais: N = I x J 
• Total geral: G = ∑∑
=
=
=
=
I
i
i
JI
j
i
ij TY
1
,
1
1
=∑
=
J
j
jB
1
 
• Total para o tratamento i: Ti = ∑
=
J
j
ijY
1
 
• Total para o bloco j: Bj = ∑
=
I
i
ijY
1
 
• Média para o tratamento i: 
^
im = J
Ti
 
• Média para o bloco j: jm
^
 = 
I
B j
 
• Média geral do experimento: 
^
m = IJ
G
 
 
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4.2 Modelo Estatístico 
 Para o DBC o modelo estatístico é: 
 
Yij = m + ti + bj + eij 
 
em que, 
� Yij = é o valor observado para a variável resposta obtido para o i-ésimo tratamento em 
sua j-ésima repetição (bloco); 
� m = é a média de todos os valores possíveis da variável resposta; 
� ti = é o efeito do tratamento i no valor observado Yij (ti = mi – m); 
� bj = é o efeito do bloco j no valor observado Yij (bj = mj – m); 
� eij = é o erro experimental associado ao valor observado Yij (eij = Yij + m – mi – mj). 
 
4.3 Análise de Variância (ANOVA) 
 Para analisar os dados obtidos no Delineamento em Blocos Casualizado deve-se 
decompor a variação total, que existe entre todas as observações, na variação devido à 
diferença entre os efeitos de blocos, na variação devido à diferença entre os efeitos de 
tratamentos e na variação devido ao acaso, que também é denominada de erro experimental 
ou resíduo, ou seja: 
SQTotal = SQTratamentos + SQBlocos + SQResíduo 
 
As quais apresentam estimadores práticos deduzidos das respectivas somas de 
quadrados: 
SQTotal = 
IJ
Y
Y
JI
ji
ijJI
j
i
ij
2
,
1,1
,
1
1
2
)( ∑
∑ ==
=
=
− 
SQTratamentos = 
IJ
Y
J
T
JI
ji
ijI
i
i
2
,
1,1
1
2 )( ∑
∑ ==
=
− 
SQBlocos = 
IJ
Y
I
B
JI
ji
ijJ
j
j
2
,
1,1
1
2 )( ∑
∑ ==
=
− 
SQResíduo = SQTotal – SQTratamentos – SQBlocos 
 
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O quadro da Análise de Variância (ANOVA) para um experimento instalado no DBC 
é dado a seguir: 
FV GL SQ QM F 
Blocos (J – 1) SQBlocos - - 
Tratamentos (I – 1) SQTrat. 
1−I
SQTrat
 
sQM
QMTrat
Re
 
Resíduo (I – 1)(J – 1) SQRes. 
)1)(1(
Re
−− JI
sSQ
 
Total (IJ – 1) SQTotal - - 
 
Em geral, o interesse na análise de um experimento é avaliar se existe diferença entre 
os tratamentos, o que pode ser verificado por meio do Teste F para tratamentos. 
As hipóteses para o Teste F da Análise de Variância para tratamentos são as seguintes: 
� H0: m1 = m2 = ... = mI = m; O que equivale a dizer que todos os tratamentos 
apresentam efeito médio igual, ao nível “α” de probabilidade que foi realizado o teste; 
� H1: não H0; O que equivale a dizer que existe pelo menos um tratamento que 
apresenta efeito médio diferente dos demais, ao nível “α” de probabilidade que foi 
realizado o teste. 
 
A regra decisória (tomada de decisão/conclusão) para o Teste F é a seguinte: 
� Se o valor do FCalculado for maior ou igual ao valor do FTabelado, então rejeita-se H0. 
Conclui-se que pelo menos um dos tratamentos tem efeito diferenciado, ao nível de 
significância em que foi realizado o teste; 
� Se o valor do FCalculado for menor que o valor do FTabelado, então não rejeita-se H0. 
Conclui-se que os tratamentos tem efeitos iguais, ao nível de significância em que foi 
realizado o teste. 
O Teste F para blocos geralmente é desnecessária, pois ao instalar o experimento no 
DBC o pesquisador utilizou blocos para controlar uma fonte de variação conhecida 
(sistemática). 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1 – Foi montado um experimento no DIC com o objetivo de verificar qual meio de cultura (A, 
B, C e D) propicia maior crescimento de colônias bacterianas. O número de colônias 
bacterianas, 48 horas após a inoculação, é fornecido abaixo: 
Meio de Cultura Nº. de Colônias Bacterianas Totais 
A - 19 31 15 30 95 
B 40 35 46 41 33 195 
C 39 27 20 29 45 160 
D 27 12 13 28 30 110 
 
Considerando o nível de significância de 5%, pede-se: 
a) Proceder a ANOVA; 
b) Obter o Coeficiente de Variação, classificando o experimento; 
c) Obter o Coeficiente de Determinação, interpretando-o; 
d) Aplicar o Teste de Tukey, se necessário. 
 
2 – Os dados abaixo foram obtidos de um experimento conduzido no Delineamento 
Inteiramente Casualizado (DIC). 
6,230ˆ 1 =m ; 2,217ˆ 2 =m ; 9,204ˆ 3 =m ; 9,209ˆ 4 =m ; 3,188ˆ 5 =m 
J = 4 
C.V.(%) = 2,7483% 
 Admitindo o nível de 1% de significância, pede-se: 
a) Proceder ANOVA; 
b) Aplicar o Teste de Tukey, se necessário. 
 
3 – Com a finalidade de aumentar a produção de lã de suas ovelhas, por meio de uma 
alimentação mais apropriada, um criador separou 28 ovelhas de sua criação. Como eram de 
idades diferentes elas foram divididas em sete grupos, de modo que dentro de cada grupo 
existiam quatro ovelhas com idade similar e homogeneidade para as demais características. 
Em cada grupo foi realizado um sorteio para distribuir inteiramente ao acaso quatro tipos de 
alimentação. O experimento iniciou-se no momento de se realizar uma nova tosquia, obtendo 
os seguintes resultados expressos em unidades de medidas de lã por animal: 
 Grupos 
Alimentação 1 2 3 4 5 6 7 Totais 
1 30 32 33 34 29 30 33 221 
2 29 31 34 31 33 33 29 220 
3 43 47 46 47 48 44 47 322 
4 23 25 21 19 20 21 22 151 
Totais 125 135 134 131 130 128 131 914 
 
Avaliar os tipos de alimentação, aplicando o teste de Tukey se necessário. Adotar α = 
1%. 
 
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35 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
1 – Considere as seguintes produções diárias (kg) de leite a 4% de gordura de vacas em 
lactação submetidas à administração de raízes e tubérculos como suplementação de inverno 
na alimentação. 
Sem Suplementação Mandioca Araruta Batata Doce 
19,58 23,40 35,42 22,15 
21,07 22,37 32,47 24,37 
23,43 24,36 34,48 26,54 
25,42 25,12 33,79 20,37 
22,81 22,94 35,04 19,54 
23,54 - 35,19 24,06 
 
a) Ao nível de 5% de significância, concluir a respeito das suplementações utilizadas no 
DIC; 
b) Obter o Coeficiente de Variação; 
c) Obter o Coeficiente de Determinação, interpretando-o. 
 
2 – Para comparar a produtividade de quatro variedades de milho, tomou-se 20 parcelas 
similares e distribuiu, inteiramente ao acaso, cada uma das quatro variedades em cinco 
parcelas experimentais. A partir dos dados fornecidos abaixo, é possível concluir que existe 
diferença significativa entre as variedades com relação à produtividade, utilizando o nível de 
5% de significância. 
 Variedades 
 A B C D 
 25 31 22 33 
 26 25 26 29 
 20 28 28 31 
 23 27 25 34 
 21 24 29 28 
Totais 115 135 130 155 
 
 
3 – Um treinador de corrida rústica, objetivando melhorar o desempenho de seus atletas, 
testou três novas técnicas de preparação. Para tanto trabalhou com um grupo de 15 atletas 
completamente homogêneos para características essenciais. A designação das técnicas de 
preparação aos atletas foi feita totalmente ao acaso, de tal forma que o número de atletas 
avaliados em cada uma das técnicas fosse o mesmo. Os resultados obtidos, após determinado 
período de tempo de aprendizado das técnicas pelos atletas, foram os seguintes: 
 Técnicas de Preparação 
Repetições 1 2 3 
1 130 125 127 
2 129 131 129 
3 128 130 131 
4 126 129 128 
5 130 127 130 
Totais 643 642 645 
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36 
 
 De acordo com os resultados, pede-se: 
a) Quais foram os princípios básicos da experimentação utilizados pelo pesquisador neste 
experimento? 
b) Qual/quem foi a unidade experimental utilizada nesta pesquisa? 
c) É possível concluir que exista diferença entre as técnicas de preparação? (α = 1%) 
d) Qual (is) seria (m) a (s) técnica (s) recomendada (s)? 
 
4 – Com o objetivo de diminuir o consumo dos motores à gasolina, determinada indústria 
petroquímica testou quatro novas formulações de gasolina, as quais se diferenciavam pelo 
tipo de aditivo que era acrescentado à mesma durante o seu processo de fabricação. Para 
efetuar o teste, a indústria petroquímica utilizou carros completamente homogêneos para 
todas as características. A designação das formulações aos carros foi feita inteiramente ao 
acaso. Após os testes de rodagem, os resultados obtidos foram (km/l): 
 Aditivos a base de: 
 Ácido Forte Ácido Fraco Base Forte Base Fraca 
Médias 14,81 6,56 10,06 10,09 
Nº de carros 10 10 10 10 
 Dado: SQResíduo = 6,0264 e α = 5% 
 Com base nas informações fornecidas, pede-se: 
a) Existe diferença entre os quatro tipos de formulações? 
b) Estabeleça um contraste para comparar aditivos de formulação ácida. Obtenha a 
estimativa para este contraste; 
c) Estabeleça um contraste para comparar aditivos de formulação básica. Obtenha a 
estimativa para este contraste. 
 
5 – Com a finalidade de comparar o efeito do tempo de pastejo no desempenho de suínos, 
foram comparados 16 animais com características similares distribuídos em três tempos. Os 
ganhos de peso (kg) no final do experimento são dados a seguir: 
Tempos Ganhos de Peso (kg) 
4 h 7,12 6,91 6,80 6,72 6,34 6,45 
6 h 8,45 8,53 9,02 8,94 8,35 - 
8 h 6,58 7,04 7,15 7,38 7,23 - 
 Existe algum tempo de pastejo no qual o ganho de peso médio diferiu dos demais ao 
nível de 5% de significância? 
 
6 – Dez reprodutores foram separados em dois grupos independentes e alimentados com 
rações diferentes, obtendo-se os seguintes ganhos de peso (kg): 
Ração A 5,0 6,0 7,0 4,0 3,0 
Ração B 8,0 9,0 6,0 7,0 10,0 
 Verificar se as rações influenciam no ganho de peso, ao nível de 5% de significância, 
utilizando a análise de variância para experimentos inteiramente casualizados. Concluir a 
respeito das duas rações fornecidas. 
 
7 – Com o objetivo de avaliar a utilização de farelo bruto foi realizado um experimento 
inteiramente ao acaso com duração de 28 dias, composto de quatro tratamentos e cinco 
IC283 – Bioestatística e IC284 – Estatística Experimental 
Professor Marcelo Jangarelli – DEMAT – ICE - UFRRJ 
37 
 
repetições por tratamento. Cada parcela foi constituída de 50 pintos de um dia de idade, da 
linhagem “Ross”, sendo 25 machos e 25 fêmeas. Os resultados dos ganhos de peso médio por 
parcela são dados a seguir: 
0% de Farelo 10% de Farelo 20% de Farelo 30% de Farelo 
0,60 0,82 0,79 0,82 
0,62 0,85 0,83 0,81 
0,61 0,78 0,82 0,79 
0,64 0,79 0,81 0,80 
0,63 0,80 0,82 0,79 
 Ao nível de 5% de significância qual (is) tratamento (s), em média, propiciou (aram) o 
maior ganho de peso? 
 
8 – Para os dados fornecidos a seguir aplicar o teste de Tukey e concluir adequadamente (α = 
5%). 
3701
^
=m 3382
^
=m 3803
^
=m 3204
^
=m 3255
^
=m 3676
^
=m 
∆ = 33 
 
9 – Com os dados abaixo, oriundos do delineamento inteiramente casualizado (DIC), aplicar o 
teste de Tukey e concluir ao nível de 5% de probabilidade. 
r1 = r2 = r3 = 4 r4 = r5 = 5 ∑ =
ji
ijY
,
2 51,446.22 
T1 = 120,6 T2 = 130,7 T3 = 140,8 T4 = 180,6 T5 = 115,6 
 
10 – Aplicar o teste de Tukey às comparações múltiplas obtidas com as médias dos 
tratamentos de um experimento realizado no delineamento inteiramente casualizado (DIC). 
Concluir para o nível de 1% de probabilidade. 
SQResíduo = 438,8631 r1 = r2 = r3 = 4 r4 = r5 = 3 
6,2301
^
=m 2,2172
^
=m 9,2043
^
=m 9,2094
^
=m 3,1885
^
=m 
 
11 – Em uma propriedade agrícola foi realizado um experimento com cinco empregados. Eles 
realizaram a pulverização de cinco áreas (uma área/empregado) com pulverizadores costais 
manuais (em condições iguais). No fim de cada turno de trabalho foi avaliado o consumo do 
pulverizador por empregado, obtendo, para 10 turnos, as seguintes médias (consumo em 
litros/100m2): 
11,21
^
=m 51,22
^
=m 87,13
^
=m 23,24
^
=m 80,15
^
=m 
 Sabendo-se que a SQTotal = 235,51. Qual (is) empregado (s) apresentou (aram) maior 
(es) consumo (s) em seu pulverizador ao nível de 5% de significância? Se necessário, utilizar 
o teste de Tukey. 
 
12 – Um experimento para avaliar a influência de quatro tipos de aleitamento, no ganho de 
peso de leitões, foi conduzido utilizando o delineamento inteiramente casualizado com quatro 
repetições. Foram obtidos os seguintes resultados: 
 
IC283 – Bioestatística e IC284 – Estatística Experimental 
Professor Marcelo Jangarelli – DEMAT – ICE - UFRRJ 
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Tratamentos 1 2 3 4 
Totais 37,2 44,8 31,6 32,8 
Quadro da ANOVA 
F.V. G.L. SQ QM F 
Tratamento 
Resíduo 
Total 33,82 
 Completar o quadro da ANOVA e, considerando α = 1%, responder: Qual(is) o(s) 
melhor(es) tipo(s) de aleitamento? (Utilizar o teste de Tukey, se necessário) 
 
13 – Foi realizado um experimento utilizando o delineamento inteiramente casualizado para 
comparar a produtividade de cinco variedades de mandioca. Os resultados foram: 
Variedades 
1 2 3 4 5 
9,1 11,5 8,2 14,2 15,2 
6,8 13,7 11,1 10,9 16,1 
11,3 14,1 6,2 13,1 11,1 
10,4 8,9 15,7 11,4 14,4 
11,4 16,1 11,7 
a) Efetuar a análise de variância e concluir para α = 5%; 
b) Para recomendar a(s) variedade(s) mais produtiva(s) é necessário aplicar algum teste 
de médias? Justificar sua resposta. 
 
14 – Com a finalidade de aumentar a produção de lã de suas ovelhas, por meio de uma 
alimentação mais apropriada, um criador separou 28 ovelhas de sua criação. Como as ovelhas 
eram de idades diferentes, elas foram divididas em sete grupos, sendo que dentro de cada um 
destes grupos existiam quatro ovelhas da mesma idade e homogeneidade para as demais 
características. Em cada grupo foi realizado um sorteio para distribuir, inteiramente ao acaso, 
os quatro tipos de alimentação (TA) às ovelhas do grupo. O experimento iniciou-se no 
momento de se realizar uma nova tosquia, da qual se obteve os seguintes resultados, 
expressos em unidade de medida de lã por animal: 
 Grupos 
TA 1 2 3 4 5 6 7 Totais 
1 30 32 33 34 29 30 33 221 
2 29 31 34 31 33 33 29 220 
3 43 47 46 47 48 44 47 322 
4 23 25 21 19 20 21 22 151 
Totais 125 135 134 131 130 128 131 914 
 
Com base nas informações anteriores, pede-se: 
a) Qual o tipo de delineamento experimental utilizado pelo criador? Justificar sua 
resposta. 
b) Existe diferença entre os tipos de alimentação fornecidos às ovelhas? (α = 1%) 
c) Com base no teste de Tukey, qual (is) seria (m) o (s) tipo (s) de alimentação a ser (em) 
recomendado (s) às ovelhas? 
d) Calcular o coeficiente de variação do experimento. 
IC283 – Bioestatística e IC284 – Estatística Experimental 
Professor Marcelo Jangarelli – DEMAT – ICE - UFRRJ 
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15 – Um experimento no DBC forneceu os dados abaixo: 
 Blocos 
Tratamentos 1 2 3 4 Totais 
1 142,36 144,78 145,19 138,88 571,21 
2 139,28 137,77 144,44 130,61 552,10 
3 140,73 134,06 136,07 144,11 554,97 
4 150,88 135,83 136,97 136,36 560,04 
5 153,49 165,02 151,75 150,22 620,48 
Totais 726,74 717,46 714,42 700,18 2.858,80 
Para o nível de 5% de significância, pede-se: 
a) ANOVA; 
b) Teste de Tukey, se necessário. 
 
16 – Com o objetivo de