5 Pontos, Direções e Planos Cristalograficos v18.03.2015

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5 – Pontos, Direções e Planos Cristalográficos
Prof. Carlos Angelo Nunes
Disciplina : Ciência dos Materiais
LOM 3013 – 2015M1
Foram estabelecidas convenções para designar as localizações de pontos, direções e planos no interior de uma célula unitária.
A base para determinação dos valores dos índices é a célula unitária com um sistema de coordenadas, que consiste em três eixos (x,y,z) com origem em um dos vértices e coincidentes com as arestas da célula unitária.
Coordenadas dos pontos
A posição de qualquer ponto localizado no interior de uma célula unitária pode ser especificada em termos das suas coordenadas na forma de múltiplos fracionários dos comprimentos das arestas das células unitárias (isto é, em termos de a, b e c).
O que significa um ponto de coordenadas ¼ 1 ½ ?
Especifique as coordenadas dos pontos para todas as posições atômicas em uma célula unitária CCC.
Direções Cristalográficas
As seguintes etapas são consideradas para determinação dos índices direcionais:
1- Um vetor com comprimento conveniente é posicionado de maneira tal que ele passe através da origem do sistema de coordenadas;
2- São determinados os comprimentos das projeções do vetor sobre cada um dos três eixos; esses são medidos em termos das dimensões a, b e c da célula unitária;
3- Esses três números são multiplicados ou divididos por um fator comum, para reduzi-los aos menores valores inteiros;
4- Os três índices, sem separação por vírgulas, são colocados entre colchetes: [uvw]. 
Pode haver índices negativos?
Para algumas estruturas cristalinas, várias direções não paralelas com índices diferentes são cristalograficamente equivalentes; isso significa que o espaçamento entre os átomos ao longo de cada direção é o mesmo.
As direções abaixo são cristalograficamente equivalentes no sistema cúbico.
As direções [100] e [001] são equivalentes nos cristais com simetria tetragonal?
Cristais Hexagonais : Utilização de um sistema de coordenadas com quatro eixos, ou de Miller-Bravais.
Os três eixos a1, a2 e a3 estão contidos em um único plano (chamado plano basal) e formam ângulos de 120o entre si. O eixo z é perpendicular a esse plano basal.
Conversão do sistema de três índices para o sistema de quatro índices:
Em todos os sistemas cristalinos, à excessão do sistema hexagonal, os planos cristalográficos são especificados por três índices de Miller na forma (hkl). Quaisquer dois planos paralelos entre si são equivalentes e possuem índices idênticos.
O procedimento utilizado para determinar os valores dos índices h, k e l é o seguinte:
1- Se o plano passa através da origem que foi selecionada, ou outro plano paralelo deve ser construído no interior da célula unitária mediante uma translação apropriada, ou uma nova origem deve ser estabelecida no vértice de outra célula unitária.
2- Desse modo, ou o plano cristalográfico intercepta ou ele é paralelo a um dos três eixos; o comprimento da interseção planar a cada eixo é determinado em termos dos parâmetros da rede a, b, c.
Planos Cristalográficos
3- Os valores inversos desses números são obtidos. Um plano paralelo a um eixo pode ser considerado como tendo uma interseção no infinito e portanto, um índice igual a zero.
4- Se necessário, esses três números mudados para o conjunto de menores números inteiros pela multiplicação ou divisão por um fator comum.
5- Finalmente, os índices inteiros, não separados por vírgula, são colocados entre parênteses.
Planos Cristalográficos
z
x
y
a
b
c
4. Indices de Miller (110)
Exemplo:
a b c
z
x
y
a
b
c
4. Índices de Miller (100)
1. Interceptos
1 1 
2. Reciprocos
1/1 1/1 1/
1 1 0
3. Redução
1 1 0
1. Interceptos
1/2  
2. Reciprocos
1/½ 1/ 1/
2 0 0
3. Redução
2 0 0
Exemplo:
a b c
Planos Cristalográficos
11
z
x
y
a
b
c
4. Indices de Miller (634)
Exemplo:
1. Interceptos
1/2 1 3/4
a b c
2. Reciprocos
1/½ 1/1 1/¾
2	1 4/3
3. Redução 
6	3 4
Planos Cristalográficos
12
Planos Cristalográficos
O arranjo atômico para um plano cristalográfico, que frequentemente é de interesse, depende da estrutura cristalina
Uma família de planos contém todos os planos que são cristalograficamente equivalentes, ou seja, aqueles que tem o mesmo empacotamento atômico.
Quais os planos da família {100} da estrutura cristalina tetragonal?
Densidade Linear (DL)
OBS. Em relação ao número de átomos, é necessário levar em consideração o compartilhamento dos átomos com as células unitárias adjacentes.
ex: densidade linear do Al na direção [110]
		a = 0.405 nm
a
[110]
# atoms
Comprim.
1
3.5 nm
a
2
2
DL
-
=
=
15
Densidade Planar (DP)
Solução:  Para T < 912ºC o ferro tem estrutura CCC.
(100)
raio do ferro R = 0.1241 nm
R
3
3
4
a
=
2D Célula
= 
Dens. Planar = 
a
2
1
átomos
2D célula
= 
nm2
átomos
12.1
m2
átomos
= 1.2 x 1019 
1
2
R
3
3
4
área
2D célula
Densidade Planar do Fe: Plano (100)
17
1 átomo no plano / célula
3
3
3
2
2
R
3
16
R
3
4
 
2
a
3
ah
2
área
=


ø
ö
ç
ç
è
æ
=
=
=
Átomos no plano
Átomos acima do plano
Átomos abaixo do plano
a
h
2
3
=
a
 
2
2D célula
1
= 
= 
nm2
átomos
7.0
m2
átomos
0.70 x 1019
3
2
R
3
16
Dens. Planar = 
átomos
 2D célula
area
 2D célula
Densidade Planar do Fe: Plano (111)
18
Estruturas Cristalinas Compactas
CFC e HCP : Fator de empacotamento = 0,74.
Estas duas estruturas podem ser descritas em termos de empilhamento de planos compactos. A diferença entre as duas está na sequência desse empilhamento.
HCP: ABABABAB.....
CFC: ABCABCABC.......
Estruturas Cristalinas Compactas
Estruturas Cristalinas Compactas
example
a1 a2 a3 c
4. Miller-Bravais Indices
(1011)
1. Intercepts
1 
-1
1
2. Reciprocals
1 1/
1 0 
-1
-1
1
1
3. Reduction
1 0
-1
1
a2
a3
a1
z
24