Análise dimensional e semelhança

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ANANÁÁLISE DIMENSIONAL LISE DIMENSIONAL 
E SEMELHANE SEMELHANÇÇAA
((FoxFox, , BennettBennett e e MunsonMunson))
Análise dimensional é um método para transformar problemas físicos 
complexos em problemas mais simples (e, normalmente, de forma 
mais econômica) antes de obter uma resposta quantitativa.
Para tanto, utiliza-se homogeneidade dimensional, visando diminuir o 
número de variáveis envolvidas.
A análise dimensional é utilizada para: 
- Avaliação de dados experimentais,
- Resolução de problemas cuja solução analítica é complexa, 
- Avaliação da importância de um dado fenômeno em relação aos 
outros presentes; etc.
Análise dimensional
Semelhança
Vários problemas de Engenharia → poucas resoluções exclusivamente por 
análise teórica ⇒ muito comum os estudos experimentais. 
Métodos analíticos: limitações associadas às simplificações necessárias para 
resolução das equações diferenciais,
- Detalhamento: alta complexidade, custo elevado. 
→ experimentos envolvendo o próprio equipamento ou réplicas perfeitas
→ na maioria das vezes usam-se modelos em escala
→ necessidade de planejamento (controlar tempo, ser objetivo, reduzir custos 
dos experimentos)
→Artigo no Scientific American (1991): analisou a velocidade de dinossauros a partir 
dos dados: comprimento médio das pernas (l) e comprimento médio dos passos (s) 
dos dinossauros (como?!?)
→ Comparação de dados de l e s de quadrúpedes (cavalos, cachorros, gatos...) e 
bípedes (humanos, aves, etc.) → nenhuma conclusão.
→ Análises posteriores: gráfico de s/l em função de v2/g l (onde v é a velocidade do 
animal) → para a maioria dos animais os dados caíam aproximadamente sobre uma 
mesma curva!
→ Assim, usando a razão s/l dos dinossauros e entrando no gráfico citado, obteve-se 
um valor para v2/g l que permitiu a estimativa da velocidade dos dinosssauros.
ANÁLISE DIMENSIONAL
→ Surgem as questões: 
• Será que dá para usar esse artifício também em outras áreas?
• Se sim, como são obtidos esses grupamentos adimensionais “mágicos” que 
permitem esse tipo de correlação?
• Grupamentos como número de Reynolds e outros grupos importantes na 
mecânica dos fluidos podem ser envolvidos em estudos semelhantes e trazem em 
si algum significado físico?
• O estudo de um dado fenômeno em um protótipo pode ser ampliado para uma 
escala maior fazendo uma mera regra de três?
→ A maioria dos fenômenos em mecânica dos fluidos apresenta dependência 
complexa de parâmetros geométricos e do escoamento ⇒ análise dimensional: 
importante ferramenta.
ANÁLISE DIMENSIONAL
QUEDA DE PRESSÃO EM TUBULAÇÃO (POR COMPRIMENTO DE TUBO)
→ Escoamento em regime permanente, incompressível, de um fluido newtoniano em 
tubo longo, horizontal e parede lisa: uso de dados experimentais
→ No projeto da tubulação: queda de pressão no escoamento por comprimento de 
tubo → apesar de simples, não pode ser resolvido sem o uso de dados experimentais.
Planejamento experimental: identificar parâmetros que contribuam, de forma 
significativa, com a queda de pressão:
Tomar cuidado com a possibilidade de não se incluir parâmetros que interfiram na 
queda de pressão numa tubulação (como a rugosidade do tubo, por ex.). A equação 
obtida vai funcionar bem para, por exemplo, tubos lisos.
)v,,,D(fP µρ=∆
Quais e quantos experimentos devem ser realizados para determinar a queda de 
pressão no tubo?
Entenda-se ∆P como sendo queda 
de pressão por comprimento de 
tubulação.
→ Considerando a relação acima, poderíamos definir experimentos variando cada 
parâmetro individualmente, ou seja, faríamos experimentos variando apenas D, depois 
ρ, em seguida µ e finalmente, v. Dessa forma, o número de experimentos é colossal. 
Se fizéssemos um estudo envolvendo 10 diâmetros diferentes, 10 fluidos com ρ
diferentes, mais 10 com µ e mais 10 com vazões diferentes, chegaríamos num total de 
104 experimentos. Estimando que cada experimento dure 30 min, levar-se-ia 2 anos e 
meio (trabalhando 40 h por semana) para finalizá-los. Em seguida, viria a etapa de 
tratamento dos dados, que também seria complexa: como traçaríamos gráficos de ∆P 
em função de v tendo D, ρ e µ como parâmetros?
→ Felizmente não é necessário todo esse esforço. Será mostrado que é possível obter 
uma relação simples entre ∆P e os parâmetros citados, agrupando as variáveis em dois 
grupos adimensionais:
→ Portanto, pode-se trabalhar com dois grupos adimensionais ao invés de 
analisarmos os 5 parâmetros. A figura a seguir mostra como é possível relacionar os 
resultados usando uma única curva. Note que essa curva é válida para qualquer 
combinação de tubo (parede lisa) e fluido (incompressível e newtoniano). Todos os 
experimentos podem, por exemplo, ser realizados usando um único tubo de diâmetro 
D, um único fluido e variando apenas a vazão, o que minimiza os custos. Dessa 
forma, o tempo gasto seria mínimo.
 
2v
PD
ρ
∆
 
µ
ρVD






µ
ρ
=
ρ
∆ Dvf
v
PD
2
� QUEDA DE PRESSÃO SOBRE UMA PLACA TRANSVERSAL
→ Queda de pressão sobre uma placa transversal dentro de uma tubulação.
→ Identificação dos parâmetros que interferem no cálculo da queda de pressão: 
Grupos adimensionais que se mostraram representantes do fenômeno: 
Nesse caso, os experimentos podem envolver uma única placa e um único fluido, 
variando-se apenas a vazão e o h.
→ Forma gráfica: os resultados experimentais podem incluir experimentos de 
vários pesquisadores, envolvendo fluidos e tubulações diferentes.
Placa
deslizante
)h,d,,,V(fp µρ=∆






µ
ρ
=
ρ
∆
d
h
,
dVf
V
p
2
� FORÇA DE ARRASTE SOBRE UMA ESFERA
→ Considere a força de arraste sobre uma esfera lisa, estacionária, imersa em uma 
corrente uniforme.
→ Identificação dos parâmetros que interferem no cálculo da força de arraste: 
Grupos adimensionais representantes do fenômeno: 
Nesse caso, os experimentos podem envolver uma única esfera e um único fluido, 
variando-se apenas a vazão.
Forma gráfica: os resultados experimentais podem incluir experimentos de vários 
pesquisadores, envolvendo fluidos e esferas diferentes.






µ
ρ
=
ρ
Dvf
Dv
F
22
)v,,,D(fF µρ=
v vv
→ Esse gráfico pode ser usado para calcular o arraste sobre um balão de ar
quente em uma corrente de vento ou para estimar o arraste sobre uma hemácia
(considerando que se aproxima de uma esfera) movendo-se através da aorta.
Teorema pipipipi de Buckingham
→ Dado um problema físico onde o parâmetro dependente q1 (seria o ∆P ou o F dos 
problemas anteriores) é uma função de n-1 parâmetros denominados q2, q3, q4....qn
(como D, ρ, µ, v, etc.) pode-se escrever que:
q1 = f(q2, q3, q4....qn), ou ainda:
g(q1, q2, q3, q4....qn) = 0
onde g é uma função diferente de f, ou seja, no caso do arraste na esfera:
F = f (D, ρ, µ, v), ou poderíamos escrever
g (F, D, ρ, µ, v) = 0
→ Segundo o teorema pi de Buckingham, dada uma relação entre n parâmetros, da 
forma g (q1, q2, q3, q4....qn) = 0, os n parâmetros podem ser agrupados em n-m razões 
adimensionais independentes, ou parâmetros pi expressos na forma:
G(pi1, pi2, .... pin-m) = 0 ou
pi1 = G’(pi2, pi3, .... pin-m)
mas, quem é m?
→ O número m é, em geral (mas não sempre) igual ao número mínimo de dimensões 
independentes, necessárias para especificar os parâmetros q1, q2, q3, q4....qn.
→ Conjunto de grandezas fundamentais (primárias): sistemas MLT ou FLT
MLT (massa, comprimento, tempo): força é grandeza secundária
FLT (força, comprimento, tempo): massa é grandeza secundária
→ A relação funcional entre os parâmetros adimensionais independentes pi, deve ser 
obtida experimentalmente.
→ Os n-m parâmetros pi obtidos segundo esse procedimento são independentes. Um 
parâmetro pi não é independentese ele puder ser formado por um produto ou 
quociente dos outros parâmetros do problema. 
DETERMINAÇÃO DOS GRUPOS pipipipi
Segundo FOX
Sobre a escolha das variáveis (MUNSON):
Obs.: a escolha das variáveis repetentes deve, de preferência, também 
contemplar os seguintes aspectos:
• variáveis mensuráveis, 
• que sejam bons parâmetros de projeto 
• quando combinadas contêm todas as dimensões M, L e T.
(Munson)
GRUPOS ADIMENSIONAIS USUAIS NA MECÂNICA DOS FLUIDOS
�Número de Reynolds (Re): Reynolds (1842-1912) demonstrou pela primeira vez 
que a combinação de variáveis poderia ser usada como um critério para a distinção 
entre escoamento laminar e turbulento.
→ Se Re <<1 (creeping flow) as forças viscosas são dominantes e é possível desprezar 
os efeitos de inércia. Nesses casos, a massa específica do fluido não será uma variável 
importante. Se Re for muito alto, efeitos viscosos pequenos em relação aos efeitos de 
inércia (pode-se desprezar os efeitos da viscosidade: escoamento invíscido).
Número de Froude (Fr): único grupo da tabela que envolve a aceleração da 
gravidade.
onde L é o comprimento característico. Fr é importante na maioria dos escoamentos 
que apresentam superfície livre. É usado para determinar a resistência de um objeto 
parcialmente submerso movendo-se através da água e permite a comparação de objetos 
de diferentes tamanhos. O escoamento de água ao redor de um navio (com a ação das 
ondas resultantes do movimento do navio) e os que ocorrem nos rios e canais abertos 
são bons exemplos. 
 viscosasforças
inércia de forçasDvRe =
µ
ρ
=
nais)gravitacio (forças fluido do peso
corpo do inércia de forças
gL
v
 
gL
vFrou 
gL
vFr
22
2
=
ρ
ρ
===
�Número de Euler (Eu): dados de pressão na forma adimensional.
Também chamado de coeficiente de pressão, Cp.
No estudo dos fenômenos de cavitação a diferença de pressão, ∆p, é tomada como ∆p = p –
pv, onde p é a pressão na corrente (pressão de referência) e pv é a pressão de vapor do fluido 
na temperatura do escoamento:
- quanto menor o número de cavitação (Ca), maior a probabilidade de ocorrer cavitação. 
Esse fenômeno é (normalmente) indesejável.
�Número de Cauchy e Mach (mais usado): quando a compressibilidade do fluido é
significativa. 
c = velocidade do som e Eν = módulo de elasticidade
A velocidade do som é a maior velocidade com a qual uma “informação” mecânica pode se propagar 
em um fluido. Quando uma perturbação no fluido se move a uma velocidade maior que a do som, 
ocorrem as ondas de choque.
Quando Ma < 0,3 as forças de inércia presentes no escoamento não são suficientemente grandes para 
causar uma variação significativa na massa específica do fluido e nesses casos os efeitos de 
compressibilidade podem ser desprezados. 
inércia de forças
pressão de forças
 
v
pEuou 
v
pEu 22 =ρ
∆
=
ρ
=
 
v
ppCa 2
v
ρ
−
=
c
v
 
E
 v Ma e 
ilidadecompressib de forças
inerciais forças
E
vCa
2
=
ρ
==
ρ
=
νν
módulo elasticidade volumétrico: 
mede a resistência à compressão 
uniforme, ou seja, indica o 
aumento da pressão necessário 
para causar certa diminuição no 
volume de fluido.
�Número de Strouhal: é um parâmetro adimensional importante nos problemas 
transitórios (aceleração local) que apresentam oscilações com freqüência w.
(aceleração local/aceleração convectiva)
Escoamento tipo transitório pode ser desenvolvido quando um fluido escoa em torno 
de um corpo colocado em um escoamento. O número de Strouhal mede a freqüência 
de formação dos vórtices de Von Karmann na esteira do corpo.
Ex.: um escoamento transitório se forma na região traseira de um cilindro colocado 
num escoamento uniforme. Esse escoamento oscilatório apresenta uma freqüência ω. 
Nesse caso, o número de Strouhal pode ser bem correlacionado com o Re.
SEMELHANÇA DE ESCOAMENTOS E ESTUDOS DE MODELOS
•Modelos: muito usados na mecânica dos fluidos 
→ maior parte dos projetos de engenharia envolvem estruturas, aviões, navios, 
portos, barragens, emissões em ar e água, etc. frequentemente utilizam modelos.
→ vamos nos restringir a modelos físicos → parecem com o protótipo (sistema 
real) mas apresentam tamanho diferente, podem estar envolvidos por fluidos 
diferentes e sempre operam sob condições diferentes: pressão, velocidade, etc.
 
escoam. no pto a pto e velocidadde variaçãoà devidas inércia de forças
escoamento do iedade transitorà devidas inércia de forças
 
v
lSt =ω=
A solução do escoamento de fluidos em torno de corpos rombudos é muito 
importante para a engenharia devido às suas aplicações em situações reais como 
risers de plataformas de petróleo e pilares de pontes. O escoamento que apresente 
número de Reynolds superior a 45 induz o aparecimento de vórtices logo após o 
corpo bojudo, formando a esteira de vórtices de von Karmann. O corpo fica então 
sujeito a forças dinâmicas fazendo com que o mesmo vibre com freqüências 
associadas às freqüências com que se desprendem os vórtices. Outro exemplo é o 
conjunto de redemoinhos que objetos como barcos deixam para trás, no mar. 
Conforme o barco se move, ele divide a água em dois. E quando ela se reúne 
novamente, cria esse padrão de vórtices.
O fenômeno também atinge o projeto de prédios altos, chaminés e periscópios de 
submarinos, por exemplo, que têm que lidar com o fenômeno. Conforme essa 
força chega, as estruturas vibram fortemente.
•Teste de modelo: deve resultar em dados que possam, por mudança de escala, 
fornecer forças, momentos, cargas dinâmicas, etc.
•Modelo: normalmente menor que o protótipo (menos custoso construir e operar). 
Mas, o protótipo pode tb ser muito pequeno (uso de modelo maior). 
•Com o desenvolvimento de um modelo adequado é possível predizer, sob certas 
condições, o comportamento do protótipo.
•Que condições devem ser atendidas para assegurar a semelhança entre os 
escoamentos de modelo e de protótipo?
→modelo e protótipo devem ser geometricamente semelhantes → ambos têm a 
mesma forma e as dimensões lineares do modelo são relacionadas com as 
correspondentes dimensões do protótipo por um fator de escala constante
→protótipo e modelo devem ser cinematicamente semelhantes: apresentam o 
mesmo regime de escoamento. Como as fronteiras sólidas formam as linhas de 
corrente de contorno do sólido, escoamentos cinematicamente semelhantes 
devem ser também geometricamente semelhantes. 
→protótipo e modelo devem ser dinamicamente semelhantes: ambos apresentam 
a mesma distribuição de forças. Todas as forças devem ser relacionadas pelo 
mesmo fator de escala.
TEORIA DOS MODELOS
• pode ser desenvolvida a partir da análise dimensional: qualquer problema pode ser 
descrito em função de um conjunto de termos pi
• formulação do problema: conhecimento da natureza geral do fenômeno físico e das 
variáveis relevantes do fenômeno
assim, - para o protótipo: pi1 = f(pi2, pi3, .... pin)
- para o modelo (m): pi1,m = f(pi2,m, pi3,m, .... pin,m)
nesse caso, a forma da função será a mesma desde que os fenômenos envolvidos no 
protótipo e no modelo sejam os mesmos.
• Uma igualdade dos grupos adimensionais para protótipo e modelo define a relação 
entre as variáveis, já que a função f é a mesma entre eles:
pi1,m = pi1 pi2,m = pi2 pi3,m = pi3 ......
Exemplo: Considere o problema de arraste sobre uma esfera: F = f (D, v, ρ, µ)
Pelo teorema pi de Buckingham obteve-se: 






=
µ
ρ
ρ
vD
 
v
F
122 fD
protótipo
22
modelo
22 v
F
 
v
F






=





DD ρρ
22
p
p
22
m
m
v
F
 
v
F
ppmm DD ρρ
=
2
m
p
2
m
p
mP D
D
v
v
F F 











=m
p
ρ
ρ
p
p
m
m
µ
ρ
µ
ρ ppmm Dv
 
Dv
=
 
D
D
v
v
p
m
m
p
m
p
p
m
µ
µ
ρ
ρ
=
2
m
p
2
p
m
mP D
D
D
DF F 













=
m
p
p
m
m
p
µ
µ
ρ
ρ
ρ
ρ
2
mP F F 





=
m
p
p
m
µ
µ
ρ
ρ
Pela teoria dos modelos: 
⇒
⇒
Remodelo = Reprotótipo
Assim, 
e
⇒
SEMELHANÇA BASEADA NAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
→ Análise dimensional: requer apenas o conhecimento das variáveis que influenciam 
o fenômeno que se deseja analisar.
→ Omissão de uma ou mais variáveis: pode provocar erros sérios de projeto
→ Abordagem alternativa: analisar equações que descrevem o fenômeno desde que 
conhecidas (normalmente essas equações são diferenciais).
→ Nesse caso: é possível desenvolver as leis de semelhança a partir das equações que 
descrevem o fenômeno (mesmo sabendo que pode ser impossível obter uma solução 
analítica das equações).
→ Para ilustrar essa possibilidade: considere o escoamento bidimensional 
incompressível de um fluido Newtoniano com viscosidade constante. As equações 
que regem esse fenômeno são:
o Equação da continuidade: (1)
o Equações de Navier-Stokes:
(2)
→ Equações de difícil solução para a maioria dos escoamentos. A equação (1) tem 
dimensão de (tempo)-1 e as equações (2) tem dimensões de força/volume.
→ Transformando as equações acima em equações adimensionais: 
o Eq. (1): dividir todos os comprimentos por um comprimento de referência L
o Eq. (2): dividir todas as velocidades por uma velocidade de referência v
∞
(normalmente adota-se a velocidade da corrente livre). 
o dividir a pressão por duas vezes a pressão dinâmica da corrente livre.
o denotar por asterístico as variáveis adimensionais:
o exemplos de procedimentos de adimensionalização:
( )
( )
( ) 2
2
222
2
2
*y
*u
L
v
*y
*u
*yL
v
L.*y
v.*u
L.*yy
u
yy
u
*x
*u
*u
L
v
)L.*x(
)v.*u(
v.*u
x
u
u
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=





∂
∂
∞∞∞
∞∞
∞
o seguindo esse procedimentos, as equações (1) e (2) ficam:
L/v
∞
L/v2
∞
ρo dividindo a primeira equação por e as duas seguintes por 
0
*y
*v
*x
*u
=
∂
∂
+
∂
∂






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
∞
2
2
2
2
*y
*u
*x
*u
Lv*x
*P
*y
*u
*v
*x
*u
*u
ρ
µ






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−−=
∂
∂
+
∂
∂
∞∞
2
2
2
2
2
*y
*v
*x
*v
Lv*y
*P
v
gL
*y
*v
*v
*x
*v
*u
ρ
µ
o analisando essas equações observa-se que aparecem coeficientes 
adimensionais nas equações de N-S: 
→ - identificado como o inverso do nº de Reynolds → em frente ao 
termo associado a forças viscosas
→ - no termo da força da gravidade (associado ao nº de Froude)
Lv
 
∞
ρ
µ
 
v
gL
2
∞
o Lembrando: a forma matemática da solução das equações é muito sensível aos 
valores dos coeficientes das equações (por ex., certas equações diferenciais 
parciais podem ser elípticas, parabólicas ou hiperbólicas, dependendo dos 
valores dos coeficientes).
o Com base nas equações obtidas: a solução (configuração real do escoamento) 
depende de 2 coeficientes → por ex.: se Re for muito grande ( µ/(ρv
∞
D) muito 
pequeno) as diferenciais de segunda ordem podem ser desconsideradas (pelo 
menos na maior parte do escoamento, pois sempre haverá uma camada limite 
onde os efeitos viscosos serão importantes) e caímos nas equações de Euler.
o Obs.: muito cuidado em desconsiderar derivadas de ordem superior mesmo que 
seus coeficientes sejam pequenos, pois isso significa a perda de uma condição de 
contorno (especialmente a condição de não escorregamento)
ser grande ou pequeno permite prever se as forças da gravidade serão 
significativas ou não, respectivamente.
o A escrita das equações na forma adimensional pode auxiliar na compreensão do 
fenômeno físico e na identificação das forças dominantes. 
o Para que dois escoamentos sejam geometricamente semelhantes, mas em escalas 
diferentes (por ex., um modelo e um protótipo) as equações somente levam a um 
mesmo resultado matemático se os dois escoamentos tiverem os mesmos coeficientes, 
ou seja, apresentarem a mesma importância relativa da gravidade, viscosidade e das 
forças de inércia.
 
v
gL
2
∞