Revisão Mecânica dos Fluidos

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Objetivos 
 
• Estabelecer a conceituação e os 
elementos básicos de Mecânica dos 
Fluidos. 
 
• Possibilitar a identificação e a 
manipulação algébrica dos princípios 
básicos de Mecânica dos Fluidos. 
 
Equações básicas 
 
A análise de qualquer problema em 
mecânica dos fluidos começa, 
necessariamente, seja de modo direto ou 
indireto, com declarações das leis básicas 
que regem o movimento dos fluidos. As leis 
básicas, aplicadas a qualquer fluido, são: 
 
• A conservação da massa. 
 
• A segunda lei de Newton para o 
movimento. 
 
• O princípio da quantidade de 
movimento angular. 
 
• A primeira lei da termodinâmica. 
 
• A segunda lei da termodinâmica. 
 
Nem todas as leis básicas são necessárias 
para resolver qualquer problema. Por outro 
lado, em muitos deles é necessário relações 
adicionais como a equação de estado. 
 
Definição 
 
Fluido: 
 
Quando uma tensão de cisalhamento é 
aplicada, veja Figura 1: 
 
 
• O fluido se deforma continuamente. 
 
• O sólido se deforma, mas não 
continuamente. 
 
 
Figura 1. Deformação de sólido e de fluido. 
 
• O fluido existe nos estados 
termodinâmicos: líquido, vapor ou 
gás. 
 
Fluido como contínuo: 
 
• Os fluidos são compostos de 
moléculas em constante movimento. 
 
• 1 mol de gás contém 1023 moléculas, 
não é possível simular a trajetória de 
cada molécula. No entanto é possível 
medir os efeitos macroscópicos de 
muitas moléculas: velocidade, 
pressão, temperatura, etc. 
 
• O conceito do contínuo é a base da 
mecânica dos fluidos clássica, 
deixando de lado o comportamento 
individual das moléculas. 
 
• O conceito falha quando a trajetória 
livre das moléculas se torna da 
mesma ordem de grandeza da 
dimensão significativa do problema. 
 
 
 
 
 
 
 
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� Consequência da hipótese de 
contínuo: cada propriedade tem um 
valor definido continuamente em 
todo o espaço (x,y,z), em particular o 
ponto C do espaço, veja Figura 2. 
 
 
Figura 2. Fluido como contínuo. 
 
 
Figura 3. Massa específica. 
 
Massa específica: 
 
A massa específica num ponto (x0, y0, z0) é 
então definida como: 
 
'
mlim
δ∀→δ∀
δρ ≡
δ∀
 
 
Peso específico: 
 
É definido como sendo o peso por unidade 
de volume. 
 
gγ ≡ ρ 
 
 
Fluidos compressíveis: 
 
f (T, p)ρ = 
 
• Ar 
• N2 
• O2 
• Gás Natural 
• Vapor d’água 
 
Fluidos incompressíveis: 
 
cteρ ≅ 
 
• Água 
• Petróleo (Gasolina, diesel, etc.) 
 
Unidades no Sistema Internacional: 
 
Massa (M) – quilograma 
Tempo (T) – segundo 
Comprimento (L) – metro 
Temperatura (θ) - kelvin 
 
Grandezas secundárias: 
 
Área (L2) m2 
Volume (L3) m3 
Velocidade (LT-1) m/s 
Aceleração (LT-2) m/s2 
Pressão ou Tensão (ML-1T-2) Pa=N/m2 
Velocidade angular (T-1) s-1 
Energia (ML2T-2) J=N.m 
Potência (ML2T-3) W=J/s 
Densidade (ML-3) kg/m3 
Viscosidade (ML-1T-1) kg/m.s 
Calor específico L2T-2θ-1 m2/s2.K 
 
 
 
 
 
 
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Cinemática: 
 
Métodos de descrição: 
 
Referencial Lagrangeano: 
 
• Acompanha elementos de massa 
identificável. 
 
• Na mecânica dos fluidos, 
acompanhar o movimento de cada 
partícula, muitas vezes, torna-se 
impraticável. 
 
Lagrangeano: Segue a trajetória das 
partículas com identidade fixa, Figura 4. 
 
 
Figura 4. Referencial Lagrangeano. 
 
No instante t=t0, ( )0r t a i bj= +� �� 
 
x x(a,b, t)= 
y y(a,b, t)= 
 
Velocidade da partícula: 
 
dx
u
dt
= , 
dy
v
dt
= 
 
Referencial Eulereano: 
 
• Focaliza a atenção sobre as 
propriedades do escoamento num 
determinado ponto do espaço como 
função do tempo. 
 
 
 
• As propriedades do campo do 
escoamento são descritas como 
funções das coordenadas espaciais e 
do tempo. 
 
Eulereano: Descreve o que ocorre em 
diferentes posições do campo do 
escoamento, veja Figura 5. 
 
 
Figura 5. Referencial Eulereano. 
 
O campo de velocidade é uma função de sua 
posição no espaço e no tempo. Utilizando 
um instrumento no ponto (x0, y0) ele vai 
registrar a velocidade: 
 
0 0u u(x , y , t)= 
0 0v v(x , y , t)= 
 
No caso de regime permanente, a velocidade 
no ponto (x0, y0) será sempre constante. No 
entanto, se você mudar o instrumento para o 
ponto (x1, y1) você obterá um novo valor de 
velocidade. 
 
Campo de velocidade: 
 
• Num dado instante, o campo de 
velocidades, V
�
, é uma função das 
coordenadas espaciais (x, y, z) e do 
tempo (t) – referencial Euleriano: 
 
V V(x, y, z, t)=
� �
 
 
• Ou em termos das suas 
componentes: 
 
 
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ˆ ˆ ˆV ui vj wk= + +� 
 
onde (u, v, w), também dependem de x, y, z 
e t. 
 
Linhas de corrente: 
 
São tangentes à direção do escoamento em 
cada ponto do campo. Isto é, num dado 
ponto, a tangente a linha de corrente é 
paralela ao vetor velocidade naquele ponto. 
 
 
Figura 6. Linha de corrente. 
 
Pela semelhança de triângulos tem-se a 
definição matemática das linhas de corrente: 
 
dx dy
u v
= 
 
• Como as linhas de corrente são 
sempre tangentes à velocidade, não 
pode haver escoamento normal a 
elas. 
 
• Linhas de corrente nunca se cruzam, 
do contrário haveria extinção ou 
produção de massa no interior do 
escoamento. 
 
 
Classificação dos escoamentos: 
 
• Escoamento interno: escoamentos 
completamente envoltos por 
superfícies sólidas. 
 
• Escoamento externo: escoamentos 
sobre corpos imersos num fluido. 
 
• Escoamento laminar: a estrutura do 
escoamento é caracterizada pelo 
movimento suave em lâminas ou 
camadas. 
 
• Escoamento turbulento: a estrutura 
do escoamento é caracterizada por 
movimentos tridimensionais 
aleatórios de partículas fluidas, em 
adição ao escoamento médio. Ocorre 
alta dissipação de energia. 
 
• Escoamento uniforme: v 0
s
∂
=
∂
�
 
 
• Escoamento não uniforme: v 0
s
∂
≠
∂
�
 
 
• Escoamento permanente: 
 
As propriedades em cada ponto do campo 
(x, y, z) não mudam com o tempo: 
 
v 0
t
∂
=
∂
�
 , 
p 0
t
∂
=
∂
 
 
• Escoamento transitório: 
 
As propriedades em cada ponto do escoamento 
mudam com o tempo: 
 
v 0
t
∂
≠
∂
�
 , 
p 0
t
∂
≠
∂
 
 
 
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• Escoamento 1D, 2D e 3D: 
 
Um escoamento é uni, bi ou tri-dimensional 
em função do número de coordenadas 
espaciais necessárias para se especificar o 
campo de velocidade. Todos os escoamentos 
são 3D. Alguns casos podem ser 
aproximados para 1D ou 2D. 
 
Viscosidade dinâmica (absoluta), µµµµ: 
 
• Fluidos newtonianos apresentam 
uma relação linear entre a tensão e a 
taxa de deformação, veja Figura 7. 
 
 
Figura 7. Fluidos newtonianos. 
 
• Fluidos não newtonianos não 
apresentam uma relação linear entre 
a tensão e a taxa de deformação. 
Ex: Pasta de dente e tinta. 
 
Várias relações empíricas têm sido 
propostas para modelar as relações 
observadas entre tensão e deformação para 
fluidos não newtonianos. A relação mais 
geral é: 
 
n
yx
duk
dy
 
τ =  
 
 
 
Onde o expoente, n, é chamado de índice de 
comportamento do escoamento, e o 
coeficiente, k, o índice de consistência. 
 
 
Esta equaçãoreduz-se à lei de Newton para 
a viscosidade para n = 1 com k = µ. 
 
n > 1, fluido dilatante, 
n < 1, fluido pseudo-plástico. 
 
• Um fluido que se comporta como um 
sólido até que uma tensão limítrofe, 
seja atingida, e subsequentemente 
apresenta uma relação linear entre 
tensão e taxa de deformação, é 
denominado plástico de Bingham, 
ou ideal. 
 
NOTA: A viscosidade é uma propriedade do 
fluido e tem natureza escalar. 
 
� Nossa fórmula de trabalho: 
 
yx
du
dy
τ = µ 
 
Viscosidade cinemática, ν:ν:ν:ν: 
 
 
 
A viscosidade cinemática é definida por ν 
que é dada pela relação entre a viscosidade 
dinâmica (absoluta) e a massa específica: 
 
µ
ν =
ρ
 
 
Unidades de viscosidade: 
 
� Viscosidade dinâmica, µµµµ:::: 
 
• N.s/m2 
 
• Kg/m.s 
 
• 1 Poise = 0,1 kg/m.s 
 
 
 
 
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� Viscosidade cinemática, ν:ν:ν:ν: 
 
• m
2/s 
 
• 1 Stokes = 0,00001 m2/s 
 
 
Viscosidade dinâmica de fluidos comuns: 
 
 
 Figura 8. Temperatura x Viscosidade. 
 
 
� Com o aumento da temperatura: 
 
• Viscosidade dos líquidos diminui. 
 
• Viscosidade dos gases aumenta. 
 
 
 
 
Número de Reynolds: 
 
Escoamento interno: 
 
VD VDRe ρ= =
µ ν
 
 
Escoamento externo: 
 
VL VLRe ρ= =
µ ν
 
 
A natureza (laminar ou turbulento) é 
determinada pelo valor do número de 
Reynolds. 
 
• Escoamento interno em um tubo é 
laminar para Re 2300≤ . 
 
• Escoamento externo sobre uma 
placa plana é laminar para 
5Re 5 10≤ × . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Objetivos 
 
• Complementar os conceitos 
fundamentais de Mecânica dos 
Fluidos. 
 
• Definir e trabalhar com a equação 
que nos possibilite determinar o 
campo de pressão dentro de um 
fluido estático. 
 
Conceitos: 
 
• Tensão; 
• Taxa de deformação; 
• Viscosidade. 
 
Campo Escalar, Vetorial e Tensorial: 
 
• Variáveis escalares: Pressão, 
Temperatura, Energia, Entalpia, 
Concentração, dependem da posição 
no espaço e no tempo. (Tensor de 
ordem zero). 
 
• Variáveis vetoriais: Velocidade, 
Vorticidade, Força, Quantidade de 
Movimento, dependem da posição, 
do tempo e da direção. (Tensor de 
ordem um). 
 
• Variáveis tensoriais: Tensão e Taxa 
de Deformação no fluido, dependem 
da posição, do tempo, da direção e 
da área. (Tensor de ordem dois). 
 
Campo de Tensão: 
 
� Tensão é uma força de superfície: 
atua nas fronteiras do meio em 
contato direto. 
 
 
 
� Para defini-la é necessário 
especificar: 
 
• Intensidade, 
• direção e 
• área onde ela atua. 
 
Tensões Normais e Cisalhantes: 
 
Figura 1. Direções dos vetores. 
 
n
n
nn A 0
n
Flim
Aδ →
δ
σ =
δ
 e 
n
t
nt A 0
n
Flim
Aδ →
δ
τ =
δ
 
 
• O primeiro índice indica a área onde 
a tensão atua e o segundo índice a 
direção. 
 
• A tensão nnσ atua numa área cuja 
normal é paralela ao vetor n� e cuja 
direção também é paralela ao vetor 
n
�
. 
 
• A tensão ntτ atua numa área cuja 
normal é paralela ao vetor n� e cuja 
direção é paralela ao vetor t
�
. 
 
 
Tensão em um ponto: 
 
• 9 componentes 
• 3 normais 
• 6 tangenciais 
 
 
 
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xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
 σ τ τ
 
τ σ τ 
 τ τ σ 
 
 
 
Figura 2. Tensão em um ponto. 
 
Taxa de Deformação: 
 
� Fenômeno Local, de um ponto em 
relação a sua vizinhança ( y)δ . 
 
Figura 3. Taxa de deformação. 
 
t = 0, pontos M e N alinhados e l 0δ = 
 
t = tδ , ponto M’ deslocou lδ em relação M 
 
Qual é a taxa de variação do ponto N em 
relação ao ponto M, isto é, como α varia 
com o tempo? 
 
 
 
Para um instante tδ , a deformação entre M e 
M’ dada por α é: 
 
l
arctan
y
δδα =
δ
 
 
Logo a taxa de deformação é: 
 
( )
( ) ( )
2t 0
l / y l / td 1 ulim
dt t y y1 l / y∆ →
 δ δ δ δα δ
= ⋅ ≅ ≡ 
δ δ δ+ δ δ  
 
onde uδ é a variação relativa da velocidade 
entre os pontos M e M’. 
 
Dessa forma, a taxa de deformação pode 
ser escrita como: 
 
d du
dt dy
α
= 
 
Taxa de Deformação: 
 
• Taxa de deformação é um conceito 
relativo, quer dizer, ela representa a 
taxa de um dado ponto relativo à sua 
vizinhança; 
 
• Ela pode variar ponto a ponto no 
escoamento; 
 
• Tal como a tensão, a taxa de 
deformação de um ponto fluido 
possui natureza tensorial; 
Dxy = du/dy. 
 
Para determiná-la é necessário o 
conhecimento do campo de velocidades e 
suas derivadas. 
 
 
 
 
 
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Relação entre Tensão e Taxa de 
Deformação: 
 
du
dy
τ = µ 
 
onde µ é a viscosidade dinâmica (N.s/m2). 
 
 
Movimento com Cisalhamento Simples: 
 
• Ocorre onde a taxa de deformação, 
du/dy, é constante; logo o perfil de 
velocidade é linear: u(y) = ay+b e a 
tensão é constante, veja Figura 4; 
 
• Na prática isto ocorre quando 
camadas planas de fluido deslizam 
uma sobre a outra; 
 
 
Figura 4. Movimento com cisalhamento 
simples. 
 
• Casos (a), (b) e (c) tem duas placas 
espaçadas h e deslizando com 
velocidade U0 relativa entre si; 
 
• A taxa de deformação é constante e 
igual a |du/dy| = U0/h; ela depende 
apenas do movimento relativo entre 
um ponto e outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estática dos Fluidos: 
 
� Estática dos Fluidos trata do estado 
de forças atuantes no fluido na 
ausência de movimento relativo entre 
as partículas. 
 
� Qual é a consequência da ausência 
de movimento relativo no fluido? 
 
• Fluido é uma substância que se 
deforma continuamente sob a ação 
de tensões de cisalhamento; 
 
• Não havendo cisalhamento não há 
deformação e, portanto não há 
movimento relativo. 
 
� Resta saber a natureza das tensões 
normais. 
 
O que acontece com o tensor das tensões? 
 
• Na ausência de movimento relativo, 
não há cisalhamento. 
 
• As nove componentes se reduzem a 
apenas três tensões normais que 
estão na diagonal principal: 
 
xx
yy
zz
0 0
0 0
0 0
σ 
 σ 
 σ 
 
 
O que mais pode acontecer com o tensor 
das tensões? 
 
• A soma das tensões da diagonal de 
qualquer tensor é invariante, isto é: 
xx yy zz cteσ + σ + σ = . 
 
 
 
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• Invariante significa que o sistema de 
coordenadas pode sofrer qualquer 
transformação linear (girar ou 
transladar) que a soma é sempre a 
mesma. 
 
Pode-se dizer então que a soma: 
xx yy zzσ + σ + σ é isotrópica, isto é, 
qualquer que seja a direção dos eixos 
coordenados ortogonais ela é sempre 
a mesma. 
 
Conclusões Importantes: 
 
• No fluido estacionário 
xx yy zzσ = σ = σ . 
 
• p é a pressão estática do fluido ou 
pressão mecânica: 
 
( )xx yy zzp / 3= σ + σ + σ 
 
• Como o fluido está estacionário, ela 
também coincide com a pressão 
termodinâmica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Forças de Superfície: 
 
• Forças de superfície agem na 
superfície do elemento. Um exemplo 
são as tensões. Em particular a 
pressão é um agente de força de 
superfície, veja Figura 5.Figura 5. Força de superfície. 
 
Forças de Volume ou de Campo: 
 
• Enquanto que as tensões normais 
(pressão) agem na superfície de um 
elemento existem forças que agem 
em todo elemento ou volume de 
fluido, veja Figura 6; 
 
• A gravidade é um exemplo; todo o 
volume de fluido está submetido à 
mesma aceleração da gravidade, i.e., 
à força peso; 
 
 
 
Figura 6. Força de campo. 
 
 
 
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Equilíbrio entre Forças de Superfície e 
Forças de Campo: 
 
• Para o fluido estar sem movimento 
relativo é necessário que a resultante 
das forças de superfície, SF
�
e de 
campo, BF
�
, seja nula. 
 
 
Figura 7. Equilíbrio entre forças de 
superfície e forças de campo. 
 
 
O Elemento de Fluido: 
 
• Um elemento infinitesimal de fluido 
com dimensões dx, dy e dz, de 
densidade ρ e massa dm é 
apresentado na Figura 8: 
 
 
Figura 8. Elemento infinitesimal de fluido. 
 
 
 
 
A Força de Campo (Peso): 
 
A força de campo gravitacional é dada por: 
 
BdF g.dm g. .d= = ρ ∀
�
� �
 
 
onde: 
 
g� é a aceleração da gravidade local; 
 
ρ é a densidade do fluido; 
 
d∀ é o volume elementar do fluido. 
 
Sabendo ainda que o volume pode ser 
escrito como: 
 
d dxdydz∀ = 
 
pode-se reescrever a equação da força de 
campo gravitacional: 
 
BdF g. .dxdydz= ρ
�
�
 
 
A Força de Superfície (Compressão): 
 
• Considere que p seja a pressão no 
centro do volume. Ela exerce uma 
força por unidade de área nas seis 
faces. 
 
• A pressão sempre age na forma de 
uma força de compressão. 
 
• A força exercida por p na direção x é 
representada na Figura 9: 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 9. Força exercida por p na direção x. 
 
A Força de Superfície (pressão): 
 
• As componentes da força exercida 
pela pressão são obtidas a partir da 
contribuição de cada face do volume: 
 
S
ˆ ˆ
ˆi kj
p p pdF dxdydz pdxdydz
x y z
  ∂ ∂ ∂   
= − + + = −∇     ∂ ∂ ∂      
�
 
• O gradiente de pressão é interpretado 
como sendo a força de superfície por 
unidade de volume que atua num 
volume infinitezimal. 
 
A Segunda Lei de Newton: 
 
• Um referencial inercial observa o 
elemento de fluido estacionário e 
sem movimento relativo; a somatória 
das forças atuantes sobre ele é nula: 
 
( )B SdF dF 0 g p dxdydz 0+ = → ρ −∇ =� � � 
 
• Como o volume é arbitrário, é 
necessário que: 
 
p g 0−∇ + ρ =�
 
 
A Equação da Hidrostática: 
 
p g 0−∇ + ρ =�
 
 
 
 
 
Esta é uma equação vetorial. Ela possui três 
componentes: 
 
x
pdireção : x g 0
x
∂
→ − + ρ =
∂
 
 
y
pdireção : y g 0
y
∂
→ − + ρ =
∂
 
 
z
pdireção : z g 0
z
∂
→ − + ρ =
∂
 
 
 
Equações de equilíbrio para um 
referencial cartesiano: 
 
• Considerando a gravidade alinhada 
com o eixo z no sentido negativo, 
temos que: x yg g 0= = e zg g= − . 
 
• A pressão não varia nas direções x e 
y. Portanto ela é constante nestas 
direções: 
 
p p 0
x y
∂ ∂
− = − =
∂ ∂
 
 
• A pressão varia linearmente na 
direção z. Ela diminui à medida que 
z aumenta. 
 
p g 0
z
∂
− − ρ =
∂
 
 
( )p z gz C= −ρ + 
 
Obs.: Relações válidas para ρ constante. 
 
 
 
 
 
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Variação da Pressão: 
 
 
Figura 10. Variação da pressão. 
 
• Considerando os sentidos do eixo 
z 0> e de ‘g’, vamos observar da 
expressão: 
 
( )p z gz C= −ρ + 
 
• p diminui em relação a C para z > 0; 
 
• p aumenta em relação a C para z < 0. 
 
Força Peso = Força ‘Pressão’: 
 
• Considerando fluido incompressível; 
 
A gravidade alinhada com o eixo z no 
sentido negativo tem-se que: 
 
 
Figura 11. Pressão exercida por uma coluna 
de fluido com altura h. 
 
 
 
( )Ap p .A gh.A− = ρB 
 
ou 
 
( )Ap p gh− = ρB 
 
• A diferença de pressão é equivalente 
a pressão exercida por uma coluna de 
fluido com altura h. 
 
Corolário: ∆p não depende da área e só 
varia com a altura z. 
 
Pressão: absoluta, manométrica e vácuo: 
 
 
Figura 12. Pressão. 
 
Análise da variação de pressão: Fluidos 
com densidade constante: 
 
• A pressão estática é função do ponto; 
 
• Ela só varia na direção onde atua a 
gravidade; 
 
• Para um mesmo fluido ela é expressa 
pelo produto da distância h, 
densidade ρ e g: 
 
 
 
 
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( )2 1p p gh h− = ρ = γ 
 
Medição da Pressão: Manômetros tubo 
em U: 
 
 
Figura 13. Manômetro em U. 
 
Regra: mesmo fluido e mesma altura 
apresenta mesma pressão porque a pressão 
só varia com z. 
 
2 3p p= 
 
2 A 1 1p p h= + γ 
 
3 atm 2 2p p h= + γ 
 
A 1 1 atm 2 2p h p h+ γ = + γ 
 
man A atm 2 2 1 1p p p h h= − = γ − γ 
 
( )man A atm 2 2 1 1p p p g h h= − = ρ − ρ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medição da Pressão: Manômetro 
Diferencial: 
 
 
Figura 14. Manômetro Diferencial. 
 
2 3p p= 
 
( )A B 3 3 2 2 1 1p p h h h− = γ + γ − γ 
 
( )A B 3 3 2 2 1 1p p g h h h− = ρ + ρ − ρ