Lista 1.2 de Geometria Analítica

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Universidade Federal de Santa Catarina
Lista 1.2 de Exerc´ıcios de Geometria Anal´ıtica
16 de marc¸o de 2018
1. No paralelep´ıpedo que tem os segmentos AB, AC e AD como arestas, seja E o
ve´rtice oposto a A. Prove geometricamente que
−→
AB +
−→
AC +
−→
AD =
−→
AE.
2. Dados os pontos A = (x1, . . . , xn), B = (y1, . . . , yn) e C = (z1, . . . , zn), suponha
que AB e AC sa˜o lados de um paralelogramo. Determine as coordenadas do quarto
ve´rtice D desse paralelogramo.
3. Dados os pontos na˜o-coplanares A = (x1, x2, x3), B = (y1, y2, y3), C = (z1, z2, z3)
e D = (t1, t2, t3), determine as coordenadas dos quatro outros ve´rtices do parale-
lep´ıpedo do qual AB, AC e AD sa˜o arestas.
4. Dados os vetores u, v e w abaixo, verifique, em cada caso, se um deles e´ combinac¸a˜o
linear dos outros dois:
a) u = (1, 3, 5), v = (2, 6, 10) e w = (3, 4, 6).
b) u = (2,−1, 3), v = (3, 2, 4) e w = (1,−4, 2).
c) u = (2, 3, 1), v = (3, 2, 1) e w = (1, 2, 3).
5. Deˆ exemplo de treˆs vetores na˜o-nulos u, v e w tais que u e´ combinac¸a˜o linear de v
e w, v e´ combinac¸a˜o de u e w mas w na˜o e´ combinac¸a˜o linear de u e v.
6. Dados os vetores na˜o-nulos u, v e w no espac¸o, se v na˜o e´ mu´ltiplo de u e w na˜o
e´ combinac¸a˜o linear de u e v, prove que nenhum desses treˆs vetores e´ combinac¸a˜o
linear dos outros dois.
7. Sejam A1, A2, ..., An pontos do espac¸o e α1, α2, ..., αn nu´meros tais que α1 +α2 +
. . .+ αn = 1. Tome um ponto P arbitra´rio e escreva
α1.
−→
PA1 +α2.
−→
PA2 + . . .+
−→
PAn =
−→
PQ .
Prove que o ponto Q na˜o depende da escolha do ponto P .
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