Lista 1,3 de Geometria Analítica

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Universidade Federal de Santa Catarina
Lista 1.3 de Exerc´ıcios de Geometria Anal´ıtica
24 de marc¸o de 2018
1. Para quaisquer vetores u e v, prove que vale a desigualdade triangular ||u + v|| ≤
||u|| + ||v||, tendo-se ||u + v|| = ||u|| + ||v|| se, e somente se, um desses vetores for
um mu´ltiplo do outro.
2. Quais sa˜o os dois vetores unita´rios que sa˜o perpendiculares ao vetor e3 = (0, 0, 1) e
fazem aˆngulos de 45o com o vetor e1 = (1, 0, 0)?
3. Se o vetor u e´ perpendicular a cada um dos vetores v e w, prove que u e´ perpendi-
cular a toda combinac¸a˜o linear de v e w.
4. Sejam u e v vetores unita´rios ortogonais. Dado qualquer vetor w, escreva
w′ =< w, u > .u+ < w, v > .v
e mostre que w − w′ e´ ortogonal a u e a v.
5. Sejam u e v vetores na˜o-colineares. Prove que os vetores
u′ =
1
||u||u e v
′ = v− < v, u′ > .u′
sa˜o ortogonais.
6. Dados os vetores u1 = (2, 2, 2), u2 = (−7, 2,−1) e u3 = (0,−7, 0), calcule:
a) ||u1||, ||u2|| e ||u3||;
b) < u1, u2 >;
c) u1 × u2;
d) ||3.u3 − 5.u1 + u2||;
e) ||u3 × u1||.
7. Calcule < u, v > e o aˆngulo θ entre u e v. Represente os vetores e indique o aˆngulo
θ.
a) u = (1,−5, 4) e v = (3, 3, 3);
b) u = (−2, 2, 3) e v = (1, 7,−4).
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8. Sejam u = (−3, 1, 2), v = (4, 0,−8) e w = (6,−1,−4). Calcule:
a) u× (v × w);
b) < u, (v × w) >;
c) ||w × v||.
9. Calcule a a´rea do paralelogramo determinado pelos vetores u = (1,−1, 2) e v =
(0, 3, 1).
10. Determine treˆs vetores unita´rios u, v e w no espac¸o de maneira que sejam dois a
dois ortogonais e um deles seja colinear com o vetor u1 = (1, 2, 0).
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