Apostila 04
10 pág.

Apostila 04


DisciplinaProbabilidade e Estatística Aplicada373 materiais2.280 seguidores
Pré-visualização3 páginas
1
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 
 
Já estudamos a exploração de um conjunto de dados através de gráficos, 
medidas de tendência central e medidas de variação. Estudamos, também, os 
princípios básicos da teoria das probabilidades. Vamos, agora, combinar esses 
conceitos ao estabelecermos distribuições de probabilidade que descrevem o 
que provavelmente acontecerá, em lugar do que efetivamente aconteceu. 
 
Vamos agora, conhecer alguns conceitos importantes. 
 
Uma variável aleatória é uma variável (geralmente representada por x) que 
tem um valor numérico único (determinado aleatoriamente) para cada resultado 
de um experimento. 
 
Exemplos: 
x=número de acidentes com aviões da USAir dentre sete acidentes aéreos 
selecionados aleatoriamente 
x=número de mulheres entre 10 empregados recém-admitidos 
x= número de alunos que não compareceram à aula de estatística hoje 
x= altura de um adulto do sexo masculino selecionado aleatoriamente. 
 
Assim como os dados numéricos podem ser classificados em discretos ou 
contínuos, as variáveis aleatórias também são classificadas em discretas ou 
contínuas. 
 
Uma variável aleatória discreta ou admite um número finito de valores ou tem 
uma quantidade enumerável de valores. 
 
Uma variável aleatória contínua pode tomar um número infinito de valores, e 
esses valores podem ser associados a mensurações em uma escala contínua, 
de tal forma que não haja lacunas ou interrupções. 
 
Exemplo 1: 
a) O número de espectadores que vêem um filme é um número inteiro, 
sendo, portanto, uma variável aleatória discreta. 
b) A voltagem de uma pilha de um detector de fumaça pode ser qualquer 
valor entre 0 volts e 9 volts, sendo, por conseguinte, uma variável 
aleatória contínua. 
 
Freqüentemente, podemos atribuir uma probabilidade a uma variável aleatória. 
 
Uma distribuição de probabilidades dá a probabilidade de cada valor de uma 
variável aleatória. 
 
Exemplo 2: Suponha que a USAir detenha 20% de todas as linhas aéreas 
domésticas, e que todos os vôos tenham a mesma probabilidade de um 
acidente. Se a variável aleatória x representa o número de acidentes com a 
USAir dentre sete acidentes escolhidos aleatoriamente, então a distribuição de 
probabilidades é dada pela tabela a seguir. 
 
 2
Tabela I. Distribuição de probabilidade do número de acidentes com a USAir, dentre sete 
acidentes. 
x P(x) 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
0,210 
0,367 
0,275 
0,115 
0,029 
0,004 
0+ 
0+ 
 
 
Há várias representações gráficas para uma distribuição de probabilidades; 
apresentaremos apenas o histograma de probabilidades. A figura 1 
representa um desses histogramas. 
 
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0 1 2 3 4 5 6 7
Número de acidentes com a USAir 
em sete acidentes
Pr
ob
ab
ili
da
de
 
 
 
 
 
 
Condições para uma distribuição de probabilidade: 
1) \u2211 = 1)(xP , onde x toma todos os valores possíveis 
2) 1)(0 \u2264\u2264 xP , para todo x 
 
Exemplo 3: P(x)=x/5 (onde x toma os valores 0, 1, 2, 3) define uma distribuição 
de probabilidades? 
 
Solução: Para que fique definida uma distribuição de probabilidades, devem 
ser satisfeitas as duas condições anteriores. Ora, 
 
5
6
5
3
5
2
5
1
5
0
)3()2()1()0()(
=+++=
+++=\u2211 PPPPxP
 
Fig. 1. Histograma de probabilidades
para o número de desastres da USAir 
dentre sete desastres aéreos. 
 3
O cálculo acima mostra que \u2211 \u2260 1)(xP . Como a primeira condição não é 
satisfeita, concluímos que P(x) dada neste exemplo não é uma distribuição de 
probabilidades. 
 
Exemplo 4: P(x)=x/5 (onde x pode ser 0, 1 ou 2) define uma distribuição de 
probabilidades? 
 
Solução: Para que fique definida uma distribuição de probabilidades, devem 
ser satisfeitas as duas condições anteriores. Ora, 
 
\u2211 =++= 1323130)(xP 
O cálculo acima mostra que a primeira condição foi satisfeita. 
 
P(0)=0/3=0; P(1)=1/3 e P(2)=2/3. Cada um dos valores P(x) está entre 0 e 1. 
Isso prova que a segunda condição foi satisfeita. 
 
Como as duas condições foram satisfeitas, a função deste exemplo é uma 
distribuição de probabilidades. 
 
 
Média, Variância e Desvio-Padrão 
 
Podemos determinar a média, a variância e o desvio-padrão de uma 
distribuição de probabilidades através das fórmulas a seguir: 
 
\u2211= )(. xPxµ 
 
\u2211 \u2212= )](.)[( 22 xPx µ\u3c3 
 [ ] 222 )(. µ\u3c3 \u2212= \u2211 xPx 
 [ ] 22 )(. µ\u3c3 \u2212= \u2211 xPx 
 
Ao calcularmos a média de uma distribuição de probabilidades, obtemos o 
valor médio que esperaríamos obter se pudéssemos repetir as provas 
indefinidamente. Não obtemos o valor que esperamos ocorrer com maior 
freqüência. O desvio-padrão nos dá uma medida do quanto a distribuição de 
probabilidade se dispersa em torno da média. 
 
Exemplo 5: A tabela I representa a distribuição de probabilidades do número 
de acidentes com a USAir, dentre sete acidentes selecionados aleatoriamente 
(supondo que a USAir detenha 20% dos vôos e que os acidentes sejam 
eventos independentes e aleatórios). Com a distribuição de probabilidades da 
tabela I, suponha que repitamos o experimento que consiste em selecionar 
sete acidentes e que a cada vez achemos o número de acidentes com a USAir. 
 4
Determine o número médio de acidentes com a USAir (entre sete), a variância 
e o desvio-padrão. 
 
Solução: Vamos acrescentar 3 colunas à tabela I a fim de facilitar os cálculos. 
 
Tabela II. Dados para o cálculo da média, da variância e do desvio-padrão de uma distribuição 
de probabilidade. 
x P(x) x.P(x) x2 x2.P(x) 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
0,210 
0,367 
0,275 
0,115 
0,029 
0,004 
0+ 
0+ 
0,000 
0,367 
0,550 
0,345 
0,116 
0,020 
0,000 
0,000 
0 
1 
4 
9 
16 
25 
36 
49 
0,000 
0,367 
1,100 
1,035 
0,464 
0,100 
0,000 
0,000 
Total 1,000 1,398 3,066 
 
 
Com os resultados da tabela II podemos calcular os valores pedidos. 
 
\u2211 === colisõesxPx 4,1398,1)(.µ 
 [ ] quadradoaocolisõesxPx 1,1111596,1398,1066,3)(. 2222 ==\u2212=\u2212= \u2211 µ\u3c3 
 
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância: 
colisões1,1054323,1111596,1 ===\u3c3 
 
 
Valor esperado 
 
A média de uma variável aleatória discreta é o resultado médio teórico de um 
número infinito de provas. Podemos encarar a média como o valor esperado 
(E) no sentido de que é o valor médio que esperaríamos obter se as provas se 
prolongassem indefinidamente. 
 
\u2211= )(. xPxE 
 
Exemplo 6: Considere o jogo de números praticado há muitos anos por 
organizações ligadas ao crime e agora legalizado por muitos governos 
organizados \u2013 assim como também por alguns governos não muito bem 
organizados. Em geral conhecido como \u201cEscolha três\u201d, o apostador aposta em 
três números, que deverão coincidir com os números sorteados. O ganho típico 
é de 499 para 1, o que significa que para cada $1 apostado o jogador recebe 
$500. Suponha que o leitor apostou $1 no número 327. Qual é o valor 
esperado de seu ganho ou perda? 
 
Solução: Para essa aposta há dois resultados simples: ou o leitor ganha, ou 
perde. Como o número escolhido foi 327, e como há 1000 possibilidades (de 
 5
000 a 999), a probabilidade de o leitor ganhar é de 1/1000 (ou 0,001) e a 
probabilidade de perder é 999/1000. A tabela III resume a situação. 
 
Tabela III. O jogo dos números 
Evento X P(x) x.P(x) 
Ganha 
Perde 
$499 
-$1 
0,001 
0,999 
$0,499 
-$0,999 
Total -$0,50 
 
Pela tabela III, vemos que para uma aposta de $1 no jogo dos números, o valor 
esperado é 
centavosxPxE 50)(. \u2212== \u2211 
 
 
Experimentos Binomiais 
 
Veremos, agora, como determinar as probabilidades para uma categoria 
importante de distribuição de probabilidades: os experimentos binomiais. 
Esses experimentos têm a característica de apresentarem exatamente dois 
resultados complementares: em processos industriais, as peças falham ou não 
falham. Na medicina, um paciente