Variáveis Aleatórias e Distribuição de Probabilidade

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UNIVERSIDADE FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL 
DA PARAÍBA
Variáveis Aleatórias
Departamento de Estatística
Luiz Medeiros
� Como sabemos, características de interesse em diversas
áreas estão sujeitas à variação
Introdução
áreas estão sujeitas à variação
� Essa variabilidade ocorre ao acaso, pois resulta de uma
soma de fatores não-controlados
� Toda vez que uma variável é influenciada pela
aleatoriedade, diz-se que esta é uma variável aleatória
� Exemplos: número de livros de uma biblioteca, peso de
recém-nascidos, cotação do dólar.recém-nascidos, cotação do dólar.
� Usaremos letras maiúsculas para indicar variáveis
aleatórias (X, Y, Z, …)
� Letras minúsculas representarão valores assumidos por
variáveis aleatórias (x, y, z, …)
� Formalmente, uma variável aleatória é uma função do
espaço amostral nos números reais:espaço amostral nos números reais:
X: U→ R
� Note que uma v.a. assumirá sempre valores numéricos
� Uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua.
� Dizemos que uma v.a. é discreta quando seus possíveis
valores podem ser dispostos em uma lista (finita ou
infinita)
� Exemplos:
� Número de filhos.
Número de funcionários de uma empresa.� Número de funcionários de uma empresa.
� Número de tumores detectados por um exame.
� Número de ações vendidas de uma empresa.
� Dizemos que uma v.a. é contínua quando ela pode
assumir qualquer valor em um dado intervaloassumir qualquer valor em um dado intervalo
� Exemplos:
� Tempo até a cura de uma doença
Obs: Se o conjunto é inumerável, não há sentido em falar de valores específicos e 
portanto: P(X = x) = 0
� Tempo até a cura de uma doença
� Cotação do dólar
� Peso de recém-nascidos
� Concentração de CO2 na água
� Entende-se por distribuição de probabilidade o conjunto de todos
os valores que podem ser assumidos por uma v.a. discreta, com
Distribuição de Probabilidade
os valores que podem ser assumidos por uma v.a. discreta, com
as respectivas probabilidades.
� A distribuição de probabilidades permite a definição de um
modelo matemático apropriado a cada situação.
� Exemplo: considere o experimento “verificar a face após o
lançamento de 3 moedas”. Temos,
U = {C-C-C, C-C-K, C-K-C, K-C-C, C-K-K, K-C-K, K-K-C, K-K-K}U = {C-C-C, C-C-K, C-K-C, K-C-C, C-K-K, K-C-K, K-K-C, K-K-K}
X: O número de caras
x 0 1 2 3 Total
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1
• Seja X uma variável aleatória discreta, então X pode assumir
os valores x , x ,.... Chamaremos de função de probabilidadeos valores x1, x2,.... Chamaremos de função de probabilidade
da variável aleatória X a função que a cada xi associa sua
probabilidade de ocorrência, ou seja,
Uma função de probabilidade deve satisfazer :
)()( ii xpxXP ==
Uma função de probabilidade deve satisfazer :
a)
b)
0 1≤ ≤p xi( )
p xi
i
( )=
=
∞
∑ 1
1
� A distribuição de probabilidades permite a definição de um
modelo matemático apropriado a cada situação.modelo matemático apropriado a cada situação.
� O modelo para v.a. discretas que estudaremos será o
Modelo Binomial.
� No caso de v.a. contínuas a distribuição de probabilidades
dá lugar à função densidade de probabilidade que
depende de conceitos matemáticos um pouco mais
complexos e não será abordada nesse curso.complexos e não será abordada nesse curso.
� Lidaremos com o modelo para v.a.'s contínuas
denominado modelo Normal, o qual é apropriado a
diversas situações nas mais diferentes áreas.
ESPERANÇA E VARIÂNCIA
• Nos modelos matemáticos aleatórios parâmetros
podem ser empregados para caracterizar apodem ser empregados para caracterizar a
distribuição de probabilidade.
• Logo, a cada distribuição de probabilidade podemos
associar certos parâmetros os quais fornecem
informações sobre a distribuição.
MÉDIA (Esperança)MÉDIA (Esperança)
VARIÂNCIA
• OBJETIVO: Definir medidas para as variáveis
aleatórias que sintetizem características relevantes de
uma distribuição de probabilidade.
O Departamento de Administração da UFPB é
formado por 35 professores, sendo 21 homens e 14
Exemplo 1
formado por 35 professores, sendo 21 homens e 14
mulheres. Uma comissão de 3 professores será
constituída sorteando, ao acaso, três membros do
departamento.
Qual é a probabilidade da comissão ser formada por
pelo menos duas mulheres?
Vamos definir a v.a.Vamos definir a v.a.
X: nº de mulheres na comissão.
Quais são os possíveis valores que X pode assumir?
ESPERANÇA (VALOR MÉDIO)
• DEFINIÇÃO: Dada uma variável aleatória• DEFINIÇÃO: Dada uma variável aleatória
discreta X, assumindo os valores x1,x2,...,xn, a
esperança matemática de X é definida por
∑
∞
=
=
1
),()(
i
ii xpxXE
se ∑xi.p(xi) < ∞
• NOTAÇÃO: µ=)(xE
Propriedades da Esperança
1. A média de uma constante é a própria constante.
E K K( ) .=
2. Multiplicando-se uma variável aleatória X por uma constante, 
sua média fica multiplicada por essa constante. 
3. A média da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias 
é, respectivamente, a soma ou diferença das médias.
E K K( ) .=
E KX KE X( ) ( )=
Observação: Note que toda função de uma variável aleatória X é também uma
variável aleatória. Podemos, portanto, falar na esperança de X2, 2X+1,
dentre outras.
E X Y E X E Y( ) ( ) ( )± = ±
Exemplo 2
• Considere a variável aleatória discreta X:
Calcule a E(X),
xi 0 1 2
p(xi) 1/4 1/2 1/4
∑
=
=





+





+





==
3
1
,1
4
1
.2
2
1
.1
4
1
.0)()(
i
ii xpxXE
VARIÂNCIA
• DEFINIÇÃO: Seja X uma variável aleatória com esperança 
dada por E(X). A variância de X é definida pordada por E(X). A variância de X é definida por
OBSERVAÇÃO: A variância nos dá a dispersão dos valores da
variável em relação ao valor esperado.
[ ]22 )()()( XEXEXVar −=
2)( σ=XVar• NOTAÇÃO: 2)( σ=XVar
Desvio Padrão: É definido como a raiz quadrada positiva
da variância, isto é,
)()( XVarXDP =
Propriedades da Variância
1. A variância de uma constante é zero.
2. Multiplicando-se uma variável aleatória por uma constante sua 
V K( ) = 0
2. Multiplicando-se uma variável aleatória por uma constante sua 
variância fica multiplicada pelo quadrado da constante.
3. Somando-se ou subtraindo-se uma constante à variável aleatória, 
sua variância não se altera.
4. A variância da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias 
)()( 2 XVKKXV =
V K X V X( ) ( )± =
4. A variância da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias 
é dada por:
Onde 
OBS.: Quando X e Y são variáveis aleatórias independentes, , conseqüentemente, 
cov(X,Y)=0, logo 
),cov(2)()()( YXYVXVYXV ×±+=±
[ ][ ]{ }cov( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y= − − = −
E XY E X E Y( ) ( ) ( )=
V X Y V X V Y( ) ( ) ( )± = +
Propriedades:
1) Se XX == aa, em que a é uma constante, então
2) Se YY == aXaX ++ bb, em que aa e bb são constantes, então
E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b
1) Se XX == aa, em que a é uma constante, então
E(X) = a e Var(X) = 0.
E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b
e
Var(Y) = Var(aX + b) = a2Var(X).
Exemplo 3
• Considere a variável aleatória discreta X:
Calcule a Var(X)
xi 0 1 2
p(xi) 1/4 1/2 1/4
∑
=
=





+





+





==
3
1
,1
4
1
.2
2
1
.1
4
1
.0)()(
i
ii xpxXE
∑
=
=





+





+





==
3
1
22222
,
2
3
4
1
.2
2
1
.1
4
1
.0)()(
i
ii xpxXE
2
1
2
231
2
3)1(
2
3)]([)()( 222 =−=−=−=−= XEXEXVar
Exemplo 4
• Uma livraria mantém extensos registros das vendas diárias dos livros.
Com os dados coletados construiu a seguinte distribuição de
probabilidadeda variável aleatória X = número de livros vendidos porprobabilidade da variável aleatória X = número de livros vendidos por
semana:
a) Calcule o número esperado de livros vendidos por semana.
xi 0 1 2 3 4 5
p(xi) 0,05 0,15 0,42 0,20 0,08 0,10
a) Calcule o número esperado de livros vendidos por semana.
b) Calcule a Var(X).
c) Calcule a probabilidade de se vender mais que 2 livros vendidos por 
semana.
d) Calcule a probabilidade de se vender no máximo um livro.
e) O lucro da livraria é obtido através da relação Y=3X2+X-2. Qual o lucro 
esperado da livraria?
Exemplo 5
• Considere uma variável aleatória X com a seguinte função de• Considere uma variável aleatória X com a seguinte função de
probabilidade:
a) Determine o valor da constante "C" que torna legítima a
P X k
c k
c k( )
,
,
= =
=
=



 , para 3, 5
 , para 4
1
2 2
a) Determine o valor da constante "C" que torna legítima a
função de probabilidade acima.
b) Calcule a P(X>1), P(X≥3), P(X≤4), P(5/2<X≤5).