Apostila+de+resistência+dos+materiais+1 (1)

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
 
Cláudio Messias da Silva 
 
 
 O principal objetivo de um curso básico de mecânica deveria se o de desenvolver no estudante de 
engenharia a habilidade de analisar um dado problema, de maneira simples e lógica, e aplicar na sua solução 
alguns princípios básicos e fundamentais, que tenham sido bem entendidos. Esta apostila é indicada para o curso 
de produção onde o estudo da mecânica dos materiais esta baseado no entendimento de alguns conceitos básicos 
e no uso de modelos simplificados. Este procedimento torna possível o desenvolvimento de todas as formulas 
necessárias, de uma maneira lógica e racional, e mostra claramente as condições em que podem ser aplicadas, 
com segurança, na análise e no projeto de estruturas reais de engenharia e em componentes mecânicos. Os 
diagramas de corpo livre são freqüentemente usados ao longo de todo o texto, para determinar forças externas e 
internas. O uso de figuras que mostram claramente as grandezas que aparecem nas equações e suas relações 
ajuda no entendimento da superposição de carregamentos e resultante, tensões e deformações. 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Diagrama de corpo livre: o conteúdo da 
estática esta baseado em um número 
surpreendentemente pequeno de conceitos 
fundamentais e envolve principalmente a aplicação 
dessas relações básicas a uma variedade de 
situações. Nessa aplicação, o método de análise é 
muito importante. Ao resolver um problema é 
essencial que as leis aplicáveis estejam 
cuidadosamente entendidas e que esses princípios 
sejam aplicados literalmente bem, começaremos 
com uma introdução aos vetores e aplicação dos 
mesmos, pois serão muito usados neste curso. Com 
a revisão de vetores realizada em sala de aula, 
resolvam os exercícios abaixo. 
 
1.1 Determine o ângulo feito pelo vetor V = -10i + 
24 j, com o eixo x positivo. 
1.2 Uma força é especificada pelo vetor F = 80i – 
40j + 60k N. Calcule os ângulos feitos por F 
com os eixos x, y, z. 
1.3 Qual o peso em Newtons de uma viga de 75 
kg. 
1.4 Determine o peso em Newtons de uma mulher 
cuja massa é 58,9 kg. 
 
 
Sistemas de Forças 
 
 Estudaremos os efeitos de forças que 
atuam em estruturas e em equipamentos de 
engenharia. A experiência adquirida aqui ajudará 
você no estudo da mecânica e em outros tópicos 
como analise de tensões, projeto de estruturas e 
máquinas e escoamento de fluidos, estabelecendo 
os fundamentos para o entendimento básico da 
estática e de todo conjunto da mecânica. 
 
Força 
 
 Antes de lidar com um conjunto ou sistema 
de forças e necessário examinar as propriedades de 
uma única força com algum detalhe. Força é uma 
quantidade vetorial, porque seu efeito depende da 
direção e também do módulo da ação. Assim forças 
podem ser combinadas de acordo com a lei do 
paralelogramo da adição vetorial. A ação do cabo 
sob tração no suporte vide figura 1. 
 
 
Figura 1 
 
 Esta força está representada pelo vetor força P, de 
módulo P. O efeito dessa ação no suporte depende 
de P, do ângulo θ e da localização do ponto de 
aplicação A. A variação de qualquer um desses três 
parâmetros alterará o efeito sobre o suporte, tal 
como a força em um dos parafusos que seguram o 
suporte à base, ou a força interna e a deformação 
em qualquer ponto do material do suporte. Assim, a 
completa especificação da ação de uma força deve 
incluir seu modulo, direção e ponto de aplicação. 
Desse modo devemos tratá-la como um vetor fixo. 
 
Princípio da Transmissibilidade 
 
 Quando se lida com a mecânica de um 
corpo rígido, ignoramos deformações no corpo e 
nos concentramos apenas nos efeitos externos 
resultantes das forças externas. Em tais casos, a 
experiência nos mostra que não é necessário 
restringir a ação de uma força aplicada a um 
determinado ponto. Por exemplo, a força P atuando 
na placa rígida na FIGURA 2.2 pode ser aplicada 
em A ou em B, ou em qualquer ponto em sua linha 
de ação, e os efeitos externos de P no suporte não 
se alterarão. 
 
Ação e Reação – de acordo com a terceira lei de 
Newton, a ação de uma força é sempre 
acompanhada por uma reação igual e oposta. É 
essencial distinguir entre a ação e a reação em um 
par de forças. 
 
Determinando os Componentes de uma Força 
 
 As dimensões nem sempre são dadas nas 
direções horizontais e verticais, os ângulos não 
precisam ser medidos no sentido anti-horário a 
partir do eixo x, e a origem das coordenadas não 
precisa estar na linha de ação de uma força. 
A figura 2 mostra alguns exemplos de 
decomposição de forças. 
 
 
 Figura 2 
 
Considere duas forças F1 e F2 que estão 
concorrentes em um ponto O. Observando a figura 
3 mostra a linha de ação de F2 deslocada de O para 
a extremidade de F1, ao adicionar-se os vetores 
força F1 e F2, podemos escrever. 
 
R = F1 + F2 = (F1xi + F1yj) + (F2xi + F2yj) 
 
Onde pode-se concluir 
 
Rx = F1x+F2x=ΣFx 
Ry = F1y+F2y=ΣFy 
 
 
 Figura 3 
 
 
Exercícios 
 
1) A força F tem um módulo de 500 N. 
expresse F como um vetor, em termos dos 
vetores unitários i e j. Identifique os 
componentes escalares de F em x e y. 
 
 
 
 
 
 
2) A inclinação da força F de 5,2 kN é 
especificada como mostrado na figura. 
Expresse F como um vetor, em termos dos 
vetores unitários i e j. 
 
 
 
3) A força F de 1800 N é aplicada na 
extremidade da viga em I. Expresse F 
como um vetor, em termos dos vetores 
unitários i e j. 
 
 
 
4) Os dois elementos estruturais, um dos 
quais está em tração e o outro em 
compressão, exercem as forças indicadas 
na junta O. Determine o módulo da 
resultante R das duas forças e o ângulo θ 
que R faz com o eixo positivo dos x. 
 
 
 
5) O componente y da força F que uma 
pessoa exerce no cabo da chave vale 320 
N. Determine o componente x e o módulo 
de F. 
 
 
 
6) Determine a resultante R das duas forças 
mostradas somando os componentes 
escalares. 
 
 
 
7) No projeto de um mecanismo de controle é 
determinado que a barra AB transmita uma 
força P de 260 N à manivela BC. 
Determine os componentes escalares x e y 
de P. 
 
 
 
 
8) Enquanto está empurrando continuamente 
uma máquina pra cima em um plano 
inclinado, uma pessoa exerce uma força P 
de 180 N, como mostrado. Determine os 
componentes de P, que são paralelo e 
perpendicular ao plano inclinado. 
 
 
 
 
9) No projeto de um Robô para colocar a 
pequena parte cilíndrica em um furo 
circular praticamente sem folga, o braço 
do robô deve exercer uma força P de 90 N 
na peça paralela ao eixo do furo, como 
mostrado. Determine os componentes da 
força que a peça exerce no robô nos eixo 
paralelo e perpendicular ao braço AB. 
 
 
10) Determine a resultante R das duas forças 
aplicadas no suporte. Escreva R em termos 
de vetores. 
 
 
11) A força de 600 N aplicada ao suporte em 
A deve ser substituída por duas forças, Fa 
na direção a-a e Fb na direção b-b, que 
produzem juntas o mesmo efeito sobre o 
suporte que a força de 600 N. determine 
Fa e Fb . 
 
 
 
12) Deseja-se remover o pino da madeira pela 
aplicação de uma força ao longo de seu 
eixo horizontal. Um obstáculo A evita um 
acesso direto, de modo que duas forças, 
uma de 1,6 kN e a outra P, são aplicadas 
por cabos, como mostrado. Calcule o 
módulo de P necessário para assegurar 
uma resultante T direcionada ao longo do 
pino. Determine também o módulo de T. 
 
 
13) Em que ângulo deve uma força de 800 N 
ser aplicada, para que a resultante R das 
duas forças tenha um módulo de 2000 N? 
 
 
 
14) O cabo AB evita que a barra AO gire no 
sentido horárioem torno do pivô O. Se a 
tensão trativa no cabo vale 750 N, 
determine os componentes n e t dessa 
força, atuando no ponto A da barra. 
 
 
 
15) Os cabos de sustentação AB e AC estão 
presos no topo da torre de transmissão. A 
força trativa no cabo AC vale 8 kN. 
Determine a força trativa T necessária no 
cabo AB, tal que o efeito líquido das duas 
forças trativas nos cabos seja uma força 
apontada para baixo no ponto A. 
Determine o módulo R destas força. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento 
 
 Além da tendência de mover um corpo na 
direção de sua aplicação, uma força pode também 
girar um corpo em relação a um eixo. O eixo pode 
ser qualquer linha, que não intercepte ou não seja 
paralela à linha de ação da força. Essa tendência à 
rotação é conhecida como momento M da força. O 
momento é também denominado como torque. 
 
Momento em Torno de um Ponto 
 
 A figura 3 mostra um corpo bidimensional 
submetido a uma força F, atuando em seu plano. 
 
 
Figura 4 
 
 O módulo do momento, ou a tendência da 
força de girar o corpo em torno do eixo O-O 
perpendicular ao plano do corpo, é proporcional 
tanto ao módulo da força quanto ao braço de 
alavanca d, que é a distância perpendicular do eixo 
à linha de ação da força. Assim sendo, o módulo do 
momento é definido como 
 
 M = Fd 
 
 O momento é um vetor M perpendicular ao 
plano do corpo. O sentido de M depende da direção 
na qual F tende a girar o corpo. A regra da mão 
direita, figura 3/c é usada para identificar esse 
sentido. 
 
 
Teorema de Varignon 
 
 Um dos princípios mais úteis da mecânica é 
o teorema de Varignon, que diz que o momento de 
uma força em relação a qualquer ponto é igual à 
soma dos momentos dos componentes dessa força 
em relação ao mesmo ponto. 
 
O Produto Vetorial 
 
 Em alguns problemas bi e tridimensionais 
será necessário um enfoque vetorial PR o calculo 
de momentos. O momento de F em relação ao 
ponto pode ser calculado pela expressão de produto 
vetorial 
 
 M = r x F 
 
Onde r é um vetor de posição que vai do ponto de 
referencia do momento, para qualquer ponto na 
linha de ação de F. 
 
 
Exemplo 
Calcule o modulo do momento da força de 600 N 
em relação ao ponto O da base. Sala de aula. 
 
 
 
Como se pode observar pela figura existe dois 
vetores um o vetor distância e o vetor força sendo 
assim pode-se calcular o MO usando o sistema de 
coordenadas juntamente com os procedimentos 
para avaliar produtos vetoriais. 
 
MO = r x F = (2i + 4j) x ((600 cos 40º)i – (600 sem 
40º)j) = -2610 N.m K. 
 
Exercícios 
 
1) A placa retangular é formada por 
quadrados de 1 m, como mostrado. Uma 
força de 75 N é aplicada no ponto A na 
direção mostrada. Determine o momento 
dessa força em relação ao ponto B e em 
relação ao ponto C. 
 
 
 
2) O setor de controle do acelerador pivota 
livremente em O. Se uma mola de torção 
interna exerce um momento de retorno M 
= 2 N.m sobre o setor, determine a força 
trativa T necessária no cabo do acelerador 
para que o momento resultante em torno 
de O seja zero. Observe que quando T é 
zero, o setor se apóia no parafuso de ajuste 
de marcha lenta em R. 
 
 
 
3) O galho inteiro AO tem uma massa de 
180 kg, com centro de massa em G. 
Determine o momento do peso desse 
galho em relação ao ponto O. 
 
 
 
 
 
 
4) A força F de módulo 60 N é aplicada à 
roda dentada. Determine o momento de F 
em relação ao ponto O. 
 
 
 
 
5) Calcule o momento da força de 250 N na 
manopla da chave inglesa em relação ao 
centro do parafuso. 
 
 
 
 
6) Um pé-de-cabra é usado para remover um 
prego, como mostrado. Determine o 
momento da força de 240 N em relação ao 
ponto O, de contato entre o pé-de-cabra e 
o pequeno bloco de suporte. 
 
 
 
 
7) Elementos do braço estão mostrados 
na figura abaixo. A massa do 
antebraço é de 2,3 kg, com centro de 
massa em G. Determine o momento 
combinado em relação ao cotovelo em 
O dos pesos do antebraço e dos 3,6 kg 
da esfera homogênea. Qual deve ser a 
força trativa no bíceps, de modo que o 
momento total em relação a O seja 
zero? 
 
 
 
 
8) A força P de 30 N é aplicada 
perpendicular à parte BC da barra dobrada. 
Determine o momento de P em relação ao 
ponto B e em relação ao ponto A. 
 
 
 
 
9) A força exercida pelo amortecedor AB 
sobre a porta vale 40 N e está direcionada 
ao longo da linha AB. Essa força tende a 
manter a porta fechada. Calcule o 
momento dessa força em relação à 
dobradiça O. Que força Fc normal ao 
plano da porta, deve ser exercida sobre a 
porta pelo batente em C de modo que o 
momento combinado das duas forças em 
relação a O seja zero? 
 
 
 
 
 
 
10) Uma força de 200 N é aplicada na 
extremidade da chave de boca para apertar 
um parafuso que fixa a roda ao eixo. Para 
a posição mostrada da chave, determine o 
momento M produzido por essa força em 
relação ao centro O da roda. 
 
 
 
 
11) Determine o ângulo θ que vai maximizar o 
momento Mo da força de 200 N em 
relação ao eixo em O. 
 
 
 
 
12) Determine o ângulo θ que vai maximizar o 
momento Mo da força de 200 N em relação 
ao eixo em O. Calcule também Mo. 
 
 
 
 
 
13) Um vento soprando na direção normal ao 
plano da placa retangular exerce uma 
pressão uniforme de 175 N/m2 na direção 
mostrada na figura. Determine o momento 
da força resultante em relação ao ponto O. 
Dê seu resultado como um vetor, usando 
as coordenadas mostradas. 
 
 
 
 
 
14) A força de 120 N é aplicada a uma 
extremidade da chave curva, como 
mostrado. Se α = 30º, calcule o momento 
de F em relação ao centro O do parafuso. 
Determine o valor de α que maximizaria o 
momento em relação a O. 
 
 
 
15) A presilha no topo de um mastro suporta 
as duas forças mostradas. Determine o 
módulo de T que não causará momento no 
ponto O (momento nulo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Binário 
 
 O momento produzido por duas forças não-
colineares, iguais e opostas é chamado de binário. 
Binários têm determinadas propriedades 
particulares e têm aplicações importantes em 
mecânica. Considere a ação de duas forças iguais e 
opostas F e –F, distando d, como mostrado na 
figura 4: 
 
 
Figura 5 
 
 
 
 Essas duas forças não podem ser 
combinadas em uma única força, porque sua soma 
em todas as direções é zero. Seu único efeito é 
produzir uma tendência à rotação. O momento 
combinado das duas forças em relação a um eixo 
normal ao seu plano é o binário M. esse momento 
tem módulo. 
 
 M = Fd 
 
 
Figura 6 
 
 
 
Pelo método da álgebra vetorial 
 
 Podemos expressar o momento devido a um 
binário usando álgebra vetorial. O momento 
combinado das forças que formam o binário da 
figura 4 b, em relação ao ponto O é 
 
 M= rA x F + rB x (-F) = (rA – rB) x F 
 
Onde rA e rB são vetores de posição, que partem do 
ponto O para pontos arbitrários A e B sobre as 
linhas de ação de F e –F, respectivamente. Dado 
que rA e r = r, podemos expressar M como: 
 
 M = r x F 
 
Substituição de uma força por uma força e um 
binário, onde a força dada F, atua no ponto A, é 
substituída por uma força igual F em um ponto B 
qualquer e pelo binário anti-horárioM = Fd, vide 
figura 5. 
 
 
 
 
Figura 7 
 
 
 
Exemplo 2/6 sala de aula 
 
 
Exercícios 
 
1) Calcule o momento combinado das duas 
forças de 180 N em relação ao ponto O e 
em relação ao ponto A. 
 
 
 
2) Substitua a força de 4 kN atuando no 
ponto A por um sistema força - binário em 
O. 
 
 
3) O sistema força – binário indicado está 
aplicado a um pequeno eixo no centro de 
uma placa retangular. Substitua esse 
sistema por uma força única e especifique 
a coordenada do ponto no eixo y pelo qual 
passa a linha de ação dessa força 
resultante. 
 
 
 
4) A vista de topo de uma porta giratória esta 
mostrada. Duas pessoas se aproximam 
simultaneamente da porta e exercem 
forças de módulo igual, como mostrado. 
Se o momento resultante em relação ao 
eixo de rotação da porta em O vale 25 
N.m, determine o módulo da força F. 
 
 
 
5) Durante um teste no solo, tanto com o 
rotor principal quanto com o rotor da 
cauda em operação uniforme, uma força 
aerodinâmica de 400 N é exercida sobre o 
rotor da cauda em P, como mostrado. 
Determine o sistema força – binário 
equivalente no ponto O. 
 
6) Cada hélice de um navio de duas hélices 
desenvolve um empuxo na velocidade 
máxima de 300 kN. Ao manobrar-se o 
navio, uma hélice está girando a toda 
velocidade para frente e a outra a toda 
velocidade no sentido reverso. Que 
empuxo P deve cada rebocador exercer no 
navio para contrabalançar o efeito de giro 
causado pelas hélices do navio? 
 
 
 
 
 
7) No projeto do gancho de um guindaste, a 
ação da força F aplicada na seção critica 
do gancho é uma força trativa direta e um 
binário em B. se o módulo do binário e 
4000 N.m, determine o módulo de F. 
 
 
 
 
 
 
 
8) O sistema consistindo na barra AO, duas 
polias idênticas e uma fita fina, esta 
submetido a duas forças trativas de 180 N, 
como mostrado na figura. Determine o 
sistema força – binário equivalente no 
ponto O. 
 
 
 
 
 
9) Uma chave de roda é usada para apertar 
um parafuso de cabeça quadrada. Se forças 
de 250 N forem aplicadas à chave, como 
mostrado, determine o módulo F das 
forças iguais exercida nos quatro pontos de 
contato na cabeça de 25 mm do parafuso, 
de modo que seu efeito externo no 
parafuso seja equivalente ao das duas 
forças de 250 N. Considere que as forças 
são perpendiculares aos lados planos da 
cabeça do parafuso. 
 
 
 
 
10) Uma força de 400 N, fazendo um ângulo θ 
= 20º, é aplicada à barra esbelta soldada. 
Determine o sistema força – binário 
autuando na solda no ponto A, e no ponto 
O. 
 
 
 
 
11) Substitua o binário e a força mostrada por 
uma única força F aplicada no ponto D. 
Localize D determinando a distância b. 
 
 
 
 
 
12) Quando faz uma curva para a esquerda, 
um motorista exerce duas forças de 6 N 
em um volante, como mostrado. 
Determine o momento associado com 
essas forças. 
 
 
 
 
13) Como parte de um teste, os dois motores 
de um avião são acelerados e as 
inclinações das hélices são ajustadas de 
modo a resultar em um empuxo par frente 
e para trás, como mostrado. Que força F 
deve ser exercida pelo chão em cada uma 
das duas rodas principais freadas em A e 
B, para se opor ao efeito dos dois 
empuxos? 
 
 
 
 
 
 
14) A chave de boca está submetida a uma 
força de 200 N e à força P, como mostrado 
na figura abaixo. Se o sistema equivalente 
às duas forças é a força R atuando em O e 
o binário dado pelo vetor M = 20 kN.m, 
determine as expressões vetoriais para P e 
R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Uma força F de 50 N é exercida sobre a 
alavanca do freio de mão de um 
automóvel, na posição x = 250 mm. 
Substitua a força por um sistema força-
binário equivalente no ponto O.