Resolução de questões de geometria analítica.

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0.1 Equações da circunferência.
1. Encontre uma equação da circunferência de centro C e de raio r.
(a) C(1, 4), r = 3
(x− 1)2 + (y − 4)2 = 32
(x− 1)2 + (y − 4)2 = 9
(b) C(−4,−2), r = 5
(x+ 4)2 + (y + 2)2 = 52
(x+ 4)2 + (y + 2)2 = 25
(c) C(0, 6), r = 1, 2
(x+ 0)2 + (y − 6)2 = (1, 2)2
x2 + (y − 6)2 = 1, 44
(d) C(−3, 0), r = 10
(x+ 3)2 + (y + 0)2 = 102
(x+ 3)2 + y2 = 100
(e) C(0, 0), r = 2
√
5
(x+ 0)2 + (y + 0)2 = (2
√
5)2
x2 + y2 = 20
(f) C
(
−5
2
,
4
3
)
, r =
1
2(
x+
5
2
)2
+
(
y − 4
3
)2
=
(
1
2
)2
(
x+
5
2
)2
+
(
y − 4
3
)2
=
1
4
2. Determine o centro e o raio das circunferências de equação:
(a) (x− 5)2 + (y − 2)2 = 16
Sabendo como se dá a equação da circunferência temos:
C(5, 2), r = 4
(b) (x+ 4)2 + (y + 3)2 = 17
C(−4,−3), r = √17
1
(c) x2 + (y + 5)2 = 9
C(0,−5), r = 3
(d) (x− 5)2 + y2 = 8
C(5, 0), r = 2
√
2
(e) x2 + y2 = 37
C(0, 0), r =
√
37
(f)
(
x− 1
2
)2
+
(
y +
5
3
)2
=
25
169
C
(
1
2
,−5
3
)
, r =
5
13
3. Seja L a cincurferência de centro C(0, 6) e de raio 8.
Determine:
(a) As intersecções de L com o eixo x.
Fazendo y = 0 temos:
x2 = 36 = 64
x =
(
2
√
7, 0
)
ou
(−2√7, 0)
Logo, as intersecções de L com o eixo x são: x =
(
2
√
7, 0
)
ou x =
(−2√7, 0)
(b) As intersecções de L com o eixo y.
Fazendo x = 0 temos:
⇒ (y − 6)2 = 64
⇒ y − 6 = ±8
⇒ y = 14 ou y = 2
(c) Em L o(s) ponto(s) de abscissa 9.
Fazendo x = 0 temos:
⇒ 81 + (y − 6)2 = 64
⇒ (y − 6)2 = −17
⇒6 ∃y ∈ R
Não há pontos de abscissa 9 em L.
2
4. Qual é a área da figura delimitada pelas figuras de equações y = x, x2 + y2 = 4 e x = 0.
Como a reta é a bissetriz do quadrante ímpar, a região é
1
8
da circunferência.
Dada a equação da circunferência x2 + y2 = 4, C(0, 0); r = 2.
Área =
1
8
· pi · r2
⇒= 1
8
· pi · 4
⇒= 4pi
8
=
pi
2
5. (Fatec-SP- 2007) A área do quadrilátero determinado pelos pontos de intersecção da circunfe-
rência de equação (x+ 3)2 + (y − 3)2 = 10 com os eixos coordenados, em unidades de área,
é igual a
(a) 4
(b) 6
(c) 8
(d) 10
(e) 12
Intersecção com o eixo ordenado A(0, y1) e B(0, y2)
(0 + 3)2 + (y − 3)2 = 10
9 + y2 − 6y + 9 = 10
y2 − 6y + 8 = 0
(a = 1, b = −6, c = 8)
∆ = 62 − 4 · 1 · 8
∆ = 36− 32
∆ = 4
3
y =
6±√4
2 · 1 =
6± 2
2
8
2
= 4 ou
4
2
= 2
A(0, 2) e B(0, 4)
Intersecção com o eixo das abscissas C(x1, 0) e D(x2, 0)
(x+ 3)2 + (0− 3)2 = 10
x2 + 6x+ 9 = 10
x2 + 6x+ 8 = 0
∆ = 4
y =
−6±√4
2 · 1 =
−6± 2
2
−8
2
= −4 ou −4
2
= −2
C(−2, 0) e B(−4, 0)
Podemos calcular a área dos triângulos ABC e BCD para encontrar a área do quadrilátero.
Área∆ABC =
2 · 2
2
= 2
4
Área∆BCD =
2 · 4
2
= 2
Área∆ABCD = 2 + 4 = 6
Alternativa correta b.
6. Você consegue escrever uma função a partir da equação da circunferência?
Solução: Não, pois a cada x correspondem dois valores de y, ou seja, duas imagens.
7. Analise o gráfico à seguir, que representa uma semicircunferência dada pela equação y =√
4− x2 e responda às questões.
(a) O gráfico representa uma função?
Sim, pois para cada valor de x corresponde a um único valor de y.
(b) Qual é o domínio da função representada no gráfico ?
D = [−2, 2]
8. Obtenha um equação da circunferência:
(a) de centro C(-3,2)e que passa por A(5,-1).
r = dC,A =
√
(−3− 5)2 + (2 + 1)2 = √73
(x+ 3)2 + (y − 2)2 = 73
(b) que tem o segmento AB, A(-1,4) e B(-3,3) como um diâmetro.
O centro da circunferência é o ponto médio de AB:
5
XC =
−1− 3
2
= −2
YC =
4 + 3
2
=
7
2
r =
dA, B
2
=
√
(−3− 1)2 + (3− 4)2
2
=
√
5
2
(x+ 2)2 +
(
y − 7
2
)2
=
5
4
9. Seja L a circunferência de centro C(4,0) e de raio 2
√
6.
Determine:
(a) k para que A(k,-2)∈ L.
L : (x− 4)2 + y2 = 24
A(k,−2) ∈ L⇒ (k − 4)2 + (−2)2 = 24
(k − 4)2 = 20
(k − 4) = ±2√5
k = 4 + 2
√
5 ou k = 4− 2√5
(b) n para que B(1,n) ∈ L.
B(1, n) ∈ L⇒ (1− 4)2 + n2 = 24
n2 = 15
n = ±√15
n =
√
15 ou n = −√15
(c) m para que D(m,2
√
2) 6∈ L.
D(m, 2
√
2 6∈ L⇒ (m− 4)2 + (2√22 6= 24
(m− 4)2 6= 16
m− 4 6= ±4
m 6= 8 e m 6= 0
6
0.2 Posições relativas entre um ponto e uma circunferência.
10. Esboce a circunferência x2 + y2 = 5.
11. Analise as posições de A,B e C em relação à circunferência L.
(a) A(3,3), B(1,-5), C(-2,10),
L:x2 + y2 + 4x− 8y − 16 = 0
Subistituindo o ponto A em L temos:
32 + 32 + 4 · 3− 8 · 3− 16 =
9 + 9 + 12− 24− 16 =
30− 40 = −10
Como −10 < 0⇒ A(3, 3) é interior a L.
L:x2 + y2 + 4x− 8y − 16 = 0
Subistituindo o ponto B em L temos:
12 + (−5)2 + 4 · 1− 8 · (−5)− 16 =
1 + 25 + 4 + 40− 16 =
30 + 40− 16 = 56
Como 56 > 0⇒ B(1,−5) é exterior a L.
L:x2 + y2 + 4x− 8y − 16 = 0
Subistituindo o ponto C em L temos:
(−2)2 + 102 + 4 · (−2)− 8 · 10− 16 =
4 + 100− 8− 80− 16 =
7
104− 104 = 0
Como 0 = 0⇒ C(−2, 10) ∈ a L.
(b) A(7-3), B(3,-2), C(-10,1),
L:x2 + y2 − 6x− 16 = 0
Subistituindo o ponto A em L temos:
72 + (−3)2 − 6 · 7− 16 = 0
⇒ A(7,−3) ∈ a L.
Subistituindo o ponto B em L temos:
32 + (−2)2 − 6 · 3− 16 < 0
⇒ B(3,−2) é interior a L.
Subistituindo o ponto C em L temos:
(−10)2 + 12 − 6 · (−10)− 16 > 0
⇒ C(−10, 1) é exterior a L.
12. Seja L: x2 + y2 − 2x− 4y − 21 = 0. Determine k para que:
(a) P (k, 3) ∈ à região exterior a L.
L : x2 + y2 − 2x− 4y − 21 = 0
P (k, 3) é exterior a L.
Subistituindo o ponto em L temos:
k2 + 9− 2k − 12− 21 > 0
k2 − 2k − 24 > 0
∆ = 4 + 96 = 100
k =
2± 10
2
⇒ k1 = 6, k2 = −4
k < −4 ou k > 6
(b) Q(0,k) ∈ ao círculo determinado por L.
8
L : x2 + y2 − 2x− 4y − 21 = 0
Q(0, k) pertence a L.
Subistituindo o ponto em L temos:
o2 + k2 − 0− 4k − 21 6 0
k2 − 4k − 21 6 0
∆ = 16 + 84 = 100
k =
4± 10
2
⇒ k1 = 7, k2 = −3
−3 6 k 6 7
0.3 Posições relativas entre reta e circunferência.
13. Analise a posição de p: 4x + 3y + 14 = 0, s:12x− 5y + 19 = 0e v:15x + 8y + 73 = 0 em
relação a L:(x− 3)2 + (y + 2)2 = 25.
L : (x− 3)2 + (y − 2)2 = 25
C(3,−2), r = 5
dC,p =
|4 · 3 + 3 · (−2) + 14|√
42 + 32
= 4 < r
⇒ Secante.
dC,s =
|12 · 3(−5) · (−2) + 19|√
122 + (−5)2 = 5 = r
⇒ Tangente.
dC,v =
|15 · 3 + 8 · (−2) + 73|√
152 + 82
= 6 > r
⇒ Externa.
14. Analise a posição de p:x − 6 = 0, s:x + 2 = 0,v:y − 4 = 0 e w:y + 4 = 0 em relação a
L:x2 + y2 − 4x− 12 = 0.
p : x− 6 = 0
s : x+ 2 = 0
9
v : y − 4 = 0
w : y + 4 = 0
L : x2 + y2 − 4x− 12 = 0
x2 − 4x+ 4 + y2 − 12 = 4
(x− 2)2 + y2 = 42
L : C(2, 0) e r = 4
dCp =
|2− 6|√
12 + 02
= 4 = r
⇒ L e p são tangentes.
dCs =
|2 + 2|√
12 + 02
= 4 = r
⇒ L e s são tangentes.
dCv =
|0− 4|√
02 + 12
= 4 = r
⇒ L e v são tangentes.
dCw =
|0 + 4|√
12 + 02
= 4 = r
⇒ L e w são tangentes.
15. Determine m para que a reta de equação y = mx seja:
Seja a equação da circunferência: L : x2 + y2 − 10x+ 16 = 0.
(x− 5)2 + y2 = 9
C(5, 0), r = 3
S : y = mx⇒ mx− y = 0
(a) tangente à circunferência L:x2 + y2 − 10x+ 16 = 0.
Para ser tangente⇒ dC,s = r
|5m− 0|√
m2 + (−1)2 = 3 = r
10
|5m| = 3√m2 + 1
25m2 = 9m2 + 9
m =
3
4
ou m = −3
4
(b) secante a essa circunferência
Para ser secante⇒ dC,s < r
|5m|√
m2 + 12
< 3
|5m| < 3√m2 + 1
25m2 < 9m2 + 9
16m2 − 9 < 0 −3
4
< m < −3
4
(c) externa a essa circunferência
Para ser externa⇒ dC,s > r
|5m|√
m2 + 12
> 3
|5m| > 3√m2 + 1
25m2 > 9m2 + 9
16m2 − 9 > 0 m < −3
4
ou m >
3
4
16. O centro da circunferência L : (x− 4)2 + (y − 12)2 = 169 e os pontos onde L intersepta o
eixo x formam um triângulo. Qual a área desse triângulo?
C(4, 12)
Os pontos onde L intercepta o eixo x possuem ordenada iguala zero (y = 0)
(x− 4)2 + (0− 12)2 = 169
(x− 4)2 = 25
x− 4 = 5 ou x− 4 = −5
Daí temos x = 9 ou x = −1
(4, 12); (9, 0); (−1, 0)
A∆ =
|D|
2
D =
 4 12 19 0 1
−1 0 1
 = −12− 108 = −120
11
A∆ = 60
17. Qual é o comprimento da corda determinada na reta s : 5x−12y+132 = 0 pela circunferência
L : (x− 2)2 + (y − 1)2 = 169?
C(2, 1), r = 13
dC,s =
|5 · 2− 12 · 1 + 132|√
52 + (−12)2 = 10
132 = 102 + x2 ⇒ x = √69
Corda= 2x = 2
√
69
18. (Fuvest-2008)São dados no plano cartesiano de origem O, a circunferência de equação
x2 + y2 = 5, o ponto P = (1,
√
3) e a reta s que passa por P e é paralela ao eixo y. Seja
E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intersepta a circunferência. Assim sendo,
determine:
A reta tangente á circunferência no ponto E.
A reta que passa por P (1,
√
3 e é paralela ao eixo y, tem equação: x = 1. O ponto E = s ∩ L,
sendo L : x2 + y2 = 5, com ordenada da positiva é:12 + y2 = 5⇒{
y2 = 4
y > 0
⇒ y = 2
Logo E(1, 2).
O centro de L é C(0, 0) e a reta por CE tem coeficiênte angular
m =
YE − YC
Xe −XC =
2− 0
1− 0 = 2
12
Então a reta tangente t passa por E e tem coeficiente angular −1
2
y − 2 = −1
2
(x− 1)⇔ x+ 2y − 5 = 0
0.4 Posições relativas entre duas circunferências
19. Determine as intersecções deL1 e L2.
(a) L1 : x2 + y2 + 6x+ 2y − 15 = 0
L2 : x
2 + y2 − 4x+ 8y + 11 = 0
−
{
x2 + y2 + 6x+ 2y − 15 = 0
x2 + y2 − 4x+ 8y + 11 = 0
10x− 6y − 26 = 0
x =
6y + 26
10
=
3y + 13
5(
3y + 13
5
)2
+ y2 + 6 ·
(
3y + 13
5
)
+ 2y − 15 = 0
17y2 + 109y + 92 = 0
y = −1, x = 2
y = −92
17
, x = −11
17
Logo as intersecções são: (2,−1) e
(
−11
17
,−92
17
)
13
(b) L1 : x2 + y2 + 2x− 2y − 23 = 0
L2 : x
2 + y2 − 6x+ 12y − 35 = 0
−
{
x2 + y2 + 2x− 2y − 23 = 0
x2 + y2 − 6x+ 12y − 35 = 0
8x− 14y + 12 = 0
x =
14y − 12
8
=
7y − 6
4(
7y − 6
4
)2
+ y2 + 2 ·
(
7y − 6
4
)
− 2y − 23 = 0
13y2 − 12y − 76 = 0
y = −2, x = −5
y =
38
13
, x =
47
13
Logo as intersecções são: (−5,−2) e
(
47
13
,
38
13
)
20. Seja L : x2 + y2 − 6x + 4y + 4 = 0. Quais são as equações das circunferências de centro
C(-2,10)tangentes a L?
De L temos: C1(3,−2), r1 = 3
Seja L a circunferência de centro C(−2, 10) e raio r. Tem equação:
(x+ 2)2 + (y − 10)2 = r2
L1 e L devem ser tangentes. Então:
|r − r1| = dc,c1
|r − 3| = √(3 + 2)2 + (−2− 10)2
|r − 3| = 13
r = 16
ou
r = −10 (não convém)
Logo L tem equação: (x+ 2)2 + (y − 10)2 = 256
ou
r + r1 = dc,c1 ⇒ r + 3 = 13
r = 10
Logo L tem equação: (x+ 2)2 + (y − 10)2 = 100
14
0.5 Reconhecimento da equação de uma circunferência
21. Verifique se cada equação representa uma circunferência.
(a) x2 + y2 − 2x− 2y − 7 = 0
(x− 1)2 + (y − 1)2 = 9⇒ Sim, uma circunferência de C(1, 1) e raio 3.
(b) x2 + y2 − 6x+ 6y + 5 = 0
(x− 3)2 + (y + 3)2 = 13⇒ Sim, uma circunferência de C(3,−3) e raio √13.
(c) x2 + y2 + 4x− 6y + 13 = 0
(x+ 2)2 + (y − 3)2 = 0⇒ Não, pois o raio seria igual a 0.
0.6 Tangência entre reta e circunferência
22. Determine as equações das retas perpendiculares à reta s : 2x − y + 4 = 0 e tangentes à
circunferência L : x2 + y2 − 6x+ 4y + 8 = 0.
s : 2x− y + 4 = 0⇒ y = 2x+ 4⇒ ms = 2
L : x2 + y2 − 6x+ 4y + 8 = 0
⇒ x2 − 6x+ 9 + y2 + 4y + 4− 13 + 8 = 0
⇒ (x− 3)2 + (y + 2)2 = (√5)2
r⊥s e r é tangente a L.
mr = −1
2
r : y = −1
2
x+ c⇒ x+ 2y − 2c = 0
dCr =
|3 + 2(−2)− 2c|√
12 + 22
=
√
5⇒ | − 1− 2c| = 5
−1− 2c = 5⇒ c = −3 ou −1− 2c = −5⇒ c = 2
Assim as equações procuradas são:
r : x+ 2y + 6 = 0 ou x+ 2y − 4 = 0
15
23. Sejam L : x2 + y2 − 8x− 9 = 0,s : x + 6 = 0 e p : y − 4 = 0. Determine as equações das
retas tangentes a L e:
(a) paralelas a s;
L : x2 + y2 − 8x− 9 = 0⇒ C(4, 0), r = 5
As equações das retas paralelas a s são da forma x+ c = 0
dC,t = r
|4 + c|√
12
= 5⇒

4 + c = 5⇒ c = 1
ou
4 + c = −5⇒ c = 9
x+ 1 = 0 e x− 9 = 0
(b) perpendiculares a s;
As equações das retas perpendiculares a s são da forma y + c = 0
dC,t = r
|0 + c|√
12
= 5⇒

c = 5
ou
c = −5
y + 5 = 0 e y − 5 = 0
(c) paralelas a p;
As equações das retas paralelas a p são da forma y + c = 0
dC,t = r
|0 + c|√
12
= 5⇒

c = 5
ou
c = −5
y + 5 = 0 e y − 5 = 0
(d) perpendiculares a p.
As equações das retas perpendiculares a p são da forma x+ c = 0
dC,t = r
16
|4 + c|√
12
= 5⇒

4 + c = 5⇒ c = 1
ou
4 + c = −5⇒ c = −9
x+ 1 = 0 e x− 9 = 0
0.7 Elipse
24. Em relação à elipse 8x2 + 5y2 = 40, podemos dizer que o ponto P(3,4) é interno à elipse e
não é foco? Por quê?
Não, o ponto P (3, 4) é exterior à elipse.
Reduzindo a equação ∗x2 + 5y2 = 40 temos:
x2
5
+
y2
8
= 1
Como A1A2 está sobre o eixo y, obteremos as variáveis a e b pela equação
x2
b2
+
y2
a2
= 1
a2 = 8, b2 = 5⇒ a = 2√2, b = √5
⇒ a ∼= 2.82, b ∼= 2.23
25. Obtenha a equação da elipse com centro na origem, que passa por (2,1)e cujo semieixo maior
mede 3.
17
C(0, 0)
(2, 1)
a = 3
x2
a2
+
y2
b2
= 1 ou
x2
b2
+
y2
a2
= 1
x2
32
+
y2
b2
= 1 ou
x2
b2
+
y2
32
= 1
22
32
+
12
b2
= 1 ou
22
b2
+
12
32
= 1
1
b2
= 1− 4
9
ou
4
b2
= 1− 1
9
1
b2
=
5
9
ou
4
b2
=
8
9
b2 =
9
5
ou
b2
=
36
8
Portanto,
x2
9
+
5y2
9
= 1 ou
8x2
36
+
y2
9
= 1
⇒ 2x
2
9
+
y2
9
= 1
26. Uma elipse de centro (0,0) tem excentricidade
√
3
2
e eixo maior de comprimento 8, contido
no eixo y. Obtenha a sua equação.
Eixo maior da elipse de comprimento 8, logo temos:
dA1A2 = 2b = 8⇒ b = 4.
A1A2 está sobre o eixo y, a equação da elipse será
x2
b2
+
y2
a2
= 1
Excentricidade da elipse,
c
a
=
√
3
2
⇒ c =
√
3
2
· a
a2 = b2 + c2 ⇒ a2 = 16 + 3a
2
4
⇒ a2 − 3a
2
4
= 16⇒ 4a2 − 3a2 = 64
⇒ a2 = 64⇒ a = 8⇒ c =
√
3
2
· 8⇒ c = 4√3
x2
b2
+
y2
a2
= 1⇒ x
2
16
+
y2
64
= 1
18
27. (UFRJ - 2001) SejamF1eF2 os pontos do plano cartesiano de coordenadas F1 = (
√
3, 0)eF2 =
(
√
3, 0). Determine as coordenadas dos pontos da reta r de equação x− y = 1 cujas somas
das distâncias a F1eF2 sejam iguais a 4( isto é: determine as coordenadas dos pontos P sobre
a reta r que satisfazem PF1 + PF2 = 4).
F1(−
√
3, 0)
F2(
√
3, 0)
r : x− y = 1⇒ y = x− 1
P (x, y), P ∈ r tal que dPF1 + dPF2 = 4
P está na elipse de focos F1 e F2:
2a = 4⇒ a = 2
c =
√
3⇒ 22 = b2 + 3⇒ b2 = 1
E :
x2
4
+
y2
1
= 1
Substituindo y em E temos:
x2
4
+
(x− 1)2
1
= 1
x2 + 4(x2 − 2x+ 1) = 4
5x2 − 8x = 0
x(5x− 8) = 0
x = 0⇒ y = −1 ou
x =
8
5
⇒ y = 3
5
As coodenadas dos pontos são:(
8
5
,
3
5
)
.
28. (UFC-CE - 2002) O número de pontos de intersecção das curvas x2 + y2 = 4 e
x2
15
+
y2
2
= 1
é igual a:
(a) 0 (b) 3 (c) 4 (d) 5 (e) 6x
2 + y2 = 4
x2
15
+
y2
2
= 1
x2 + y2 = 4 é a equação de um circunferência de centro O(0, 0) e raio 2.
x2
15
+
y2
2
= 1 é a equação de uma elipse com:
a2 = 15⇒ a = ±√15
19
b2 = 2⇒ b = ±√2
Como 2a > 2r e 2b < 2r a elipse e a circunferência tem 4 pontos em comum.
29. (Unesp-SP - 2000) Considere a elipse de equação
x2
25
+
y2
9
= 1.
(a) Mostre que o ponto P =
(
3,
12
5
)
pertence à elipse e calcule a distância de P ao eixo
das abscissas.
x = 3⇒ 9
25
+
y2
9
= 1⇒ 81 + 25y
2
25 · 9 = 1
25y2 = 25 · 9− 81
y2 =
225− 81
25
y = ±12
5
Portanto, P
(
3, 12
5
) ∈ elipse.
d = 12
5
(b) Determine os vértices Q e R da elipse que pertencem ao eixo das abscissas e calcule a
área do triângulo PQR, onde P =
(
3,
12
5
)
.
Para y = 0⇒ x
2
25= 1⇒ x2 = 25⇒ x = ±5
Q(5, 0)
R(−5, 0)
A∆ =
b · h
2
=
10 · 12
5
2
= 12
30. Calcule a área de um quadrilátero que tem dois vértices nos foco da elipse x2 + 5y2 = 20 e os
outros dois vétices na extremidade do eixo menor.
x2 + 5y2 = 20 Dividindo por 20 em ambos os lados temos:
20
x2
20
+
y2
4
= 1
a =
√
20
b = 2
c2 + b2 = a2
c2 + 4 = 20
c = ±4
F1 = (−4, 0)
F − 2 = (4, 0)
Aquadriltero = 4 · b · c
2
= 2bc = 2 · 2 · 4 = 16
0.8 Hipérbole
31. Explique por que, na definição de hipérbole, exigimos que 2a < 2c.
Se a = c, temos e =
c
a
= 1
E a cônica seria uma parábola.
Se a > c, temos 0 < e < 1
E a cônica seria uma elipse.
32. Por que, na definição de hipérbole, exigimos que a < 0? O que ocorreia se a = 0? E se
a = c?
Porque a é o semieixo focal.
Se a = 0 temos uma reta.
Se a = c temos uma parábola.
33. Explique o significado da excentricidade
(
e =
c
a
)
na hipérbole.
Quanto maior a excentricidade da hipérbole, mais "fechada"ela será, ou seja, seus ramos
estarão mais próximos do eixo focal.
34. Uma hipérbole tem centro na origem, focos sobre o eixo x, 8 de eixo real e 6 de eixo imaginário.
21
(a) Ache a equação da hipérbole.
2a = 8
a = 4
2b = 6
b = 3
x2
16
− y
2
9
= 1
(b) Quais são as coordenadas dos focos?
c2 = a2 + b2 = 16 + 9 = 25
c = ±5
F1(0,−5) e F2(0, 5)
35. Obtenha a equação da hipérbole de focos F1(2
√
5, 0) e F2(−2
√
5, 0) e de eixo imaginário de
comprimento 4.
c = 2
√
5
Comprimento do eixo imaginário= 4⇒ b = 2
a2 + b2 = c2
a2 + 4 = 20
a = 4
x2
16
− y
2
4
= 1.
0.9 Parábola
36. Obtenha a equação da parábola, dados o foco F e a diretriz d.
(a) F(5,2), d: x=1
p = 5− 1 = 4
x0 +
p
2
= 5
x0 = 3
(y − 2)2 = 2 · 4(x− 3)
(y − 2)2 = 8(x− 3)
22
F
(
x0 +
p
2
, y0
)
(b) F (−5,−1), d : x = 1
p = | − 5− 1| = 6
x0 +
p
2
= −5
x0 = −2
y0 = −1
(y − y0)2 = −2 · p(x− x0)
(y + 1)2 = −12(x+ 2)
37. Sejam a reta s : y = mx+ 2 e a parábola λ : y2 = 4x. Que valor m deve assumir para que:
(a) s seja secante a λ?
∆ > 0
16− 32m > 0
m <
1
2
(b) s seja tangente a λ?
∆ = 0
16− 32m = 0
m =
1
2
(c) s não intercepte λ?
(mx+ 2)2 = 4x
m2x2 + 4mx+ 4− 4x = 0
m2x2 − x(4− 4m) + 4 = 0
∆ < 0
(4− 4m)2 − 4 · 4m2 < 0
16− 32m+ 16m2 − 16m2 < 0
16− 32m < 0
32m > 16
m >
1
2
(d) s seja secante a λ em um único ponto ?
23
m = 0
s : y = constante
y = 2
38. Esboce o gráfico de y2 = 2x e então responda às questões.
(a) Essa equação representa uma parábola? Por quê?
Sim, pois os pontos da forma
(
y2
2
, y
)
; y ∈ R equidistam de F
(
1
2
, 0
)
e d : x = −1
2
.
(b) Essa equação representa uma função? Por quê?
Não, pois para cada valor de x correspondem dois valores de y.
(c) Como deveria ser a parábola para que sua equação representasse uma função?
(x− x0)2 = ±2p(y − y0)
39. Determine o vértice, o foco e a equação da diretriz das parábolas.
(a) y = x2 − 4x+ 2
y = (x− 2)2 − 2
(y + 2) = (x− 2)2
(x− x0)2 = −2 · p(y − y0)
24
v(2,−2)
2p = 1
p =
1
2
F
(
x0, y0 − p
2
)
F
(
−2, 3− p
2
)
⇒ F
(
−2, 5
2
)
d : y = 3 +
1
2
=
7
2
⇒ d : 2y − 7 = 0
(b) y = x2 − 6x+ 9
y = (x− 3)2
(x− x0)2 = −2p(y − y0)
V (3, 0)
2p = 1
p =
1
2
F
(
x0, yo +
p
2
)
F
(
3, 0 +
1
4
)
F
(
3,
1
4
)
d : y = y0 +
p
2
= 4 +
1
4
=
17
4
⇒ d : 4y − 17 = 0
40. (UFC-CE - 2007) Encontre as equações das retas tangentes à parábola y = x2 que passam
pelo ponto (0,−1).
Sendo m o coeficiente angular da reta tangente, temos que sua equação é y = mx− b.
Como a reta passa pelo ponto (0,−1), temos que b = −1. Então:
y = mx− 1
Para que a tal reta tangencie a parábola, é necessário que o sitema tenha solução única.{
y = x2
y = mx− 1
x2 = mx− 1
x2 −mx+ 1 = 0
(a = 1, b = −m, c = 1)
25
∆ = m2 − 4
Como o sistema deve ter uma única solução, ∆ = 0
m2 − 4 = 0⇔ m1 = 2 ou m2 = −2
As retas tangentes à parábola no ponto (0,−1) são:
y − (−1) = 2(x− 0) e y − (−1) = −2(x− 0)
Ou seja, y = 2x− 1 e y = −2x− 1
26
	Equações da circunferência.
	Posições relativas entre um ponto e uma circunferência.
	Posições relativas entre reta e circunferência.
	Posições relativas entre duas circunferências
	Reconhecimento da equação de uma circunferência
	Tangência entre reta e circunferência
	Elipse
	Hipérbole
	Parábola