Espaços Vetoriais

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Espaços vetoriais - I
Espaços vetoriais - I
Álgebra Linear I - M
Licenciatura Plena em Matemática
Campus Ministro Reis Velloso - CMRV
Universidade Federal do Piauí - UFPI
9 de março de 2018
Espaços vetoriais - I
Por que estudar AL?
A Álgebra Linear está mais presente na sua vida do que você
imagina. Ela é importantíssima, por exemplo:
na engenharia e na ciência da computação, onde a manipu-
lação de imagens, rotação, redimensionamento, alteração
de cores são operações lineares.
Tensores, como generalização de vetores, são ferramentas
amplamente utilizadas na mecânica quântica, relatividade,
e estatística e, por isso, fazem com que a Álgebra Linear
seja fundamental para estudantes de ciências exatas.
Espaços vetoriais - I
Por que estudar AL?
A Álgebra Linear está mais presente na sua vida do que você
imagina. Ela é importantíssima, por exemplo:
na engenharia e na ciência da computação, onde a manipu-
lação de imagens, rotação, redimensionamento, alteração
de cores são operações lineares.
Tensores, como generalização de vetores, são ferramentas
amplamente utilizadas na mecânica quântica, relatividade,
e estatística e, por isso, fazem com que a Álgebra Linear
seja fundamental para estudantes de ciências exatas.
Espaços vetoriais - I
Por que estudar AL?
A Álgebra Linear está mais presente na sua vida do que você
imagina. Ela é importantíssima, por exemplo:
na engenharia e na ciência da computação, onde a manipu-
lação de imagens, rotação, redimensionamento, alteração
de cores são operações lineares.
Tensores, como generalização de vetores, são ferramentas
amplamente utilizadas na mecânica quântica, relatividade,
e estatística e, por isso, fazem com que a Álgebra Linear
seja fundamental para estudantes de ciências exatas.
Espaços vetoriais - I
Por que estudar AL?
A Álgebra Linear está mais presente na sua vida do que você
imagina. Ela é importantíssima, por exemplo:
na engenharia e na ciência da computação, onde a manipu-
lação de imagens, rotação, redimensionamento, alteração
de cores são operações lineares.
Tensores, como generalização de vetores, são ferramentas
amplamente utilizadas na mecânica quântica, relatividade,
e estatística e, por isso, fazem com que a Álgebra Linear
seja fundamental para estudantes de ciências exatas.
Espaços vetoriais - I
Motivação
Necessária para construir curvas e superfícies por pontos
especificados, criar redes elétricas, jogos de estratégia, al-
guns modelos econômicos, administrar florestas, distribuir
temperatura e equilíbrio, por exemplo.
Na Tomografia Computadorizada, modelo de Mínimos
Quadrados para a audição humana e deformações também
não existem sem essa matéria.
Espaços vetoriais - I
Motivação
Necessária para construir curvas e superfícies por pontos
especificados, criar redes elétricas, jogos de estratégia, al-
guns modelos econômicos, administrar florestas, distribuir
temperatura e equilíbrio, por exemplo.
Na Tomografia Computadorizada, modelo de Mínimos
Quadrados para a audição humana e deformações também
não existem sem essa matéria.
Espaços vetoriais - I
Motivação
Necessária para construir curvas e superfícies por pontos
especificados, criar redes elétricas, jogos de estratégia, al-
guns modelos econômicos, administrar florestas, distribuir
temperatura e equilíbrio, por exemplo.
Na Tomografia Computadorizada, modelo de Mínimos
Quadrados para a audição humana e deformações também
não existem sem essa matéria.
Espaços vetoriais - I
Espaços vetoriais
A álgebra linear estuda os espaços vetoriais (ou espaços linea-
res), além de funções lineares que associam vetores entre dois
espaços vetoriais.
Definição 1.
Um espaço vetorial E é um conjunto, cujos elementos são de-
nominados vetores, no qual estão definidas duas operações:
+: E × E → E
· : R× E → E
Espaços vetoriais - I
Espaços vetoriais
A álgebra linear estuda os espaços vetoriais (ou espaços linea-
res), além de funções lineares que associam vetores entre dois
espaços vetoriais.
Definição 1.
Um espaço vetorial E é um conjunto, cujos elementos são de-
nominados vetores, no qual estão definidas duas operações:
+: E × E → E
· : R× E → E
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Espaços vetoriais
A álgebra linear estuda os espaços vetoriais (ou espaços linea-
res), além de funções lineares que associam vetores entre dois
espaços vetoriais.
Definição 1.
Um espaço vetorial E é um conjunto, cujos elementos são de-
nominados vetores, no qual estão definidas duas operações:
+: E × E → E
· : R× E → E
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Espaços vetoriais
A álgebra linear estuda os espaços vetoriais (ou espaços linea-
res), além de funções lineares que associam vetores entre dois
espaços vetoriais.
Definição 1.
Um espaço vetorial E é um conjunto, cujos elementos são de-
nominados vetores, no qual estão definidas duas operações:
+: E × E → E
· : R× E → E
Espaços vetoriais - I
Espaços vetoriais
Essas operações de adição e multiplicação por escalar de-
vem satisfazer, para quaisquer α, β ∈ R e u, v, w ∈ E:
comutatividade:
u+ v = v + u
associatividade: (u+ v) + w = u+ (v + w)
vetor nulo: ∃ 0 ∈ E : u+ 0 = 0 + u = u, ∀ u ∈ E
inverso aditivo: ∀ u ∈ E,∃ (−u) ∈ E : u+ (−u) = 0
distributividade: (α + β)u = αu+ βu,
α(u+ v) = αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · u = u.
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Espaços vetoriais
Essas operações de adição e multiplicação por escalar de-
vem satisfazer, para quaisquer α, β ∈ R e u, v, w ∈ E:
comutatividade: u+ v = v + u
associatividade: (u+ v) + w = u+ (v + w)
vetor nulo: ∃ 0 ∈ E : u+ 0 = 0 + u = u, ∀ u ∈ E
inverso aditivo: ∀ u ∈ E,∃ (−u) ∈ E : u+ (−u) = 0
distributividade: (α + β)u = αu+ βu,
α(u+ v) = αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · u = u.
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Espaços vetoriais
Essas operações de adição e multiplicação por escalar de-
vem satisfazer, para quaisquer α, β ∈ R e u, v, w ∈ E:
comutatividade: u+ v = v + u
associatividade:
(u+ v) + w = u+ (v + w)
vetor nulo: ∃ 0 ∈ E : u+ 0 = 0 + u = u, ∀ u ∈ E
inverso aditivo: ∀ u ∈ E,∃ (−u) ∈ E : u+ (−u) = 0
distributividade: (α + β)u = αu+ βu,
α(u+ v) = αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · u = u.
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Espaços vetoriais
Essas operações de adição e multiplicação por escalar de-
vem satisfazer, para quaisquer α, β ∈ R e u, v, w ∈ E:
comutatividade: u+ v = v + u
associatividade: (u+ v) + w = u+ (v + w)
vetor nulo: ∃ 0 ∈ E : u+ 0 = 0 + u = u, ∀ u ∈ E
inverso aditivo: ∀ u ∈ E,∃ (−u) ∈ E : u+ (−u) = 0
distributividade: (α + β)u = αu+ βu,
α(u+ v) = αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · u = u.
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Espaços vetoriais
Essas operações de adição e multiplicação por escalar de-
vem satisfazer, para quaisquer α, β ∈ R e u, v, w ∈ E:
comutatividade: u+ v = v + u
associatividade: (u+ v) + w = u+ (v + w)
vetor nulo:
∃ 0 ∈ E : u+ 0 = 0 + u = u, ∀ u ∈ E
inverso aditivo: ∀ u ∈ E,∃ (−u) ∈ E : u+ (−u) = 0
distributividade: (α + β)u = αu+ βu,
α(u+ v) = αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · u = u.
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Espaços vetoriais
Essas operações de adição e multiplicação por escalar de-
vem satisfazer, para quaisquer α, β ∈ R e u, v, w ∈ E:
comutatividade: u+ v = v + u
associatividade: (u+ v) + w = u+ (v + w)
vetor nulo: ∃ 0 ∈ E : u+ 0 = 0 + u = u, ∀ u ∈ E
inverso aditivo: ∀ u ∈ E,∃ (−u) ∈ E : u+ (−u) = 0
distributividade: (α + β)u = αu+ βu,
α(u+ v) = αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · u = u.
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Espaços vetoriais
Essas operações de adição e multiplicação por escalar de-
vem satisfazer, para quaisquer α, β ∈ R e u, v, w ∈ E:
comutatividade: u+ v = v + u
associatividade: (u+ v) + w = u+ (v + w)
vetor nulo: ∃0 ∈ E : u+ 0 = 0 + u = u, ∀ u ∈ E
inverso aditivo:
∀ u ∈ E,∃ (−u) ∈ E : u+ (−u) = 0
distributividade: (α + β)u = αu+ βu,
α(u+ v) = αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · u = u.
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Espaços vetoriais
Essas operações de adição e multiplicação por escalar de-
vem satisfazer, para quaisquer α, β ∈ R e u, v, w ∈ E:
comutatividade: u+ v = v + u
associatividade: (u+ v) + w = u+ (v + w)
vetor nulo: ∃ 0 ∈ E : u+ 0 = 0 + u = u, ∀ u ∈ E
inverso aditivo: ∀ u ∈ E,∃ (−u) ∈ E : u+ (−u) = 0
distributividade: (α + β)u = αu+ βu,
α(u+ v) = αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · u = u.
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Espaços vetoriais
Essas operações de adição e multiplicação por escalar de-
vem satisfazer, para quaisquer α, β ∈ R e u, v, w ∈ E:
comutatividade: u+ v = v + u
associatividade: (u+ v) + w = u+ (v + w)
vetor nulo: ∃ 0 ∈ E : u+ 0 = 0 + u = u, ∀ u ∈ E
inverso aditivo: ∀ u ∈ E,∃ (−u) ∈ E : u+ (−u) = 0
distributividade:
(α + β)u = αu+ βu,
α(u+ v) = αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · u = u.
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Espaços vetoriais
Essas operações de adição e multiplicação por escalar de-
vem satisfazer, para quaisquer α, β ∈ R e u, v, w ∈ E:
comutatividade: u+ v = v + u
associatividade: (u+ v) + w = u+ (v + w)
vetor nulo: ∃ 0 ∈ E : u+ 0 = 0 + u = u, ∀ u ∈ E
inverso aditivo: ∀ u ∈ E,∃ (−u) ∈ E : u+ (−u) = 0
distributividade: (α + β)u = αu+ βu,
α(u+ v) = αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · u = u.
Espaços vetoriais - I
Espaços vetoriais
Essas operações de adição e multiplicação por escalar de-
vem satisfazer, para quaisquer α, β ∈ R e u, v, w ∈ E:
comutatividade: u+ v = v + u
associatividade: (u+ v) + w = u+ (v + w)
vetor nulo: ∃ 0 ∈ E : u+ 0 = 0 + u = u, ∀ u ∈ E
inverso aditivo: ∀ u ∈ E,∃ (−u) ∈ E : u+ (−u) = 0
distributividade: (α + β)u = αu+ βu,
α(u+ v) = αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · u = u.
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Espaços vetoriais
Essas operações de adição e multiplicação por escalar de-
vem satisfazer, para quaisquer α, β ∈ R e u, v, w ∈ E:
comutatividade: u+ v = v + u
associatividade: (u+ v) + w = u+ (v + w)
vetor nulo: ∃ 0 ∈ E : u+ 0 = 0 + u = u, ∀ u ∈ E
inverso aditivo: ∀ u ∈ E,∃ (−u) ∈ E : u+ (−u) = 0
distributividade: (α + β)u = αu+ βu,
α(u+ v) = αu+ αv
multiplicação por 1:
1 · u = u.
Espaços vetoriais - I
Espaços vetoriais
Essas operações de adição e multiplicação por escalar de-
vem satisfazer, para quaisquer α, β ∈ R e u, v, w ∈ E:
comutatividade: u+ v = v + u
associatividade: (u+ v) + w = u+ (v + w)
vetor nulo: ∃ 0 ∈ E : u+ 0 = 0 + u = u, ∀ u ∈ E
inverso aditivo: ∀ u ∈ E,∃ (−u) ∈ E : u+ (−u) = 0
distributividade: (α + β)u = αu+ βu,
α(u+ v) = αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · u = u.
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Exemplos
Exemplo 1.
O espaço E = R sobre o corpo dos reais. Com as operações
usuais de adição e multiplicação.
comutatividade: a+ b = b+ a
associatividade: (a+ b) + c = a+ (b+ c)
vetor nulo: 0 "zero"
inverso aditivo: ∀ a ∈ E,∃ (−a) ∈ E : a− a = 0
distributividade:(α+ β)a = αa+ βa, α(a+ b) = αa+αb
multiplicação por 1: 1 · a = a.
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Exemplos
Exemplo 1.
O espaço E = R sobre o corpo dos reais. Com as operações
usuais de adição e multiplicação.
comutatividade: a+ b = b+ a
associatividade: (a+ b) + c = a+ (b+ c)
vetor nulo: 0 "zero"
inverso aditivo: ∀ a ∈ E,∃ (−a) ∈ E : a− a = 0
distributividade:(α+ β)a = αa+ βa, α(a+ b) = αa+αb
multiplicação por 1: 1 · a = a.
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Exemplos
Exemplo 1.
O espaço E = R sobre o corpo dos reais. Com as operações
usuais de adição e multiplicação.
comutatividade: a+ b = b+ a
associatividade: (a+ b) + c = a+ (b+ c)
vetor nulo: 0 "zero"
inverso aditivo: ∀ a ∈ E,∃ (−a) ∈ E : a− a = 0
distributividade:(α+ β)a = αa+ βa, α(a+ b) = αa+αb
multiplicação por 1: 1 · a = a.
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Exemplos
Exemplo 1.
O espaço E = R sobre o corpo dos reais. Com as operações
usuais de adição e multiplicação.
comutatividade: a+ b = b+ a
associatividade: (a+ b) + c = a+ (b+ c)
vetor nulo: 0 "zero"
inverso aditivo: ∀ a ∈ E,∃ (−a) ∈ E : a− a = 0
distributividade:(α+ β)a = αa+ βa, α(a+ b) = αa+αb
multiplicação por 1: 1 · a = a.
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Exemplos
Exemplo 1.
O espaço E = R sobre o corpo dos reais. Com as operações
usuais de adição e multiplicação.
comutatividade: a+ b = b+ a
associatividade: (a+ b) + c = a+ (b+ c)
vetor nulo: 0 "zero"
inverso aditivo: ∀ a ∈ E,∃ (−a) ∈ E : a− a = 0
distributividade:(α+ β)a = αa+ βa, α(a+ b) = αa+αb
multiplicação por 1: 1 · a = a.
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Exemplos
Exemplo 1.
O espaço E = R sobre o corpo dos reais. Com as operações
usuais de adição e multiplicação.
comutatividade: a+ b = b+ a
associatividade: (a+ b) + c = a+ (b+ c)
vetor nulo: 0 "zero"
inverso aditivo: ∀ a ∈ E,∃ (−a) ∈ E : a− a = 0
distributividade:(α+ β)a = αa+ βa, α(a+ b) = αa+αb
multiplicação por 1: 1 · a = a.
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Exemplos
Exemplo 1.
O espaço E = R sobre o corpo dos reais. Com as operações
usuais de adição e multiplicação.
comutatividade: a+ b = b+ a
associatividade: (a+ b) + c = a+ (b+ c)
vetor nulo: 0 "zero"
inverso aditivo: ∀ a ∈ E,∃ (−a) ∈ E : a− a = 0
distributividade:(α+ β)a = αa+ βa, α(a+ b) = αa+αb
multiplicação por 1:
1 · a = a.
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Exemplos
Exemplo 1.
O espaço E = R sobre o corpo dos reais. Com as operações
usuais de adição e multiplicação.
comutatividade: a+ b = b+ a
associatividade: (a+ b) + c = a+ (b+ c)
vetor nulo: 0 "zero"
inverso aditivo: ∀ a ∈ E,∃ (−a) ∈ E : a− a = 0
distributividade:(α+ β)a = αa+ βa, α(a+ b) = αa+αb
multiplicação por 1: 1 · a = a.
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Exemplos
Exemplo 1.
O espaço E = R sobre o corpo dos reais. Com as operações
usuais de adição e multiplicação.
comutatividade: a+ b = b+ a
associatividade: (a+ b) + c = a+ (b+ c)
vetor nulo: 0 "zero"
inverso aditivo: ∀ a ∈ E,∃ (−a) ∈ E : a− a = 0
distributividade:(α+ β)a = αa+ βa, α(a+ b) = αa+αb
multiplicação por 1: 1 · a = a.
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Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
comutatividade:
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
= (c+ a) + (d+ b)i
= (c+ di) + (a+ bi)
associativa: sejam u = a+ bi, v = c+ di e w = e+ fi.
[u+ v] + w = [(a+ c) + (b+ d)i] + (e+ fi)
= [(a+ c) + e] + [(b+ d) + f ]i
= [a+ (c+ e)] + [b+ (d+ f)]i
= (a+ bi) + [(c+ e) + (d+ f)i]
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Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
comutatividade:
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
= (c+ a) + (d+ b)i
= (c+ di) + (a+ bi)
associativa: sejam u = a+ bi, v = c+ di e w = e+ fi.
[u+ v] + w = [(a+ c) + (b+ d)i] + (e+ fi)
= [(a+ c) + e] + [(b+ d) + f ]i
= [a+ (c+ e)] + [b+ (d+ f)]i
= (a+ bi) + [(c+ e) + (d+ f)i]
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Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
comutatividade:
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
= (c+ a) + (d+ b)i
= (c+ di) + (a+ bi)
associativa: sejam u = a+ bi, v = c+ di e w = e+ fi.
[u+ v] + w = [(a+ c) + (b+ d)i] + (e+ fi)
= [(a+ c) + e] + [(b+ d) + f ]i
= [a+ (c+ e)] + [b+ (d+ f)]i
= (a+ bi) + [(c+ e) + (d+ f)i]
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Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
comutatividade:
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
= (c+ a) + (d+ b)i
= (c+ di) + (a+ bi)
associativa: sejam u = a+ bi, v = c+ di e w = e+ fi.
[u+ v] + w = [(a+ c) + (b+ d)i] + (e+ fi)
= [(a+ c) + e] + [(b+ d) + f ]i
= [a+ (c+ e)] + [b+ (d+ f)]i
= (a+ bi) + [(c+ e) + (d+ f)i]
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Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
comutatividade:
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
= (c+ a) + (d+ b)i
= (c+ di) + (a+ bi)
associativa: sejam u = a+ bi, v = c+ di e w = e+ fi.
[u+ v] + w = [(a+ c) + (b+ d)i] + (e+ fi)
= [(a+ c) + e] + [(b+ d) + f ]i
= [a+ (c+ e)] + [b+ (d+f)]i
= (a+ bi) + [(c+ e) + (d+ f)i]
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Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
comutatividade:
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
= (c+ a) + (d+ b)i
= (c+ di) + (a+ bi)
associativa: sejam u = a+ bi, v = c+ di e w = e+ fi.
[u+ v] + w = [(a+ c) + (b+ d)i] + (e+ fi)
= [(a+ c) + e] + [(b+ d) + f ]i
= [a+ (c+ e)] + [b+ (d+ f)]i
= (a+ bi) + [(c+ e) + (d+ f)i]
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Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
comutatividade:
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
= (c+ a) + (d+ b)i
= (c+ di) + (a+ bi)
associativa: sejam u = a+ bi, v = c+ di e w = e+ fi.
[u+ v] + w = [(a+ c) + (b+ d)i] + (e+ fi)
= [(a+ c) + e] + [(b+ d) + f ]i
= [a+ (c+ e)] + [b+ (d+ f)]i
= (a+ bi) + [(c+ e) + (d+ f)i]
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Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
comutatividade:
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
= (c+ a) + (d+ b)i
= (c+ di) + (a+ bi)
associativa: sejam u = a+ bi, v = c+ di e w = e+ fi.
[u+ v] + w = [(a+ c) + (b+ d)i] + (e+ fi)
= [(a+ c) + e] + [(b+ d) + f ]i
= [a+ (c+ e)] + [b+ (d+ f)]i
= (a+ bi) + [(c+ e) + (d+ f)i]
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Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
comutatividade:
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
= (c+ a) + (d+ b)i
= (c+ di) + (a+ bi)
associativa: sejam u = a+ bi, v = c+ di e w = e+ fi.
[u+ v] + w = [(a+ c) + (b+ d)i] + (e+ fi)
= [(a+ c) + e] + [(b+ d) + f ]i
= [a+ (c+ e)] + [b+ (d+ f)]i
= (a+ bi) + [(c+ e) + (d+ f)i]
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Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
comutatividade:
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
= (c+ a) + (d+ b)i
= (c+ di) + (a+ bi)
associativa: sejam u = a+ bi, v = c+ di e w = e+ fi.
[u+ v] + w = [(a+ c) + (b+ d)i] + (e+ fi)
= [(a+ c) + e] + [(b+ d) + f ]i
= [a+ (c+ e)] + [b+ (d+ f)]i
= (a+ bi) + [(c+ e) + (d+ f)i]
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Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
vetor nulo: 0
inverso aditivo: (a+ bi) + (−a− bi) = 0
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
(α + β)u = (α + β)a+ (α + β)bi
= αa+ βa+ αbi+ βbi
= αa+ αbi+ βa++βbi
= α(a+ bi) + β(a+ bi)
= αu+ βu
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Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
vetor nulo: 0
inverso aditivo: (a+ bi) + (−a− bi) = 0
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
(α + β)u = (α + β)a+ (α + β)bi
= αa+ βa+ αbi+ βbi
= αa+ αbi+ βa++βbi
= α(a+ bi) + β(a+ bi)
= αu+ βu
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Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
vetor nulo: 0
inverso aditivo: (a+ bi) + (−a− bi) = 0
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
(α + β)u = (α + β)a+ (α + β)bi
= αa+ βa+ αbi+ βbi
= αa+ αbi+ βa++βbi
= α(a+ bi) + β(a+ bi)
= αu+ βu
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Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
vetor nulo: 0
inverso aditivo: (a+ bi) + (−a− bi) = 0
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
(α + β)u = (α + β)a+ (α + β)bi
= αa+ βa+ αbi+ βbi
= αa+ αbi+ βa++βbi
= α(a+ bi) + β(a+ bi)
= αu+ βu
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Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
vetor nulo: 0
inverso aditivo: (a+ bi) + (−a− bi) = 0
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
(α + β)u = (α + β)a+ (α + β)bi
= αa+ βa+ αbi+ βbi
= αa+ αbi+ βa++βbi
= α(a+ bi) + β(a+ bi)
= αu+ βu
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Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
vetor nulo: 0
inverso aditivo: (a+ bi) + (−a− bi) = 0
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
(α + β)u = (α + β)a+ (α + β)bi
= αa+ βa+ αbi+ βbi
= αa+ αbi+ βa++βbi
= α(a+ bi) + β(a+ bi)
= αu+ βu
Espaços vetoriais - I
Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
vetor nulo: 0
inverso aditivo: (a+ bi) + (−a− bi) = 0
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
(α + β)u = (α + β)a+ (α + β)bi
= αa+ βa+ αbi+ βbi
= αa+ αbi+ βa++βbi
= α(a+ bi) + β(a+ bi)
= αu+ βu
Espaços vetoriais - I
Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
vetor nulo: 0
inverso aditivo: (a+ bi) + (−a− bi) = 0
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
(α + β)u = (α + β)a+ (α + β)bi
= αa+ βa+ αbi+ βbi
= αa+ αbi+ βa++βbi
= α(a+ bi) + β(a+ bi)
= αu+ βu
Espaços vetoriais - I
Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
vetor nulo: 0
inverso aditivo: (a+ bi) + (−a− bi) = 0
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
(α + β)u = (α + β)a+ (α + β)bi
= αa+ βa+ αbi+ βbi
= αa+ αbi+ βa++βbi
= α(a+ bi) + β(a+ bi)
= αu+ βu
Espaços vetoriais - I
Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
α(u+ v) = α[(a+ bi) + (c+ di)]
= α[(a+ c) + (b+ d)i]
= α(a+ c) + α(b+ d)i
= αa+ αc+ αbi+ αdi
= αa+ αbi+ αc+ αdi
= α(a+ bi) + α(c+ di)
= αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · (a+ bi) = a+ bi.
Espaços vetoriais - I
Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
α(u+ v) = α[(a+ bi) + (c+ di)]
= α[(a+ c) + (b+ d)i]
= α(a+ c) + α(b+ d)i
= αa+ αc+ αbi+ αdi
= αa+ αbi+ αc+ αdi
= α(a+ bi) + α(c+ di)
= αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · (a+ bi) = a+ bi.
Espaços vetoriais - I
Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
α(u+ v) = α[(a+ bi) + (c+ di)]
= α[(a+ c) + (b+ d)i]
= α(a+ c) + α(b+ d)i
= αa+ αc+ αbi+ αdi
= αa+ αbi+ αc+ αdi
= α(a+ bi) + α(c+ di)
= αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · (a+ bi) = a+ bi.
Espaços vetoriais - I
Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
α(u+ v) = α[(a+ bi) + (c+ di)]
= α[(a+ c) + (b+ d)i]
= α(a+ c) + α(b+ d)i
= αa+ αc+ αbi+ αdi
= αa+ αbi+ αc+ αdi
= α(a+ bi) + α(c+ di)
= αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · (a+ bi) = a+ bi.
Espaços vetoriais - I
Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
α(u+ v) = α[(a+ bi) + (c+ di)]
= α[(a+ c) + (b+ d)i]
= α(a+ c) + α(b+ d)i
= αa+ αc+ αbi+ αdi
= αa+ αbi+ αc+ αdi
= α(a+ bi) + α(c+ di)
= αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · (a+ bi) = a+ bi.
Espaços vetoriais - I
Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
α(u+ v) = α[(a+ bi) + (c+ di)]
= α[(a+ c) + (b+ d)i]
= α(a+ c) + α(b+ d)i
= αa+ αc+ αbi+ αdi
= αa+ αbi+ αc+ αdi
= α(a+ bi) + α(c+ di)
= αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · (a+ bi) = a+ bi.
Espaços vetoriais - I
Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
α(u+ v) = α[(a+ bi) + (c+ di)]
= α[(a+ c) + (b+ d)i]
= α(a+ c) + α(b+ d)i
= αa+ αc+ αbi+ αdi
= αa+ αbi+ αc+ αdi
= α(a+ bi) + α(c+ di)
= αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · (a+ bi) = a+ bi.
Espaços vetoriais - I
Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
α(u+ v) = α[(a+ bi) + (c+ di)]
= α[(a+ c) + (b+ d)i]
= α(a+ c) + α(b+ d)i
= αa+ αc+ αbi+ αdi
= αa+ αbi+ αc+ αdi
= α(a+ bi) + α(c+ di)
= αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · (a+ bi) = a+ bi.
Espaços vetoriais - I
Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
α(u+ v) = α[(a+ bi) + (c+ di)]
= α[(a+ c) + (b+ d)i]
= α(a+ c) + α(b+ d)i
= αa+ αc+ αbi+ αdi
= αa+ αbi+ αc+ αdi
= α(a+ bi) + α(c+ di)
= αu+ αv
multiplicação por 1:
1 · (a+ bi) = a+ bi.
Espaços vetoriais - I
Exemplos
Exemplo 2.
(C,+, ·)
distributividade: sejam u = a+ bi, v = c+ di
α(u+ v) = α[(a+ bi) + (c+ di)]
= α[(a+ c) + (b+ d)i]
= α(a+ c) + α(b+ d)i
= αa+ αc+ αbi+ αdi
= αa+ αbi+ αc+ αdi
= α(a+ bi) + α(c+ di)
= αu+ αv
multiplicação por 1: 1 · (a+ bi) = a+ bi.
Espaços vetoriais - I
Observação
aa
Espaços vetoriais - I
Exercícios
1. Mostre que é um espaço vetorial (R2,+, ·), onde dados
α ∈ R, x, y ∈ R2, o vetor nulo é (0, 0) e temos:
αx = α(x1, x2) = (αx1, αx2),
x+ y = (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2).
Espaços vetoriais - I
Exercícios
2. Mostre que é um espaço vetorial (E =M2×2(R),+, ·),
onde dados α ∈ R, x, y ∈ E, o vetor nulo é
(
0 0
0 0
)
e
temos:
α
(
x11 x12
x21 x22
)
=
(
αx11 αx12
αx21 αx22
)
,
(
x11 x12
x21x22
)
+
(
y11 y12
y21 y22
)
=
(
x11 + y11 x12 + y12
x21 + y21 x22 + y22
)
.
Espaços vetoriais - I
Exercícios
3. Mostre que é um espaço vetorial (E = P3(R),+, ·), onde
dados α ∈ R, x, y ∈ E, o vetor nulo é 0 e temos:
α(x3t
3 + x2t
2 + x1t+ x0) = αx3t
3 + αx2t
2 + αx1t+ αx0,
(x3t
3 + x2t
2 + x1t+ x0) + (y3t
3 + y2t
2 + y1t+ y0)
= (x3 + y3)t
3 + (x2 + y2)t
2 + (x1 + y1)t+ (x0 + y0).
Espaços vetoriais - I
http://www.professoresdeplantao.com.br/blog/post/42/entenda-
a-algebra-linear-e-sua-aplicacao-no-dia-a-dia.
Lima, E. L. Álgebra Linear. 8 ed. Rio de Janeiro. IMPA,
2009.