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Aula 2 Vetores no plano

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2 – Vetores no plano
2.1 – Definição
Consideremos dois vetores, v⃗1 e v⃗ 2 , não-paralelos, com origem no mesmo ponto O.
Podemos exprimir diversos vetores em função de v⃗1 e v⃗ 2 . Por exemplo:
u⃗=5. v⃗1+4. v⃗2 ; v⃗=−2. v⃗1+3. v⃗2 ; w⃗=−4. v⃗1−v⃗2 ; t⃗=3. v⃗1−2. v⃗2 ; x⃗=3. v⃗1 ; y⃗=2. v⃗ 2
Um vetor v⃗ qualquer pode ser expresso em função de dois vetores quaisquer, v⃗1 e v⃗ 2
e de uma dupla de escalares k 1 e k 2 , tal que:
v⃗=k1 . v⃗1+k 2 . v⃗2
Esse vetor v⃗ é chamado combinação linear de v⃗1 e v⃗ 2 , onde: B={v⃗1 , v⃗2} é a base
da combinação e k 1 e k 2 são as componentes ou coordenadas de v⃗ na base B.
2.2 – Bases ortonormais
Uma base B={e⃗1 , e⃗2} é ortonormal se seus vetores forem ortogonais e unitários.
e⃗1⊥ e⃗2 e |e⃗1|=|e⃗2|=1
A principal base ortonormal é a que determina o sistema cartesiano ortogonal XOY, chamada
de base canônica. Os vetores desta base são simbolizados por i⃗ e j⃗ , onde:
i⃗=(1,0) ; j⃗=(0,1) e C={ i⃗ , j⃗ }={(1,0) ,(0,1)}
Dado um vetor v⃗ qualquer do plano, existe uma só dupla de números x e y tal que:
v⃗=x . i⃗ + y . j⃗
O vetor v⃗ também pode ser representado por v⃗=( x , y) . Este par (x,y) é chamado de
“expressão analítica” de v⃗ .
Observe:
v⃗=3. i⃗ −5. j⃗=(3 ,−5) ; u⃗=3. j⃗=(0,3) ; w⃗=4. i⃗=(4,0) ; O⃗=(0,0) ;
v⃗=O⃗P= x . i⃗+ y . j⃗=( x , y)
2.3 – Igualdade de vetores
Dois vetores u⃗=(x1 , y1) e v⃗=(x2 , y2) são iguais se e somente se x1=x2 e y1= y2 .
2.4 – Operações
Sejam u⃗=(x1 , y1) e v⃗=(x2 , y2) e k ∈ R , definimos:
i) u⃗+ v⃗=(x1 , y1)+( x2 , y2)=(x1+x2 , y1+ y2)
ii) k . u⃗=k . (x1 , y1)=(k . x1 , k . y1)
iii) −u⃗=−(x1 , y1)=(−x1 ,− y1)
iv) u⃗− v⃗=(x1 , y1)−(x2 , y2)=( x1−x2 , y1− y2)
Exemplos
1º) Dados os vetores u⃗=(2 ,−3) e v⃗=(−1,4) , determinar:
a) w⃗=3 u⃗+2 v⃗ b) w⃗=−4 u⃗+5 v⃗
2º) Determinar o vetor x⃗ na igualdade 3 x⃗+2 u⃗=12 v⃗+ x⃗ , com u⃗=(3 ,−1) e v⃗=(−2,4)
3º) Calcular a1 e a2 tal que v⃗=a1 v⃗1+a2 v⃗2 , sendo v⃗=(10,2) , v⃗1=(3,5) e v⃗2=(−1,2)
2.5 – Vetor definido por dois pontos
Seja o vetor A⃗B com origem em A( x1 , y1) e extremo em B (x2 , y2) e seja o ponto
O(0,0) a origem, determinamos: O⃗A=( x1 , y1 ) e O⃗B=(x2 , y2)
Desta maneira temos: O⃗A+ A⃗B=O⃗B que implica em A⃗B=O⃗B−O⃗A
A⃗B=( x2 , y2)−( x1 , y1) → A⃗B=( x2− x1 , y2− y1)
O vetor v⃗ é chamado vetor posição ou representante natural de A⃗B .
Exemplos
4º) Dados os pontos A(-1,2), B(3,-1) e C(-2,4), determinar o ponto D de modo que C⃗D=1
2
A⃗B
5º) Sendo A(-2,4) e B(4,1) extremos de um segmento, determinar os pontos F e G, que dividem
A⃗B em três segmentos de tamanhos iguais.
6º) Sendo A(2,1) e B(5,2) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4,3) o ponto da
interseção de suas diagonais, determinar os vértices C e D.
2.6 – Ponto médio
Sejam A( x1 , y1) e B (x2 , y2) extremos do segmento A⃗B . O ponto médio M ( xm , ym) que
divide A⃗B em duas partes iguais é obtido por meio de:
Pelo gráfico acima observamos que A⃗M=M⃗B . Assim temos: M−A=B−M obtendo
M +M =A+B . Então M= A+B
2
. Logo M=
( x1 , y1)+( x2 , y2)
2
.
M=( x1+ x22 , y1+ y22 )
2.7 – Paralelismo de vetores
Dois vetores, u⃗=(x1 , y1) e v⃗=(x2 , y2) serão paralelos, se e somente se u⃗=α v⃗ ,
α ∈ R .
Demonstração:
Seja u⃗=α v⃗ com u⃗=(x1 , y1) e v⃗=(x2 , y2) , a Î R
(x1 , y1)=α ( x2 , y2)
x1=α . x2 e y1=α . y2
α=
x1
x2
e α=
y1
y2
2.8 – Módulo de um vetor
Sejam os pontos A ( x1 , y1) e B (x2 , y2) , o comprimento (módulo) do vetor A⃗B será
obtido por:
( A⃗B)2=( A⃗C )2+(C⃗B )2 → ( A⃗B)2=(C−A )2+(B−C )2
 |A⃗B|=|⃗d|=√ ( y2− y1)2+(x2− x1)2
Se o vetor estiver com uma extremidade na origem do sistema, o seu módulo será dado por:
|⃗v|=|d⃗|=√ x2+ y2
2.9 – Vetor unitário
Seja o vetor v⃗=(x , y ) . O vetor unitário, chamado de versor, será dado por:
 v⃗e=
v⃗
|⃗v|
= (x , y )
√ x2+ y 2
Exemplos
7º) Dados os pontos A(2,1) e B(-1,4) e os vetores u⃗=(−1,3) e v⃗=(−2 ,−1) , determinar:
a) |⃗u| b) |⃗u+ v⃗| c) |⃗2u−3 v⃗| d) d A⃗B
8º) Determinar, no eixo 0x, um ponto equidistante de A(-1,-2) e B(5,-4).
9º) Dado o vetor v⃗=(−2,1) , calcular o vetor paralelo a v⃗ que tenha:
a) o mesmo sentido de v⃗ e 3 vezes seu módulo;
b) sentido contrário de v⃗ e 1
2
de seu módulo;
c) mesmo sentido de v⃗ e módulo 4;
d) sentido contrário de v⃗ e módulo 2.
10º) Determinar o versor de v⃗=(−3,4)
Exercícios
1) Dados os vetores u⃗=(2,−3) , v⃗=(1,−1) e w⃗=(−2,1) , determinar:
a) x⃗=2 u⃗−v⃗ b) x⃗= v⃗−u⃗+2 w⃗
c) x⃗=1
2
u⃗−2 v⃗−w⃗ d) x⃗=3 u⃗−1
2
v⃗−1
2
w⃗
2) Dados os vetores u⃗=(3,−1) e v⃗=(−1,2) determinar o vetor x⃗ tal que:
a) 4 ( u⃗− v⃗ )+ 1
3
x⃗=2 u⃗− x⃗ b) 3 x⃗−(2 v⃗−u⃗ )=2 (4 x⃗−3 u⃗ )
3) Dados os pontos A(-1,3), B(2,5), C(3,-1) e O(0,0), calcular:
a) x⃗=O⃗A−A⃗B b) x⃗=O⃗C−B⃗C c) x⃗=3 B⃗A−4C⃗B
4) Dados os vetores u⃗=(2,−4) , v⃗=(−5,1) e w⃗=(−12,6) determinar a1 e a 2 de tal
modo que se tenha w⃗=a1 u⃗+a2 v⃗
5) Dados os pontos A(3,-4) e B(-1,1) e o vetor v⃗=(−2,3) , calcular:
a) x⃗=(B−A)+2 v⃗ b) x⃗=(A−B)−v⃗
c) x⃗=B+2(B−A) d) x⃗=3 v⃗−2(A−B)
6) Sejam os pontos A(-5,1) e B(1,3). Determinar o vetor v⃗=(a ,b) tal que:
a) B=A+2 v⃗ b) A=B+3 v⃗
Construir o gráfico correspondente a cada situação.
7) Representar no gráfico o vetor A⃗B e o correspondente vetor posição, nos casos:
a) A(-1,3) e B(3,5) b) A(-1,4) e B(4,1)
c) A(4,0) e B(0,-2) d) A(3,1) e B(3,4)
8) Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor v⃗=(−1,3) , sabendo que sua
extremidade está em (3,1)? Representar graficamente este segmento.
9) No mesmo sistema xOy, representar:
a) Os vetores u⃗=(3,−1) e v⃗=(−2,3) com origem nos pontos A(1,4) e B(1,-4),
respectivamente;
b) os vetores posição de u⃗ e v⃗
10) Sejam os pontos P(2,3), Q(4,2) e R(3,5):
a) Representar em um mesmo gráfico os vetores posição de u⃗ , v⃗ e w⃗ de modo que
sejam satisfeitas as condições: Q=P+ u⃗ , R=Q+ v⃗ e P=R+ w⃗ 
b) Determinar x⃗= u⃗+ v⃗+w⃗
11) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para
a) A(-3,-1), B(4,2) e C(5,5) b) A(5,1), B(7,3) e C(3,4)
12) Sabendo que A(1,-1), B(5,1) e C(6,4) são vértices de um paralelogramo, determinar o quarto
vértice de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados.
13) Dados os pontos A(-3,2), B(5,-2), determinar os pontos M e N pertencentes ao segmento AB
tais que A⃗M =1
2
A⃗B e A⃗N=2
3
A⃗B . Construir o gráfico, marcando os pontos A, B, M, N e P,
devendo ser P tal que A⃗P= 3
2
A⃗B .
14) Sendo A(-2,3) e B(6,-3) extremidades de um segmento, determinar:
a) os pontos C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento
b) os pontos F e G que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento.
15) Dados os vetores u⃗=(1,−1) , v⃗=(−3,4) e w⃗=(8,−6) , calcular:
a) ∣⃗u∣ b) ∣⃗v∣ c) ∣w⃗∣ d) ∣⃗u+ v⃗∣
e) ∣2 u⃗−w⃗∣ f) ∣w⃗−3 u⃗∣ g) v⃗
∣⃗v∣
h) ∣ u⃗
∣⃗u∣
∣
16) Calcular os valores de a para que o vetor u⃗=(a ,−2) tenha módulo 4.
17) Calcular os valores de a para que o vetor u⃗=(a , 12) seja unitário.
18) Provar que os pontos A(-2,-1), B(2,2), C(-1,6) e D(-5,3), nesta ordem, são vértices de um
quadrado.
19) Encontrar um ponto P do eixo Ox de modo que a sua distância ao ponto A(2,-3) seja igual a 5.
20) Dados os pontos A(-4,3) e B(2,1), encontrar o ponto P nos casos:
a) P pertence ao eixo Oy e é eqüidistante de A e B;
b) P é eqüidistante de A e B e a sua ordenada é o dobro da abscissa;
c) P pertence à mediatriz do segmento de extremos A e B.
21) Encontrar o vetor unitário que tenha (I) o mesmo sentido e (II) sentido contrário a v⃗ nos casos
abaixo:
a) v⃗=(−1,1) b) v⃗=(3,−1) c) v⃗=(1,√3) d) v⃗=(0,4)
22) Dado o vetor v⃗=(1,−3) , determinar o vetor paralelo w⃗ a v⃗ que tenha:
a) sentido contrário ao de v⃗ e duas vezes o módulo de v⃗ ;
b) o mesmo sentido de v⃗ e módulo 2;
c) sentido contrário ao de v⃗ e módulo 4.
Respostas1) a) x⃗=(3 ,−5) b) x⃗=(−5,4 ) c) x⃗=(1 ,−12) d) x⃗=(132 ,−9)
2) a) x⃗=(−152 , 152 ) b) x⃗=(235 ,−115 )
3) a) x⃗=(−4,1) b) x⃗=(2,5) c) x⃗=(−5 ,−30) 4) a1=−1 ; a2=2
5) a) x⃗=(−8,11) b) x⃗=(6 ,−8) c) x⃗=(−9,11) d) x⃗=(−14,19)
6) a) v⃗=(3,1) b) v⃗=(−2 ,−23) ; ver gráficos
7) ver gráficos 8) (4,-2) 9) B(4,3) ; A(-1,-1) ; ver gráficos
10) u⃗=(2,−1) ; v⃗=(−1,3) ; w⃗=(−1 ,−2) ; x⃗=(0,0) ; ver gráfico
11) a) D(-2,2) b) D(1,2) 12) D1(2,2) ; D2(0 ,−4) ; D3(10,6)
13) M(1,0) ; N (73 ,−23) , P(9,-4)
14) a) C(0, 32) ; D(2,0) ; E(4,−32) b) F (23 ,1) ; G(103 ,−1)
15) a) |⃗u|=√2 b) |⃗v|=5 c) |w⃗|=10 d) |⃗u+ v⃗|=√13 e) |2 u⃗−w⃗|2=√13
f) |w⃗−3u⃗|=√34 g) v⃗|⃗v|=(−35 , 45) h) | u⃗|⃗u||=4√2
16) a=±2√3 17) a=±√32 18) ver prova / demonstração
19) (6,0) ou (-2,0)
20) a) P(0,5) b) P(-5,-10) c) P(x,3x+5)
21) a) (−√22 , √22 ) e (√22 ,−√22 ) b) (3√1010 ,−√1010 ) e (−3√1010 , √1010 )
c) (12 , √32 ) e (−12 ,−√32 ) d) (0,1) e (0,-1)
22) a) w⃗=(−2,6) b) w⃗=(√105 ,−3√105 ) c) w⃗=(−2√105 , 6√105 )

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