Portfólio 5 aula 5 Tópicos de Física Moderna

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ – UAB – POLO CAUCAIA 
UFC VIRTUAL 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
CURSO DE LICENCIATURA EM FÍSICA 
DISCIPLINA: RM 0613 – Tópicos de Física Moderna 
PROFESSOR/TUTOR: José Alves de Lima Junior 
 
 
ALUNO: Manoel Lopes da Costa - Matrícula 0420472 
 
Fortaleza, 09 de Novembro de 2016 
 
Atividade para Portfólio 5 - Aula 5 - Dualidade Onda-Partícula 
 
Objetivo 
Trabalho da disciplina Tópicos de Física Moderna, para a obtenção da nota do 5º portfólio referente a aula 5, 
tendo como orientador o Professor José Alves de Lima Junior. 
Apresentação do trabalho 
ATIVIDADE INDIVIDUAL 
ATENÇÃO: JUSTIFIQE TODAS AS RESPOSTAS! SEM JUSTIFICATIVA AS RESPOSTAS NÃO TERÃO 
VALOR. NÃO SE LIMITE A MOSTRAR APENAS OS CÁLCULOS. APRESENTE ARGUMENTOS QUE 
MOSTREM O SEU RACIOCÍNIO 
 
01) Calcule o comprimento de onda de de Broglie para uma partícula de massa m e carga q depois de ser 
acelerada por uma diferença de potencial V.[1.226/(Ec)
1/2
] 
Resposta 
 
 
 
 . Ao final da acerelaração a partícula terá energia cinética de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 . Então: 
 
( )
 
 ⁄
. 
Assim: 
 
( )
 
 ⁄
 (não está de acordo com o gabarito). 
 
02) Qual o comprimento de onda de um elétron e de um próton com 1,00 keV?0,0388nm; 904fm 
Resposta 
Para o Eletrón: 
 
( )
 
 
 
Para o próton: 
 
( )
 
 
 
 
 
03) Um cristal tem planos cristalinos cujo espaçamento é 0,30 nm. Um feixe de nêutrons incide sobre o cristal e o 
primeiro máximo de difração é observado em 42º. Determine o comprimento de onda e a energia dos nêutrons. 
Resposta 
Dados: . 
Pela difração de Bragg: 
A energia dos neutrons será de: 
 
 
 onde 
 
 
 
 
 
 ⁄ 
Logo: 
( )
 
 
 
 
 . 
 
04) Um feixe de nêutrons de 0,083eV é espalhado por um cristal e um pico de Bragg é observado em 22º . Qual o 
espaçamento entre os planos do cristal? 1,33ª 
Resposta 
Dados: 
 . 
Supondo o primeiro pico de Bragg(n=1): 
 
 
. Más, sabemos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
 
 ⁄
. Assim: 
 
( )
 
 ⁄
 . 
Logo: 
 
 
 
 
 
 . 
 
 
 
 
05) Determine o fluxo de fótons associados a um feixe monocromático de luz de comprimento de onda de 3000 A 
e intensidade 3x10
-14
W/m
2
. 4,5 fótons/s.cm
2 
Resposta 
Dados: ⁄ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
⁄ 
 
 
⁄ . Mas: . 
Assim: 
 
 
 ⁄⁄ . 
 
06) Uma partícula não-relativistica está se movendo três vezes mais depressa que um elétron. A razão entre o 
comprimento de onda de de Broglie da partícula e o comprimento de onda do elétron é 1,813x10
-4
. Identifique a 
partícula pela sua massa. 939,5Mev 
Resposta 
Dados: 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
Portanto: 
 . (Por esta massa pode ser próton ou neutron) 
 
07) Se um estado tem tempo de vida médio de 10
-7
s, qual é a indeterminação da energia do fóton emitido por esse 
átomo em uma transição espontânea para o estado fundamental?6,6x10
-9
eV 
Resposta 
Pelo princípio de Heisemberg (incerteza): . 
Se , então deve ser no mínimo: 
 
 
 
 
 
 . 
Como: 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
08) Se a indeterminação da posição é igual ao comprimento de onda de de Broglie de uma partícula qual a relação 
entre a indeterminação e o valor do momento da partícula? 
Resposta 
 
 
 
 . Para 
 
 
 mínimo deve ser: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
09) A largura da linha espectral de radiação de 4000A é 10
-4
A. Qual é o tempo médio que o sistema permanece 
neste estado de energia?4,24x10
-9
s 
Resposta 
Dados: Para 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para 
 
 
 
 
Para 
 
 
 
 
 . Assim: (mínimo) 
Então: 
 
 
 . Sendo: ( ). 
Portanto: . (Não está de acordo com gabarito) 
Outra forma de resolver: 
 
 
 
 
 
 (Relação de largura de linha espectral) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
10) A partir da relação de incerteza para o momento linear obtenha a expressão para o momento angular de uma 
partícula movendo-se num circulo de raio R. 
Resposta 
 ⃗⃗ 
 
 
 
 R 
Em termos de incerteza: 
 ( )
 ( )
. 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ou 
 
*Outra interpretação: 
 ( )
| ⃗⃗ | 
. Logo | ⃗⃗ | 
 
11) Qual a menor energia que um fóton deve ter para ser usado para observar um objeto de 2,5 A? 
Resposta 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 . Ou 
 
 
 
 
 
 . 
 
12) Uma partícula de massa m é confinada em um movimento unidimensional de comprimento L. Estime a menor 
energia que esta partícula pode ter. 
Resposta 
Dados: (mínimo) 
 
 
 
 
 
. Sabendo-se que: E 
 
 
. Portanto: 
 
 
 
 
 
. 
Logo: 
 
 
 
 
 
. 
 
13) Considere o átomo de hidrogênio de acordo com o modelo de Bohr. 
a) Calcule, a velocidade de um elétron no estado fundamental. 
b) Determine o comprimento de onda de de Broglie desse elétron. 
c) Determine a relação entre o comprimento de onda de de Broglie e o raio da órbita do elétron. 
Resposta 
(a) 
 
 
 ( ). 
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
 
 ( ). 
Substituindo (2) em (1): 
 
 
 
 
 
 p/ 
 
 
. 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
c (c) Substituindo o resultado de (a) em (2): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 Comparando: 
 
 
 Assim: 
 
 
 . 
 
14)Um elétron e um fóton têm o mesmo comprimento de onda e a energia total do elétron é igual a 1,0 MeV. Determine a 
energia do fóton.0,86 MeV 
Resposta 
Dados: 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
( )
 
 
 
 
Assim, como , temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
�⃗⃗� �⃗� × �⃗⃗� |�⃗⃗� | 𝑹 𝒑 𝒔𝒆𝒏𝟗𝟎 𝑳 𝑹 𝒑 
 𝒙 𝒑 onde 
𝒉
𝟐𝝅
 
15) Você sabe que só se pode associar um caráter ondulatório a uma partícula se ela estiver em movimento. Considerando as 
ondas de Broglie associadas a uma partícula que se move com velocidade v, mostre cuidadosamente como estão relacionadas 
as velocidade de fase, a velocidade de grupo e a velocidade da partícula. 
Resposta 
Quando tratamos de ondas clássicas as soluções são dadas pela equação: 
 
 
 ( )
 
 
 ( )
 
. 
Exemplo de onda muito estudado é o das ondas harmônicas. Na equação de uma onda harmônica com 
amplitude , frequência , período , se propagando no sentido positivo do eixo podem serem expressas 
pela equação: ( ) ( ) (
 
 
 
 
 
) 
 
 
( ), onde: 
 
 
e 
 
 
. 
Sabemos que a velocidade de fase é e que somando duas ondas harmônicas de mesma amplitude e 
frequencia que se propagam em sentidos opostos obtemos ondas estacionárias que são descritas pela 
equação: ( ) * (
 
 
)+ ( 
 
 
). Onde é a diferença de fases entre as ondas. 
Este fenômeno de batimento é obtido pela soma de ondas harmônicas. 
Consideremdo o exemplo dado pela soma de duas ondas harmônicas teremos: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) (
 
 
 
 
 
 ) ( ̅̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ), 
onde e as freqüências muito próximas para podermos usar: 
 
 
 
 e 
 
 
. 
Observando o gráfico abaixo vemos a intensidade da onda resultante. 
Observe que esta não é uma onda harmônica e sua amplitude não é constante ao longo do eixo . 
As duas onda com freqüências próximas interferem construtiva e destrutivamente produzindo um sucessão 
outras ondas infinita de grupos. 
 
A curva tracejada corresponde à envoltória que limita a oscilação e é determinada pelo primeiro termo em 
cosseno e se propaga com velocidade 
 
 
 (velocidade de grupo). A onda no interior da envoltória se 
propaga com velocidade 
 ̅
 ̅
 (velocidade de fase). 
 Para construir um pacote de onda mais genérico devemos somar um numero maior de ondas com 
comprimentos de onda e amplitudes ligeiramente diferentes. 
Quando a velocidade de fase é a mesma para todas as frequências 
 
 
 , a velocidade de grupo é igual a 
velocidade de fase. Este fato ocorre em um meio não dispersivo. Quando isso ocorrer no meio não 
dispersivos temos uma corda perfeitamente flexível para ondas mecânicas (o ar para ondas sonoras e o 
vácuo para ondas eletromagnéticas). 
Para um meio em que a velocidade depende das frequências, o pulso se deforma enquanto se propaga e o 
meio é dito dispersivo. Exemplo temos a água para as ondas do mar, uma corda que não seja perfeitamente 
flexível para ondas mecânicas, o vidro ou a água para as ondas eletromagnéticas. 
16) Os resultados da experiência de Davisson e Germer, em 1927, comprovaram as relações de de Broglie para os 
comprimentos de onda associados aos elétrons, confirmando assim as propriedades ondulatórias das partículas. 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/oscar2004/mod05/m_s03.html 
Observam-se máximos de interferência para um ângulo de espalhamento  de aproximadamente 50o, quando um 
feixe de elétrons com energia cinética Ec=54 eV incide sobre uma folha de níquel cristalino. 
Determine o espaçamento entre os planos de átomos. 
Resposta 
Dados: 
 
√ 
 
 
 
√ 
 . Assim: 
 
 
 
 
 
 . 
 
17) De acordo com os postulados de Bohr, as órbitas do elétron, no átomo de hidrogênio são estáveis. De acordo com a teoria 
de de Broglie a matéria apresenta características ondulatórias, possuindo um comprimento de onda que chamamos de 
comprimento de onda de de Broglie. 
a) Mostre a correspondência entre a teoria de Bohr e a de de Broglie determinando o número de comprimentos de ondas de 
de Broglie que estão contidos na órbita do segundo estado excitado do átomo de hidrogênio. 
b) Em que região do espectro estaria classificado um fóton com esse mesmo comprimento de onda? 
c) Porque o elétron não poderia orbitar entre os estados 3 e 4, por exemplo? 
Resposta 
(a) Partindo da condição de quantização de Bohr e usando as de Broglie: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para ( segundo estado excitado): 
Assim, são necessários três comprimentos de onda de Broglie para compor essa circunferência. 
 
 
 
 
 r 
 
 
 
(b) Pela equação para o átomo de Bohr: . Para . 
Logo: 
 
 
 (raios X, conforme verificado no espectro). 
(c) se o elétron orbitasse, por exemplo em um estado 3,5, isso iria contra o pribcípio de Bohr em que 
 
18) Dos gráfico a baixo justifique quais podem e quais não podem representar uma função de onda 
)(x
. 
 
Resposta 
(a) A função de onda precisa ser finita já que | ( )| . Portanto esta função não representa uma onda. 
(b) Para um mesmo valor de “x” a função pode ter somente um único valor. Assim, não é uma função de 
onda. 
(c) Essa é uma boa representação. A função parece ser finita e para cada valor de “x” existe apenas um 
valor de y(x). 
 
19) Mostre que a função de onda 
)()( tkxAex 
não satisfaz a equação de onda de Schorödinger dependente do 
tempo. 
Resposta 
 ( ) ( ) 
 
 ( )
 
 
 
 
 ( )
 
 ( ) (Equação de Schorödinger dependente do tempo) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
Logo: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 
 
 
 ) 
 
 
 
 ( ) 
 
Complexo Real 
Puro Puro 
Logo: ( ) não é solução da equação de Schorödinger. 
 
20) Mostre que a função de onda 
)(
)(
tkxiAex


 satisfaz tanto a equação de onda de Schorödinger dependente 
quanto a independente do tempo. 
Resposta 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 -1 
Logo: ( ( )) 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) (
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 ( )(OK Basta escolher a função V correta). 
 
 
 
 ( )
 
 ( ) ( ) ( ) (Equação de Schorödinger independente do tempo) 
 
 
 
 ( )
 
 [ ( ) ( )] ( ) 
 ( )
 
 
 ( )
 ( )
 ( ). Assim: 
 
 
 
 [ ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) 
 
 
 ( ) (OK) 
Logo: ( ) ( ) satisfaz as Equação de Schorödinger dependente e independente do tempo. 
 
 
*********************************************************************Todas as questões têm igual valor: 0,5. 
 
DADOS QUE VOCÊ PODE PRECISAR: 
 
 
Carga do elétron: e= 1,6 x 10 
– 19
 C 
Massa do elétron: me = 9,1 x 10 
– 31
 kg 
Massa do próton: mp=1,6726 x 10
-27
 kg 
Massa do neutron: mn =1,6750 x 10
-27
 kg 
Cosntante de Planck: h=6,625 x 10
-34 
J.s 
 
1,0 eV=1,6 x 10
19
 J 
1,0 A=10
-10
m; 
1,0 fm = 10
-15
m 
1 pm = 10
-12
 m