Cálculo I - lista otimizacao e gabarito

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Lista de exercícios - Cálculo Diferencial e Integral I 
 
Problemas de Otimização 
 
1) De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer uma 
calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem 
ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima? 
 
2) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 
cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado da cada canto da 
cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o 
tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo. 
 
3) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de 375pi cm3. O custo 
do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos o cm2 e o custo do 
material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm2. Se não há perda de 
material, determine as dimensões que minimizem o custo do material. 
 
4) Determine o volume máximo de um cilindro circular reto que pode ser inscrito em 
um cone de 12 cm de altura e 4 cm de raio da base, se os eixos do cilindro e do cone 
coincidem. 
 
5) Deve-se construir um tanque para armazenamento de gás propano em forma de 
cilindro circular reto com dois hemisférios nas extremidades. O custo de metro 
quadrado dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica. Se a capacidade do 
tanque deve ser de 10pi cm3, que dimensões minimizará o custo da construção? 
 
6) Uma bateria de voltagem fixa V e resistência interna fixa r está ligada a um circuito 
de resistência variável R. Pela Lei de Ohm, a corrente I no circuito é I = 
)rR(
V
+
. Se a 
força resultante é dada por P = I2.R, mostre que a força máxima ocorre quando R = r. 
 
7) Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 120 m/s. 
Pela física sabemos que sua distância acima do solo após t segundos é 
s(t) = - 4,9t2 + 120t. 
a) Determine em que instante e com que velocidade o projétil atinge o solo. 
b) Determine a altura máxima alcançada pelo projétil. 
c) Determine a aceleração em um instante t arbitrário. 
 
8) Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de x 
reproduções (manuais) de uma mesa colonial é dado por C(x) = x3 – 3x2 – 80x + 500. 
Cada mesa é vendida por R$ 2800,00. Que produção semanal maximizará o lucro? 
Qual o máximo lucro semanal possível? 
 
9) Uma lata cilíndrica fechada pode conter 1 litro (1000 cm3) de líquido. Como 
poderíamos escolher a altura e o raio para minimizar o material usado na confecção 
da lata? 
 
10) O Departamento de Estradas e Rodagens planeja construir uma área de 
piquenique para os motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Ela deve ser 
retangular, com uma área de 5000 metros quadrados, e deverá ser cercada nos três 
lados não-adjacentes à estrada. Qual é a menor quantidade de cerca que será 
necessária para completar o trabalho? 
 
11) No projeto de aviões, uma característica importante é o chamado “fator de 
arraste”, isto é, a força de freagem exercida pelo ar sobre o avião. Um modelo mede 
o arraste por uma função da forma F(v) = Av2 +
2v
B
, onde A e B são constantes 
positivas. Descobre-se experimentalmente que o arraste é minimizado quando v = 
160 mph. Use esta informação para encontrar a razão 
A
B
. 
 
Sugestões para a resolução e gabarito 
 
1) x = 7,5 cm 
 
2) V = x(40 – 2x)(52 – 2x) 
x = 7,47 cm 
__________________________________________________________________ 
3) V = 375pi cm3 
V = pir2h = 375pi 
h = 
2r
375
 
Custo = 15(pir2) + 5(2pirh) 
C = 15(pir2) + 5(2pir
2r
375
) 
C = 15pir2 + 3750r -1 
C’(r) = 0 
30pir - 3750r -2 = 0 
r = 5 cm 
h = 15 cm 
___________________________________________________________________ 
 
4) Fazendo semelhança de triângulos 
 
 
4
12
r4
h
=
−
 
 h = 3(4 – r) 
 
 
 
 
V = pir2h = pir2(3)(4 – r) 
r = 
3
8
 
____________________________________________________________________ 
5) r = 315
2
1
 m 
h = 3152 m 
____________________________________________________________________ 
 
6) I = 
rR
V
+
 
P = I2 R 
P = R
rR
V
2






+
 
P’(R) = 0 
R = r 
____________________________________________________________________ 
 
7) a) – 4,9t2 + 120t = 0 
t = 0 ou t = 24,5 
O projétil atinge o solo após 24,5 
segundos 
v(t) = s’(t) = –9,8 + 120 
s’(24,5) = –120,1 m/s 
 
b) v(t) = 0 
t = 12,24 s 
 
c) a(t) = s”(t) = – 9,8 m/s2 
v(24,5)  = 120,1 m/s 
____________________________________________________________________ 
 
8) Lucro = L(x) 
Receita = R(x) 
Custo = C(x) 
L(x) = R(x) – C(x) 
L(x) = 2800x – (x3 – 3x2 – 80x + 500) 
L’(x) = 0 
 
Resposta: x = 32 mesas 
L(32) = 61 964 unidades monetárias 
____________________________________________________________________ 
 
9) V = 1000 cm3 
V = pir2h = 1000 
h = 
2r
1000
Π
 
Material = 2pir2 + 2pirh 
M(r) = 2pir2 + 2pir
2r
1000
Π
 
M’(r) = 0 
r = 3
500
Π
 ≈ 5,42 cm 
h = 10,84 cm = 2r 
____________________________________________________________________ 
 
10) A = 5000 m2 
A = xy = 5000 
y = 
x
5000
 
Cerca = 2x + y 
C(x) = 2x + 
x
5000
 
C’(x) = 0 
x = 50m 
y = 100m 
____________________________________________________________________ 
11) F(v) = Av2 + 
2v
B
 
F’(v) = 0 
 
 
 
A
B
 = (160)4