Portfólio 4 aula 4 Tópicos de Física Moderna

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ – UAB – POLO CAUCAIA 
UFC VIRTUAL 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
CURSO DE LICENCIATURA EM FÍSICA 
DISCIPLINA: RM 0613 – Tópicos de Física Moderna 
PROFESSOR/TUTOR: José Alves de Lima Junior 
 
 
ALUNO: Manoel Lopes da Costa - Matrícula 0420472 
 
Fortaleza, 21 de Outubro de 2016 
 
Atividade para Portfólio 4 - Aula 4 - Modelos Atômicos II - O Átomo Quantizado 
 
Objetivo 
Trabalho da disciplina Tópicos de Física Moderna, para a obtenção da nota do 4º portfólio referente a aula 4, 
tendo como orientador o Professor José Alves de Lima Junior. 
Apresentação do trabalho 
ATIVIDADE INDIVIDUAL 
ATENÇÃO: JUSTIFIQUE TODAS AS RESPOSTAS! SEM JUSTIFICATIVA AS RESPOSTAS NÃO TERÃO 
VALOR. NÃO SE LIMITE A MOSTRAR APENAS OS CÁLCULOS. APRESENTE ARGUMENTOS QUE 
MOSTREM O SEU RACIOCÍNIO 
RESPOSTAS 
01) O modelo de Bohr é baseado em quatro postulados. Quais são esses postulados e o que cada um deles 
significa? 
Os postulados de Bohr explicavam completamente o átomo de hidrogenio e os atomos ditos hidrogenoides. 
- O postulado 1 afirma que: O MODELO ATÔMICO É PLANETÁRIO O eletron gira em torno do núcleo do 
átomo com movimento circular uniforme(MCU), sob a ação de forças eletrostáticas, obedecendo as leis da 
mecanica clássica ( Newton). 
- O postulado 2 explica: O MOMENTO ANGULAR DO ÁTOMO É QUANTIZADO As únicas órbitas permitidas 
serão aquelas em que o momento angular do elétron é um múltiplo inteiro da constante de Planck (h). 
- O postulado 3 indica: AS ÓRBITAS SÃO ESTACIONÁRIAS Quando o elétron está em uma dessas órbitas 
permitidas, o átomo não irradia. 
- O postulado 4 afirma que: O ÁTOMO SÓ PODE EMITIR OU ABSORVER ENERGIA DE FORMA DISCRETA Se o 
elétron passar de uma órbita para outra, ele absorve ou emite uma quantidade de energia igual a diferença 
de energia entre essas órbitas. 
 
02) Mostre que a quantização do momento angular, leva à quantização da energia. 
Como o momento angular é quantizado, o raio do átomo também pode assumir certos valores. 
Essas relações matematicamente são escritas assim: 
Momento Angular Quantificado 
 
 
 
Raio do Atomo e Quantizado 
Más pela energia cinética 
 
 
 
 
 
 
 
. Usando a expressão para determinar o raio do átomo 
visto anteriormente temos: (
 
 
 
) 1, 2, 3, ... Esta expressão é substituida na energia cinética: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
( ) 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 
)
 
 
 ( ) 
Más temos que trabalhar a energia potencial. Sabendo-se que para o átomo de hidrogênio, aforça de atração 
coulombiana entre o único próton(carga +) do núcleo e o o único elétron (carga -), promove uma interação 
atrativa entre as partículas. Desta forma, a energia potencial elétrica será: 
 
 
( ) 
 
 . 
Aplicando novamente a expressão para o raio: (
 
 
 
) . Substituindo a expressão, a 
energia potencial ficará: 
 
 
 ( )
( 
 ) 
 (
 
 
 
)
 
 
 ( ) 
Como a energia cinética e potencial do átomo, podemos encontrar a energia total: . Portanto a 
energia do átomo será encontrada por: 
 (
 
 
)
 
 
 ( ) 
 
 
03) O modelo de Bohr também é um modelo planetário. 
a) Mostre que os raios das órbitas, supostas circulares, também são quantizados. 
b) Explique o que é o raio de Bohr e determine o seu valor. 
 
(a) Sabemos que o movimento circular uniforme os vetores “r” e “v” são sempre perpendiculares entre si. 
Então o módulo do vetor momento angular será: . No postulado de Bohr, o momento angular 
fica: 
 
 
 . 
Podemos fazer um ajuste de substituição utilizando as expressões abaixo: 
 
 
 
 
 
( ); 
 
 
( ). Substituindo a expressão para velocidade dada para equação (2) na 
equação (1) ficará: 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 
) 
 
(b) O Raio de Bohr é o raio da camada eletrônica mais próxima do núcleo atômico. Ele corresponde à órbita 
com . Esse nível é conhecido como estado fundamental do átomo de hidrogênio. É o estado que 
corresponde à menor energia, isto é, -13,6 eV. 
Para calcular o valor aplicamos a equação: 
 (
 
 
 
) onde: 
 
 
 
 ( ). 
Portanto: 
 Å 1Angstron (Å) . 
 
04) De acordo com o modelo de Bohr, a energia do átomo é quantizada e, para o átomo de hidrogênio pode ser 
escrita como: 
 
 
 
a) O que significam valores negativos de energia? 
b) O que significa a dependência com o quadrado do nível de energia n? 
(a) A energia negativa diz respeito ao átomo está ligado (elétron preso ao núcleo). Assim, para que um 
determinado elétron perca a interação com o núcleo atômico é necessário que o mesmo receba energia. 
 
(b) Quanto maior o valor de “n” menor será a energia necessária para se retirar o eletrón no nível “n”. 
 
05) Qual seria a expressão para a energia quantizada, se em vez de um átomo de hidrogênio, considerássemos um 
átomo de hélio ionizado? 
Usando a equação 3 da página 230 do impresso total ou da questão 2 item (a), teremos: 
 (
 
 
)
 
 
 
O átono de Hélio ionizado possui . Essa é a única diferença em relação ao átomo de hidrogenio que 
possui . Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06) Explique, cuidadosamente o que é: 
a) Energia de ligação Elig. 
b) Energia de excitação Eexc. 
c) Energia de ionização Eion. 
d) Qual a diferença entre elas. 
 
(a) Energia de ligação ( ) é a energia que o átomo deve receber para que seu elétron saia de um estado 
excitado qualquer ( ) e passe para o estado ( ) Podemos defini-la pela equação: 
 
 mos para o estado inicial que ( ) para o estado final Portanto: 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
(b) Energia de excitação ( ) é a energia que o átomo deve receber para que seu elétron saia do estado 
fundamental ( )e passe para qualquer outro estado ( ). Definimos pela equação: 
,...3,2,1,
6,13
 -
2
== neV
n
En
 
 mos para o estado inicial que para o estado final ( ) Portanto: 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
(c) Energia de ionização ( ) é a energia que o átomo deve receber para que seu elétron saia do estado 
fundamental ( ) e passe para o estado ( ). É definida pela equação: 
 
 mos para o estado inicial que para o estado final Portanto: 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
(d) Na energia de ligação um átomo já está num estado excitado e seu elétron recebe energia suficiente para 
ir para o estado ( ), libertando-se do átomo; na energia de excitação, o elétron sai do estado 
fundamental passando para outro estado diferente de “um” excitando o átomo; e na energia de ionização, 
o elétron sai do estado fundamental passando para um estado tendendo ao infinito. 
 
As energias de ionização, de ligação e de excitação sempre terão valores positivos. 
07) Construa um diagrama de níveis de energia para o átomo de hidrogênio. 
a) indique graficamente, quepara qulquer que seja o nível de energia n, sempre teremos Eion. = Eexc. + Elig. 
b) Considere n=5 e verifique numericamente a afirmativa do item (a). 
 
(a) 
 
 
 H 
 
 
(b) 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
Logo: ( ) 
 
08) Considere um elétron no estado fundamental de um átomo de hidrogênio. 
a) Determine a frequência desse elétron ao redor do núcleo do átomo. 
b) Determine em Ampères, o valor da corrente elétrica correspondente a esse movimento do elétron. 
Respostas: (a) 7 x 10
5 
Hz; (b) 1,13 mA 
(a) 
 
 
 H e 
 
 
 
 Assim: 
 
 
 
√
 
 ( ) 
 
A potência de dez não condiz com o gabarito. 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑬𝑰𝒐𝒏 𝑬 𝑬𝟏 ↔ 𝑬𝑬𝒙𝒄 𝑬𝒏 𝑬𝟏 ↔ 𝑬𝑳𝒊𝒈 𝑬 𝑬𝒏 
Assim: 
 𝑬𝑰𝒐𝒏 𝑬𝑬𝒙𝒄 𝑬𝑳𝒊𝒈 ↔ 𝑬 𝑬𝟏 𝑬𝒏 𝑬𝟏 𝑬 𝑬𝒏 𝑬 𝑬𝟏 𝑬 𝑬𝟏 (𝐕) 
𝑭𝑪𝑷 𝑭𝒆 
𝒎𝑽𝟐
𝑹
 
𝑲 𝒁 𝒆𝟐
𝑹𝟐
 𝒎 𝝎𝟐𝑹𝟐 
𝑲𝒁𝒆𝟐
𝑹
 𝝎𝟐 
𝑲𝒁𝒆𝟐
𝒎𝑹𝟑
 (𝟐𝝅 𝒇)𝟐 
𝑲𝒁𝒆𝟐
𝒎𝑹𝟑
 
𝒇𝟐 
𝟏
(𝟐𝝅)𝟐
𝑲𝒁𝒆𝟐
𝒎𝑹𝟑
 𝒇 
𝟏
𝟐𝝅
 𝒆√
𝑲𝒁
𝒎𝑹𝟑
 𝐨𝐧𝐝𝐞 𝑹 𝒓𝑩 𝟎 𝟓𝟑 𝟏
𝟐 Å 𝟏Å 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝒎 
 
09) Anos antes do modelo de Bohr ser proposto com um modelo atômico, os espectroscopistas já apresentavam 
fórmulas empíricas para explicar as raias espectrais emitidas pelos gases. As raias da série de Balmer, foi a 
primeira a ser descoberta em 1885, 27 antes de Bohr propor o seu modelo quantizado de átomo. Além da série 
de Balmer, foram descobertas as séries de Lyman, de Paschen, Brackett e de Pfund. 
a) Identifique e descreva cada uma dessas séries espectrais. 
b) Explique cuidadosamente, como o modelo de Bohr explica a existência das séries e como ele elimina 
totalmente a necessidade de decorar cada uma das fórmulas associada a cada uma delas. 
 
(a) As séries do espectrais são as seguintes: 
 Série de Balmer, na região visível. Permitia calcular o comprimento de onda de cada uma das cores 
emitidas. 
 
 
 (
 
 
 
 
 
) 
As cores do espectro eram classificadas pelas letras Hα, Hβ, Hγ, e assim por diante. A linha, ou raia Hα, 
corresponde a n = 3; Hβ, corresponde a n = 4; Hγ, corresponde a n = 5,... . 
 Série de Lyman, na região do ultravioleta. Nesta foi criada a equação seguinte. 
 
 
 (
 
 
 
 
 
) 
 
 Séries de Paschen, de Brackett e de Pfund, todas para na região do infravermelho. 
 
 
 (
 
 
 
 
 
) 
 
 
 (
 
 
 
 
 
) 
 
 
 (
 
 
 
 
 
) 
Onde R é chamada de constante de Rydberg que para o átomo de hidrogênio o valor é: R = 1,097 . 
 
(b) As séries espectrais que serviam para calcular os comprimentos de onda (séries de Lyman, Balmer, etc.) 
eram apenas fórmulas matemáticas sem significado físico. Bohr também explica muito bem a origem dos 
espectros de absorção. 
Já sabemos que se um gás receber a quantidade certa de energia ele ficará excitado, ou até ionizado, pois seus 
elétrons realizando o salto quântico passam para níveis de energia mais altos. 
Quando a luz branca, que contém todos os comprimentos de onda, ou seja, contém todas as frequências e 
assim possui todas as energias correspondentes, 
 
 
, atravessa uma amostra de gás hidrogênio, os 
fótons são absorvidos e os elétrons passarão para níveis de energia mais altos. 
Se essa luz branca, for passada através de um prisma, serão notadas algumas raias escuras. Essas raias 
escuras são exatamente a falta daquelas luzes, cujos fótons foram absorvidos pelo gás, excitando-o. 
O tempo que um elétron permanece em um estado excitado é muito curto. As experiências mostram que após 
um intervalo de tempo de cerca de , o elétron decai, procurando sempre ir para o estado fundamental, 
de energia mais baixa. 
A confirmação da teoria de Bohr foi a experiência de Frank-Hertz. Essa experiência deu a confirmação direta 
de que os estados de energia de um átomo são mesmo quantizados minimizando assim a necessidade de 
muitas fórmulas. 
 
10) Trabalhar somente com fórmulas matemáticas não é nada interessante. Entretanto, não podemos abrir mão 
dessa ferramente tão poderosa que é a Matemática. Assim, trabalhe um pouquinho e demonstre que a 
quantização de energia proposta por Bohr, leva exatamente às expressões das séries espectrais. 
 
 
 
 
 
Onde R é a constante de Rydberg. 
 (
 
 
 
) 
 
 
 
 (
 
 
 
) 
 
 
 
 
 ( ) 









22
11
R
1
if nn
Então: 
 
 
 (
 
 
 
) ( 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
↔↔
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 (
 
 
 
) [
 
 
 
 
 
 ]. 
 R = constante de Rydberg 
11) Determine a mínima energia que deve ser fornecida a um átomo de hidrogênio para que ele possa emitir a linha 
H na série de Balmer? 
Para a linha ou raia , 
 para a série Balmer: . 
 
 
 
 ( 
 
 
) . 
 
12) Considerando a situação do problema 11, determine quantas raias espectrais possíveis se pode esperar se o 
elétron finalmente cai para o estado fundamental? 
 
 n = 5 
 n = 4 
 n = 3 
 n = 2 
 n = 1(estado fundamental) 
 
13) Um fóton de energia igual a 12,1 eV é absorvido por um átomo de hidrogênio, originalmente no estado 
fundamental e leva esse átomo a um estado quântico excitado. Determine o número quântico desse estado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
14) Um átomo de hidrogênio pode receber energia de valor 25,6 eV, por exemplo? Isso estaria violando a 
quantização de energia? JUSTIFIQUE. 
Sim. Não. Se o átomo receber 25,6eV o elétron terá energia suficiente para ser retirado do átomo e o restante 
será transformada em energia cinética. 
Dados: 
 
 
15) A experiência desenvolvida por James Franck e Gustav Hertz, em 
1914, forneceu evidências favoráveisao modelo atômico de Bohr. 
Releia a Aula 4. Sobre este assunto. 
O resultado da experiência é mostrado na figura ao lado, que mostra o 
gráfico de da corrente elétrica I versus a ddp aplicada,V. O gráfico 
mostra claramente uma queda na corrente para valores da voltagem 
aplicada múltiplos de 4,9 V 
a) Explique cuidadosamete por que isso ocorreu. 
b) Como você pode justificar essas quedas na corrente baseado na 
quantizaçãod e energia, de acordo com o modelo de Bohr? 
 
(
𝒏
𝟐
) (
𝟓
𝟐
) 
𝟓!
𝟐!𝟑!
 
𝟓 𝟒 𝟑!
𝟐! 𝟑!
 
𝟐𝟎
𝟐
 𝟏𝟎 possibilidades. 
 
(a) O esperado para uma maior voltagem de aceleração, produza uma maior energia cinética, o que significa 
que mais elétrons atingem o ânodo, resultando em uma corrente maior. Excepcionalmente ocorre esta 
diferença de potencial a energia cinética dos elétrons é suficiente para mandar o elétron de valência do 
mercúrio para o primeiro nível excitado através de uma colisão inelástica. 
Como o elétron perde energia, ele não consegue mais atravessar a região entre a grade e o ânodo, devido à 
diferença de potencial Vd. Isto faz com que a corrente I atinja um mínimo. Se a diferença de potencial Va é 
aumentada acima de 4,9 V, a energia cinética dos elétrons é novamente suficiente para que eles consigam 
vencer a diferença de potencial Vd, fazendo com que a corrente I volte a aumentar. 
Quando Va é 2 × 4,9 V, a energia cinética é tão alta que dois átomos em sucessão podem ser excitados pelo 
mesmo elétron. Isto produz um segundo mínimo na corrente I. O gráfico de I versus Va apresenta 
máximos e mínimos equidistantes, a intervalos de 4,9 V. 
(Fonte: http://www.ufv.br/dpf/320/Franck-Hertz.pdf) 
 
(b)A experiência mostra que ao absorver uma energia de 13,6 eV, o átomo de hidrogênio fica ionizado, ou 
seja, perde seu único elétron. Este valor é encontrado através da energia quantizada do átomo de Bohr. 
Como o elétron perde energia, ele não consegue mais atravessar a região entre a grade e o ânodo, devido à 
diferença de potencial Vd. Isto faz com que a corrente I atinja um mínimo. 
Se a diferença de potencial Va é aumentada acima de 4,9 V, a energia cinética dos elétrons é novamente 
suficiente para que eles consigam vencer a diferença de potencial Vd, fazendo com que a corrente I volte a 
aumentar. 
 
16) Determine a máxima energia de um fóton emitida ou absorvida pelo átomo de hidrogênio. 
A máxima energia absorvida é a energia de ionização. 0 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
Essa é também a máxima energia que pode ser emitida por um fóton. 
17) Imagine que a Terra em seu movimento de translação, obedece ao modelo de Bohr. Determine o número 
quântico da Terra em sua órbita em torno do Sol. Interprete seu resultado. 
Resposta: 2 x 10
72 
A distância média entre o Sol e a Terra é de: . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√
 
 
 
Sabendo-se que: 
 
 
 
Então: 
 
 
 
√
 
 
 
Esse número representaria uma baixissima interação entre a Terra e o Sol. 
18) Determine o máximo comprimento de onda de um fóton que um átomo de hidrogênio, em seu primeiro estado 
excitado pode absorver. 
Dados: 
Note que quanto maior a diferença de energia, menor será o comprimento de onda. Assim para que tenhamos 
o maior o maior comprimento de onda possivel devemos ter a menor diferença de energia. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) De acordo com o modelo clássico, a radiação emitida por um átomo seria igual à frequência orbital de um 
elétron em seu movimento em torno do núcleo. No modelo de Bohr, as energias são quantizadas. Assim compare a 
frequência orbital de um elétron de um átomo de hidrogênio no nível n=3 com as frequências permitidas que esse 
átomo pode emitir. Discuta seu resultado. 
Modelo de Bohr: 
 
 
 √
 
 
 . 
Modelo Clássico: 
 ↔
 
 
 
 
 
↔
 
 
 ( ) √
 
 ( ) 
 
 
 
√
 
 
 
 
 
√
 
 
 
 Å ( (Å) ) 
Então: 
 
 
 
√
 
 ( ) 
 A máxima frequência que pode ser emitida será: 
 
 
Logo, como existem energias de excitação menores, é bem possivel que a frequência de oscilação ocorra. 
 
 
20)Imagine que a única força envolvida na interação entre o alétron e o núcleo de um átomo de hidrogênio fosse a 
força gravitacional. 
a) Determine, nessas condições, que tamanho teria um átomo de hidrogênio. Comente o seu resultado. 
b) Determine a energia do estado fundamental desse átomo hipotético. 
Resposta: (a) 1,2 x 10
29
 m 
(a) ↔
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
↔↔ [ ] 
( 
 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
Com isso portanto: 
 
 ↔↔ 
 
 
 
 
 
 ↔↔ ↔↔↔ 
 ( )
 
( ) 
 
 
 ↔↔↔ . 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
Portanto: 
 
 
 
 
 (energia muito baixa) 
 
 
********************************************************************* 
 
Todas as questões têm igual valor: 0,5.. 
 
DADOS QUE VOCÊ PODE PRECISAR: 
 
 
Carga do elétron: e= 1,6 x 10 
– 19
 C 
Massa do elétron: me = 9,1 x 10 
– 31
 kg 
Massa do próton: mp=1,6726 x 10
-27
 kg 
Massa do neutron: mn =1,6750 x 10
-27
 kg 
Constante eletrostática: k = 9,0 x 10
9
 N. m
2
/C
2 
Constante de Rydberg: R= 
Constante gravitacional: G= 6,67 x× 10
-11
 m
3
 kg
-1
 s
-2 
Cosntante de Planck: h=6,625 x 10
-34 
J.s