Portfólio 1 aula 1 Tópicos de Física Moderna

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ – UAB – POLO CAUCAIA 
UFC VIRTUAL 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
CURSO DE LICENCIATURA EM FÍSICA 
DISCIPLINA: RM 0613 – Tópicos de Física Moderna 
PROFESSOR/TUTOR: José Alves de Lima Junior 
 
 
ALUNO: Manoel Lopes da Costa - Matrícula 0420472 
 
 
 
Atividade para Portfólio 1 - Aula 1 - Teoria da Relatividade Especial 
ATIVIDADE INDIVIDUAL 
ATENÇÃO: JUSTIFIQE TODAS AS RESPOSTAS! SEM JUSTIFICATIVA AS RESPOSTAS NÃO TERÃO VALOR. 
NÃO SE LIMITE A MOSTRAR APENAS OS CÁLCULOS. APRESENTE ARGUMENTOS QUE MOSTREM O SEU 
RACIOCÍNIO 
 
Todas as questões têm igual valor: 0,5 
Bom Trabalho! 
RESPOSTAS 
01) Você está parado em uma esquina e um amigo seu está passando em um automóvel. Ambos anotam os tempos nos quais 
o carro passa em dois diferentes semáforos. Cada um determina no seu relógio leituras de tempo que decorrem entre os dois 
eventos. Quem determinou o intervalo de tempo próprio? 
 Quando dois eventos acontecem no mesmo lugar, para um dado observador, esse observador diz que o intervalo de 
tempo entre os dois eventos é o tempo próprio. Para o observador dentro do automóvel os eventos (passagens por 2 
semáforos) acontecem no mesmo local, logo, o mesmo medirá o tempo próprio. 
 
02) Einstein contou que na infância havia se interessado pelo seguinte problema: se você segura um espelho com o braço 
estendido e observa o próprio reflexo, o que acontece quando começa a correr? Suponha, por exemplo, que sua velocidade 
seja v = 0,9c. Você ainda será capaz de observar o próprio reflexo? Nesse caso, qual será o aspecto da sua imagem? 
Justifique sua resposta. 
Um dos princípios da relatividade restrita de Einstein é o seguinte: PRINCÍPIO DA INVARIÂNCIA DA VELOCIDADE DA 
LUZ: A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c em todos os referenciais inerciais. Como a velocidade da luz em 
qualquer referencial é a mesma a luz se move do espelho até o olho da pessoa normalmente e portanto vemos a imagem 
claramente no espelho. 
 
03) Dois eventos ocorrem num mesmo lugar e num mesmo instante para certo observador. 
Para outro observador, em movimento em relação ao primeiro, os mesmos dois eventos também serão simultâneos? Os 
eventos também ocorrerão no mesmo lugar? 
Para o primeiro observadoras coordenadas do primeiro evento são . Como o evento ocorreu na mesma 
posição e no mesmo instante de tempo então as coordenadas são . 
Para o segundo observador a relação entre os tempos dos eventos é: 
 ( 
 
 
 
)
 ( 
 
 
 
)
 
 
 * 
 
 
 + 
 ( 
 
 
 ) 
Para as coordenadas temos: 
 
 
 
 
 
 
 [ ] 
 . 
Como: e obtemos que 
 e . Portanto SIM. 
 
04) Reveja o que você aprendeu sobre simultaneidade e responda à questão: Como o conceito de simultaneidade entra na 
medida do comprimento de um corpo? 
Simultaneidade é um conceito na relatividade especial, na qual se definem como simultâneos dois eventos em 
um referencial inercial se a luz (visível ou qualquer radiação eletromagnética) emitida por esses eventos for 
simultaneamente observada por um observador situado em um ponto equidistante à posição dos dois eventos. 
Ou seja, dois eventos simultâneos em relação a um determinado referencial inercial não serão simultâneos em relação a 
qualquer outro referencial que esteja em movimento em relação ao primeiro. 
Cada observador para medir o comprimento de um corpo deve medir as extremidades deste corpo (na dimensão do 
corpo que está paralela ao deslocamento “simultaneidade”. Para as dimensões perpendiculares do deslocamento não 
há necessidade da simultaneidade uma vez que as posições perpendiculares não se alteram devido o movimento. 
 
 
05) Dois observadores, A e B, em um referencial S estão localizados em XA=0 e XB= 1800m, respectivamente. Em um dado 
instante uma bomba explode e a luz dessa explosão chega aos observadores em tA= 6 μs e tB= 8 μs. Determine as 
coordenadas da explosão da bomba neste referencial. (b) Para um referencial que se move com velocidade v = 0,6c na 
direção+x quais as coordenadas da explosão? 
(a) Dados: 
 ⁄ . 
 
 
 . 
 
 
 . 
 y 
 
 P(x,y) 
 
 
 
 
 a b x(m) 
 1800 
 
 
 . 
Logo: . 
 
(b) 
 
√ 
 
 
 
 
√ 
 
 
 ( ) 
 
O eixo y não é alterado pelo movimento de referenciais em questão. Assim: y´=y=1788,9m 
Apenas por conveniencia vamos usar .⁄ 
 luz luz 
0 1800 
 
 A B 
 
 , onde e são as distancias percorridas pela a luz da explosão ate chegar aos 
observadores A e B, respectivamente. Como a diferença de tempos é de 2 e neste intervalo a luz percorre 600m, 
podemos substituir : . 
Como cplocamos o observabor A na origem, então a coordenada da explosão é m. 
O instante a explosão poe ser calculado subtraindo o instante de chegada, o intervalo gasto. Por exemplo, na posição 
600m a luz gasta 2 s, assim a explosão deve ter ocorrido em . 
Assim, as coordenadas da explosão são (600m; ). 
Para o observadorcom obtemos 
 
( 
 
 
)
 
 ⁄
 . 
 .
 ( 
 
 
) .
 
06) Duas explosões ocorrem nas posições A e B em um referencial S (XA=600 e XB= 1200m). A luz destas explosões 
chegam até um observador na origem deste sistema de referencias em tA= 3 μs e tB= 5 μs, respectivamente. (a) As duas 
explosões são simultâneas nesse referencial? (b) E num referencial que se move com velocidade v = 0,6c na direção+x ? (c) 
E num referencial que se move com velocidade v = 0,6c na direção –x? 
(a) Dados: 
 ⁄ 
 
 
 
 
 
 
 
Se , significa dizer a explosão A ocorreu em . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
Se significa dizer que a explosão B ocorreu em . 
Portanto as explosões A e B são simultâneas. 
(b) Sabemos que ( 
 
 
). Para (questão anterior). 
Evento A 
 ( 
 
 
) ( 
 ) 
Evento B 
 ( 
 
 
) . Eventos não simultâneos. 
(c) 
Evento A 
 ( 
 
 
) ( 
 (
 
 
)) . 
Evento B 
𝐏𝐀 𝒙 𝟎 𝟐 𝒚 𝟎 𝟐 𝟏 𝟖 𝟏𝟎𝟑 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝟑 𝟐𝟒 𝟏𝟎𝟔. 
 
𝐏𝐁 𝒙 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝟐 𝒚 𝟎 𝟐 𝟐 𝟒 𝟏𝟎𝟑 𝒙 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝟐 𝒚𝟐 𝟓 𝟕𝟔 𝟏𝟎𝟔. 
 ( 
 (
 
 
)) . Eventos não simultâneos. 
 
07) Uma espaçonave viaja da Terra para um planeta situado a 12 anos-luz de distância (no referencial da Terra). A viagem 
leva 15 anos de acordo com o relógio do astronauta a bordo da nave. (a) Qual a velocidade da nave em relação à Terra? 
Quando a nave chega ao destino ela envia um sinal para a Terra. Quanto tempo após a naveter deixado a Terra o sinal é 
recebido (b) para um observador na Terra? e (c) para o astronauta? 
 Y y’ 
 Terra S’ 
 
 x v 
 x’ 
 S 
 
 
(a) Como o astronauta usa apenas um relógio para medir os tempos de partida e chegada, logo este mede o tempo 
próprio: 
 . Já o referencial da terra mede o comprimento próprio por está em repouso com relação ao comprimento 
medido: . 
Ainda sobre o referencial da terra, temos que: 
 
 
. A relação entre é 
 
 
 que substituido na equação 
anterior: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
⁄ )
 
 ⁄
 
 
 
 
 
 
 
 
⁄
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) O intervalo de tempo em questão é a soma de tempo de viagem da nave mais o tempo de viagem do sinal. 
Logo para Terra: 
 
 
 
 
 
 . 
(c) Para a nave: 
 
 
 . 
 
08) Quando um relógio passa ao nosso lado com uma velocidade v=c/2, marca t'=0 justamente quando o nosso relógio 
também marca t=0. Determine a leitura do nosso relógio quando o relógio em movimento marcar l0s. 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 . Dados: . 
 
09) Uma régua de comprimento próprio L’, faz um ângulo θ’ com o eixo x’ do referencial S’ que se move para a direita com 
velocidade v em relação a um referencial S. (a) Calcule o ângulo θ que a régua faz com o eixo x do referencial S. (b) Calcule 
o comprimento L medido por um observador em S. 
 S´ S 
(a) L´ L 
 Y´ Y 
 
 
 x´ x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mas: (posição em Y não é afetada pela velocidade) 
 
 
 
 
 
(b) . 
Assim: ( ) 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) [ ( ) ] 
 
 
 
 
10) Os astronautas de uma nave espacial, viajando a uma velocidade v= 0,6 c em relação à Terra, interrompem a 
comunicação com o controle da missão em Terra, dizendo que pretendem tirar uma soneca de uma hora e que, em seguida 
voltarão a se comunicar. 
a) Quem mede o intervalo de tempo próprio nesse caso? JUSTIFIQUE. 
𝑺 𝒗 𝒙 
𝒙 
𝜸
 𝒙 𝒙 𝜸 𝜸 
𝟏
√𝟏 
𝒗𝟐
𝒄𝟐
 
 
b) Qual é o tempo de duração da soneca, do ponto de vista dos controladores em Terra? 
Resposta: 1,25 h 
 
(a) A cama se encontra em um mesmo local para os astronautas. Portanto esles medem o tempo próprio. 
 
(b) . 
 
11) Duas espaçonaves passam uma pela outra viajando em direções opostas. Para um passageiro da nave A, a nave A tem 
100 m de comprimento e a nave B, que está se movendo com uma velocidade de 0,92c em relação a A, tem 36 m de 
comprimento. Quais são os comprimentos das duas naves de acordo com um passageiro da nave B? 
Medidas feitas pelo observador em A 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
Medidas feitas pelo observador em B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Para um observador num sistema S dois eventos (A e B) são simultâneos e estão separados por uma distancia de 6 x 
10
5
m. Qual o intervalo de tempo medido por um observador num sistema S’(que tem velocidade v em relação ao sistema S) 
entre estes dois eventos se para este a distancia espacial entre os eventos é 12 x 10
5
m? 
 
 
 
 (eventos simultâneos) 
Subtraindo as equações: 
 
 
Então: 
 (
 
√ 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 . 
Sabemos ainda que: ( 
 ) ( 
 ) 
 
 
 
 
√ 
 
 . 
Subtraindo as equações: 
 
 
 
 
 ⁄ 
 
 
 
 
√ 
 
 
 ( ) 
 
√ 
 . 
 ( ) 
13) Calcule o momento de um eletron com energia cinética de 1 MeV. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
14) Prove que uma partícula que se move com a velocidade da luz tem massa de repouso igual a zero. 
Um corpo que se move com a velocidade da luz, e a própria luz. Provando: 
 
 
 ( )
 
 ( 
 )
 
Se: 
 ( 
 )
 
 
 
Se os fótons não tem massa de repouso, então não possui energia de repouso. Só existe em movimento. 
A energia e dada por: 
 . Como 
 então: . . 
 
15) Que erro percentual ocorre usando-se a expressão clássica da energia cinética 
 
 
 
de uma partícula se sua velocidade for: 
a) v= 0,1 c ? 
b) v= 0,9 c ? 
Discuta as suas respostas. Comente, usando argumentos físicos, os valores encontrados. 
Respostas: (a)  0,73 %; (b)  68,69% 
(a) Se 
 
 
 
 . 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
| |
 
 
(b) 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
| . |
 
 . 
 
16) A massa de repouso de um méson-µ é 207 m0e, onde m0e é a massa de repouso de um eletron. Seu tempo de vida médio 
em repouso é 2 x 10
-6
s. Qual é a massa do méson-µ se o seu tempo de vida médio no referencial do laboratório é 7 x 10
-6
s ? 
Dados: 
 . 
 
 
 
 
 
 . 
 
Assim: 
 . 
 
17) Dois corpos identicos (massa de repouso m0)aproximam-se, cada um com velocidade v em relação ao referencial do 
laboratório. O choque entre eles é perfeitamente inelástico. Determine a massa de repouso do corpo formado pelos dois 
corpos iniciais. 
 
 
 
 
 
 1 v v 2 3 V 
𝒎𝟏 𝒗 𝒎𝟎 𝒎𝟐 𝒗 𝒎𝟎 𝑴 𝒗 𝑴𝟎 
 antes depois 
 
18) Considerando ainda o problema anterior, determine: 
a) a massa final do sistema das duas partículas;b) a perda de energia cinética durante a colisão e mostre que essa perda de energia corresponde à variação na massa do 
sistema. 
Respostas: (a) 7,75 Mev/c
2
; (b) 1,75 Mev 
Pela conservação do momento: 
 . Como . 
Pela conservação da energia: 
 
 
 
 
 
Pela conservação do momento: 𝒑𝟏 𝒑𝟐 𝒑𝟑 𝒎𝟏 𝒗 𝒎𝟐 𝒗 𝒎𝟑 𝑽 𝒎𝟎𝜸 𝒗 𝒎𝟎𝜸 𝒗 𝒎𝟑 𝑽 𝑽 𝟎. 
Pela conservação da energia: 𝑬𝟏 𝑬𝟐 𝑬𝟑 𝒎𝟏 𝑪
𝟐 𝒎𝟐 𝑪
𝟐 𝑬𝟎 𝑴𝟎𝑪
𝟐 𝑴𝟎 𝒎𝟏 𝒎𝟐 𝑴𝟎 𝟐𝜸𝒎𝟎. 
 𝑬𝒓𝒆𝒑𝒐𝒖𝒔𝒐 𝟐𝜸𝒎𝟎𝑪
𝟐 𝒎𝟎 𝒎𝟎 𝑪
𝟐 𝑬𝒓𝒆𝒑𝒐𝒖𝒔𝒐 𝟐𝒎𝟎 𝜸 𝟏 𝑪
𝟐. 
 𝑬𝒄𝒊𝒏é𝒕𝒊𝒄𝒐 𝟎 [ 𝜸 𝟏 𝒎𝟎𝑪
𝟐] 𝟐 𝜸 𝟏 𝒎𝟎𝑪
𝟐 
 
19) Um foguete deixa a Terra (suposta aqui como um referencial inercial) com uma velocidade de 0,98 c. Um observador 
parado na Terra mede o tempo que o ponteiro dos minutos de um relógio da nave leva para efetuar uma revolução completa. 
Calcule esse tempo. 
Resposta:  11,94 min. 
Dados: 
 
 
 . 
𝜸𝒎𝟎 𝒗 𝜸𝒎𝟎 𝒗 𝜸𝒎𝒇 𝒗𝒇 𝜸𝒎𝒇𝒗𝒇 𝟎 𝒗𝒇 𝟎. 
A massa final 𝒎𝒇 deve ser 𝟐𝒎𝟎 . 
2mv
2
1
=E
O observador na Terra, parado, mede o intervalo de tempo próprio, já que o mesmo faz a medida de tempo no mesmo 
local. Então: 
 
 
 
 
 
 
 . 
O observador da nave mede o tempo próprio: 𝑻𝟎 𝟔𝟎𝒎𝒊𝒏 
𝜸 
𝟏
 𝟏 𝟎.𝟗𝟖𝟐 
𝟏
𝟐⁄
 𝟓 𝟎𝟐𝟓 𝑻 𝜸𝑻𝟎 𝑻 𝟓 𝟎𝟐𝟓 𝟔𝟎 𝑻 𝟑𝟎𝟏 𝟓𝒎𝒊𝒏. 
 
20) É precisamente verdadeiro que todas as medidas de tempo e comprimento realizadas por um observador que está em 
repouso em um dado referencial são respectivamente o tempo próprio e o comprimento próprio? Justifique, discuta, mostre 
exemplos em que se baseiam seus argumentos. 
O tempo próprio é o INTERVALO de tempo medido entre dois eventos que usa apenas um relogio... já o comprimento 
próprio é a distancia entre dois eventos que ocorrem simultaneamente identificando a posição final e inicial do objeto a 
ser medido.