Operações com Matrizes

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UFMS - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
INMA - Intituto de Matema´tica - A´lgebra Linear
1a¯ Lista de Exerc´ıcios
1. Dadas A =
 1 −3 22 1 −3
4 −3 −1
, B =
 1 4 1 02 1 1 1
1 −2 1 2
 e C =
 2 1 −1 −23 −2 −1 −1
2 −5 −1 0
,
mostre que AB = AC.
2. Encontre a matriz A2, onde A =
[
−2 1
3 2
]
.
3. Se A =
[
3 −2
−4 3
]
, ache B, de modo que B2 = A.
4. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterraˆneo e colo-
nial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa e´ dada pela matriz:
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterraˆneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
(a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterraˆneo e colonial, respecti-
vamente, quantas unidades de cada material sera˜o empregadas?
(b) Suponha, agora, que os prec¸os por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam,
respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 u.c.p. Qual e´ o prec¸o unita´rio da cada tipo de casa?
(c) Qual o custo total do material empregado?
5. Efetue os produtos AB e BA, onde
A =
 21
1
 e B = [ 1 2 1 ] .
6. Mostre que A2 − 6A+ 5I2 = 0, se A =
[
2 3
1 4
]
.
7. Determine uma matriz A = (aij) ∈M2(R) tal que A 6= 0matriz nula e A2 = 0matriz nula.
8. Se A,B ∈ Mn(R) sa˜o tais que AB = 0 (matriz nula), pode-se concluir que BA tambe´m e´ a
matriz nula? Prove ou deˆ um contra-exemplo.
9. Se A,B ∈Mn(R) e se AB = BA, prove que:
(a) (A− B)2 = A2 − 2AB+ B2 (b) (A− B)(A+ B) = A2 − B2.
10. Mostre que as matrizes da forma
[
1 1
y
y 1
]
onde y ∈ R, y 6= 0, verificam a equac¸a˜o X2−2X = 0.
11. Determine as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com a matriz a 1 00 a 1
0 0 a
 ,
onde a e´ um nu´mero real.
12. Se A e B sa˜o matrizes de ordem 2 que comutam com a matriz[
0 1
−1 0
]
,
mostre que AB = BA.
13. Dada uma matriz A = (aij) ∈ Mm×n(R), chama-se transposta de A, e denota-se por At a
matriz At = (bji) ∈Mn×m, onde bji = aij. Se A =
[
2 x2
2x− 1 0
]
, encontre o valor de x tal
que At = A.
14. Em cada caso, verifique se a matriz dada e´ invert´ıvel e, se o for, determine a sua inversa.
(a)
[
5 3
3 2
]
(b)
[
−1 2
2 −4
]
(c)
 1 2 10 1 2
1 1 1
 (d)
 1 2 20 1 2
1 3 4

(e)
 1 0 11 1 0
0 2 1
 (f)
 1 −2 32 −1 2
3 1 2
 (g)
 0 1 32 1 −4
2 3 2
 (h)
 7 −5 3 −12 −1 2 3
3 1 2 3

(i)

0 2 2
1 1 3
3 −4 2
2 −3 1
 (j)

0 0 1 1
1 0 0 1
1 1 1 −1
0 2 0 3
 (k)

4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1

15. Mostre que a matriz abaixo e´ invert´ıvel para quaisquer a, b e c ∈ R.
 1 0 0a 1 0
b c 1

16. Determine a ∈ R a fim de que a matriz abaixo seja invert´ıvel em M3(R). 1 1 12 1 2
1 2 a

17. Seja A uma matriz quadrada invert´ıvel. Mostre que A−1 tambe´m e´ invert´ıvel e que
(A−1)−1 = A.
18. Se A, B e C sa˜o matrizes invert´ıveis de mesma ordem, determine a matriz X de maneira que
A(B−1X) = C−1A.
19. Existe alguma matriz invert´ıvel A tal que A2 = 0 (matriz nula)? Justifique.
20. Dizemos que uma matriz quadrada A e´ ortogonal se A e´ invert´ıvel e A−1 = At.
(a) Determine, se poss´ıvel, x e y em R tais que a matriz[ √
2 x
y
√
2
]
seja ortogonal.
(b) Prove que o produto de duas matrizes ortogonais e´ ortogonal.
21. Mostre que um sistema linear homogeˆneo com m equac¸o˜es n inco´gnitas e´ compat´ıvel e inde-
terminado se n > m.
22. Resolva os sistemas a seguir:
(a) x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 1 (b)
{
x + y + z = 4
2x + 5y − 2z = 3
(c)

x + y + z = 4
2x + 5y − 2z = 3
x + 7y − 7z = 5
(d)
{
x − 2y + 3z = 0
2x + 5y + 6z = 0
(e)

3x + 2y − 12z = 0
x − y + z = 0
2x − 3y + 5z = 0
(f)

x + y + z = 2
x − y − z = −3
2x + y + 2z = 1
3x + 2y + 3z = 3
(g)

x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 + x2 + x3 − x4 = 4
x1 + x2 − x3 + x4 = −4
x1 − x2 + x3 + x4 = 2
(h)

x + 2y + 3z = 0
2x + y + 3z = 0
3x + 2y + z = 0
(i)

x + y + z = 1
x − y + 2z = 2
x + 6y + 3z = 3
(j)

3x + 2y − 4z = 1
x − y + z = 3
x − y − 3z = −3
3x + 3y − 5z = 0
−x + y + z = 1
(k)

x + z + w = 0
x + y + 2z − w = 0
−2x + y + z + w = 1
− 2y + 2z − w = 0
(j)

x + 2y − z = 0
2x + 5y + 2z = 0
x + 4y + 7z = 0
x + 3y + 3z = 0
(k)

2x + 4y − z + 2w + t = 1
3x + 6y + z − w + t = −7
4x + 8y + z + 5w − t = 3
23. Determine os valores de a e b que tornam o sistema
3x − 7y = a
x + y = b
5x + 3y = 5a + 2b
x + 2y = a + b − 1
compat´ıvel e determinado. Em seguida, resolva o sistema.
24. Discuta e resolva os seguintes sistemas lineares (em func¸a˜o de a):
(a)

x + y − az = 0
ax + y − z = 2 − a
x + ay − z = −a
(b)

ax + 2y = 6
3x − y = −2
x + y = 0
25. Determine os valores de m para os quais o sistema e´ determinado:
x + 2y − 2z − t = 1
2x − 2y − 2z − 3t = −1
2x − 2y − z − 5t = 9
3x − y + z − mt = 0
26. Determine os valores de k para que o sistema homogeˆneo
2x − 5y + 2z = 0
x + y + z = 0
2x + kz = 0
tenha uma soluc¸a˜o distinta da soluc¸a˜o trivial (x = y = z = 0).
27. Dado o sistema linear
3x + 5y + 12z − w = −3
x + y + 4z − w = −6
2y + 2z + w = 5
(a) Discuta a soluc¸a˜o do sistema.
(b) Acrescente a equac¸a˜o 2z + kw = 9 a este sistema; encontre um valor de k que torne o
sistema incompat´ıvel.
28. Fac¸a o balanceamento das reac¸o˜es:
(a) N2O5 → NO2 +O2 ( decomposic¸a˜o te´rmica do N2O5 )
(b) HF+ SiO2 → SiF4 +H2O ( dissoluc¸a˜o do vidro em HF )
(c) (NH4)2CO3 → NH3 +H2O+ CO2 ( decomposic¸a˜o te´rmica do (NH4)2CO3 )
29. Bronze e´ uma liga de cobre e zinco, na qual a porcentagem de cobre varia geralmente entre
60% e 70%. Usando dois tipos de bronze, um com 62% e outro com 70% de cobre, deseja-se
obter uma tonelada de bronze com exatamente 65% de cobre. Quantos quilos do primeiro
tipo de bronze e quanto quilos do segundo devem ser usados?
30. Ac¸o fino e´ uma liga de ferro, cromo e n´ıquel. Um exemplo e´ o ac¸o V2A, que conte´m 74% de
ferro, 18% de cromo e 8% de n´ıquel. Na tabela abaixo, teˆm-se ligas I, II, III e IV, as quais
devemos misturar para obter uma tonelada de ac¸o V2A. Quantos quilos de cada uma dessas
ligas devemos tomar?
I II III IV
Ferro 70% 72% 80% 85%
Cromo 22% 20% 10% 12%
Nı´quel 8% 8% 10% 3%