Operações com matrizes

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UFMS - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
INMA - Instituto de Matema´tica - A´lgebra Linear
2a¯ Lista de Exerc´ıcios
1. Verifique se em cada um dos ı´tens o conjunto V com as operac¸o˜es indicadas e´ um espac¸o
vetorial sobre R.
(a) V = R2, (x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 − 2y1, y1 − x1) e α(x, y) = (3αx,−αx)
(b) V = R2, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e α(x, y) = (αx, 0)
2. Quais dos conjuntos abaixo sa˜o subespac¸os do espac¸o P(R) de todos os polinoˆmios reais?
(a) W1 = {f(t) ∈ P(R) | f(0) = 2f(1)}
(b) W2 = {f(t) ∈ P(R) | f(t) > 0, ∀ t ∈ R}
3. Seja I um intervalo de R e indiquemos por C(I) o conjunto das func¸o˜es cont´ınuas definidas
no intervalo I e tomando valores reais. Dados f, g ∈ C(I) e α ∈ R, definem-se f+ g e α.f do
seguinte modo:
(f+ g) : I→ R e (f+ g)(t) = f(t) + g(t), para todo t ∈ I
α.f : I→ R e (α.f)(t) = α.f(t), para todo t ∈ I
O conjunto C(I) e´ um espac¸o vetorial com relac¸a˜o a esse par de operac¸o˜es. Mostre que U e
V sa˜o subespac¸os de C(I) e sendo I um intervalo com centro em 0, mostre que C(I) = U⊕V ,
onde:
U = {f ∈ C(I)|f(t) = f(−t), ∀t ∈ I}
V = {f ∈ C(I)|− f(t) = f(−t), ∀t ∈ I}
4. Quais dos subconjuntos abaixo sa˜o subespac¸os vetoriais do R3? Justifique sua resposta.
(a) W1 = {(x, y, z) ∈ R3|x− y+ 2z = 0}
(b) W2 = {(x, y, z) ∈ R3|y e´ irracional }
(c) W3 = {(x, y, z) ∈ R3|x ≤ y ≤ z}
5. O subconjunto W = {(x, y, z,w) ∈ R4|x − y = 0 e z −w = 0} do R4 e´ subespac¸o vetorial do
R4? Justifique sua resposta.
6. Mostre que U = {A ∈ Mn(R)|T.A = A.T } onde T e´ uma matriz qualquer fixada de Mn(R) e´
um subespac¸o de Mn(R).
7. Verifique se as seguintes matrizes geram o espac¸o vetorial M2(R):[
1 0
0 1
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
0 0
1 1
]
,
[
0 1
1 2
]
8. Mostre que os polinoˆmios 1, 1− t, (1− t)2, (1− t)3 geram o espac¸o P3(R).
9. Sejam U, V e W os seguintes subespac¸os do R3:
U = {(x, y, z) ∈ R3|x = z};
V = {(x, y, z) ∈ R3|x = y = 0};
W = {(x, y, z) ∈ R3|x+ y+ z = 0};
Verifique que U+V = R3, U+W = R3 e V +W = R3. Em algum dos casos a soma e´ direta?
10. Deˆ um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespac¸os do espac¸o R3:
(a) U = {(x, y, z) ∈ R3|x− 2y = 0};
(b) V = {(x, y, z) ∈ R3|x+ z = 0 e x− 2y = 0};
(c) W = {(x, y, z) ∈ R3|x+ 2y− 3z = 0};
(d) U ∩ V e V +W.
11. Mostre que os dois conjuntos {(1,−1, 2), (3, 0, 1)} e {(−1,−2, 3), (3, 3,−4)} geram o mesmo
subespac¸o vetorial do R3.
12. Determine um sistema de geradores de U ∩ V , onde U e V sa˜o os subespac¸os do R3 definidos
por U = [(1, 0, 0), (1, 1, 1)] e V = [(0, 1, 0), (0, 0, 1)].
13. Quais dos subconjuntos de R3 dados abaixo sa˜o linearmente independentes?
(a) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (2, 3, 5)}
(b) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0,−2)}
(c) {(0, 0, 0), (1, 2, 3), (4, 1,−2)}
14. Quais dos subconjuntos de P4(R) dados abaixo sa˜o linearmente independentes?
(a) {1, t− 1, t2 + 2t+ 1, t2} (b) {t(t− 1), t3, 2t3 − t2, t}
15. Mostre que o conjunto {1, cos x, cos 2x} de vetores de C([−pi, pi]) e´ L.I. .
16. Seja {u, v,w} um conjunto L.I. de vetores de um espac¸o vetorial V . Prove que o conjunto
{u+ v− 3w, u+ 3v−w, v+w} e´ L.D.
17. Determine m e n para que os conjuntos de vetores do R3 dados abaixo sejam L.I.:
(a) {(3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1,m, 3)}
(b) {(1, 3, 5), (2,m+ 1, 10)}
18. No espac¸o vetorial R3 consideremos os seguintes subespac¸os vetoriais:
S = [(1,−1, 2), (2, 1, 1)];
T = [(0, 1,−1), (1, 2, 1)];
U = {(x, y, z)| x+ y = 4x− z = 0};
V = {(x, y, z)| 3x− y− z = 0}.
Determine as dimenso˜es de: S, T, U, V, S+ T, S ∩ T, T +U e T ∩U.
19. Determine uma base e a dimensa˜o do espac¸o soluc¸a˜o de cada sistema homogeˆneo:
(a)

x− y− z− t = 0
2x+ y+ t = 0
z− t = 0
(b)

x+ y+ z = 0
2x− y− 2z = 0
x+ 4y+ 5z = 0
(c)

x+ 2y+ 2z− s+ 3t = 0
x+ 2y+ 3z+ s+ t = 0
3x+ 6y+ 8z+ s+ 5t = 0
20. Determine uma base do subespac¸o de M3(R) formado pelas matrizes sime´tricas.
21. Se {u1, u2, u3} e´ uma base de um espac¸o vetorial, mostre que {u1, u1+u2, u1+u2+u3} tambe´m
e´ uma base desse espac¸o.
22. Sendo W e U subespac¸os do R4 de dimensa˜o 3, que dimenso˜es pode ter W + U se
(1, 2, 1, 0), (−1, 1, 0, 1), (1, 5, 2, 1) e´ um sistema de geradores de W ∩U?
23. No espac¸o vetorial R3 consideremos os seguintes subespac¸os: U = {(x, y, z)| x = 0},
V = {(x, y, z)|y − 2z = 0} e W = [(1, 1, 0), (0, 0, 2)]. Determine uma base e a dimensa˜o
de cada um dos seguintes subespac¸os: U, V, W, U ∩ V, V +W, U+ V +W.
24. Mostre que os polinoˆmios 1, 1+ t, 1− t2, 1− t2 − t3 formam uma base de P3(R).
25. Mostre que as matrizes: [
1 1
0 0
]
,
[
2 1
0 0
]
,
[
0 1
1 0
]
,
[
0 0
0 2
]
formam uma base de M2(R).
26. Seja W o espac¸o gerado pelos polinoˆmios v1 = t
3 − 2t2 + 4t + 1, v2 = 2t
3 − 3t2 + 9t − 1,
v3 = t
3 + 6t− 5 e v4 = 2t
3 − 5t2 + 7t+ 5. Encontre uma base e a dimensa˜o de W.
27. Considere o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−1, 0, 0) , v2 = (0, 0, 1, 1) ,
v3 = (−2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0).
(a) O vetor (2,−3, 2, 2) ∈ [v1, v2, v3, v4]? Justifique.
(b) Exiba uma base para [v1, v2, v3, v4]. Qual e´ a dimensa˜o desse subespac¸o?
(c) [v1, v2, v3, v4] = R4? Por queˆ?
28. SejamW1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x+y = 0 e z−t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x−y−z+t = 0}
subespac¸os de R4.
(a) Determine W1 ∩W2.
(b) Exiba uma base para W1 ∩W2.
(c) Determine W1 +W2.
(d) W1 +W2 e´ soma direta? Justifique.
(e) W1 +W2 = R4?
29. Suponha que U e W sa˜o subespac¸os distintos de dimensa˜o 4 de um espac¸o vetorial V de
dimensa˜o 6. Encontre as dimenso˜es poss´ıveis de U ∩ W.
30. Determine as coordenadas do vetor u = (4,−5, 3) ∈ R3, em relac¸a˜o a`s seguintes bases:
(a) canoˆnica;
(b) {(1, 2, 1), (0, 3, 2), (1, 1, 4)};
(c) {(1, 1, 1), (1, 2, 0), ((3, 1, 0)}.
31. Determine as coordenadas do polinoˆmio t3 em relac¸a˜o a` seguinte base de P3(R):
{1, 2− t, 1+ t2, 1+ t+ t3}.
32. Seja V o espac¸o vetorial M2(R) das matrizes 2× 2 sobre R. Encontre o vetor coordenada da
matriz A ∈ V em relac¸a˜o a` base{[
1 1
1 1
]
,
[
0 −1
1 0
]
,
[
1 −1
0 0
]
,
[
1 0
0 0
]}
,
onde
A =
[
1 1
1 1
]
33. A matriz de mudanc¸a de uma base B do R2 para a base {(1, 1), (0, 2)} desse mesmo espac¸o e´[
1 0
2 3
]
. Determine a base B.
34. Considere as bases B = {e1, e2, e3} e C = {g1, g2, g3} de R3 assim relacionadas:
g1 = e1 − e2 − e3
g2 = 2e2 + 3e3
g3 = 3e1 + e3
(a) Determine as matrizes de mudanc¸a de B para C e de C para B.
(b) Se um vetor u de R3 apresenta coordenadas 1, 2 e 3, em relac¸a˜o a B, quais as coordenadas
de u relativamente a C?
35. Considere o seguinte subespac¸o vetorial de M2(R): U =
{[
x y
z t
]
| x− y− z = 0
}
.
(a) Mostre que os seguintes subconjuntos de M2(R) sa˜o bases de U:
B =
{[
1 1
0 0
]
,
[
1 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
e C =
{[
1 0
1 0
]
,
[
0 −1
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
(b) Encontre as matrizes de mudanc¸a de B para C e de C para B.
(c) Encontre uma base D de U, de tal maneira que a matriz de mudanc¸a de D para B seja1 1 00 0 2
0 3 1
 .
36. Encontre a matriz de mudanc¸a da base B = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 3)} para a base C, onde C
e´ a base canoˆnica do R3. E a matriz de C para B.
37. Seja B = {1+ x2, x+ x2, 1+ 2x+ x2}.
(a) Mostre que B e´ base de P2(R).
(b) Encontre as coordenadas de p = 1+ 4x+ 7x2 em relac¸a˜o a` base ordenada B.