Aula 01 (Funções e seus elementos)

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
IBMEC- RJ 
Curso: Economia 
Disciplina: Cálculo I 
 
Aula 01: Função e seus elementos 
 
 
 Definir uma função e determinar o seu domínio. 
 Conhecer e aplicar funções usadas na Economia. 
 Formar e aplicar funções compostas em problemas práticos. 
 
1. Função de variável real 
Uma função é uma relação entre a variável real x (independente) e a 
variável real y (dependente) de tal modo que, para cada valor de x se associa 
um único valor para y. 
 
Neste caso, denota-se y = f(x). 
 
Exemplos: 
a. y = x2 
b. y = 
1-x
 
c. y= 
3-x
2 x  
1.1 Domínio de uma função 
É o conjunto de valores reais que a variável x pode assumir. 
 
Nos exemplos acima, observe que o domínio de x é: 
a. x   ou x  (- ,  ). 
b. x ≥ 1 ou x  [1, ). 
c. x  3 ou x  (- , 3)  (3, ) 
 
1.2 Contradomínio de uma função 
É o conjunto de valores que a variável y pode assumir. 
2 
 
 
 
 
Nos exemplos, observe que contradomínios possíveis são: 
a. y   ou y  (- ,  ). 
b. y  + ou y  [0, ). 
c. y  . 
 
1.3 Gráfico de uma função 
Graf f = {(x, f(x)) | x  Domínio da f(x)}. 
 
Nos exemplos dados, seguem os gráficos das funções são respectivamente: 
 
 
 
a. y = x
2
 b. y = 
1-x
 
 
 
 c. y= 
3-x
2 x 
 
 
1.4 Imagem de uma função 
É o menor dos contradomínios possíveis. 
A imagem de uma função pode ser obtida a partir do esboço do gráfico da 
função. Ou seja, basta analisar os valores de y analisando o gráfico no 
sentido vertical. 
3 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Se 
21)( xxf 
, calcule f(0) e f(x)=0. 
 
2) Se 
42)(  xexf
, determine: 
 
a) as interseções com os eixos coordenados 
b) 
)
2
1
(f
 
c) 
)
2
1
(

f
 
 
3) Determine o domínio das seguintes funções: 
a) 
x
xf
1
1)( 
 R:
[,1[[0,])( fD
 
b) 
x
xxf
3
16
)( 
 R:
}0{)(  RfD
 
c) 
22
1
1)(
x
xf 
 R:












 ,
2
1
2
1
,)( fD
 
d) 
9
3
)(
2 

x
x
xg
 R:
]3,3[\ R
 
e) 
3
2
)(



x
x
xf
 R:
[,3]]2,])( fD
 
f) 
2)1(
2
)(
2 

x
x
xg
 R:
RfD )(
 
g) 
4
)(
2 

x
x
xf
 R:
[,2] ]0,2])( fD
 
 
 
2. Funções usadas na Economia 
 
2.1 Função Demanda (D) 
 
É a função que relaciona a quantidade demandada e o preço de um 
bem. Em geral, denotada por D = f(p), onde p é o preço do bem. 
 
2.2 Função Oferta (O) 
 
É a função que relaciona a quantidade ofertada de acordo com o 
preço do bem. Em geral, denotada por O= g(p), onde p é o preço do bem. 
4 
 
 
 
 
Observe que a função Demanda decresce com o preço, enquanto que 
a função oferta cresce com o preço. 
 
 
 
2.2 Função Receita R(x) 
É obtida com a venda de x unidades de um produto com preço 
unitário p(x). É dada pela expressão: 
 
R(x) = x p(x) 
 
A função Receita Média é dada pela expressão: 
 
RM(x) = 
x
R(x)
 
2.3 Função Custo C(x) 
É obtida pelo custo para produzir x unidades de um produto. 
 
A função Custo Médio é dada pela expressão 
 
CM(x) = 
x
C(x)
 
 
2.4 Função Lucro L(x) 
 
É o lucro obtido com a venda de x unidades de um produto. É dada 
pela expressão: 
D(p) 
O(p) 
 p 
5 
 
 
 
 
L(x) = receita – custo = R(x) – C(x) = xp(x) – C(x) 
 
 
 
A função Lucro Médio é dada pela expressão: 
 
 
LM(x) = 
x
L(x)
 
 
 
2.5 Aplicações das funções da Economia 
 
Problema 01: Livro texto – Questão 39 página 23. 
 
A empresa Vanda pode produzir gravadores digitais por um custo de R$ 40,00 
a unidade. Estima-se que se os gravadores forem vendidos por p reais à 
unidade, os consumidores comprarão (120 – p) gravadores por mês. Expresse 
o lucro mensal de Vanda em função do preço, faça um gráfico da função e 
use-o para estimar o preço ótimo de venda. 
Solução: 
 
L(p) = p(120 – p) – 40 (120 - p ) = (120 – p)(p – 40) = - 4800 + 160p – p2 
 
 L(p) é uma função quadrática (parábola) com a concavidade voltada para 
baixo (sinal de p2 < 0). Ou seja, o preço ótimo é dado pela coordenada p do 
vértice. Então, 
 
p = - 
80
2-
160

 
Conclusão: O preço ótimo de venda do produto é de R$ 80,00 e o Lucro é de 
R$ 1600,00. 
 
6 
 
 
 
 
Problema 02: Questão 45 – página 24 
 
Suponha que, quando o preço de um certo produto é p reais por unidade, x 
centenas de unidades são compradas pelos consumidores, em que 
 p = -0,05 x + 38. O custo para produzir x centenas de unidades é 
C(x) = 0,02 x2 + 3x + 574, 77 centenas de reais. 
a. Expresse o lucro L obtido com a venda de x centanas de unidades em 
função de x. Desenhe o gráfico da função lucro. 
b. Determine o lucro médio LM quando o preço é R$ 37,00. 
c. Use a curva obtida no item (a) para determinar o nivel de produção x que 
resulta no maior lucro possível. Que preço unitário p corresponde ao lucro 
máximo? 
 
Solução: 
 
a. L(x) = x (- 0,05 x + 38) – (0,02 x2 + 3x + 574, 77) 
 
 L(x) = -0,07 x2 + 35 x - 574, 77. 
 
 
 
 
 
 
b. LM(x) = 
x
574,77
 - 35 x 07,0
x
L(x)

 
 
7 
 
 
 
 se p = 37  37 = - 0,05x + 38  x = 
20
0,05
1

 
 
Logo, LM(20) = - 0,07. 20 + 35 - 
20
574,77
  R$ 4,86 por unidade. 
 
c. Nível de produção que fornece o lucro máximo é o x do vértice multiplicado 
por 100. 
x = 
250
0.07 2.-
35-

 
 
Ou seja, x = 25.000 unidades e, 
o preço p unitário = (- 0,05 . 250 + 38) = R$ 25,50. 
 
Lista de Exercícios: Problemas do livro texto- Exercícios 40 até 49 – páginas 
23 e 24. 
 
3. Composição de funções 
Dadas as funções f(x) e g(x), define-se a função composta de f e g, 
denotada (f o g) (x), por: 
(f o g) (x) = f(g(x)) 
 
O domínio da (f o g) (x) é o conjunto dos x no domínio da g de tal 
modo que g(x) está no domínio da f. 
 
Analogamente, a composta de g e f, denotada por (g o f) (x), é 
definida por: 
(g o f) (x) = g(f(x)) 
 
 
Figura: google – Imagens 
 
8 
 
 
 
 Exemplo 01: Dadas as funções 
2)(  xxf
 e 
2
1
)(



x
x
xg
, determine a 
função composta 
))(( xgf
. 
 
(f o g) (x) = f(g(x)) = 
2
33
2
2
1





x
x
x
x
 
Exercício: Dadas as funções 
1
23
)(



x
x
xf
 e 
3)( xxg 
, determine: 
a) 
);)(( xgf 
 
b) 
);)(( xfg 
 
c) É correto afirmar que 
gf 
 e 
fg 
 são iguais? 
 
4. Exercícios propostos: 
 Construa o gráfico de cada função, fornecendo também seu domínio: 
 
a. 
|3|)( xxf 
 
 
b. 
||)( 2 xxxf 
 
c. 






2;2
2;1
)(
2
xx
xx
xf
 
d. 









2;5
2;4
2;1
)(
x
x
x
xf
 
e. 






1;3
1;1
)(
xx
xx
xf
 
f. 
24)( xxxf 