Aula 05 e 06 operações simetria

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FUNDAMENTOS DE 
CRISTALOGRAFIA
Parte 2: Elementos e Operações de simetria externa
GEO-404 Mineralogia
Aplicada
2017.2
Operadores e elementos de simetria
• A simetria de um objeto pode ser descrita através 
dos padrões de repetição ordenada de suas 
partes semelhantes: o mecanismo responsável 
por esta repetição denomina-se operação de 
simetria.
• As operações de simetria observadas em 
substâncias cristalinas podem ser: rotação, 
reflexão, inversão, rotoinversão e translação, 
que podem ocorrer combinados.
• Translação não será considerado em nosso curso
1. ROTAÇÃO
2. REFLEXÃO
3. INVERSÃO
4. ROTOINVERSÃO
REFLEXÃO
ROTAÇÃO
TRANSLAÇÃO
ROTOINVERSÃO:
ROTAÇÃO 
+
INVERSÃO
Elementos de simetria
• Plano de reflexão
• Centro de simetria
• Eixo de rotação
• Eixo de rotoinversão
Operações de simetria
• Reflexão
• Inversão 
• Rotação
• Rotoinversão
Plano de simetria (m)
• É o plano imaginário que divide 
o cristal em duas partes 
equivalentes (= reflexão no 
espelho)
Planos de simetria (m): exemplos
Planos de simetria (m) em um cubo:
Centro de simetria (i)
• O centro de simetria está presente em um cristal se uma 
linha imaginária pode ser traçada a partir de qualquer 
ponto de sua superfície, passando pelo seu centro e um 
ponto similar é encontrado do lado inverso, à mesma 
distância!
• O centro de simetria (i) concide com o centro
geométrico do objeto!
Centro de simetria (i)
Eixos de rotação (E ou A): próprios
• linha imaginária que, pela sua rotação, resulta na 
repetição de elementos do cristal (faces, arestas), em 1, 
2, 3, 4 ou 6 vezes durante a rotação completa
• Ângulo de rotação (θ): θ =
360
𝑛
, onde n = número de 
repetições
elemento que se 
repete = motivo
MOTIVO
ROTAÇÃO:
E4
Exemplo: eixo 3 de rotação (E3)
θ = 360o/3 de rotação para reproduzir o motivo original
passo 1
passo 2
passo 3
Exemplo: eixo 3 de rotação (E3)
θ = 360o/3 de rotação para reproduzir o motivo original
E1 θ = 360º 
E2 θ = 180º 
E3 θ = 120º
E4 θ = 90º
E6 θ = 60º
E eixos de rotação 5 ou >6??
Eixo 6Eixo 5
espaços
vazios
E eixos de rotação 5 ou >6??
E5 θ = 72º Não se aplicam! En>6
Eixos de rotoinversão: impróprios
• Impróprios: rotação + inversão
• linha imaginária que relaciona 
rotação em torno de um eixo com 
inversão.
Nomenclatura: 1
Exemplo: eixo 1 de rotoinversão
Passo 1: rotação 360/1
(identidade)
Exemplo: eixo 1 de rotoinversão
Passo 2: inversão
Nota algo familiar?
a operação 1 é o mesmo
que um centro de simetria
(i)
Exemplo: eixo 1 de rotoinversão
Nomenclatura: 2
Passo 1: rotação 360/2
Nota: este é um passo
temporário; o elemento
intermediário não existe
no padrão final
Exemplo: eixo 2 de rotoinversão
Passo 2: inversão
Exemplo: eixo 2 de rotoinversão
Resultado final:
Exemplo: eixo 2 de rotoinversão
Você visualiza
outro elemento
de simetria?
Perceba que o resultado
final: 2 é o mesmo que um 
plano de simetria m 
(espelho). Não é portanto
uma operação única (é 
uma duplicata)
Exemplo: eixo 2 de rotoinversão
Nomenclatura: 3 
Exemplo: eixo 3 de rotoinversão
Passo 1: rotação 360o/3 
(passo intermediário = 
temporário)
1
Exemplo: eixo 3 de rotoinversão
Passo 2: inversão pelo
centro
Exemplo: eixo 3 de rotoinversão
Finalização da primeira
etapa
1 = motivo original; 
2 = motivo final
1
2
Exemplo: eixo 3 de rotoinversão
Outra rotação 360/3
Exemplo: eixo 3 de rotoinversão
Inversão pelo centro
Exemplo: eixo 3 de rotoinversão
Finalização da segunda
etapa para a criação da 
face 3
1
2
3
Exemplo: eixo 3 de rotoinversão
Terceira etapa cria a 
face 4: 
(3  (1)  4)
(1): face intermediária 1
2
3
4
Exemplo: eixo 3 de rotoinversão
Quarta etapa cria face 
5: (4  (2)  5)
1
2
5
Exemplo: eixo 3 de rotoinversão
Quinta etapa cria face 6
(5  (3)  6)
Sexta etapa retorna à 
face 1
1
6
5
Exemplo: eixo 3 de rotoinversão
Perceba que 3 = 1E3 + i
Combinação dos elementos de simetria
• Os 10 elementos básicos de simetria:
• E1, E2, E3, E4, E6
• E1 (= i), E2 (= m), E3 (=1E3+i), E4, E6
• Ou combinações em que 3 ou mais desses elementos
passam por um centro de simetria (i) são suficientes para 
descrever a simetria externa de qualquer cristal existente
• As combinações possíveis dos elementos de simetria
(eixos, planos, centros) não é ilimitada: há somente 32 
combinações possíveis: 32 classes cristalinas (grupos
pontuais)
• Muitas combinações são duplicatas de outras (ex: E6 = 3/m)
Classes Cristalinas e Símbolos
de Hermann-Mauguin
Para a aula seguinte
É possível combinar os elementos de 
simetria em 32 Classes Cristalinas (ou 
Grupos Pontuais) que são distribuídas entre 
7 Sistemas Cristalinos (ou 6 Sistemas) 
segundo a sua simetria mínima ou 
característica
Antes de falar sobre as 32 classes, 
devemos entender a notação utilizada para
descrever as combinações de simetria para
cada classe = símbolos (internacionais) de 
Hermann-Mauguin
• Os símbolos de Hermann-Mauguin descrevem apenas os
elementos de simetria únicos (eixos>planos>rotoinversão
= cortam faces únicas). As operações de simetria
derivadas de outras operações não são descritas na
simbologia (estão implícitas)
A presença de 3 planos de simetria (m) perpendiculares implica que o mineral tem um 
centro de simetria, mas esse fato não é declarado explicitamente com o símbolo i
• Os 32 grupos pontuais
Klein & Dutrow (2012)
Cúbico