Aula 07_2 razão axial miller

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GEO-0404 Mineralogia
2017.2
Conceitos Iniciais
• Falamos anteriormente
sobre os sete sistemas
cristalinos que agrupam as 
32 classes cristalinas e suas
respectivas cruzes axiais
1
• É importante notar que:
– O comprimento dos eixos cristalográficos (a, b, c; ou
a1, a2, a3) é controlado pelas dimensões da 
respectiva cela unitária;
– Os ângulos entre os eixos cristalográficos são
controlados pela forma da cela unitária.
– http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/unitcell.ht
m
– Eixos cristalográficos: lados positivos e negativos
• Os comprimentos relativos dos eixos
cristalográficos são chamados de razões axiais
Razões axiais
• Comprimentos relativos dos eixos
cristalográficos
• Normalmente definidas em relação ao eixo b, 
de forma que:
• Razão Axial = a/b : b/b : c/b, onde:
– a: comprimento do eixo a;
– b: comp. eixo b; 
– c: comp. eixo c
2
Intercepto das faces cristalinas: Parâmetros de Weiss 
• As faces de um cristal podem ser definidas por meio 
de seus interceptos com a cruz axial.
– em outras palavras: qual face corta um determinado 
eixo cristalino
• Com exceção do sistema hexagonal/trigonal (4 
eixos), há três casos:
1. Face cristalina corta 1 eixo cristalográfico
2. Face cristalina corta 2 eixos cristalográficos
3. Face cristalina corta 3 eixos cristalográficos
4
• Caso 1: face cristalina corta 1 eixo
• Parâmetros de Weiss: ∞a, ∞b, 1c 
• Caso 2: face cristalina corta 2 eixos
cristalográficos
• Parâmetros de Weiss: 1a, 1b, ∞c 
• Caso 3: face cristalina corta 3 eixos
cristalográficos
• Parâmetros de Weiss: 1a, 1b, 1c
• Nem sempre é fácil
saber qual número dar
ao intercepto da 
face…neste caso, é 
comum escolher
arbitrariamente uma
face com todos os
interceptos (a, b, c) = 1
– Está será a face 
paramétrica: maior face 
(superfície) que
intercepta os três eixos
cristalográficos positivos: 
1a, 1b, 1c 
• 2a, 2b, 2/3c
– Podem ser divididos
por um fator
comum (i.e. = 2), 
resultando em:
1a, 1b, 1/3c
Índices de Miller e Miller-Bravais
• indicam proporcionalidade inversa;
• De mais fácil visualização e demonstração
• Os índices de Miller podem ser obtidos invertendo-se
os parâmetros de Weiss e racionalizando os números 
obtidos (tirando as frações)
• receita:
1. determinar os parâmetros de Weiss
2. inverter os parâmetros
3. limpar as frações
5
• A forma genérica dos índices de Miller é: 
(hkl), onde os dígitos h, k e l referem-se, 
respectivamente, aos eixos a, b e c;
• Quando uma face é paralela (//) a um dos 
eixos cristalográficos, o dígito correspondente 
é 0 (n/∞ → 0):
– Exemplo: (101) ou (h0l) = corta a, c e //b
• Quando uma face corta um eixo na ponta 
negativa, um traço é aplicado sobre o dígito 
correspondente: 
– Exemplo: (211) ou (hkl)
• Voltando ao caso 1 dos parâmetros de Weiss: 
face cristalina corta 1 eixo cristalográfico
• Parâmetros de Weiss: ∞a, ∞b, 1c 
• inversão: 1/ ∞, 1/ ∞ e 1/1
• Índices de Miller: 0, 0, 1 = (001)
• Forma de apresentação: (001) (lê-se face zero zero um) ou
(00l)
h
k
l
• FACE ESCURA:
• Parâmetros de Weiss:
• 2a, 2b, 2/3c
– Podem ser divididos
por um fator comum
(i.e. = 2), resultando
em:
1a, 1b, 1/3c
• Índices de Miller:
1/1, 1/1, 1/⅓ = (113)
Exercícios6
1
2
3
4
Cubo
Sistema isométrico
1
1
2
3
Sistema monoclínico
+b
+a
+c (001) (100)
(100)
sistem
Sistema tetragonal
1
2
3
topázio
12
3
4
Lembre-se: no sistema tetragonal:
Duas possibilidades de posicionar os eixos cristalográficos
a1
a2
c
(110)
(111)
1
2
(110)
3
(111)
(111)
Figure 1 - Facets of anatase TiO2.
From the following article
Crystal growth: Anatase shows its reactive side
Annabella Selloni
Nature Materials 7, 613 - 615 (2008)
doi:10.1038/nmat2241
• Mas espera!
• Se a forma genérica dos índices de Miller é: 
(hkl), onde os dígitos h, k e l referem-se, 
respectivamente, aos eixos a, b e c...
• Como ficam os sistemas hexagonal e trigonal, 
que têm 4 eixos: a1, a2, a3 e c?
• Índices de Miller-Bravais
Índices de Miller-Bravais
• Modificação (adaptação) do índice de Miller 
para os sistemas hexagonal e trigonal (4 eixos: 
a1 = a2 = a3 ≠ c)
• acréscimo de mais um dígito: h, k, i e l: (hkil)
– h = a1; k = a2; i = a3; l = c
– Importante: h + k + i = 0
– Exemplos: (2111), (1210), (3211)
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Exemplo: face escura do modelo (prisma hexagonal):
• Esta face corta os eixos +a1 e –a3 em uma unidade de 
comprimento e não corta os eixos a2 e c
• Parâmetros de Weiss: 1 a1, ∞a2, -1a3, ∞c
• Invertendo os parâmetros e limpando as frações:
– 1/1, 1/∞, 1/-1, 1/∞
• Índices de Miller-Bravais: (1010)
– Note que: h + k + i = 0
vista de cima:
vista lateral
No sistema hexagonal há também duas possibilidades 
de posicionamento dos eixos cristalográficos
Eixos saindo pelas arestas Eixos saindo pelo meio das faces
(1011)
(hkil)
h + k + i = 0
Bibliografia para estudo
• Klein & Dutrow (2012): cap 6 (pag. 159)
• Bloss: cap 3
• Material do Curso de Mineralogia - Prof. S. 
Nelson (Tulane University): 
http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/in
dex.html
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