TECNICAS DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

Prévia do material em texto

TECNICAS DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule 
 
Seja x = 3 sen θ, onde –π /2 ≤ θ ≤ π /2. Então dx = 3 cos θ dθ e 
 
(Observe que cos θ ≥ 0 porque –π /2 ≤ θ ≤ π /2.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
Se x = 2 tg θ, –π /2 < θ < π /2. Então dx = 2 sec2θ dθ e 
 
 
 
 
 
 
cossec θ = 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
 
Seja x = a sec θ, onde 0 < θ < π /2 ou π < θ < 3π /2. Então dx = a sec θ tg θ dθ e 
 
 
 
 
 
 
que tg θ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
 	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 (Tabela) 
 
5 
Exemplo 2 – Solução 
Substituindo u = cos x, temos du = –sen x dx e, assim, 
 
 ∫ sen5x cos2x dx = ∫ (sen2x)2 cos2x sen x dx 
 
 = ∫ (1 – cos2x)2 cos2x sen x dx 
 
 = ∫ (1 – u2)2 u2 (–du) = –∫ (u2 – 2u4 + u6)du 
 
 = 
 
 = – cos3x + cos5x – cos7x + C 
continuação 
11 
Exemplo 2 
Calcule . 
 
SOLUÇÃO: Essa integral indefinida não é imediatamente 
reconhecível na Tabela 1, logo, usamos identidades 
trigonométricas para reescrever a função antes de 
integrá-la: 
4 
Exemplo 2 
Encontre o ∫ sen5x cos2x dx. 
 
SOLUÇÃO: Poderíamos converter cos2x em 1 – sen2x, 
mas obteríamos uma expressão em termos de sen x sem 
nenhum fator extra cos x. Em vez disso, separamos um 
único fator de seno e reescrevemos o fator sen4x restante 
em termos de cos x: 
 
 
 sen5 x cos2x = (sen2x)2 cos2x sen x = (1 – cos2x)2 cos2x sen x 
6 
Exemplo 3 
Calcule . 
 
SOLUÇÃO: Se escrevermos sen2x = 1 – cos2x, a integral 
não é mais simples de calcular. Usando a fórmula do 
ângulo-metade para sen2x, contudo, temos 
 
 
 
 
 
 
Observe que mentalmente fizemos a substituição u = 2x 
quando integramos cos 2x. 
 
 
 	
	
19 19 
Derivadas de Funções Trigonométricas 
Reunimos todas as fórmulas de derivação para funções 
trigonométricas na tabela a seguir. Lembre-se de que elas 
são válidas apenas quando x estiver medido em raios. 
18 18 18 
A Regra do Quociente 
 
 
 
 
 
Tabela de Fórmulas de Derivação 
9 
Integrais Indefinidas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A primitiva mais geral sobre um dado intervalo é obtida 
adicionando-se uma constante a uma dada primitiva. 
	
		
 
 
 
15 
Integrais Trigonométricas 
Finalmente, podemos usar outras identidades 
trigonométricas: 
13 
Integrais Trigonométricas 
Poderíamos verificar a Fórmula 1 derivando o lado direito, 
ou como a seguir. Primeiro multiplicamos o numerador e o 
denominador por x + tg x: 
 
 
 
 
 
Se substituirmos u = sec x + tgx, então du = (sec x tg x + 
sec2x)dx, assim a integral torna-se ∫ (1�u) du = ln | u | + C. 
Então temos 
∫ sec x dx = ln |sec x + tg x | + C. 
 
16 
Exemplo 9 
Calcule∫ sen 4x cos 5x dx. 
 
Solução: 
Essa integral poderia ser calculada utilizando a integração 
por partes, mas é mais fácil usar a identidade na Equação 
2(a) como a seguir: